DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS

MERA I INTEGRAL( pismeni deo ispita,23. januar 2015)

1. (a) Dokazati da je algebra A σ − algebra ako i samo ako iz {Aj : j ∈ N} ⊆ A i A1 ⊆A2 ⊆ A3 ⊆ · · · ⊆ An ⊆ . . . sledi

∞⋃i=1

Ai ∈ A. 10

(b) Neka je (X,M, µ) merljiv prostor konacne mere µ.Tada je za svako A,B iz M:

(b1) µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B)− µ(A ∩B) 5 .

(b2) Ako je µ(A∆B) = 0 tada je µ(A) = µ(B) 5Dokazati.

2. (a) Neka je dat niz funkcija (fn)n∈N, fn(x) =n

94x

1 + n6x3.Dokazati da niz (fn)n∈N,ne kon-

vergira uniformno na [0, 1], ali da je ipak

limn→∞

1∫0

fn(x) dx =

1∫0

( limn→∞

fn(x)) dx

10

(b) Izracunatiπ∫

0

(∞∑k=1

sin kx

5k) dx

10

3. Neka je 0 < λ < 1 i

fn(x) =

0, 0 < x <

1

n+ 1

x−λ−1,1

n+ 1≤ x ≤ 1

n

0,1

n< x ≤ 1

, x ∈ (0, 1]

Dokazati da za niz (fn)n∈N ne postoji integrabilna dominanta i proveriti da li je ipak

limn→∞

1∫o

fn(x) dx =1∫0

( limn→∞

fn(x) dx. 15

4. (a) Dokazati da je Borelova σ − algebra naR,BR,generisana intervalima oblika (−∞, a],a ∈ R. 10

(b) Dokazati da je funkcija f : (X,M) 7−→ R merljiva ako i samo ako su svi skupovi{x ∈ R : f(x) ≤ c} merljivi za svako c ∈ R. 10

5. (a)Dokazati da je1∫0

xλ

1 + xdx =

∞∑n=0

(−1)n

λ+ 1 + n10

(b)Izracunati: limn→∞

1∫0

nαxn

1 + x+ x2 + . . . xndx ,gde je 0 < α < 1. 15

∑100

bodovanje 55 do 64 ocena 6 65 do 74 ocena 775 do 84 ocena 8 85 do 94 ocena 9 95 do 100 ocena 10