GRADO DE ESTADISTICA Y EMPRESA

Asignatura: Tecnicas de Inferencia Estadıstica I (Curso 2009/2010)

Hoja de Problemas 1: Conceptos basicos de Inferencia

1. Sea X la variable aleatoria que describe el numero de dıas que un paciente permanece enla unidad de cuidados intensivos de un hospital despues de una operacion. Se sabe que ladistribucion de X es:

r 1 2 3P (X = r) 0,3 0,4 0,3

Hallar:

(a) La media de la poblacion.

(b) La desviacion tıpica de la poblacion.

(c) Sea X1,X2 una muestra aleatoria de dos pacientes independientes. A partir de ladistribucion conjunta de X1 y X2, calcular la distribucion de la media muestral.

(d) La media y la desviacion tıpica de la distribucion de la media muestral.

2. Sea (x1, . . . , xn) una m.a.s. de una poblacion cuya distribucion tiene media µ y varianzaσ2. De las siguientes expresiones, ¿cuales son estadısticos?.

∑ni=1 xi − µ σx1 + σx2 max{x1, . . . , xn}

x21 + x2

2 − exp(x3) xiσ , i = 1, . . . , n

∑ni=1(xi − x)2

3. Hallar la probabilidad de que en los 200 proximos nacimientos,

(a) menos del 40 % sean ninos.

(b) entre el 43 % y el 57 % sean ninas.

(c) mas del 54 % sean ninos.

Suponemos que las probabilidades de nacimiento de nino y nina son iguales.

4. Se sabe que los tiempos de duracion de cierto tipo de componentes electronicos siguen unadistribucion normal con una media de 1600 horas y una desviacion tıpica de 400 horas.

(a) Para una m.a.s. de 16 componentes, hallar la probabilidad de que la media muestralsea mayor que 1500 horas.

(b) Para una m.a.s. de 16 componentes, 0.15 es la probabilidad de que la media muestraldel tiempo de duracion sea mayor que ¿cuantas horas?

(c) Para una m.a.s. de 16 componentes, 0.10 es la probabilidad de que la desviaciontıpica muestral del tiempo de duracion sea mayor que ¿cuantas horas?

(d) Para una m.a.s. de 121 componentes, hallar la probabilidad de que al menos la mitadde los componentes muestrales tengan un tiempo de duracion mayor que 1500 horas.

(e) Hallar el numero de componentes necesarios para la probabilidad de que el tiempomedio de duracion en la muestra sea mayor que 1500 horas sea 0.92.

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5. La efectividad en dıas de un determinado medicamento se distribuye normal con media14 dıas. Se administra a 16 pacientes y la cuasidesviacion tıpica muestral observada es1’4 dıas. La efectividad media mınima requerida para su comercializacion es de 13 dıas.Determinar:

(a) La probabilidad de que la efectividad media no alcance lo exigido.

(b) La probabilidad de que la varianza se subestime en mas de un 20 %.

(c) Si aumenta o disminuye esta probabilidad con el tamano muestral.

(d) El tamano muestral para que esta probabilidad sea 0’05.

(e) Una razon para que la estimacion de la varianza preocupe tanto.

6. Como en las practicas de ordenador se ha dibujado una muestra de tamano 100 de mediasmuestrales y cuasi-varianzas muestrales a partir de muestras de tamano n obteniendoselos siguientes graficos

Figura 1: Histograma de las medias muestrales

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

N(4.9967,3.9501)

5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

χ216.4348

Figura 2: Histograma de las cuasi-varianzas muestrales

7. A partir de estos datos (ver figuras en la siguiente pagina) obtener un estimador de lamedia poblacional, µ; el tamano, n; y la varianza poblacional, σ2.

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8. Cincuenta personas han simulado muestras de tamano tres de una variable N(µ, σ2) ycada una de ellas ha dado el valor resultante del estadıstico

µ =X1 + 3X2 − X3

5,

que se va a utilizar como estimador de µ. Los cincuenta valores de µ se representan en unhistograma y resulta que la distribucion normal que mejor se ajusta tiene media −1, 68 ydesviacion tıpica 1, 59. Con esta informacion, ¿podrıas decir de cual distribucion N(µ, σ2)provienen los datos?.

9. Un proceso de produccion fabrica lotes de cierto producto quımico. Se seleccionan muestrasde 20 lotes para realizar un examen. Si la desviacion tıpica del porcentaje de concentracionde impurezas contenido en los lotes muestreados supera el 2.5 %, el proceso de producciontendra que ser cuidadosamente revisado. Asumamos que la distribucion poblacional delporcentaje de concentracion de impurezas es normal. ¿Cual es la probabilidad de queel proceso de produccion tenga que ser revisado si la desviacion tıpica poblacional delporcentaje de concentracion de impureza es del 2%?. ¿Cual es la probabilidad de que elporcentaje de concentracion medio en la muestra sea superior al 5 %, si el valor medio dela concentracion es del 1%?.

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