IST, Cálculo Diferencial e Integral I

Leic - 2017/2018Ficha 10

(1) Usando o método da primitivação por partes determine uma primitiva de cada uma das seguintesfunções:

(a) ln(2x) (b)x2ch(x) (c) arctanx (d) cos(ln(x)) (e) 2x sin(1

x

)− cos

(1

x

)

(2) Determine uma primitiva de sin(sin2 x) sin(2x) , 0 < x <π

2. Pode ser útil usar a substituição

u(t) = arcsin(t).

(3) Verifique o resultado dos seguintes integrais:

(a)ˆ π2

16

π2

36

cos(√x)√

xdx =

√2− 1 (b)

ˆ ee

e1

ln(lnx)

x lnxdx =

1

2(c)ˆ √π

4

√π6

x

tan(x2)dx = ln(

4√2)

(d)ˆ e

1

ln2(x)dx = e− 2 (e)ˆ 1

0

arctan(x)dx =π

4− ln(

√2)

(f)ˆ 1

0

x3ex2

dx =1

2(g)ˆ 3

2

0

1√9− x2

dx =π

6

(4) Justifique a diferenciabilidade de cada uma das seguintes funções e calcule as respectivas derivadas.

(a)ˆ x

1

e4t2

dt (b)ˆ x2

x

1

ln(2 + t2)dt (c)

ˆ cosx

0

et2+2xdt