Aula11 balanço integral

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Balanços integrais

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Balançosintegrais

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Balançointegraldemassa

•  TeoremadeTransporte:

•  ψ:grandezaporunidadedevolume

•  Vs:volumequalquer

•  Ss:super:ciequelimitaVs

•  vs:velocidadedeSs

ddt

ψdVVs∫ =

∂ψ∂tVs∫ dV + ψ vsSs∫ •ndS

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•  Aidéiadobalançointegraléaplicaroproncípiodeconservaçãoemumvolumeconveniente,emgeralchamadodeVolumedecontrole(VC),Vs=VC.Paraconservaçãodemassa,ψ=ρ:

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ddt

ρdVVC∫ =

∂ρ∂tVC∫ dV

difícil de avaliar

+ ρ vsSC∫ •ndS ≠ 0( ) (1)

Integrando a eq. continuidade :∂ρ∂t

+ divρ v

VC∫ dV = 0

⇒∂ρ∂tVC∫ dV = − divρ v( )

VC∫ dV = − ρ vvel. abs.do fluido na SC

SC∫ •ndS

Substituindo em (1) :ddt

ρdVVC∫ = − ρ v− vs( )

vel. relativado fluido na SC

SC∫ •ndS

ouddt

ρdVVC∫

taxa de variação de massa no VC

+ ρ v− vs( )SC∫ •ndSfluxo líquido de massaatravés da SC (sai-entra)

= 0

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•  Paraescoamentoturbulento,trabalhamoscomamédiadasvariáveisnotempo.Assim:

ψ = ρ

∂ρ∂t

+ divρ v = 0 :

ddt

ρdVVC∫ = − ρ v − ρ vSC( )SC∫ •ndS

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Exemplo•  Reservatóriodeumacidade•  Deseja‐sedeterminarofluxovolumétriconaentradatalqueovolumemínimonoreservatóriosejasuficientepara3dias,eotamanhonecessáriodoreservatório.

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BalançoIntegraldeMomentum

•  ψ=ρv

•  Combinandoa1aLeideCauchyeaconZnuidadetem‐se:

ddt

ρ vdVVC∫ =

∂ ρ v( )∂tVC∫ dV + ρ vvsSC∫ •ndS

∂∂t

ρ v( ) + div ρ v⊗ v( ) = divT+ ρ f

⇒∂∂t

ρ v( ) + div ρ v⊗ v( ) − divT− ρ f

VC∫ dV = 0

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•  Mas

div ρ v⊗ v( )[ ]VC∫ dV = ρ v v•n( )dS

SC∫divT[ ]

VC∫ dV = T•n( )dSSC∫

⇒∂∂t

ρ v( )

VC∫ dV = − ρ v v•n( )dSSC∫ + T•n( )dS

SC∫ + ρ f dSVC∫

Então a 1a equação da pag. anterior fica :ddt

ρ vdVVC∫

Taxa variação QM no VC

+ ρ v v− vsc( ) •ndSSC∫

QM que sai menos QM que entra no VC

= T•n( )dSSC∫

Forças de contato agindosobre o VC: Fs

+ ρ f dS

VC∫Forças externas agindo sobre o VC

3possibilidadesparaFs:• Fsdesprezível• Éaincógnitaaserdeterminada• ÉdesconhecidoedeveserdeterminadoaparZrdedadosexperimentais:correlaçãoempírica(introduzerros/aproximaçõesnasolução)

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•  Paraescoamentosturbulentos:

•  ExemplodeFs:escoamentolaminaremtornodeumaesfera– Fstemqueserindiferenteaoreferencial– OteoremadosπdeBuckinghaméuZlizado

ddt

ρ vdVVC∫ + ρv⊗ v − ρv⊗ vsc( ) •ndS

SC∫ = T•n( )dSSC∫ + ρ f dSVC∫

F = h v∞− v0 ,R,ρ,µ( )

CD =F

12ρ v∞− v0

2πR2( )

= f (Re)

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Exemplo:BalançoIntegraldeMomentum

Calcularaforçasobreabancadadafigura

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BalançoIntegraldeEnergiaMecânica

•  Oprimeirotermodadireitaédi:cildeavaliar.Paraeliminá‐lo,procede‐sedaseguintemaneira:€

ψ =12ρ v• v =

12ρv 2

ddt

12ρv 2dV

VC∫ =∂∂t12ρv 2

VC∫ dV +12ρv 2 vsSC∫ •ndS

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v• ρd vdt

− divT− ρ f

= 0 (1)

v• ρ d vdt

=12ddt

12v 2

=

ddt

12ρv 2

12v 2 dρ

dt

=ddt

12ρv 2

+

12ρv 2div v

=∂∂t

12ρv 2

+ v•grad

12ρv 2

+

12ρv 2div v

⇒ v• ρ d vdt

=∂∂t

12ρv 2

+ div

12ρv 2 v

Em (1), e integrando no VC :∂∂t

12ρv 2

= − div 1

2ρv 2 v

VC∫VC∫ dV + vdivT+ ρ v• f( )dVVC∫

= −12ρv 2

SC∫ v•ndS + vdivT+ ρ v• f( )dVVC∫ (2)

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•  Alémdisso:

v• divTdV = v•TndSSC∫VC∫ + Pdiv vdV − tr τgrad v( )dV

VC∫VC∫

Sefpuderserescritocomogradφ(porexemplonocasodeforçagravitacional:

ρ v• f dVVC∫ = −

ddt

ρϕdVVC∫ − ρϕ v− vs( ) •ndS

SC∫

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•  Combinandoasequaçõesacimaearrumandoostermos:

Pdiv vdV + v•τ ndS − tr τgrad v( )dV =VC∫SC∫VC∫

ddt

ρ12v 2 +ϕ

VC∫ dV + ρ12v 2 +ϕ +

SC∫ v− vs( ) •ndS + P vs•nSC∫ dS

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•  Introduzindoumapressãodereferênciap0:

P − p0( )div vdVen. mecânica dissipada por efeito de compressibilidade (=0, se ρ =cte)

+ v•τ ndS

trabalho das forçasviscosas

− tr τgrad v( )dVVC∫

≡ε ...en. mecânica dissipada porefeito viscoso

SC∫VC∫ = P − p0( )vs•nSC∫trabalho da pressão sobre a SC

dS

ddt

ρ12v 2 +ϕ

VC∫ dV

taxa de variação da en. mecânica dentro do VC

+ ρ12v 2 +ϕ

fluxo en. mecânica

+P − p0

ρtrabalho fluxo

SC∫ v− vs( ) •ndS

Obs.:• Sen//vemtodosospontosdaSCcomfluxodemassanãonulo,otrabalhodasforçasviscosasénulo• εéobZdodecorrelaçõesempíricas(usandoindiferençaaoref.eoTeoπ)• Paraescoamentoturbulentoaeq.éidênZca(usandovaloresmédios),comotermodetrabalhodasforçasviscosascorrigido,adicionandoumatensãoturbulentaτT

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Exemplo:BalançoIntegraldeEnergia

•  Determinaraenergiamecânicadissipadapeloefeitoviscoso,sabendoqueadiferençadepressãomedidaentreospontos1e2valedP