������������������� � �����������
�
APONTAMENTOS
MATEMÁTICA I
��������� ������ ���������������������������������
������������
������������������
�����������
������� �!�"##$�"##%
� �
� ���&�����'����(���)�������������������
�
*���+,�����)�����
������������ ������������������������������������������������������������������
� ���������
�������������������������������������������������������������������������� ��������������
�
���!����"����#�����������������$�������������������������������������������������������������
�
���%����"������������&������������������������
'������������������������������������������������������������(�������������������������� �����������)�*�� ����������
� ��+����������������������� ��+���������������������
�
��-���./�!��0�./�
,��� �������������������������������������������������������������������
-���.������������������$����������������������������-���.��
'�������������*�� �����*����������������� �������������������/���-�.������
� � � � � � � � � ������������������������0����������1�
� 2�����������������������������������������
� ������� 3�/��4�2�+�%45� � 3�/���-�2�.�� ���!��� ��/����� � � ���/���-���.�� ���%��� "�/�π�!� � � "�/���-��.���� � � � � � ��������� � ��������� � � � �������� � ����������� ��������������
� !
���1���!�0��-0�./�
6��7����������������������������������������������������������
*�� ���������*�������
� 8��&������������� �8���/�9��∈�:,���;���<��
� ������������������������ ���� � !��
�
����2�!��1����0���3��!�0��-0�./�
6��7�����������������������������������������������������
6�������&����������� 68�/�8=�/�9��-�.�∈�:,�����∈�8*<��
�
�24-���!�0��-0�./�
6��7���������������������������-����.��������*� ��������� �����/���-�.�
� ������������ ��+����������
� ��������������"�������� ���� � !�#������������������������
�
6������������������ �����*��������*�� ��>��
��"����������������������������� �����������������-������������
����������������������� ��.�������������������������������*������
�������������
� ��������������������������������������� ����$ � !��������� ���� � !��
�
��'�*�������������������������������$�����������������?�*������������
���������������� ����������������������������������
�
� ������������������������������������ ����$ � !��������� ���� � !��
� %
*���(��+,�������+,���
@�7������������������*�� ������-�.�/�!��+�%����������-�.�/���!�A������
����5 � ��-�.�A��-�.�/��-!����%.�A�-�!�A��.��/���!�A�!��+�!��
��-�2��.�5� �-�.�+��-�.��/��-!����%.���-�!�A��.���/�����!�A�!��+�B��
&2�!0��5� � ��-�.��-�.����/��-!����%.�-�!�A��.�����/��!��%�+�%��!�A�!���+�%��
60�������5�
%!
.-
.-!+−=
�
�
��
��
�0�./����7�8��
"�*�� �����������( )( ) ( )( )������ =� �)���������������������������
�����&�������( )�� � �)������7������������������������&�������������������
�-�.�����������&����������
� ����
� �9�: ��9�9�::
� �������������� � !�����������
*���+,���������
��-���./�
8���*�� ���������������������������������
���-�-�..�/�����������������������&���������������
��-�-�..�/������������������������&����������
�
"�*�� ��������������������%&��-0���������*1.� � ��9�:;����9�:�
� B
C�����������������7����������������������������?������������������?����
������&�����������������������
� ��
�� �9�: �9��9�::;� �9�:;����9�:
� 0����*� ����������*� 1�
� �������������� � '�����������
���324-���8!�������*������*����������������������� ���D����������/�����
� �������������"����������������%&�
�
�<��!�3�2�=!�!���2����./�!�-0�./��� �28�!��9�:
� �����@������������-�.������
� !����C��������������
� %����,�������������� ���������������
� B����E� ��������-�.�/����
� ������������������� !����� ���� � !���������
�
F���*�� ���$����������������*����7������������)������������*���������
�������������������������*������������
'�*�������������������(�� ������$�����������������?�*�����������
*�� �������������������������
� ����������� ���� � !��$ ���!�������������
�
�
�
� 4
*����'�������+,���
� @�7�����������������*�� ������-�.�/�!��A������
�
�
� �����,������� ���?�*�����
�
�
��
6����������������������������-�.�����������������������!�>�
��?�*�����?���������-�.��������������4�����������������������!��
�������� �������������*������*� �������������������)������
� � ���������������������!����������D��������-G�!.��
�� %� !�4� !��� !�54� !�55�� !�555����-�.�/�!��A��� H� I� 4�!� 4��� 4�55!� 4�555!�
� � � �
� � J��*������������-�.��������������4�� � � �
� � � � ������������� 4.-���!
=+→ ���
��
� � !��������������������!����������D��������-K�!.�� �
�� �� ��4� ��L� ��L4� ��LLL� ��LLLL�*-�.�/�!��A��� %� B� B�M� B�L� B�LLM� B�LLLM�
� � � �
� � J��*������������-�.��������������4��
� � � � ������������� 4.-���!
=−→ ���
�
� � ���������������������
� � � � ( ) 4�!���.-��� !! =+= →→ ��� �� �
���H�I�4�B�%�!���5�
�!������5�������!���%���B���4�����������
��/�!��A���
� I
��-���./�!�=�����!�0��-0�./�-���������.
8� �����������*�� �����-�.������������(���������������������������-�.���
���������������������(���������������������������������������
(���� =→ .-��� �
�
�>�8�?����!�0�=�����
(���� =→ .-��� �������$����� (����
=+→ .-��� ������ (����
=−→ .-��� �
�
� � �������������)�����$ �*��
� �.��
���
��.- = ���� �.-���� 5 ���→ ��!���������
� +*��
��.-�
��%���, = ��#�� �.-��� �� �,�→ ��!���������
� -*�!�
�.-���� = ��#��� �.-��� �5 ���→ /�A�N�
� B.��
�%��.)�*�
%= ������≥�������� �.-��� � �.� +∞→ /�%�
��-���./�F������(�������������������(��������� � ����� ��������?�*���������/���-�.�� � � ���� � .-��� ��
�� +→ ��/�A�N��������N�
� � � ������� .-��� ���� −→ �/�A�N��������N��
� � � ������������-���./�F������(��(�� ��������;���(���������� � ��������� ������?�*�����������/���-�.� ���� � .-��� ��� +∞→ �/�����
� � � �������� .-��� ��� −∞→ �/���� � � ������������ / ���������������������������0�������������1�
� H
��32�80��=�@�!�8���7�2�.A�8���=�����8�
@����� �� �� 2� �O���� ����� �� ������� �������� �� ������� ���� �������.-��� ����→ ����� .-��� ����→ ����������
�
��� 22�� ������� =→ � �
!�� ���� �� ������� =→ ��
%�� [ ] .-����.-���� ��2��2 ���� →→ = �
B�� [ ] .-�������.-���.-.-��� �������� ������ →→→ ±=± �
4�� [ ] [ ] [ ].-������.-���.-.�-��� �������� ������ →→→ = �
I�� ��.-����
.-������
.-
.-���
��
��
��
��
��
����
→→
→ = ��� .-���� ����→ �≠�5�
H�� [ ] [ ] ����
�� ���� �� .-�������.-��� →→ = �
M�� �� .-�����.-��� ���� ���
�� →→ = ���)���������� .-��� ����→ 3�(�#�(�45*�
�
������������������ !��
� �*�� 4���� !→� �/��
� �.� !! M����� ��→ �/�
� �.� .�!-���� !B ����%��� +→ �/��
� �.�!��
�B�����!
!%�
������
++−→ �/��
� M
*���'������������+,���
��-���./�
@�7�� ��� ��� ������ ��� ��������� P��� �Q� �� �7�� �-�.� ���� *�� ��� ��7�� ���&����
����)�������������P����Q��"�*�� ������� �������&�������������������
�. �-�.�������*�����������3����
!. .-��� �����→ �������
%. .-.-��� ��� �����
=→ �
@�� �� )� ����&���� ��� ����� �� ������ ��� ��������� P��� �Q�� ������)� ����&���� ���
���������P����Q���
'����������������� ����������*�� ���)�����&������������������������?�*������������� ����������������������������������������������������
��
� ����6 � !�������� ��
� � � � � � � 6 � !����������� �������3��&#��+����-�
�
� ������������� � '��������� �������������� ���
�
�
��/��-�.�
� L
*���+,��&�����������0�./�3��<2���B��������������������5� �
�;�9�:;��������������������� ��
���! ���������
����������
��
�
� � �5#��&#��+#��-#�7#����%&#�����������O����������� � � � � � ����������������*����������������$�����
� � ���%�������������������/��?�����������$������ � � � � ��������/������������������R�����������
� � 8��&����������/�:,�������� �
���0�./�!�32�0#;���"#����� �� �$���
� ���������������→����?�*����)����������(�� �����
���0�./�!�32�0���;���"#��������$����
�;�9�:;����������
� *� ��������3��5�������3��&�������
� � � � ������� ������� ��� ���� ��?�*����)���������� � �� � � ��������������������������� � � �������������������������������
� ���/���������������������������������������� ��������������
� ���3���������������?���%����������������� ������������������� � � � � � �������������������������-5#��.�� �
���������
���/�!��A��� ��/�����A�!�
� �5
����2����./� !� �C0�./� !� 2���� C0� 7�88� 7�2 !��8 7����8 !����2!���!�89��D��:�9�"D�":�
�
� � � � � ��
� � � �
� �
�
�
�
�
���=� �5��!
�!��%����
��%��������
8���
8������� == �
�2!���!����2�3��5
6��(����������������������������������������������������������
������������������ �����/�����A��������7��
� �!�/����!�A����⇔����/��!�+����!�
��� ���/������A����⇔����/����+������
� �������������������������������� ����������/�����A��������
� � � � � � � � ���� ������ ������������� � � � � � ������*����0���������������������?��1�� �
8����������������(�������������������������������������7��-��#���.����
�����-����.����������?��)��������������������������)��
� ��
�
�%����
�%�������� = ��⇔������B��;�9��B��:���
� � � � � ���� ��������������������� � � � � ���*����0�������������1��� �
� ���������
;∆∆∆∆�
;∆∆∆∆��-5���.�
� ��
���0�./�7�=������=!�32�0"��-�0!�"E�2!��.�;���"#��%����& ���$����
�;�9�:;�������������������→����?�*����)�������������
*���������������� �;�9�:;���"F��F�
� ����������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �!
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Função quadrática y = ax2 + bx + c (a > 0)
� �%
��8�3�2�=!�2�72�8����./�!�0��-0�./�C0�!24����5
���� � ��9�:;���"F��F��'��������(��$�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �9�:;���"F��F��'��������)��$�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�������� -���� 5.��� -�+�� 5.� �������������� ������ �������������� ������
�������������������������������������!������������������
� �B
� ���"F��F��;#⇔⇔⇔⇔
�
�����
!
B! −±−= *��������������� �+�
����7���
�
�����
!
B!
�−−−= �� ��
�
�����
!
B!
!−+−=
������!������ ������*�� ���-������������������������*�� ����������.�
�
��������� ��� �� �!� �� ���� ��� ��� �������� ����� �������� ��� *����
*����� ��������*�+�����"F��F������9��,���:�9������:�
�
"�*�� ����������� ������:,��������,�G���)�#
��������������������9 ��
���
���
���
�−−�
��
�
�
!��
!�����)����)����������������
�
�����&�����������*�� �������������)���8��/�:,�
����������&����)��� �8=���/� ��
��
+��
���
�− ∞���!�
�� �������G�5��������
� � � � ���� 8=���/� �
��
���
���
�−− ∞�
��
!��� ���������K�5�
� �
� ���������
�
�
�
�
�
� �4
���0�.A�87�=�������8!�32�0H"������
�0�.A�8!���7����*�+���������9��≥≥≥≥�"D�����2�:�
����������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�������
8�/�:,�8=�/�:,5
A��
���������
8�/�:,�8=�/�:,��
� �I
���0�2�87�=��I���8
-�������
� �
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2�����F�������$�������?������������������������� ���
� �H
*���+,���������
@�7����-�.����/-�.����������$�����
"�*�� ������������.-
.-.-
�/
��� = ������(�������������".������������
� 8���/�9��∈�:,���/-�.�≠�5<��
� E�� ������������( ) ���
���
�.-
−= ����-�-�.�/����/-�.�/�-��%��.�
������≥����
���������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�5��
�.-
+=�
�� � ( )!�5��
�.-
−=�
�� �
� �M
�����*�� ��������������
� ����������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
*
�
����
+++=
�
�.-
!�
!!
!�.-
�
���
++= �
� �L
���+,�����������@�7����-�.���������$�����
"�*�� ����������� ( ) $��$���� S�.-�.-�.- == ����(�������������������/�
�
� 8���/�:,�����$��*���&����
� 8��/�9��∈�:,���-�.�≥�5<�����$��*������
� �
� ����������
�
�
�
�
�
�
�
�
� :� ( ) ( ) ( ) %S4% 44% �%�%�%.- +=+=+= ����� ��
�
8���/�:,� � �
8=�/�:,�
�
�
�
�
�
�� = �
L! −= �� �
L% += �� �
� !5
���+,��'�������J'�����
F���������������������������������#�?����-���������.��� �������-��.��
8�*��� ���
,�������)� ��#�?�������� ���������� �����������
�����*�R��������������������)����������������
������������?�����������
� � � � � � �����≈�4H�%��
�0�./�8���
�
@�7�� �� ��#�?���� ���#�?���� PC=�CQ�
�����������������������������T����
@�7��αααα� � ����������������������#�?����
�����#�?���������)������������
U����������*��� ����������8�������
αααα )����������
� � �
�(��������������������
���������������������������
�����
C��
CCV���� === �α �
�
� �������/���-�&�������?����)����.��
� � 8��αααα;�
�
�
� !�
8�*��� ����
C�����*��������*�� ��������*� ���������������������O�������������
������ ���������������������������*�� ���������������
� � �������:,���� �P�����Q�
� � �������������� ����-�.�/����������-����������/����-����.�.�
�'�*�������*�� �������
�
,������� ���?�*�������P5��!πQ���
�
C������������*�� ��������
W� 8��&������:,�
W� 6�������&������P�����Q�
��������������������/��������
� !!
� "�?������������������ ��������������
�� ��L5�� �I5�� �B4�� �%5�� 5�� %5�� B4�� I5�� L5��
�����
!
X− �%
X− �B
X− �I
X− � 5�I
X�
B
X�
%
X�
!
X�
����� ���!
%− �!
!− �!
�− � 5�!
��
!
!�
!
%� ��
�
W� Y���� ��/�Zπ , ���-Zπ.�/�5���Z�∈�Y��
W� 6������������� [�����&�������:,� �� ���� ��������� =→ �
W� C�������� ���-��.�/��������� ��������)�&�����
W� C�����������������-��A�Z!π.�/����-�.� ����*�� �������)����$�������
� � � � � � � � � ������&�����&�����!π��
�0�./��2��8����
8�*��� ���
"�*�� �����������)���7������������������������������������������ ������
���&��������������7���
"�*�� �������)���7��������������������
� � �
���
−!
X��
!
X�� �
���
!
%X��
!
X��;�� �
���
++− ZX��!
X����ZX��
!
X�����Z�∈�Y�
�
8��?����������� ���������������*�� ���������*�� �����
� �&������ �
���
−!
X��
!
X���� �P�����Q�
� � �������������� �������
�
���������������������������������2�8��������R����0������ .�������;��1�
� !%
� ��*���������� � �&%&������P�����Q���� � �
���
−!
X��
!
X��
� ������������������� � � � ������ �����������
'�*�������*�� �����������
�
�
�
�
�
�
�
U�������������������;8���⇔⇔⇔⇔�;�2�8���� ��
� ���������
�0�./���*8����
@�7�� �� ��#�?���� ���#�?���� PC=�CQ�
�����������������������������T����
@�7�� αααα� � ������� �� ���������� ��� #�?����
�����#�?���������)������������
U����������*��� ������������*8�������
αααα )����������
�(��������������������
��7����������������������������
���
���
C��
CV������ ===α �
�
� �������/���-�&�������?����)����.� ��8αααα;��
��/���������
� !B
8�*��� ����
C�����*��������*�� �����������*� ���������������������O�������������
������ ���������������������������*�� ����������������
� � �������:,���� �P�����Q�
� � �������������� ��*-�.�/����������-����������/����-����.�.�
�'�*�������*�� ����������
�
�
�
,������� ���?�*�������P5��!πQ���
C������������*�� �����������
W� 8��&������:,�
W� 6�������&������P�����Q�
�
��%��� ����������������������/������
� !4
� "�?������������������ ����������������
�� 5� %5�� B4�� I5� L5�� �!5�� �%4�� �45�� �M5��
����� 5�
I
X�
B
X�
%
X�
!
X� X
%
!� X
B
%� X
I
4� π
����� ��!
%�
!
!�
!
�� 5�
!
�− � �!
!� �
!
%� ���
�
W� Y���� ��/�!
X�A�Zπ , ���-
!
X�A�Zπ.�/�5���Z�∈�Y��
W� 6������������� [�����&�������:,� �� ���� ������� =→ �
W� C�������� ���-��.�/������� ��������)�����
W� C�����������������-��A�Z!π.�/����-�.� ����*�� ����������)����$�������
� � � � � � � � � ������&�����&�����!π��
�0�./��2����*8����
8�*��� ���
"�*�� ��������������)���7������������������������������������������ ���
������&��������������7���
"�*�� ����������)���7��������������������
� � [ ]5��X− ��[ ]�X�5 ��;��[ ]ZX��X����ZX� + �����Z�∈�Y��
8��?����������� ���������������*�� ������������*�� �����
� �&������[ ]π��5 ���� �P�����Q�
� � ���������� �������
�
� !I
���������������������������������2���8������R����0����� .����%�����;��1�� �
��*���������� � �&%&������P�����Q���� �[ ]�X�5 ��
� ������������������� � � ������ ����������
� �
'�*�������*�� ��������������
�
�
�
�
�
�
�
�
U�������������������;��8�⇔⇔⇔⇔�;�2���8�� ��
� ���������
�
E$�����*����������������?���������
������������ �!�! =+ ��
�0�./����3����
U����������*��� �������������3��������
αααα )����������
����
U\���
�U
U\���
�
T��
CV��
CV�C���? ====α �
�
� �������/��� �3αααα;U\ �
��/���������
� !H
8�*��� ����
"�*�� ������?�����)���*�����������
�������:,�]����
��� + ZX��!
X� �:,��������Z�∈�Y�
� � ���������������� ��*-�.�/��?���/��
�
��
��������-������?���/��?�-����.�.�
�'�*�������*�� ������?�����
C������������*�� ������?������
W� 8��&������:,�]����
��� + ZX��!
X�
W� 6�������&������:,�
W� Y���� ��/�Zπ , �?�-Zπ.�/�5���Z�∈�Y��
W� 6������������� [�������&�������:,�������&��������������������&����
� � � � �� ���� ��?��?��� =→ ����∀����≠� ZX��!
X + �
W� C�������� �?�-��.�/����?�-�.�� ���?����)��&�����
W� C���������������?�-��A�Zπ.�/��?�-�.� ����*�� ����?�)����$�����������
� � � � � � � � ��&�����&�����π, �∀���≠� ZX��!
X + ��
��/��?��� ������������
� !M
�0�./��2�����3�����
8�*��� ���
"�*�� ������?�����)���7��������������������
� � ��
�
�− �!
X��
!
X����;�� ��
�
� ++− �ZX��!
X���Z�X����
!
X�����Z�∈�Y�
�
8��?����������� ���������������*�� ������?�������*�� �����
� �&������ ��
�
�− �!
X��
!
X���� �:,�
� � ���������������� ���?����
���������������������������������2��3������R����0����� .�����������;��1�� �
��*���������� � �&%&������:,���� � ��
�
�− �!
X��
!
X��
� ������������������� � ��������� ������?����
'�*�������*�� ����������?�����
�
�
�
�
�
�
�
�
U�������������������;�3�⇔⇔⇔⇔�;�2��3�� ��
� ���������
��/�����?���
� !L
�0�./���*���3�����
8�*��� ���
"�*�� ���������?�����)���*�����������
�������:,�]�{ }ZX� � �:,��������Z�∈�Y�
� � ��������� ��*-�.�/����?���/���
�
��?
���
���
��� = �����������-����.��
�
'�*�������*�� ���������?������
C������������*�� ���������?�����
W� 8��&������:,�]�{ }ZX� �
W� 6�������&������:,�
W� Y���� ��/� Z�X����!
X + , ���?�- Z�X����!
X + .�/�5�����Z�∈�Y��
W� 6������������� [�������&�������:,�������&�������������&����� � � � �� ���� ����?����?��� =→ ����∀����≠�Zπ �
W� C�������� ���?�-��.�/������?�-�.�� �����?����)��&�����
W� C���������������?�-��A�Zπ.�/��?�-�.� ����*�� ������?�)����$�����������
� � � � � � � � ��&�����&�����π, �∀���≠� ZX��!
X + ��
��/����?��� ��%������������
� %5
�0�./��2����*���3�����
8�*��� ���
"�*�� ���������?�����)���7��������������������
� � ] [��X�5� ����;�� ] [�ZX����X�Z�X����5� ++ �����Z�∈�Y��
8��?����������� ���������������*�� ���������?�������*�� �����
� � �&������ ] [��X�5� ���� �:,�
� � �������������������� �����?����
���������������������������������2����3�����R����
� � � � � � � � � ����0����� .����%���������;��1�� �
��*���������� � �&%&������:,���� � ] [��X�5� ��
� ������������������� � ��������� �������?����
'�*�������*�� �������������?�����
�
�
�
�
�
�
�
�
�
U�������������������;���3�⇔⇔⇔⇔�;�2����3����
� �
� ���������
��/�������?���
� %�
���+,���K&�������������'�����0�./��>7�������=�
6(������*�� ���������������D�*�� ������������������������
� �������:,���� �:,�
� �������������� �������-�.�/�������������∈�:,A��
� � -@����/������*�� ���)����������������������������.�
��24-���!�-0�./��>7�������=
����
→��� *�� �����������
� ∞+=∞+→
�������������
�
�� �
� 5�������������
=∞−→
�
�� �
�
�
�
→� *�� �������������
� 5�������������
=∞+→
�
�� �
� ∞+=∞−→
�������������
�
�� �
��G�����/�����
5�<���K�����/�����
� %%
&2�72��!�!�83�2��8!�-0�./��>7�������=D�∈�:,A�]�9�<�
� W� 8��&�������� :,��
� W� 6�������&������:,A�
� W� Y������ � ����������-�����≠�5���∀���∈:,�.�
� W� 6������������� )�����&���� �
� W� :�7������������� )���7���������
&2�72��!�!�8�7�2��I2��8!�-0�./��>7�������=D�∈�:,A�]�9�<��
� W� ��������/�����A�� � � L
��
��
�=− �
L �%��
�
��
� ���= L ( ) ���� ��� ���
=
L �������/�-���.�
� � �W�
�
�
�
�
�
�
��
��
���
�=
���8�7�2���0=�2!�-0�./��>7�������=5�9>:;�����9�;�:
� �������:,���� �:,�
� �������������� �����������%��� � !����������������� ���
�� � ��/�!�H�M!M�M!MB4L54;���O�������2����
� ��
� ���
���
� +∞→
�������� �/������ � ���������������
� �.-
.-�������
�
� �
2��
���
� +∞→
/����2����→����������?����
� � � � � -�.�+�����������O����������� -�.�^ �±∞���
� %B
&2�72��!�!�8!�-0�./�����
L U�������*������������������G��
� W� ���������
�����5
=→ �
��
��
� W� :,.��-�������������
����� ∈∞+=+∞→
2�
�
2
�
��
�0�./�=�3�21������
"�*�� ��������������-�.�/���������∈�:,A�]�9�<���)���*�� ���
� ����������:,A� �:,�
� ���������������� ����?���-�.�
�������(������ � !������������������������
� ��?���-�.��→���R����0�������������������������1�
� ������� � ��/���?���-�.���⇔�����/�����
� � � ��� �
0����� ����������1����#�� ������������#�;��������������$ ��;�
��������������������������������=�����
�
�
� -�������
� %4
�24-���8!�-0�./�=�3�21�����
�
→������*�� �����������
�������� ∞+=+∞→
��.-��?���� ���
������������
����� ∞−=+→
��.-��?�����5�����
���
�
�
�
�
→�����*�� �������������
� �� ∞−=+∞→
��.-��?���� ���
�
����� ∞+=+→
��.-��?�����5�����
���
���
�
�
�
&2�72��!�!�83�2��8!�-0�./���=�3��9�:
� W� 8��&�������� :,A��
� W� 6�������&������:,�
� W� Y������ � ��/�����-���?���-�.�3�5������/���5�.��
� W� 6������������� )�����&���� �
� W� :�7������������� )���7��������
���G���
��/���?���-�.�
9�D#:
5�K����K���
��/���?���-�.�
� %I
-�������
&2�72��!�!�8�7�2��I2��8!�8=�3�2����8�
� W� ��?���-���.��/����?���-�.�>���?���-�.���#�����∀����T�∈�:,A���∀���∈�:,A�]�9�<�
L ��?��� ���
����
�
�
�/����?���-�.��%����?���-�.D∀����T�∈�:,
A���∀���∈�:,A�]�9�<
L ��?����-��Z�.��/�Z���?���-�.�� #����∀Z�∈�:,���∀���∈�:,A���∀��∈�:,A�]�9�<�
� W� ��?���-�.��/���?���-�.����?���-�.���������������∀���∈�:,A���∀��#���∈�:,A�]�9�<
� ��8�7�2���0=�2!�-0�./�=�3�21�����5�9>:;=�3��9�:��9�;�:
� � � �������:,A���� �:,�
� ���������� � ����� ����?���-�.���
�����?���-�.�����?����������������������������������������������� ��������
���2��� ���� =�3��9�:�;=�9�:;=�39�:�� �
� ����������������� '���
��/���?�!�-��A��5.���!�
��/���?�B�-�.�
��/���?�!�-�.��
� %H
�����+��
�
���=� �!�0��2����8�������0�324-���B��>�!� �2��./��<!��
6�����������?�*�����������*�� �����-�.������������?������������
?�*����������������������������_5-�5���5.���_�-������.��
�
������������������@�)���������
� � ���=� �!�2����2��/��5�
5�
5�
5� .-.-����
��
����
��
��
−−=
−−
�
�����������/��5�A�∆���������
� � ���=� �!�2����2��/�� ϕ����?������.-.���- 55 =
∆∆=
∆−∆+
�
�
�
�����
�
"� ������������"#���3�����������*�� �����/��-�.��������5��������/��5�A�∆���)�
��*����������������������������������� ������*�����������������
�������������������� �����������������������������
� � '�>�!� �2��./��<!��/� ��.-.���-
���� 55�
����
�
�
∆−∆+=
∆∆
�
�
C����������4������������"#���3�������5������������� ��2���
� %M
�������������272���./�3���<�2���!�!�2� �!�!�0��-0�./�
6�����������?�*������������,��� ����������#����������������5������
���������∆��→�5����������������?����������������������@�����?��������
?�*��������-�.����������_5-�5���5.��
��
����7����������∆��→�5����_�-������.�→�_5-�5���5.�������ϕ��→�α�
������������������@�)����?���������
��?��/�� .-V����.-�.-
�������������������?��� 555
55�
5�
5 5�
���
�����
��
��
����=
∆−∆+=
−−=
→∆→→∆ϕ ��
�
� � � � � � � �������������-�.������/��5����5�∈�8��
5������������� ���@��/����=-�5.�
4������������"#���� �� 6�����/� .-V����.-�.-
���� 555
5��
�
�����
�=
∆−∆+
→∆�
��
��������� 4������������"#���� �� 6�������5������������� ��4�
� %L
��-���./�B!�2� �!�!�0��-0�./�
@�7����/��-�.�����*�� ������������������������*�������������������Q������P���
"� �������� ��� �-�.� ��� ������ �� -��� ��� ��� ��� �� �.�� ������� ��∈� Q� ��� �� P��)�
��*��������������� �.-�.-
��������.-V5 �
�������
� ∆−∆+=
→∆����-����������������.�
�
"������������*�� ������=-�.��)������$��������*�� ��������������������������
������������ ���������#�������*�� ����-�.�������������������
A��� '���������������������=-�.����
��������
�������=��� V�� ���
�� ���8�-�.����
�
� -����������������"#��
���32�8!�!�2� �./�
�-�.�/�6���-6���������.� ���=-�.�/�5�
�-�.�/�6��� ��=-�.�/�6�
�-�.�/�6� -�.� ��=-�.�/�6� =-�.�
�-�.�/� α� � ��=-�.�/�α� ���−α� �
�-�.�/�P -�.Qα� �-�.�/�α� =-�.P -�.Qα−1�
�-�.�/� -�.�±��-�.� ��B-�.�/� C-�.�±��C-�.�
�-�.�/� -�.���-�.� ��B-�.�/� C-�.��-�.�A� -�.��C-�.�
�-�.�/�.-
.-
��
� � ��B-�.�/�
[ ] !�.-.-.�-V��.-.�-V
��
� ����� −�
��/��- .���� �/��-�.��
�������+�*�� ������������=�/�
��
���/�
��
��
�
��� �/�
��
�
�
��� �
�
� -�������
� B5
��2� �!�8!�-0�.A�8�2�3����<�2���8
��79�: ��89�:D�;�9�:
-����.=�/������ -��� .=�/� =����
-����.=�/������� -��� .=�/��� =����
-�?��.=�/�( ) �� !! ��
���
��
� = -�?� .=�/�
!��
V�
-���?��.=�/��!��
���� -���?� .=�/�
!��
V���
-�������.=�/��!�
�
�−� -������ .=�/��
!�
V
−
-�������.=�/����!�
�
�− -������ .=�/����
!�
V
−
-����?��.=�/��!�
�
�+ -����?� .=�/��
!�
V
+
-������?��.=�/����!�
�
�+ -������?� .=�/����
!�
V
+
��2� �!�8!�-0�.A�8�>7�������=�=�3�2����
M��9�:NO M�9�:NOD�;�9�:D�;�9�:
-����.=�/��������� -�� �.=�/� =�� �����
-����.=�/���� -�� �.=�/� =���
� - ���.=�/���� ����� =�A��=� ������
-��?����.=�/� ����?�
�
�� �
� -��?��� .=�/� ����?�
V
�
�
-����.=�/� ��
�� -���� .=�/� �
V
� B�
8�*��� ���+�*�� �����*����������
F���*�� ����-�.��� ������������&����������������/��5�������=-�5.���������)�
*�����������)���� �.-�.-
�����5
5
5 ��
����
�� −−
→���������)�*�������
�
U������
@������*�� �����/��-�.�)���*����������������������/��5������������)�����&����
�����������
@������*�� �������)�����&����������������/��5����������������������������
��������*�������
�
����&�������������������)���������������)��������*�� ���)�����&����
������������/��5������������� ���������(����������*������������������
���������
�
&* E�� ���������&����������������������*�����������
� � � � � � � �
"�*�� ����-�.�����)���*����������
������/����������/�������������)�
����&����������������
�
�
�
+* E�� �������&�������������*����������
"�*�� ����-�.�/�|���|�)�����&���������������/�5��������)���*����������
������������
�����
� B!
�
��3��)�*3�|���|���
�.-�.-
��������.-V5 �
�������
� ∆−∆+=
→∆�
∆��G�5� �����
��������5���5�
������55
=∆∆
=∆
−∆+++ →∆→∆ �
�
�
�
��
�
∆��K�5� ������
��������5���5�
������55
=∆∆
=∆
−∆+−− →∆→∆ �
�
�
�
��
�
����������������������������∆������?���-�.����������������������/�5���
[���&������ ��������*������������������?��������?�*�������������
�����������/�5��
��2� �!�8!��2!��807�2��2�
"� �������� ��� � �̀ ������ �� =-�.�� ����� �� ����� ��� ���� ��� ������#���� �� ��
��������������������������?�*�������*�� �����?��������-�.��"������������! �̀
������ �� ==-�.�� ������ �� ������������ ��� ������#���� �� �� �����������������
���������?�*�������*�� ��������������� �̀��������=-�.��"����?�����������
�����������������������
�
a�
b� ���-�.�)�����&�����
������������-�.�����55 →→
=��
� �
�� � /�|�5�|�/�5�/��-5.��
� B%
A��� '����
� �̀������ ��=-�.�/���
�� ���� ���=�/���
������ ��/��-�.�
! �̀������ ��==-�.��/�-���=-�.�.=��/�!.-!
��.-
��
���
��
���
��
� =��
���
� � ����������==/�-�=.=�
% �̀������ ��===-�.�/�-���==-�.�.=�/�%.-%
��!.-!
��
���
��
���
��
� =��
�
�
��
�
���������===�/�-�==.=�
;�
��)������������-�.-�.�/�-���-���.-�.�.=�/����
����
���
����
��
� .-��
�.-� =��
�
�
��
�
�
−
−�
�
���������
��
�
�0�.A�8��7=1����8�80�8!�2� �!�8
F��� *�� ��� ��������� *������ /� �-�.�)����� � � !������������ +���)������
�����������������������������
E�� ��� ������� ������������ ���� ����� ���������� ��������������
���?���������� � '����������������
���������
�
_����� *�� ��� ����&����� ������ �� ���������� *���������� ��� *�� ���
����&������2��������������������������������������������������������
�������������
��������?������������
��� 8������� ����� �� ������ ��� ���� ��� ��� ��� ��� �� ���
������������������*�� ��������c�
!��� ,�������������� ���������������� �������
�����
���������
� BB
72�>���./�=����2!�0��-0�./�
@�7������*�� ����-�.���*���������������/��5���
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�������
�� ∆∆=
∆−∆+=
→∆→∆��������
.-�.-��������.-V
5
55
55 �
� .-�.-�� 55 ������ −∆+=∆ ������� ������*�� �����������������
� � � � � � �����5������5�A�∆��
\������∆��)��*��������������������������)���∆��d�5��������
� � � .-V��� 5���
� ≈∆∆
��⇔��� ���� ∆≈∆ �.-V���� 5 � �
� � � � � �����⇔��� �������� ∆≈−∆+ �.-V���.-�.- 555 �
E� ��������/��5�A�∆�������
� � ������ ( ) .-����.-V����.- 555 �������� +≈ �
�
����� � � ( ) .-����.-V���� 555 ������� += � � �� ���� ��� ��� ����� ���?����� �����
?�*��������-�.����������������������/��5�������������)������������ ���
���������*�� �����$����������/��5�������7�������������������$�����
�����-�5���5.���?�*�������*�� ���)���������������������&�����
� B4
��-���./�B!�-�2�����=!�0��-0�./�
@�7�� �� /� �-�.� ���� *�� �����*���������� ��� ��/� �5���� ��*�������� ��� �� ���������
�� /� �5� ���� ��� ��)����� ��� �������� ��������������∆��� )� ��� ∆.-V� 5 � � ��
���������������������7��������/� ��� ∆.-V� 5 ��
����*��������������������������������)�����/�∆������������������������
������������������������������
� � � � � ����/� ���� .-V� 5 �
�@����� ���� ∆≈∆ �.-V���� 5 �/� ���� �.-V� 5 ��������&�������
� � � � � ��� ����≈∆ �
����7�������*����������������������������������������������������������
*�� �����∆����
8����������������/� ���� .-V� 5 �⇔�� ���.-V� 5��
���� = �
����272���./�3���<�2���!�!�-�2�����=
�
�
�
�
�
�
�
\��������5�→��5�A�∆��#���5�→��5�A�∆��������_5-�5���5.�→�_�-�5�A�∆����5�A ∆�.�
@�������?�α�/� �2_
2U
5�����?�α = �.-V� 5�� ����_2�/�∆�������������2U�/�������
� BI
6������������*��������⇔�6������������������
� ���������
�
��-�2������8!��2!��807�2��2
��/��-�.�
� �̀������ ���/���C-�.���
! �̀������ �+��/��-��.�/�P��=-�.��Q=���/���==-�.���
;�
��)������������-�.��/��P�-�%&.�Q�/�P��-�%&.-�.��Q=���/���-�.-�.������
� ���������
�
��32�!���0�PQB�� ���������!���!���2����.A�8
@�7�������*�� ����-�.����-�.���*��������������������-�.�/��-�.�/�5�������
�=-�.�≠�5���������
� � � �.-V
.-V����������
.-
.-�����
��
��
��
��
���� →→= �
� � :��������� �����������5
5�
�����?��)��������������������������
� ��� ∞±=∞±=→→
��.-����������������.-����� ��������
��-���������� �����������∞∞�.�
� ���� ������ ∞±→� �
� �����C-�.������C-�.������*�������������C-�.�/��C-�.�/�5������==-�.�≠�5����
� � � ���������� �.-VV
.-VV����������
.-V
.-V�����
��
��
��
��
���� →→= �
���������
� BH
@��� ∞±==→→
��.-��������������5��.-����� ��������
�
� �������� [ ] ∞×−→
��5����������� ����������������-�.-�.������ ����
�
6�������������������������� ��>�
E� �������� [ ]5
5����������� ������������������
.-
����.-���
�������.-.�-����� −=→→
��
������
�����
��������������� [ ]∞∞−=
→→����������� ������������������
.-
����.-���
�������.-.�-�����
��
������
�����
��������������������������������?�����6���(T��
���������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� BM
&���+��������������'��������+,��
�
'��2���
@�7������*�� ����-�.���*�����������������������Q����P���
@�����=-�.�G�5�����Q����P���������-�.�)������������Q����P��
@�����=-�.�K�5�����Q����P���������-�.�)��������������Q����P��
�
��
��-���./�B�4>�����1����=���=�
�-�.���������������������������/��5�������-�5�A�∆�.�K��-�5.���-∆��G�5�����∆��K�5�.�
����-�5.�)������������������
�
�-�.���������&�����������������/��5�������-�5�A�∆�.�G��-�5.���-∆��G�5�����∆��<�5�.��
����-�5.�)�����&������������
���&�����������������������*�� �������(��������������������
� � !���
�
�
�
�
�
�
�
��V-�.�G�5���V-�.�K�5�
�
�-��.�/����)�������������������-�!.�/��!�)�����&�����������
� BL
��-���./�B7����8�21����8!�0��-0�./�
@�������������������������������������������������������������������
�����������
�
'��2���
@������ *�� �����*�������������/� �-�.�� ���������������������&����������������
��/��5��������������������������������������������)����=-�5.�/�5��
��
9� �$�����&�������������������)���������������)���������������������
*�� ��������������������������������������������������������� ���������
*�� ������(���������������������
���������
�.�
�
�
�
�
�
�
�
�
+*���
��3��)�*3�|���|���
a�
b�����C-�.����������������/�5���
��*�� ��������&�����&�����
�������
��
��=-�.���������������/�5�
����-�.����������������
�����&����������/�5��
� 45
'��2���B��8��!��E!�2� �!�
@�7���-�.�����*�� �������&�����������������������������������&������5���
��*�������������������������������������������
�. @������=-�.�G�5���������K��5���������=-�.�K�5�����������G��5����������
� ���*�� �����������������������������/��5�c���-�5.�)������������������-�.��
�
!. @������=-�.�K�5���������K��5���������=-�.�G�5�����������G��5����������
� ���*�� �����������&�����������������/��5�c���-�5.�)��&���������������-�.��
�
�
�
�
�
�
�
�
_)����������������������������������*�� ���-�����������������������
�������������.���������R���������������-����������&����������.��� ��������
��� 8������������=-�.c�
!�� 8��������������������&�����
� � ��������������������������=-�.�/�5�
� � ��������������������������=-�.�����������c�
%�� ��������������������������D����������D������������������&�������
��������
�� �%!%
.- !%
++−= ���
�� �
� 4�
'��2���B��8��!�"E!�2� �!�
@�7����/��-�.�����*�� �����7�����������������������/��5�����=-�5.�/�5��
@����(����������==-�.���������)�����&���������/��5��
�������
� ��@�����==-�5.�K�5�����-�.��������������������������/��5c�
� ��@�����==-�5.�G�5�����-�.���������&����������������/��5c�
� ��@�����==-�5.�/�5�����������������������
�
���������
�
��-���./�B�02 ��R��� ���02 ���� �>�
8� ������� ���� ���;�����������������������������������������
������������?�������������������������
8� ������� ���� ���;��D��������������������������������������
�����������?�������������������������
�
�
�
�
�
'��2���
@����==-�.�K�5��������������������∈�P����Q�����������/��-�.�)�������������
����������
@����==-�.�G�5��������������������∈�P����Q�����������/��-�.�)��e����������
����������
6����������������==-�.�K�5�6�����e����������==-�.�G�5�
� 4!
��-���./�
6(�����������������*����������������������������������������������
�����������������e��������
��������
'��2���
@�7�����/��-�.������� ����������������@�����==-�.�/�5�������==-�.���������������
�����������! �̀�������==-�.����������������������������������/����������
�������������������/���)���������������*��������
���������
&*� � �%!%
.- !%
++−= ���
�� �
!.� %.- ��� = �
�
�
��-���./�B�881�7�����S=1C0�
�
�
�
�
���P����Q�+����������������� � ���==-�.�K�5��
���P����Q�+�������e��������� � ���==-�.�G�5��
� E�+������������*�������
��/��-�.�
��/�����A���
� 4%
F��������������� �����/�����A���)������&����������?�*�����������
*�� ���������$����
� � ( )[ ] 5��.-��� =+−+∞→
������
��
� � � � ������� �.-
�������
���
� +∞→= ������� [ ]�.-��� �����
�−=
+∞→�
��
�������� ( )[ ] 5��.-��� =+−−∞→
������
�
� � � � ������� �.-
�������
���
� −∞→= ������� [ ]�.-��� �����
�−=
−∞→�
�
���������
�J'�������&����'������&�����'+��
��)��������+,���
C�����*� ��������������������������*�� ����������������� ���?�*�����
�����������������
� �������&�������*�� ������������������������������c�
� ������������������� �������������c�
� ��������������*�� ��c�
W����-�.�/���-��.������+��� � !������?�*������)��������������������������������
W����-�.�/�����-��.����+��� � !��������?�*������)�������������������D���?����������������
�
�������������������������������������������*�� ���-���������.�
��������������&����c�
�������&������������������������������������?�*�����������������
��*�����c�
�����&����������*�� �����
���������
Top Related