1
222/3
2exp
24)( v
Tkvm
Tkmvf
BB
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
=π
π
Maxwell fordelingen
Planck fordelingen
1exp
18),( 3
3
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Tkhc
hTP
B
ννπν
TkB 8,3Planck
44
31 aTPaTu rR ==
2
44
31 aTPaTu rR ==
rR Pu 3=
.. for ekstremt relativistiske partikler
Lav temperatur og/eller høj tæthed:
Kvantemekanik bliver vigtigt for beskrivelsenaf gassen
Pauli’s udelukkelsesprincip:
Højst 2 fermioner kan være i samme tilstand
Elektroner, Protoner, NeutronerNeutrinoer, Tau, Myoner, Quarks
3
Fermi-Dirac fordeling (p: moment)
Degenereret stof….
p (moment)E (Energi)
F(p) E(F): Fermi energi
F
F
EnP
EnP
⋅=
⋅=
41
52
Ikke-relativistisk degenereret
Relativistisk degenereret
3/513(deg) 100036,1 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=
eeP
μρ
For elektroner (ikke-relativistisk)
(cgs-enheder)
Middel molekylvægt pr. elektron
4
2/38104,2 Te
⋅⋅> −
μρ
(cgs-enheder)
4
31 aTPr =
3/513(deg) 100036,1 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=
eeP
μρ
Tilstandsligningen…..
u
B
mTkP
⋅⋅⋅=
μρ
eμMiddel molekylvægt
pr. elektron
5
log ρ g/cm³
log
TK
4
9
8
7
6
5
-2 0 2 64 8
Tilstandsligningen…..
Strålingstryk
Ideal gas
33 Tmak
u
B <μ
ρ
T∝
4T∝
log ρ g/cm³
log
TK
4
9
8
7
6
5
-2 0 2 64 8
Tilstandsligningen…..
Strålingstryk
Ideal gas Degen
erered
e elek
trone
r
2/38104,2 Te
⋅⋅> −
μρ
6
log ρ g/cm³
log
TK
4
9
8
7
6
5
-2 0 2 64 8
Tilstandsligningen…..
Strålingstryk
Ideal gas Degen
erered
e elek
trone
rIk
ke re
lativ
istis
k
Rel
ativ
istis
k
Krystalliseret
Solmodel
log ρ g/cm³
log
TK
4
9
8
7
6
5
-2 0 2 64 8
Tilstandsligningen…..
Strålingstryk
Ideal gas Degen
erered
e elek
trone
rIk
ke re
lativ
istis
k
Rel
ativ
istis
k
Krystalliseret
Solmodel
1γ32
lnln
id.g −==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
S
Tρ
7
log ρ g/cm³
log
TK
4
9
8
7
6
5
-2 0 2 64 8
Tilstandsligningen…..
Strålingstryk
Ideal gas
Ikke
rela
tivis
tisk
Rel
ativ
istis
k
Krystalliseret
Solmodel
Jordens indre
Degen
erered
e elek
trone
r
Centrum iHovedseriestjerner
Hydrostatisk ligevægt
gFdPFd
Pg FF dd =
GravityTyngde
PressureTryk
8
Hydrostatisk ligevægt
gFdPFd
r
2
)(r
rGm−
)(rm
Hydrostatisk ligevægt
gFdPFd
r
Arrr
rGmFg d d )()(d 2 ρ⋅−=
)(rρ
)(rm
rd Ad
(4.1)
9
Hydrostatisk ligevægt
gFdPFd
r
Ar)P(rAP(r)FP dddd +−≅
)(rρ
)(rm
rd Ad
Hydrostatisk ligevægt
gFdPFd
r
ArrPAr)P(rAP(r)FP d d
dddddd −≅+−≅
)(rρ
)(rm
rd Ad
(4.2)
10
Hydrostatisk ligevægt
Pg FFtrAr dd
ddd d 2
2
+=⋅ρ
amF rr⋅=
Hydrostatisk ligevægt
Pg FFtrAr dd
ddd d 2
2
+=⋅ρ
ArrPArr
rrGm
trAr d d
ddd d )()(
ddd d 22
2
−⋅−=⋅ ρρ
rPr
rrGm
tr
dd )()(
dd 22
2
−⋅−=⋅ ρρ(4.3)
11
Hydrostatisk ligevægt
Pg FFtrAr dd
ddd d 2
2
+=⋅ρ
rPr
rrGm
tr
dd )()(
dd 22
2
−⋅−=⋅ ρρ≡0
Ligevægt
Hydrostatisk ligevægt
)()(dd
2 rr
rGmrP ρ⋅−=
(4.4)
12
Dynamisk tidsskala
rPr
rrGm
tr
dd )()(
dd 22
2
−⋅−=⋅ ρρ
22
2 )(dd
rrGm
tr −=
GMRt
RGM
tR 3
dyn22dyn
≡⇒≈(4.6)
Masse-densitet
gFdPFd
r
)(rmmd
rd
)(rρ
13
Masse-densitet
)(π4dd
d )(π4d
2
2
rrrm
rrrm
ρ
ρ
=
=
(4.5)
Vurdering af tryk og temperatur i en stjernes centrum
)()(dd
2 rr
rGmrP ρ⋅−=
4
2
32
2
RGMP
RM
RGM
RP
RGM
RP
CC
C
≈⇒⋅≈
><⋅−≈− ρ
(4.8)
14
Vurdering af tryk og temperatur i en stjernes centrum
ρμ P
kmTB
u ⋅⋅=
RM
kGm
MR
RGM
kmT
RGMPP
kmT
B
uC
B
uCC
CC
C
B
uCC
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≈
≈⋅⋅=
μμ
ρμ
3
4
2
4
2
T(solen-C) = 19 mill. K
Ligninger for en stjernemodel
ρμ
ρ
ρ
Pk
mT
rrrm
rr
rGmrP
B
u ⋅⋅=
=
⋅−=
)(π4dd
)()(dd
2
2
15
En simpel lineær model
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Rrr C 1)( ρρ
radius
tæth
ed
R0(4.27)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −==
Rrrrr
rm
C 1π4)(π4dd 22 ρρ
( )Rrx
xxMRrrrm C
/
34431
3π4)( 433
=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅= ρ
3 π3
RM
C =ρ
R
(4.29)
16
( ))()(
dd
)()(d
d
)()(dd
2
2
2
xxmxR
GxP
xxRxGm
xRP
rr
rGmrP
ρ
ρ
ρ
⋅⋅⋅
−=
⋅⋅
−=
⋅−=
( ) ( )xxxxMxm C −=−= 1)( 34)( 43 ρρ
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )xxxR
GM
xxxRM
RGM
xxxR
GM
xxxMxR
GxP
C
C
−⋅−⋅⋅
−=
−⋅−⋅⋅−=
−⋅−⋅−=
−⋅−⋅−=
134π
3
134 π
3
134
1341dd
24
2
23
2
432
ρ
ρ
17
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )xxxR
GM
xxxRM
RGM
xxxR
GM
xxxMxR
GxP
C
C
−⋅−⋅⋅
−=
−⋅−⋅⋅−=
−⋅−⋅−=
−⋅−⋅−=
134π
3
134 π
3
134
1341dd
24
2
23
2
432
ρ
ρ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−⋅⋅= 432
4
2
59
528
5241
π45 xxx
RGMP
P=0 ved x=1 (4.30)
Virialsætningen
Potentielle energi i tyngdefeltet
Potentialet er: Total potentiel energi:
rm
rGm−
rGmr
rrr
Gm
R
R
∫
∫−=
−=Ω
0
2
0
d π4
d π4
ρ
ρ
(4.18)
18
rrrPrr
rGm
rGmr
RR
R
∫∫
∫=−=
−=Ω
0
3
0
32
0
d ddπ4d π4
d π4
ρ
ρ
[ ]rrP
rrPrPR
RR
∫∫
−=
−⋅⋅=
0
2
0
2 0
3
d π4 3
d π4 3π4
0 =⇒= PRr
(4.19)
rrPR
∫−=Ω
0
2 d π4 3
uP32=
(4.20)
19
rruR
∫−=Ω
0
2 d π4 2
tot2U−=Ω
Ω=−=+−=+Ω=212 tottottottot UUUUE
tR
RGM
tLG d
d21
dd
21
2
2
−≈Ω−=(4.23)
rruR
∫−=Ω
0
2 d π4 2
tot2U−=Ω
Ω=−=+−=+Ω=212 tottottottot UUUUE
tR
RGM
tLG d
d21
dd
21
2
2
−≈Ω−=
Når systemet mister energi bliver det varmere!
(4.23)
20
KH
G
tR
tR
tR
RGM
tL
2dd
dd
21
dd
21
2
2
−≈
−≈
Ω−=
21
ρμ
ρ
ρ
Pk
mT
rrrm
rr
rGmrP
B
u ⋅⋅=
=
⋅−=
)(π4dd
)()(dd
2
2
Stjerne atmosfære
HP g
RGM −=⋅−=⋅−= ρρ2
u
B
mgTkH⋅⋅
=μ
T ~ konstant
isoterm
Trykskalahøjden
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Hh
HhPP
exp
exp
0
0
ρρ
Top Related