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UNIUNISemestralSemestral2 0 1 5
Aptitud Acadmica
Matemtica Ciencias Naturales
Cultura General
1Preguntas propuestas
GEOMETRAvisita: mathwallace.blogspot.com
234
Geometra
2
Tringulo
NIVEL BSICO
1. Del grfico, calcule x.
100
x
x
A) 150 B) 140 C) 130D) 120 E) 110
2. Del grfico, calcule x.
2x
3x
x
A) 36 B) 40 C) 45D) 54 E) 50
3. Del grfico, calcule x+y+z.
x
y
z
A) 90 B) 180
C) 270D) 360 E) 240
4. Dado el grfico, calcule a si m+n=210.
A
B
3
C
m n
A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30
5. Segn el grfico, calcule el valor de x.
70
x+x
A) 20B) 15C) 35D) 17,5E) 18
6. En un tringulo issceles ABC de base AB, se traza la bisectriz exterior BD, tal que AB=BD. Calcule m BAC.
A) 18 B) 20 C) 24D) 30 E) 36
Geometra
3
NIVEL INTERMEDIO
7. Halle a+b+q+f++w.
20
A) 80 B) 100 C) 160D) 180 E) 200
8. Dado el grfico, calcule x.
100
2
x
A
C
B
A) 50 B) 55 C) 60D) 65 E) 70
9. En un tringulo ABC se traza la ceviana interior BD, tal que BC=DC y m ABC m BAC=72. Calcule la m ABD.
A) 18 B) 24 C) 36D) 45 E) 72
10. En un tringulo ABC, la m ABC=100, en AC se ubica el punto P y en PC el punto Q, tal que AP=PB y BQ=QC. Calcule la m PBQ.
A) 10B) 20
C) 30D) 40E) 50
11. En el grfico mostrado, los tringulos ABC y BCD son issceles de bases AB y BC, respecti-vamente. Halle x.
B
A
D
Cx3x
70
A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30
12. En los lados AC y BC de un tringulo ABC se ubican los puntos M y N, tal que NC=AM=AB. Calcule la m NMC, si m ABC=80 y m BCA=40.
A) 90 B) 100 C) 110D) 120 E) 130
13. En la regin interior de un tringulo ABC se ubica el punto P, de modo que m ABP=63, m BAP=18 y m APC=120. Si AB=PC, calcule m PCB.
A) 9 B) 18 C) 30D) 36 E) 40
14. En un tringulo sus lados miden 24, a+5 y a+13. Calcule el mnimo valor par de a.
A) 1 B) 2 C) 3D) 3 E) 4
Geometra
4
15. En un tringulo ABC, en su interior se ubica el punto P, tal que AB=AP=PC. Si
m ABC=3m PCB+2m PAC, calcule la
m ACB.
A) 30 B) 45 C) 60
D) 75 E) 15
16. En un tringulo ABC, m BAC > m ACB, AB=5. Calcula la suma del mximo y mnimo
valor entero de AC si BC toma su mnimo valor
entero.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
NIVEL AVANZADO
17. En un tringulo ABC se traza la ceviana interior BD, tal que AC=2BD.m m
m
BAD BCAABD
3 2= =
Calcule la m ABD.
A) 15 B) 18 C) 20
D) 24 E) 30
18. En la regin interior de un tringulo ABC se ubica el punto P, tal que
mm
m
APCPAC
APB= + =902
120 , y
PB=AC. Calcule la m PCB.
A) 15 B) 30 C) 45
D) 20 E) 60
19. En un tringulo ABC, m ABC=98, exterior-mente y relativo al lado AC se ubica el punto D,
tal que AB=AD, m BAC=60 a, m CAD=a.
Calcule el valor de a si m ADC=164.
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
20. Dado un tringulo ABC en el cual AB=3, AC=7 y la suma de las medidas de los ngulo BAC
y ACB es menor de 90. Calcule los posibles
valores enteros que puede tomar BC.
A) 2 o 3 B) 3 o 4 C) 5
D) 6 o 7 E) 5 o 6
Geometra
5
Congruencia de tringulos
NIVEL BSICO
1. En el grfico mostrado, AB=CD y AD=AC+BC. Calcule x.
A
xD
C
B
A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60
2. Se tiene un tringulo issceles ABC de base AC, y en la regin exterior relativa a esta base se ubica D, tal que BD y AC se intersecan en E, adems, AE=BD=AB y CD=BE. Halle m BAC.
A) 18 B) 20 C) 24D) 30 E) 36
3. En el grfico, ABD es un tringulo issceles de base AD. Si AD=DC, calcule q.
2
A CD
B
A) 30 B) 60 C) 532
D) 372 E) 45
4. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz interior AD que se intersecan en E, tal que BE=5 y DE=6. Halle m ACB.
A) 7 B) 8 C) 14D) 15 E) 16
5. En el grfico, BC=2(AD) y BM=MC. Calcule x.
B
M
CD
Ax
A) 53 B) 37 C) 45
D) 532 E) 37
2
6. En el grfico, BC=CD=2 y AD = 2 3 . Calcule x.
B
C
D
A
120
50
x
A) 90 B) 100 C) 110D) 120 E) 130
NIVEL INTERMEDIO
7. En un tringulo ABC se trazan las cevianas interiores AD y CE, E est en AD, de modo que AB=EC, CD=AE y m BAD=m ECD. Calcule m BDE.
A) 30 B) 40 C) 50D) 80 E) 60
Geometra
6
8. En el grfico mostrado, AC=AD. Halle BCCD
.
B
D
C
2x
2x
A
A) 1 B) 12
C) 22
D) 23
E) 32
9. Del grfico, calcule x.
b
x
a
A) a+b B) a+2b C) 2a+bD) 2(a+b) E) b+3a
10. En un tringulo ABC se traza la mediatriz de BC, la cual interseca el lado AC en D, y la mediatriz de AD contiene al vrtice B. Si m ACB=20, halle mABC.
A) 90 B) 120 C) 120D) 140 E) 150
11. En un tringulo ABC obtuso en B, la mediatriz de BC interseca a AC en M, tal que AM=2(MN), N es punto medio de BC y m ABC=2(m ACB). Calcule m ACB.
A) 30 B) 40 C) 45D) 50 E) 36
12. En el grfico mostrado, AD=4(AB) y AD > CD.Halle x.
x
B C
DA
A) 41 B) 45 C) 51D) 53 E) 61
13. Se tiene un tringulo rectngulo ABC, recto en B, donde se traza la ceviana interior AD, tal que CD=2(AB) y la m BAD=m DCA. Halle mDAC.
A) 15 B) 30 C) 37D) 45 E) 60
14. En el grfico mostrado, N es punto medio de AC y CM=2(BM). Calcule x en funcin de a.
B
N C
M
x
A
A) a B) 23a
C) 32a
D) 2a E) 3a
15. En un tringulo ABC, recto en B, se trazan las cevianas interiores AM y AN (N est en MC), tal que trisecan al ngulo del vrtice A; adems, MN=3 y NC=5. Halle m BAM.
A) 15 B) 30 C) 37
D) 372 E)
532
Geometra
7
16. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.I. Si dos tringulos rectngulos issceles pre-
sentan un lado de comn, entonces dichos tringulos son congruentes.
II. Si dos tringulos rectngulos presentan hipotenusas congruentes y sus alturas re-lativas tambin son congruentes, entonces dichos tringulos son congruentes.
III. Dos tringulos rectngulos isoperimtricos siempre son congruentes.
A) VVV B) FFF C) FVVD) FVF E) VFF
NIVEL AVANZADO
17. En el tringulo ABC se traza la ceviana in-terior BM, de modo que AM=BM+BC. Si la m ACB=2(m BAC)=40, calcule la m MBA.
A) 15 B) 30 C) 37D) 45 E) 60
18. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se traza una ceviana interior AD, tal que CD es cuatro veces la distancia de B hacia AD, y la mDAC=2(mBAD). Calcule m DAB.
A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 18
19. En un tringulo ABC, AB=BC. Se traza la ceviana interior CE, tal que m ABC=40 y
m BCE=20. Calcule ACBE
.
A) 1 B) 2 C) 2
D) 3 E) 33
20. Segn el grfico, BP=b, donde b es un nmero par, adems, a < 30. Calcule el mximo va-lor entero par de QH.
H
P B
A
Q
A) b B) b 1 C) b 2
D) b+1 E) b2
1
Geometra
8
Cuadrilteros
NIVEL BSICO
1. Sea ABCD un trapezoide, tal que m ADC=45, m BCD=98, AB=BC=5 y AD AB. Calcule AD.
A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 15
2. En un trapezoide simtrico ABCD, m BCD=37 y m BAD=53. Halle
ACBD
.
A) 2 B) 3 C) 34
D) 52
E) 45
3. En un tringulo ABC, m ABC=120, BC=2(AB)=4. Halle la distancia del punto medio de AC hacia la bisectriz del ABC.
A) 3 B) 2 3 C) 2 33
D) 3 32
E) 32
4. Si ABCD es un rectngulo de centro O, ade-ms, el permetro de la regin rombal som-breada es 20 y MO=3, halle q.
B M C
O
DA
A) 7 B) 8 C) 14D) 15 E) 16
5. Si ABCD es un paralelogramo, AP=2 y PC=6, calcule QD.
B C
P
Q
DA
A) 5 B) 6 C) 4D) 3 E) 2
6. En un paralelogramo ABCD, se traza la bisectriz del BAD que interseca a BC en E. Si CD=K, calcule la distancia entre los puntos medios de AC y DE.
A) 2K B) K C) K2
D) K4
E) 32K
NIVEL INTERMEDIO
7. En un trapezoide ABCD (AB=BC=CD), m BAC=20 y m ACD=80. Calcule la m CAD.
A) 25 B) 20 C) 30D) 35 E) 40
Geometra
9
8. Se muestra un trapecio issceles ABCD de bases AD y BC, tal que AF=2. Halle BD.
B C
DFA
30
A) 3 B) 3 2 C) 2 3D) 6 E) 3 3
9. Se tiene un trapecio issceles ABCD (AD // BC), m BAD=45, en AD se ubican M y N, tal que BCNM es un cuadrado. Calcule la medida del menor ngulo determinado por las diagonales de dicho trapecio.
A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60
10. Se tiene un trapecio ABCD (BC // AD) cuya base media es MN. Calcule el ngulo formado
por las diagonales, si BD AC MN8 6 5
= = .
A) 90 B) 45 C) 60D) 37 E) 143
11. Si ABCD es un cuadrado, adems, AM=NL, calcule a.
B C
DL
NN
75
MA
A) 30 B) 37 C) 53D) 60 E) 75
12. En un romboide ABCD, BD=2(AB) y AC BD= ( )3 . Calcule m ACD.
A) 120 B) 135 C) 150D) 30 E) 15
13. En un rombo ABCD, se ubica N en CD, tal que BN y AC se intersecan en M, adems, MN=ND. Si m BAC=15, calcule m BNC.
A) 30 B) 45 C) 60D) 90 E) 100
14. En un cuadrado ABCD en la prolongacin de AC se ubica E, tal que AC=6 u y BE=5 u. Cunto dista A de BE?
A) 4 u B) 4,2 u C) 4,5 uD) 4,8 u E) 5 u
15. En un cuadrado ABCD, de centro O, la media-triz de OC lo interseca en M e interseca a la prolongacin de AD en L. Si N es punto medio de AD, halle m NML.
A) 37 B) 45 C) 53
D) 1272 E)
1432
16. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. Si un cuadriltero convexo presenta sus dia-gonales congruentes y perpendiculares, en-tonces dicho cuadriltero es un cuadrado.
II. El cuadrado presenta 8 ejes de simetra axial. III. Solo existen dos paralelogramos de diago-
nales congruentes.
A) VVV B) FVV C) VFVD) FFF E) FFV
Geometra
10
NIVEL AVANZADO
17. En un cuadriltero ABCD, la m BAD=45 y m ABC=m ADC=90. Si la diferencia de distancias de A y C a BD es 4, calcule BD.
A) 4 B) 2 C) 1D) 2 E) 2 2
18. En un romboide ABCD, se traza la altura BH, que intersecta a AC en N, tal que CN=2(CD). Si m NAH=q, halle m ABH.
A) q B) 2q C) 3qD) 90 2q E) 90 3q
19. Desde un punto P, exterior a un cuadrado ABCD y relativo a CD, se traza PH AB (H en AB), PH CD={L}, CPQL: paralelogramo, sien-do Q un punto en la prolongacin de AD. Si m CHQ=m DBC, calcule m LQH.
A) 372 B) 53
2 C) 30
D) 37 E) 45
20. Se tiene el cuadrado ABCD de centro O, en la prolongacin de DA se ubica el punto P, donde m PBA=m OPD=x. Calcule el valor de x.
A) 15 B) 37 C) 2230
D) 532 E) 30
Geometra
11
Circunferencia
NIVEL BSICO
1. En el grfico mostrado, A, D y N son puntos de tangencia. Halle x.
D
x N
A
A) 90 B) 87 C) 82D) 76 E) 74
2. En el grfico mostrado, A, B, C y D son puntos de tangencia, AP=24 y PD=3. Halle P.
A
B
L
CD
P
37
A) 21 B) 24 C) 25D) 30 E) 35
3. En el grfico, ABRE es un cuadrado, H y T son puntos de tangencia. Calcule x.
A) 18 B R
A E
H
T
xB) 20 C) 23D) 25 E) 27
4. En el grfico, M y T son puntos de tangencia, m mAM AT = ( )2 . Calcule x.
T
A
M
x
A) 30 B) 37 C) 1272
D) 1432 E) 45
5. Segn el grfico, B, P y T son puntos de
tangencia. Calcule mm
ASPPLT
.
A) 12
B
AP
T
L
S
B) 14
C) 1
D) 13
E) 2
Geometra
12
6. En el grfico mostrado, A, B, C, D y T son
puntos de tangencia. Halle rR
.
A
B
C
120
T
R
r
D
A) 12
B) 32
C) 33
D) 13
E) 23
NIVEL INTERMEDIO
7. En el grfico mostrado L
es mediatriz de AB. Calcule mAT. Considere que T es punto de tangencia.
L
A
T
B
A) 106 B) 120 C) 127D) 135 E) 143
8. En el grfico, el tringulo ABC es equiltero.
Calcule AHBE
.
B
HE
CA
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 32
9. En el grfico, ABCD es un cuadrado, adems, T es punto de tangencia. Calcule x.
B C
A
T
D
x
A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60
10. A partir del grfico mostrado, calcule mBD si C y E son puntos de tangencia.
D
C
EB A
A) 100 B) 60 C) 90D) 85 E) 70
Geometra
13
11. Segn el grfico, las circunferencias son con-gruentes. Si P y Q son puntos de tangencia y AB=PQ, calcule x.
A
BQ
Pxx
A) 1430 B) 1830 C) 2630D) 2230 E) 30
12. En el grfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si P y Q son puntos de tangen-cia, calcule x.
P
Q42
x
A) 90 B) 92 C) 96D) 94 E) 100
13. Del siguiente grfico, A, B, C, D y T son pun-tos de tangencia, adems, las circunferencias mostradas son congruentes. Calcule q.
B C
T
A D
A) 60 B) 82 C) 76D) 75 E) 74
14. Si M y N son puntos medios de los arcos DT y CT, halle x. Considere que A, B, C, D y T son puntos de tangencia.
AB
CD
M
T
N
xx
A) 30 B) 36 C) 45D) 60 E) 90
15. En la prolongacin del dimetro AB de una semicircunferencia se ubica el punto P desde el cual se traza la tangente PT a la semicir-cunferencia (T punto de tangencia). Desde T se traza TH perpendicular a AB (H en AB). Si PB=2BH, calcule la m APT.
A) 16 B) 45 C) 30D) 37 E) 53
16. Segn el grfico, M, N y Q son puntos de tan-gencia. Calcule mBG.
A
62NM
B
Q
G C
A) 37 B) 60 C) 74D) 53 E) 75
Geometra
14
NIVEL AVANZADO
17. En el grfico, M, N y P son puntos de tangencia. Calcule mADB.
P
C
M
A
N
D
B
A) 135 B) 153 C) 167D) 180 E) 215
18. En el grfico, A, B, C, D y E son puntos de tan-gencia. Calcule x.
A
B
C
E
D
x
x
A) 30 B) 36 C) 54D) 45 E) 60
19. En el grfico, P y T son puntos de tangencia. Sim mTM MN = , mTL=80, calcule la medida del ngulo entre PT ML
y .
P
M
T
LN
A) 10B) 15C) 20D) 25E) 30
20. Se muestra un cuadrado ABCD, cuyo centro pertenece al cuadrante mostrado. Si AN=DM, halle mLN.
B C
A
L
M D
N
A) 45 B) 53 C) 60D) 74 E) 75
Geometra
15
Figuras inscritas y circunscritas
NIVEL BSICO
1. En el grfico, se muestra una circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD. Calcule x.
B C
A D
x
A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60
2. En el grfico mostrado T es punto de tangen-cia. Halle mAB.
70
B
AT
A) 70 B) 80 C) 90D) 100 E) 110
3. En un cuadriltero inscriptible ABCD, si AB=BC=a, CD=b y AD=a+b, calcule la m BCD.
A) 90B) 60C) 135D) 120E) 100
4. En un trapecio issceles circunscriptible ABCD (BC // AD), AB=K. Halle la longitud de su base media.
A) K2
B) K C) 2K
D) 32K E) 4K
5. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, la mediatriz de AC es tangente a la circunferencia inscrita. Calcule m ACB. Considere que BC > AB.
A) 30 B) 37 C) 452
D) 372 E) 53
2
6. En un trapecio rectngulo ABCD, recto en A y B, se inscribe una circunferencia, tal que AB=15 y CD=17. Calcule BC. (BC < AD).
A) 6B) 8C) 10D) 12E) 13
NIVEL INTERMEDIO
7. Indique de forma ordenada el valor de ver-dad (V) o falsedad (F) de las siguientes pro-posiciones.
I. Si dos cuerdas son perpendiculares, enton-ces una de ellas biseca a la otra.
II. Todos los dimetros de una circunferencia son congruentes.
III. Todo trapecio inscrito en una circunferen-cia es rectngulo.
A) VVVB) VFVC) VFFD) FVVE) FVF
Geometra
16
8. En el grfico, BEC es equiltero y ABCD es un cuadrado de centro O, adems, CM=ME. Halle x.
E
M
CB
A D
x
O
A) 45 B) 53 C) 60D) 75 E) 30
9. En el grfico mostrado, T es punto de tangen-cia. Halle AD en funcin de r.
A
D
r
T
A) r B) 2 r C) r 2
D) r 3 E) 23r
10. En un tringulo ABC, la mediatriz de BC inter-seca a la bisectriz del ngulo CAB en T y la m ACB=20. Calcule m ATB.
A) 10 B) 20 C) 40D) 30 E) 15
11. Un trapecio ABCD se inscribe en una circun-ferencia, tal que m mAD BC + = 180. Halle la razn entre las longitudes de la altura y la base media de dicho trapecio.
A) 12
B) 22
C) 1
D) 2 E) 2
12. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, BC AB=K. Halle la distancia del centro de la circunferencia inscrita en el ABC hacia la mediatriz de AC.
A) 4K B) 2K C) K
D) K2
E) K4
13. En un cuadriltero ABCD, mBAD=m BCD=90, adems, m BDC=2(m ADB) y AB+CD=K. Halle AM+MD. Considere que M es el punto de interseccin de AC y BD.
A) K3
B) K2
C) K
D) 2K E) 23K
14. En un cuadriltero bicntrico ABCD, halle la medida del ngulo entre los segmentos que unen los puntos de tangencia de los lados opuestos.
A) 90 B) 60 C) 45D) 75 E) 30
15. Calcule la m ABC si mMN = 40.
B
N
M
C
A
A) 18 B) 20 C) 22D) 14 E) 25
Geometra
17
16. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.I. El nico trapecio inscriptible es el issceles.II. Si un paralelogramo es inscriptible, enton-
ces siempre es un cuadrado.III. Si un paralelogramo es circunscriptible,
entonces siempre es un cuadrado.
A) VVV B) VVF C) VFVD) VFF E) FFF
NIVEL AVANZADO
17. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, m ACB=37, M es punto medio de AC, tal que BM interseca a la circunferencia inscrita en Py Q. Si el radio de dicha circunferencia mide 5, halle PQ.
A) 6 B) 3 2 C) 2 3
D) 4 6 E) 63
18. Si L
es la recta de Simpson con respecto de P en el ABC, adems, MP=3 y NP=5, halle x.
B
N
M
P
x
CA
L
A) 30 B) 372 C) 53
2
D) 37 E) 53
19. Si ABCD es un cuadrado y BM=MC. Calcule x.
B CM x
A D
A) 7 B) 8 C) 14
D) 152 E) 21
2
20. En el grfico mostrado, ABCD es un rectngulo. Calcule x.
B C
Ax
D
A) 90 B) 75 C) 60D) 45 E) 106
Geometra
18
Puntos notables asociados al tringulo
NIVEL BSICO
1. En el grfico, G es el baricentro de la regin RAB, AR=AC=2 y AB = 2 6. Calcule x.
A
R
G
C
x
B
A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60
2. En el grfico mostrado, I es el incentro del ABC. Calcule m BIC.
A
B
I
C
A) 105 B) 120 C) 125D) 115 E) 130
3. En el grfico, H es el ortocentro del T ADL. Halle x.
A
Hx
2
D
L
A) 100 B) 120 C) 127D) 135 E) 143
4. En el grfico, qu punto notable es P del tringulo ABC?
B
P
A C
A) baricentroB) ortocentroC) incentroD) circuncentroE) cevacentro
5. Si O es circuncentro del ABC y AM=OM, cal-cule x.
A M C
O
B
60
xx
A) 30 B) 35 C) 36D) 40 E) 50
6. En un tringulo acutngulo ABC, H es ortocen-tro y O es circuncentro. Si la m AHC=m AOC, calcule la m ABC.
A) 30 B) 45 C) 36D) 72 E) 60
Geometra
19
NIVEL INTERMEDIO
7. En el tringulo rectngulo ABC, recto en B, se traza la semicircunferencia de dimetro BC, que contiene el baricentro de ABC. Calcule AC si el radio de la semicircunferencia es 1 cm.
A) 3 B) 3 2 C) 2 3D) 6 E) 4
8. En un cuadrado ABCD, en la prolongacin de DA se ubica E, tal que EI
interseca a AC
en F
(I es incentro de ABE). Calcule mm
ABECDF
.
A) 1 B) 12
C) 2
D) 13
E) 23
9. En un tringulo ABC, se traza la altura BH, tal que m ACB=q. Halle m MBN si M y N son los incentros de los tringulos ABH y ABC, respectivamente.
A) 4
B) 2
C) 902
D) 452
E) 45
2+
10. En el grfico mostrado, qu punto notable es B del T DAN si ABCM y BNPR son cuadrados?
D
45C
M
A
B
R
P
N
A) circuncentroB) incentroC) ortocentroD) excentroE) baricentro
11. En un tringulo ABC, de ortocentro H, si m ABC=45 y AC=b, calcule la distancia en-tre los puntos medio de AB y HC.
A) b B) b2
C) b 2
D) b4
E) b 2
2
12. En el grfico, H es el ortocentro del tringulo ABC. Calcule x.
SR
H140
A
x
A) 20 B) 40 C) 60D) 80 E) 100
13. En un tringulo acutngulo ABC, O es un circuncentro, tal que la prolongacin de BO interseca a AC en D, adems, BO=AD y OD=CD. Calcule m ABC.
A) 30 B) 36 C) 54D) 60 E) 72
14. En el grfico, E es excentro del T ABC, adems, DE=2(DH). Calcule m ABC.
A C
D
E
H3
B
A) 30 B) 45 C) 53D) 60 E) 37
Geometra
20
15. En el grfico, H es ortocentro del T ABC. Calcule m ABC si BH=AM.
B
CMA
HO
A) 1432 B) 37 C) 127
2
D) 532 E) 60
16. En un tringulo acutngulo ABC, la recta de Euler interseca a los lados BC y AB en los pun-tos M y N, respectivamente. Si BM=BN, calcu-le la m ABC.A) 45 B) 53 C) 60D) 72 E) 75
NIVEL AVANZADO
17. En un cuadriltero ABCD, m ABC=m DAC=90, m ACB = 45
2
y
m ACD = 532. Halle AC
G G1 2.. Considere G1 y G2
son los baricentros de las regiones ABC y ACD, respectivamente.
A) 1 B) 2 C) 3D) 2 2 E) 2 3
18. En un tringulo acutngulo ABC, de circuncen-tro O, con centro en B y radio OB se traza un arco que interseca a AB y BC en M y N respec-tivamente; si m MON=150, calcule m AOC.
A) 100 B) 120 C) 140D) 150 E) 160
19. En el siguiente grfico, H y O son ortocentro y circuncentro del T ABC, adems, BH=ON. Halle x.
B
CN A
H
x O
A) 45 B) 53 C) 60D) 37 E) 30
20. En el grfico mostrado, I es el incentro del ADN. Calcule x.
A
D
I
x
N
A) 30 B) 37 C) 45D) 60 E) 90
Geometra
21
Proporcionalidad de segmentos
NIVEL BSICO
1. En el grfico, A y T son puntos de tangencia.
Calcule ETTM
.
A
E
M
T
A) 1/5 B) 1/4 C) 1/3D) 2/7 E) 1/6
2. En el grfico, AB=5 y BC=20. Calcule BP.
A
B
C
P
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 8
3. En el grfico, BC=a, CD=b y DE=c. Calcule AFFE
.
A
BC
D
EF
A) a bc a
+
B) 2a ba c
+
+ C) 2 a b
c a+( )
D) 2a bc a
+
E) a bc a+
2
4. En un tringulo ABC se traza la bisectriz interior BD y la mediana BM. Si AB=3 y BC=5, calcule
DMAC
.
A) 1/3 B) 1/5 C) 2/7D) 1/8 E) 2/5
5. Si AB=6; BC=7 y AC=8, calcule ADAE
.
A
B
C
D
E
A) 1/2 B) 2/3 C) 2/5D) 3/5 E) 4/7
6. En el grfico, IE BC={G}. Si AB=26; AC=25 y
BC=17, calcule IGGE
.
I
A
B
C
E
G
A) 2/3 B) 1/3 C) 1/2D) 3/4 E) 4/7
Geometra
22
NIVEL INTERMEDIO
7. En un tringulo ABC, la circunferencia inscrita es tangente a BC en M. Luego, se traza MN // AB. Si AB=9; BC=5 y AC=6, halle AN (N AC).
A) 5/2 B) 5/3 C) 10/3D) 25/3 E) 25/6
8. En un tringulo ABC, se traza la mediana BMy las cevianas interiores AD y CE, concurren-tes con dicha mediana, tal que, AE=4; CD=6 y BE=2. Halle BM.
A) 2 B) 2/3 C) 4/3D) 3 E) 4
9. En el grfico, BM=MC=2 y AC=6. Calcule CD.
A
B
C D
M
A) 6 B) 9 C) 12D) 14 E) 16
10. En el grfico, BC=4(AB), calcule ACDE
.
A
B
CD
E
A) 3/4 B) 1 C) 3/2D) 4/3 E) 5/4
11. En un tringulo ABC, cuyo circuncentro es O, su circunradio mide 6. La bisectriz interior BMinterseca a OH en F (BH: altura). Si BH=8 y OF=2, calcule HF.
A) 1/7 B) 2/9 C) 2/5D) 3/5 E) 8/3
12. En el grfico mostrado, A, B y C son puntos de tangencia. Si 2(AE)=5(AD) y BD=14, halle BE.
A
B
CD
E
A) 17 B) 21 C) 24D) 27 E) 35
13. En un tringulo ABC, se ubican los puntos M y N en AB y BC, de modo que MN
interseca a la
prolongacin de AC en Q; adems, AM=3(MB)
y BN=3(NC). Calcule MNNQ
.
A) 2 B) 3/2 C) 3D) 5/2 E) 4
14. En un tringulo ABC, se ubican los puntos My N en AB y BC, respectivamente, tal que MN
interseca a la prolongacin de AC en Q; luego, se traza MR // BC, adems, AR=RQ. Si AM=10; MB=6 y MN=9, calcule NQ.
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 9
15. En un tringulo ABC, se traza la ceviana interior BD tal que AB=8; BC=12; AD=4 y CD=9. En los tringulos ABD y BCD se trazan las bisectrices
interiores AM y CN, halle MNDM
.
A) 1/3 B) 2/3 C) 2/5D) 3/5 E) 2/7
Geometra
23
16. En la prolongacin AD de un rombo ABCD, se ubica E, tal que, BE interseca a CD y AC en M y N, respectivamente; adems, B, N, M y E forman una cuaterna armnica. Si (AC)2+(CE)2=36, halle BC+DE.
A) 18 B) 12 C) 9D) 6 E) 3 3
NIVEL AVANZADO
17. Tiene un tringulo rectngulo, el segmento que une al incentro y al baricentro de dicho tringulo es paralelo a uno de los catetos. Cal-cule una de las medidas angulares interiores.
A) 30 B) 37 C) 45D) 37/2 E) 53/2
18. En un tringulo ABC, sobre AB y BC se ubican D y E, respectivamente tal que, DE
interseca a
AC en F. Si EF=8, CE=5 y (BD)(AF)=(AD)(BE), calcule m ACB.
A) 90 B) 74 C) 76D) 60 E) 53
19. En un tringulo escaleno ABC, se trazan las cevianas concurrentes AD, BE y CF, tal que, m BEF=m BED. Calcule m BEC.
A) 30 B) 45 C) 60D) 75 E) 90
20. En un trapezoide ABCD, se traza una recta que contiene a los puntos medios de las diagonales, que interseca a AB y CD en M y N, respectiva-mente. Si AM=6; BM=8 y DN=12, calcule CN.
A) 4 B) 7 C) 9D) 12 E) 16
Geometra
24
Semejanza de tringulos
NIVEL BSICO
1. En el grfico, A es punto de tangencia. CalculeABBC
A B C
A) 1 B) 22
C) 1/2
D) 2/3 E) 1/3
2. En el grfico, 2(AR)=3(AE). Calcule ASSR
.
A
E
I R
S
A) 2/3 B) 3/4 C) 2/5D) 4/5 E) 4/9
3. Se muestra un cuadrado ABCD, en el que T es
punto de tangencia. Calcule CSST
.
A
B C
D
S
T
A) 4/3 B) 5/4 C) 6/5D) 8/5 E) 5/3
4. Segn el grfico, ABCD y BEFG son paralelo-gramos. Si AB=8 y AD=12, calcule BE EC.
A) 1,2
A
B C
D
E
FGB) 2,1C) 4,2D) 2,4E) 4,8
5. En un tringulo ABC, se traza la ceviana interior BD, al que, m ABD=m ACB, AB=6 y CD=5.
Calcule BCBD
.
A) 2 B) 3/2 C) 4/3D) 6/5 E) 5/3
6. Se tienen 2 circunferencias tangentes exterio-res, tangentes en M, cuyos radios miden a y b. Halle la distancia de M hacia una de las rectas tangentes comunes exteriores.
A) ab B) 2ab C) 2 ab
D) aba b+
E) 2aba b+
NIVEL INTERMEDIO
7. En el grfico, AC=4(CO)=8. Calcule R.
A
CO
R
A) 3 2 B) 2 5 C) 2 3D) 10 E) 4
Geometra
25
8. Segn el grfico, AB=12; AC=16; HP=4 y BM=MC. Calcule HQ.
A
B
C
HMP
Q
A) 2 B) 3 C) 6D) 5 E) 16/3
9. En un tringulo ABC, AB=6; BC=7 y AC=8. Cal-cule la distancia entre el incentro y el baricen-tro de ABC.
A) 1 B) 2 C) 1/2D) 1/3 E) 2/3
10. En el grfico, (AB)(CE)=32, ES=8(CD). Halle ES.
A
B
C
D ES
A) 4 B) 6 C) 8D) 12 E) 16
11. En un tringulo, las longitudes de sus lados son nmeros enteros consecutivos; adems, la medida del mayor ngulo interior es el doble del menor ngulo interior. Halle el permetro de la regin triangular inicial.
A) 17 B) 18 C) 19D) 15 E) 12
12. En un tringulo ABC, se traza la ceviana inte-rior BD, tal que, m ACB=2(m ABD), AB=6 y AD=4. Halle el semipermetro de la regin ABC.
A) 6,5 B) 7 C) 7,5D) 8 E) 8,5
13. En un tringulo ABC, recto en B, se traza la altu-ra BH; en los tringulos ABH y BHC se trazan las alturas HM y HN, respectivamente; en los trin-gulos AMH y HNC se trazan las alturas MF y NG, respectivamente; luego, en el tringulo HNG se traza la altura GI y en el tringulo HIG se traza la altura IE. Si MF=a y GN=b, calcule IE.
A) ab B) 2 ab C) aba b+
D) 2aba b+
E) a b+
3
14. En el grfico mostrado, el ABC es equiltero; adems, AE=18 y AD=8. Halle AB.
A
B
C
D
E
A) 12 B) 16 C) 10D) 13 E) 9
15. En un tringulo ABC, la mediatriz de AC interse-ca a la circunferencia circunscrita en P, y AP in-terseca a BC en D, tal que, AD=6 y AB=4(BD). Halle PD.
A) 1/2 B) 1 C) 2D) 3/2 E) 3
Geometra
26
16. En la figura, AB y AC son dimetros, adems CT es tangente al arco AB , AB=BC=2r y ET=4. Calcule r.
A B C
D
E
T
A) 2 B) 3 C) 2D) 6 E) 2 3
NIVEL AVANZADO
17. En un tringulo ABC, se trazan las cevia-nas BD y AE, tal que I y G son incentro y ba-ricentro de ABD y BDC, respectivamente. Si m ABD=2(m ACB), IG // AC; AB=6 y BD=8;
calcule ECEB
.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
18. En un trapecio rectngulo ABCD, recto en A y B, se traza una semicircunferencia de dimetro AB, la cual es tangente a CD en T. Si AD=3 y BC=2, calcule ET (E: punto de interseccin de AC y BD).
A) 2/3 B) 3/2 C) 2D) 4/5 E) 6/5
19. En un tringulo issceles, R es radio de la cir-cunferencia inscrita, y r, el radio de la circunfe-rencia tangente a la primera circunferencia, y tangente a los lados laterales. Halle la longitud de la altura relativa a la base.
A) Rr
R r B) Rr C) R
R r
2
+
D) 22R
R r+E) 2
2RR r
20. En el grfico, M, N y T son puntos de tangencia.
Si TO'=2 y O'L=1, calcule TPPQ .
LM
O
O 'P
Q
N
T
A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3D) 4/5 E) 3/4
Geometra
27
Relaciones mtricas I
NIVEL BSICO
1. En el grfico, mAB = 2 y (MB)(BN)=8. Calcule AB.
N
A
BM
O
A) 4 B) 4 2 C) 2 2D) 2 E) 8
2. En el grfico, P y T son puntos de tangencia. Si un punto del arco PT dista de las tangentes 9 u y 8 u. Calcule el radio de la circunferencia.
P
T
A) 5 u B) 14534
u C) 29 u
D) 17 u E) 19 u
3. En un tringulo ABC, AB=8; BC=6 y AC=7. Si la tangente trazada a la circunferencia cir-cunscrita, trazada por B, interseca a AC
en T,
calcule TB.
A) 8,5 B) 9,8 C) 10D) 10,5 E) 12
4. En el grfico, calcule BC, si AH=2; AB // HG y Ges baricentro de la regin triangular ABC.
A
B
C
G
H
A) 3 B) 2 2 C) 2 3D) 3 2 E) 3 3
5. En el grfico, DE=EB y (AB)(BC)=8. Calcule BC.
AB
C
D
E
F
A) 1 B) 2 C) 4D) 5 E) 4,5
6. Segn el grfico, T es punto de tangencia y ABCD es un cuadrado. Si MD=3 y MB=2, calcule BP.
A B
CD
M
P
T
A) 2 B) 4 C) 5D) 6 E) 3
Geometra
28
NIVEL INTERMEDIO
7. Del grfico, calcule (AT)(TB) siendo T punto de tangencia.
A
B
T
4 2
A) 60 B) 106 C) 96
D) 71 E) 84
8. Segn el grfico, r=20, calcule AB.
A
37
r
B
A) 2 14 B) 3 14 C) 4 7
D) 5 7 E) 6 7
9. Si O es el centro de la circunferencia, mos-trada, adems, (AB)(AC)+(BD)(DE)=400, halle AD.
A
B C
D
E
O
A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 40
10. Segn el grfico mostrado, A, B, C y D son pun-tos de tangencia. Si GE=3; FE=4 y EB=5, cal-cule la longitud del segmento AG.
A
B
CD
E
F
G
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 9
11. En el grfico mostrado, se muestran dos semi-
circunferencias. Si AM=MB, halle BCCD
.
A
M
DB C
A) 1 B) 2/3 C) 1/2D) 1/3 E) 1/4
12. En la hipotenusa AC de un tringulo rectngulo ABC, se ubica el punto N. En AB se ubica el punto medio M. Si la m MNC=m BCA; AN=3 y NC=7, calcule la m BMC.
A) 37 B) 53 C) 60D) 45 E) 54
Geometra
29
13. En el tringulo ABC, BM=MH=b y AH=HC=a. Calcule NQ si Q es punto medio de BC.
A
B
CH
M
N
Q
A) a b2 22
2+
B) 2
2
2 2b a C)
a b2 242+
D) 42
2 2b a E) a b2 2+
14. La circunferencia exinscrita relativa al lado BC de un tringulo equiltero ABC, interseca a la prolongacin del AC en D, tal que, BD = 7.Calcule la distancia del centro de dicha circun-ferencia hacia BD.
A) 73
B) 217
C) 143
D) 2 73
E) 2 213
15. En el grfico, OBCD es un cuadrado, adems Q, T y F son puntos de tangencia. Calcule CQen funcin de los radios R y r.
B C
DOT
F
Q
Rr
A) R r2 2 B) 2 Rr C) Rr
R r+
D) R r+( )
2E) R r2 2+
16. Segn el grfico, AB=CD, AQ=QP y DP=12. Calcule BC.
A
BC
D
P
Q
A) 15 B) 18 C) 12D) 9 2 E) 9 3
NIVEL AVANZADO
17. En el grfico, M, N, P y Q son puntos de tangen-cia, de modo que MN=a. Calcule PQ.
MN
P
Q
A) a B) 2a C) a 2D) a 3 E) a 5
18. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si PB=a y CT=b, calcule BC, siendo A, P y T puntos de tangencia.
A
B
C
D
PT
A) b a b2 2+ B) b a2 2 C) a b a2 2
D) a a b2 2+ E) b ab
Geometra
30
19. Segn el grfico, T es punto de tangencia BN=1 y TC=9. Calcule MC.
A
B
C
M
NT
A) 4 3 B) 4 33
C) 4 35
D) 4 37
E) 3 11
20. En una semicircunferencia de dimetro AB y centro O, se trazan 2 circunferencias, ambas tangentes al arco AB en M y N, respectivamen-te, y tambin tangentes al dimetro en P y Q, de modo que NP y MQ se intersecan en S. Cal-cule MS si PS=SN=2(SQ)=4.
A) 4 B) 6 C) 8D) 12 E) 16
Geometra
31
Relaciones mtricas II
NIVEL BSICO
1. Se tiene un rectngulo ABCD. En BC se ubica P, tal que AP=PC=a y AD=b. Calcule (DP)2.
A) a2+b2
B) b2 a2
C) a(b2 a2)D) a2+b2 2abE) a2 b2+2ab
2. En el grfico, ABCD es un rombo, adems BM=MC, AM=13 y MD=9. Calcule PC2+(MP)(PD).
A
B C
D
M
P
A) 25 B) 50 C) 65D) 45 E) 55
3. Del grfico, calcule (PQ)2 (PM)2 si se sabe que (AB)2 (BC)2=4; AQ=QH y HM=MC.
A
B
CH M
P
Q
A) 2 B) 2 C) 2 2D) 1 E) 4
4. En el grfico, B, T y E son puntos de tangencia, adems AM = 6 5 y (QP)(PC)=20. Calcule AP.
A
B
T
C
M
P
Q
E
A) 4 10 B) 3 5 C) 2 10
D) 4 5 E) 10
5. En un cuadrado ABCD con centro en A y radio AB, se traza un cuadrante BAD, tal que en BD se ubica P, adems, PD=1, y BP = 2 2. Halle PC.
A) 52
B) 6 C) 2 2
D) 102
E) 10
6. Dado un cuadrado ABCD, sobre AB se ubica el punto E y con dimetro BC y AE se trazan semicircunferencias tangentes en T de cen-tros O y O', respectivamente. Si EB=2 y H es la proyeccin ortogonal de O sobre O'C, calcule O'H2 HC2.
A) 1 B) 4 C) 9D) 16 E) 25
NIVEL INTERMEDIO
7. En un tringulo ABC, la bisectriz interior BD y las cevianas interiores AE y CF son concurrentes en P. Si AF=3; BF=5; BE=4 y AE=6, calcule BP.
A) 3
B) 2 3
C) 3 2
D) 6
E) 2 6
Geometra
32
8. En un tringulo ABC, recto en B, BD es bisectriz interior. Si sabemos que BC=6 y AB=4, calcule la longitud BD.
A) 6 25
B) 3 2 C) 2 3
D) 12 25
E) 24 25
9. En el grfico, BD es dimetro de la circunferen-cia de centro O, MN tangente, BM secante. Si AB=5, MN=12, calcule BM.
A
B D
C N
M
O
A) 17 B) 15 C) 13D) 8 E) 7
10. Un tringulo ABC, si AB=26; BC=25 y AC=17, calcule el radio de la circunferencia inscrita.
A) 43
11 B) 15 C) 4
D) 6 E) 34
17
11. En el grfico, si C, M y N son puntos de tangen-cia y AC BC=t2, calcule (MN)2 (MC)2.
A
B
C
M
N
A) t2 B) 2t2 C) t2 2
B) t2 3 C) t2
2
12. En el grfico, calcule OM si M es punto medio de ED y ABCD es un cuadrado de centro O; considere que AB=. Considere a la circunfe-rencia inscrita en el cuadrado.
MO
A
B C
D
EE
A) 24
B) 22
C) 23
D) 25
E) 26
13. En el grfico, el tringulo ABC es equiltero, T es punto de tangencia y NL=12. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de BL y CN.
A
N T
B
CL
A) 4 B) 6 C) 8D) 2 E) 3
Geometra
33
14. Segn el grfico, T y Q son puntos de tangencia, CE=3, BP=5 y AL=4, calcule x.
A Q
T
L
PE
R
CB
x
A) 37 B) 53 C) 53/2D) 30 E) 45
15. Se tiene un heptgono regular ABCDEFG. Si
AC=b, AD=c y 1 1 15a b
+ = , calcule la longitud de
lado del heptgono.
A) 6 B) 5 C) 10D) 1/5 E) 1/10
16. En un trapecio issceles ABCD, AB=BC=CD y
AD=BD, calcule ADBC
.
A) 12
B) 52
C) 5 14+
D) 5 12+ E) 5 1
2
NIVEL AVANZADO
17. En un cuadrado ABCD, tomando como centros A y D se trazan los cuadrantes BAD y ADC; luego, en AC BD y se ubican M y N, tal que, AM = 3 y MN=2. Si m AMN=90, halle ND.
A) 2 B) 32
C) 2 33
D) 1 E) 2
18. En el grfico, AC y AB son dimetros. Calcule xsi AC=18 y AB=8.
A B C
x
A) 720169
B) 288169
C) 432169
D) 576169
E) 657169
19. Se tiene un tringulo ABC, de circuncentro O e incentro I. Si AB=5, BC=7 y m BIO=90, cal-cule AC.
A) 5,5 B) 6,5 C) 8D) 6 E) 9
20. Segn el grfico AB=1, BC=2, CD=3 y AD=4, AMNP es un rectngulo. Calcule (MC)2+(CP)2 (CN)2.
A
BC
D
M N
P
A) 227
B) 337
C) 447
D) 557
E) 667
Geometra
34
reas de regiones triangulares
NIVEL BSICO
1. En el grfico, ABCD es un cuadrado. Si TD=2(NT)=6, calcule el rea de la regin sombreada.
N
T
A
B C
D23
A) 16 B) 13,6 C) 16,2D) 14,4 E) 16,8
2. Del grfico, ABCD es un paralelogramo; si 3(AE)=4(BE) y CM=MD, calcule la razn de rea de las regiones EFG y GMF.
A
B C
D
E
F
G
M
A) 3/4 B) 4/3 C) 5/6D) 6/7 E) 5/7
3. En el grfico, si m BAH=m AQH, calcule la razn de la rea de las regiones sombreadas.
A
B
CH
A) 1/2 B) 2/3 C) 1D) 3/4 E) 1/3
4. Segn el grfico, T es punto de tangencia. Calcule la razn de reas de las regiones TBCy ABC.
A
B
C
T
A) 1/3 B) 1/2 C) 1D) 2/3 E) 3/4
5. En el grfico A, B y C son las reas de las regiones sombreadas. Si AN=NM=2(MO), encuentre la relacin entre A, B y C.
BBCC
A
C
N
O
AA
MM
A) A=B+C B) B=A+C C) 2A=B+CD) b+2c=A E) A+2c=b
6. En el grfico, T y Q son puntos de tangencia. Calcule el rea de la regin sombreada.
T
2
6
A) 6 B) 7 C) 9D) 8 E) 10
Geometra
35
NIVEL INTERMEDIO
7. En el grfico, calcule el rea de la regin cua-drada ABCD si el rea de la regin sombreada es 18 u2.
A
B C
D
A) 34 u2 B) 36 u2 C) 45 u2
D) 40 u2 E) 42 u2
8. Segn el grfico, m BAC=37 y (R)(AM)=25 u2. Calcule el rea de la regin sombreada.
A B
C
M
R
A) 12 u2 B) 10 u2 C) 15 u2
D) 18 u2 E) 20 u2
9. Segn la figura, AB // FD, FC = 5 m (A, D, M y Fson puntos de tangencia). Calcule el rea de la regin sombreada.
A) 5 2m
A
B
C
D
MM
F
B) 2 10 2m
C) 10 m2
D) 20 m2
E) 40 m2
10. En el grfico, P, Q y T son puntos de tangencia. Si (AM)(MB)+(BN)(NC)=19, calcule el rea de la regin triangular ABC.
A
B
M
C
NPQ
T
A) 12 B) 16 C) 18D) 20 E) 24
11. Segn el grfico, P, Q y R son puntos medios de BC, AP y QC, respectivamente, qu parte del rea de la regin ABC es la regin sombreada?
A
B
C
P
R
A) 1/2 B) 2/3 C) 3/5D) 5/8 E) 7/10
12. Del grfico, T es punto de tangencia; 2(PT)=3(AP). Si el rea de la regin triangular TAP es 8 u2, calcule el rea de la regin som-breada.
A
B
PT
A) 6 B) 10 C) 8D) 9 E) 5
Geometra
36
13. Segn el grfico, T es punto de tangencia. Si AD=2(DC)=8 m, calcule el rea de la regin triangular ABO.
A
B
CDO
T
A) 11 m2 B) 12 3 2m C) 3 3 2m
D) 6 3 2m E) 4 3 2m
14. Si A, B, C y D son puntos de tangencia y AB=BM,
calcule aB
.
AB
C D
M
BB
AA
A) 1/2 B) 1/4 C) 2/3D) 1/3 E) 3/4
15. En el grfico, A, C y T son puntos de tangencia. Si m mAM MT = , calcule el rea de la regin
AMB si mAT = 106.
A
B
C
MT
r
R
A) Rr2 B) Rr C) 2Rr
D) 2Rr E) 2 2Rr
16. En un tringulo de rea S se unen los puntos medios de sus lados; sobre el nuevo tringulo se unen sus tres puntos medios de sus lados, de este modo se prosigue sucesivamente con los siguientes. Calcule el lmite de la suma de las reas de los tringulos as formados.
S B) SA) 3
4 4 C)
S3
D) 43S E) S
2
NIVEL AVANZADO
17. Segn el grfico, calcule el rea de la regin sombreada si AD=3 u y BD=1 u (D y C son puntos de tangencia).
A
B C
D
A) 6 u2B) 2 3 2uC) 7 1 2( )uD) 4 3 2uE) 7 1 2+( )u
18. Calcule la razn de las reas de dos regiones triangulares, sabiendo que las longitudes de los lados de uno de ellos son iguales a las longitudes de las medianas del otro.
A) 2/5B) 1/2C) 1/3D) 3/2E) 4/3
Geometra
37
19. Segn el grfico, el producto de las reas de las regiones sombreadas AGM y NIC es 64. Cal-cule GI.
A
B
CEG I
M
N
A) 4 B) 4 2 C) 8D) 8 2 E) 16
20. En el grfico, si mPQT = 120; AB=a y BT=b, calcule la razn de reas de las regiones som-breadas. Considere que P y T son puntos de tangencia.
A
B
P
Q
T
A) ab
B) a
b
2
2 C)
ab
D) a bb a
+
E) 3ab
Geometra
38
reas de regiones cuadrangulares
NIVEL BSICO
1. En el grfico, BC=2(AB)=8 y CD = 2 2. Calcule el rea de la regin sombreada.
A
B
CD4545
A) 12 B) 16 C) 18D) 20 E) 24
2. Si el rea de la regin BHD es igual a S, calcule el rea de la regin trapecial issceles ABCD.
A
B C
DH
S B) 2S C) 3SA) 32
SD) 4S E) 52
3. En el grfico, calcule la razn de reas de la regin trapecial ABCD (BC // AD) y la regin pa-ralelogrmica AMNP si CN=ND.
A
B C
DP
M N
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
4. En el grfico, ABCE es un cuadrado. Calcule el rea de la regin sombreada si AH = 4 3 .
A) 4 1 3 2+( ) u
A
B C
D
EE
H
B) 12 1 3 2+( ) uC) 16 1 3 2+( ) uD) 8 1 3 2+( ) uE) 32 1 3 2+( ) u
5. Si ABCD es un cuadrado, calcule la razn de reas entre la regin sombreada y la no som-breada.
A
B C
D
A) 6/5 B) 5/4 C) 9/8D) 13/7 E) 11/9
6. En el grfico, calcule el rea de la regin rec-tangular ABCD.
A B
CD
4545
66
A) 24 B) 18 C) 12D) 9 E) 36
Geometra
39
NIVEL INTERMEDIO
7. Del grfico se sabe que A y C son puntos de tangencia. Si 3(AD)=4(AB), calcule la razn de reas de las regiones cuadrangulares ABCD y AGCB.
A
BB
CD
G
A) 3/4 B) 9/16 C) 7/9D) 2/3 E) 1/2
8. En el grfico, O es el centro del cuadrado ABCD. Si OM = 5 2, calcule el rea de la regin sombreada.
A
B C
D
M
O
A) 25 B) 30 C) 35D) 45 E) 50
9. Halle el rea de la regin rectangular ABCD si AE=3 y EN=2.
A
B C
D
EE
N
A) 5 22
B) 4 2 C) 5 2
D) 10 2 E) 25 22
10. En el grfico, ABCD es un cuadrado y LA=4(LM). Qu parte de la regin cuadrada es el rea de la regin sombreada?
L
M
A
B C
D
A) 13/40 B) 17/20 C) 17/40D) 19/20 E) 19/40
11. En el grfico, F y G son baricentros de las regio-nes triangulares ABE y DBC, respectivamente, y el rea de la regin triangular ABC es 54 m2. Calcule el rea de la regin AFGE.
A
B
CD E
F G
A) 14 m2 B) 12 m2 C) 16 m2
D) 15 m2 E) 27 m2
Geometra
40
12. Segn el grfico, la distancia de B a AC es 4. Si el rea de la regin sombreada es 8 y AC=8, calcule GI.
A
B
C
E
IG
N
A) 4 B) 5 C) 6D) 9/2 E) 11/2
13. Del grfico, ABCD es un cuadrado donde BT=4. Siendo T punto de tangencia, calcule el rea de la regin sombreada.
M
B
T
C
A D
A) 8 B) 14 C) 6D) 12 E) 10
14. Segn el grfico, T es punto de tangencia. Si QD=4(CQ)=4 y TB=3(TC), calcule el rea de la regin sombreada.
A
B C
D
QT
A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 25
15. Se sabe que x es el rea del paralelogramo ABCD y BM=MN=NC. Calcule el rea de la re-gin sombreada.
B M
OO
N C
DQPA
A) x3
x B)
25x
C) 35
D) 512
x
E) x4
16. Segn la figura, ABCD es un cuadrado, T y C son puntos de tangencia y la distancia de P ha-cia BC
es 2. Calcule la diferencia de reas de
las regiones sombreadas.
D
C
B
A
PTT
A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12
Geometra
41
NIVEL AVANZADO
17. En el grfico, P y T son puntos de tangencia y BQ=a. Calcule el rea de la regin sombreada.
A
B
T
C
Q
O P
A) a2
4 B)
a2 32
C) a2 2
2
D) a2
2 E)
a2 24
18. Segn el grfico, BC // AD, adems, CN=2(ND). Si las reas de las regiones BCG y AGND son 4 y 46, calcule el rea de la regin ABCD.
D
CB
A
G
N
A) 60 B) 66 C) 72D) 75 E) 76
19. En el grfico mostrado, los radios de las circun-ferencias miden m y n (m > n). Halle el rea de la regin MNPL (M, N, P y L son puntos de tangencia).
L
MN
P
60
A) m n2 2
2
B) 32
2 2m n( )
C) 3 32
2 2m n( )
D) 3 34
2 2m n( )
E) 3 24
2m ( )
20. En un tringulo ABC, se trazan las alturas AMy CN, las cuales se intersecan en H. Si m ABC=60, (AN)(MC)=24 y AC=10, calcule el rea de la regin cuadrangular ANMC.
A) 27 32
B) 37 32
C) 47 32
D) 57 32
E) 67 32
Geometra
42
reas de regiones circulares, conjunto convexo y no convexo
NIVEL BSICO
1. Indique qu conjuntos son convexos.
I. II.
III. IV.
A) I B) II y III C) III y IVD) todos E) ninguno
2. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados.I. El ngulo es un conjunto convexo.II. El rayo es un conjunto convexo.III. El crculo es un conjunto convexo.
A) VVV B) FFF C) VVFD) FVV E) FVF
3. Calcule la razn de reas de los crculos inscri-to y circunscrito a un tringulo equiltero.
A) 1
2 B) 13
C) 14
D) 23
E) 19
4. Con los vrtices del tringulo equiltero mos-trado se han trazado arcos de radio 5, tangen-tes a un crculo. Si el lado del equiltero mide 4 3, calcule el rea de dicho crculo.
A) p B) 2p C) 3pD) 4p E) 9p
5. Se muestra una semicircunferencia de dime-tro AE, adems, ABCD es un paralelogramo y AD=a. Calcule el rea de la regin sombreada (C y D son puntos de tangencia).
A
B C
D E
A) pa2 B) a2
2 C) a
2
4
D) a2
8 E)
a2
16
6. En el grfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Calcule la razn de reas de las regiones som-breadas (M, N, P, E y F son puntos de tangencia).
A) 1/3B) 2/9C) 3/5D) 9/25
B C
A D
M
N P
EE FF
E) 1/8
NIVEL INTERMEDIO
7. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados.I. Un cuadriltero convexo es un conjunto
convexo.II. Un cuadriltero no convexo es un conjunto
no convexo.III. Un segmento es un conjunto convexo.
A) VVV B) VFV C) VFFD) FVV E) FFV
Geometra
43
8. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados.I. La unin de dos conjuntos convexos siem-
pre es otro conjunto convexo.II. La interseccin de dos conjuntos convexos
siempre es un conjunto convexo.III. La unin de un conjunto convexo y un con-
junto no convexo siempre resulta un con-junto no convexo.
A) VVV B) FFF C) VFVD) FVF E) VVF
9. Halle el rea de la regin sombreada si la semi-circunferencia tiene dimetro AB, MTN=120 y AO=OB=6.
M N
A BO
O1O1
T
A) 2p+ 3
B) 3p+2 3
C) 4p+3 3
D) 4p+6 3
E) 6p+9 3
10. Se tiene un cuadriltero bicntrico ABCD don-de O es el centro del crculo inscrito cuya rea se desea calcular sabiendo que la distancia de dicho punto a dos vrtices opuestos del cuadri-ltero son 3 y 1 cm.
A) 9p/10 B) 3p C) p/3D) 9p E) p/9
11. En el grfico mostrado, A, B, C, D y M son pun-tos de tangencia, y mBPC=mDE . Halle la ra-zn de reas de los crculos mostrados.
AB
C
D
E
MMP
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4D) 2/3 E) 1/9
12. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, calcu-le la razn de reas entre el crculo circunscrito al ABC y el crculo inscrito al ABC, tal que este ltimo es tangente a la mediatriz de AC.
A) 2 B) 3 C) 2+ 3D) 2( 3+2) E) 4( 3+1)
13. Si las regiones sombreadas tienen sus reas en la razn de 2 a 1, halle q (T es punto de tan-gencia).
A) 30B) 45C) 60D) 90
T
E) 106
14. Segn la figura, OM=MO1 y MHML=4 cm2.
Calcule el rea de la regin sombreada. (A, B, C y D son puntos de tangencia).
H
L
MB
A D
O
O1
rr
R
CC
A) 16pcm2 B) 8pcm2 C) 12pcm2
D) 26pcm2 E) 20pcm2
Geometra
44
15. En el siguiente grfico, halle el rea de la regin sombreada si P y Q son puntos de tangencia. ON=1 cm, OQ=3 cm.
A
B
M
NO
P
Q
A) 252 2
1pi
B) 252 1pi ( ) C) 252 2
1pi
+
D) 252
1pi +( ) E) 252
2pi ( )
16. En el grfico mostrado, halle el rea de la re-gin sombreada. (O es punto de tangencia).
O
60
6
A) 2 3 pi B) 4 3 + pi C) p
D) 6 3 2 pi E) 4 3 pi
NIVEL AVANZADO
17. Indique de forma ordenada el valor de ver-dad (V) o falsedad (F) de los siguientes enun-ciados.I. Si omitimos un punto de la frontera de un
crculo, el conjunto resultante es convexo.II. Si omitimos un punto de la frontera de una
regin triangular, el conjunto resultante es convexo.
III. Una corona circular es un conjunto no con-vexo.
IV. Una lnula es un conjunto convexo.
A) VVFF B) VFVF C) VVVFD) FFFV E) FFVV
18. En un tringulo ABC, AB=13, BC=14 y AC=15. Halle la razn de reas del crculo inscrito y exinscrito relativo a AB.
A) 916
B) 25144
C) 4441
D) 449
E) 64441
19. Segn el grfico, calcule el rea de la regin sombreada si O1O2=6m (P, Q y N son puntos de tangencia).
NO1 O2
P Q
A) 4 3 33
2pi
B) (p 2)m2
C) pi ( )2
32
D) 10 275
2pi E) pi ( )3 2
20. Se tiene un semicrculo de dimetro AB (AB=4). En AB se ubica P y en AB se ubican M y N, tal que PMNQ es un cuadrado. Calcule el rea de la regin interior al semicrculo y exterior al cuadrado, si mAP=60 (P est ms cercano al vrtice A).
A) p 2 B) p 3 C) 2p 1D) 2(p 1) E) 2p 3
Geometra
45
Geometra del espacio I
NIVEL BSICO
1. Indique de forma ordenada el valor de los si-guientes enunciados.I. Si dos rectas estn contenidas en planos
paralelos, entonces dichas rectas son para-lelas.
II. Toda recta paralela a un plano es paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano.
III. Si dos rectas no tienen interseccin, enton-ces dichas rectas son paralelas siempre.
A) VVV B) VFF C) VVFD) FFF E) FFV
2. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados.I. Por un punto exterior a un plano pasa un
solo plano no perpendicular a l.II. Dos rectas que forman ngulos congruen-
tes con un plano son paralelas entre s.III. Dos rectas paralelas a un plano son parale-
las entre s.IV. En el espacio, dos rectas perpendiculares a
una tercera son paralelas entre s.
A) VVFF B) VVVV C) FFFFD) FFVV E) VFVF
3. Se tienen 8 rectas paralelas en el espacio y 6 puntos cada cuatro no coplanares. Calcule el mximo nmero de planos que se pueden de-terminar.
A) 68 B) 96 C) 108D) 136 E) 148
4. Por el incentro de un tringulo rectngulo se le-vanta una perpendicular al plano del tringulo, en el cual se toma un punto P, tal que la distan-cia de P al incentro es 2. Calcule la distancia de P a la hipotenusa si los catetos miden 3 y 4.
A) 3 2 B) 6 C) 2 5
D) 5 E) 2 2
5. Se tiene una circunferencia de centro Q y radio 2 en un plano. Se levanta QP de manera perpendicular al plano y por un punto B de la cir-cunferencia se traza la tangente BC. Si PQ=5 y BC=8, calcule PC.
A) 10 B) 93 C) 103D) 9 E) 11
6. Del grfico A, C y D estn contenidos en el pla-no P. Calcule el ngulo que forman AD y MN si AD=8, BC=6, MN=5, AM=MB y CN=ND.
pp
A
M
C
B
D
N
A) 30 B) 60 C) 90D) 37 E) 153
NIVEL INTERMEDIO
7. De las siguientes proposiciones, indique verda-dero (V) o falso (F) segn convenga.I. Si dos rectas son paralelas y una de ellas
est contenida en un plano, entonces dicho plano es paralelo a la otra recta.
II. Por un punto exterior a dos rectas paralelas se puede trazar un solo plano paralelo a di-chas rectas.
III. Tres planos secantes siempre tienen infini-tos puntos en comn.
A) VVV B) VFV C) VFFD) FVF E) VVF
8. Se tienen los segmentos alabeados AB y CD que forman un ngulo de 60. Si AB=16 y CD=10, calcule la medida del segmento que une los puntos medios de AC y BD.
A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 7 2
Geometra
46
9. Del grfico, L
1 y L
2 son alabeadas y determi-nan un ngulo que mide 45. Calcule la medi-da del ngulo AB y HE.
A
B
E
H
26,5
A) 15 B) 10 C) 30D) 37 E) 45
10. En un plano se tiene el tringulo ABC, recto en B. Por un punto P exterior al plano se traza PS perpendicular a BC, tal que PS= 89 y mPBA=60. Calcule la medida del ngulo que forman BP y el plano, si PB=10.
A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60
11. Por el vrtice A de un tringulo ABC, se levan-ta la perpendicular AM al plano del tringulo, adems se trazan las perpendiculares AP y AQa MB y MC, respectivamente. Si MQ=5, PB=6, MP=4 y mBMC=30, calcule el rea de la re-gin BMC.
A) 15 B) 20 C) 18D) 30 E) 40
12. Por un punto C exterior a un segmento AB se traza la perpendicular CD al plano que contiene al tringulo ABC. Adems M es la proyeccin de C sobre AB, AM=MC=CD. Calcule la medida del ngulo que forman AC y MD.
A) 37 B) 45 C) 60D) 53 E) 90
13. Dado un cuadrado ABCD, por su centro O se le-vanta la perpendicular OS a su plano, luego se toma P punto medio de AO. Calcule el ngulo formado por SP y el tringulo SAD si SO=OD.
A) 30
B) 15
C) arcsen155
D) arcsen1515
E) arcsen35
14. Se tiene una semicircunferencia de dimetro CD. Por D se traza una recta tangente L
2( ), y
por C una perpendicular L
1( ) al plano que con-tiene a dicha semicircunferencia, A L
1 y B a
la semicircunferencia. Calcule AD si AB=10,mBC=74 y adems la medida del ngulo que forman AB y L
2 es 53.
A) 10 B) 5 2 C) 15 2D) 25 E) 10 2
15. Un tringulo rectngulo ABC recto en C, mBAC=30, se proyecta a un plano, tal que A'B'C ' es el tringulo proyectado donde mA'B'C'=45. Halle el rea de la regin determinada en el pla- no si BC=B'C' y AC=18m.
A) 27m2 B) 54m2 C) 81m2
D) 68m2 E) 72m2
16. Por O, punto de interseccin de las diagona-les del rombo ABCD, se traza la perpendicu-lar al plano que lo contiene, que interseca a las semicircunferencia de dimetros BD y AC, ubicadas en un mismo semiespacio y perpen-diculares al plano que contiene al rombo, en los puntos P y Q. Calcule la medida del ngulo formado por AQ y PD (BD < AC).
A) 45 B) 60 C) 30D) 90 E) 53
Geometra
47
NIVEL AVANZADO
17. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados.I. Toda recta que pase por el pie de una recta
perpendicular a un plano ser perpendicu-lar a esta.
II. Si las distancias de un punto a dos planos son iguales, entonces dichos planos son pa-ralelos.
III. Si una recta es perpendicular a dos rectas contenidas en un mismo plano, entonces di-cha recta es perpendicular al plano anterior.
A) VVV B) FFF C) FVVD) VFF E) VFV
18. En el espacio hay dos rectas L 1 y L 2 alabeadas que forman 60. En la recta L 1 se ubican los puntos A y B, en L 2 se ubican los puntos D y C, y AD es la distancia entre ellos. Halle el ngulo formado por AD y BC si AD=AB=CD.
A) 30 B) 45 C) 60D) 37 E) 53
19. Por los extremos A y B de un segmento AB se trazan las perpendiculares AR y BQ a dicho segmento, adems R y Q estn contenidos en un plano P paralelo a AB. Calcule la distancia entre AB y el plano P, si AB=20, RQ=25, ade-ms AR y BQ forman con dichos planos ngu-los de 37 y 53, respectivamente.
A) 12 B) 7,2 C) 15D) 180/7 E) 180/7 y 7,2
20. Por los vrtices de un cuadrado ABCD y en un mismo semiespacio se trazan AA', BB', CC' y DD' perpendiculares al plano que contiene el cuadrado. Si AA'=6, BB'=8, CC'=9, halle DD'.
A) 3 B) 4 C) 7D) 10 E) 11
Geometra
48
Geometra del espacio II
NIVEL BSICO
1. Se tiene una circunferencia de centro O, se tra-za OT perpendicular al plano que la contiene, adems A y B pertenecen a la circunferencia. Calcule la medida del diedro determinado por el plano ABT y el plano que contiene a la circun-ferencia si se sabe que mAB=2mATB=120.
A) 30 B) 60 C) arccos13
D) 53 E) 45
2. Se traza AP perpendicular al plano del cuadra-do ABCD y M es punto medio de AD. Calcule (AB)2 si AP=4 5, adems, los diedros forma-dos por los planos de los tringulos BPC y MPCcon el plano de dicho cuadrado son comple-mentarios.
A) 40 5 B) 80 5 C) 40
D) 80 E) 5
3. Dos planos forman un ngulo cuya medida es 60. Desde un punto A, equidistante a los planos, se trazan las perpendiculares a estos y la distancia entre B y C (pies de las perpen-diculares) es de 6 m. Halle el rea de la regin triangular ABC.
A) 9 3 2m B) 6 3 2m C) 3 3 2m
D) 2 3 2m E) 5 3 2m
4. La regin ABC gira 60 respecto a su hipote-nusa AC. Si AB=30 y BC=40, calcule la distan-cia entre los baricentros de la regin ABC y la que se genero luego del giro.
A) 24 B) 20 C) 16D) 12 E) 8
5. Las medidas de las caras de un triedro estn en progresin aritmtica de razn r. Calcular el mximo valor entero de r.
A) 50 B) 53 C) 55D) 57 E) 59
6. En un triedro O - ABC, la medida del diedro OAes 90, y las medidas de las caras AOB y AOCson iguales a 45. Calcule mBOC.
A) 120 B) 90 C) 75D) 60 E) 45
NIVEL INTERMEDIO
7. En un plano se tiene un ngulo BAC cuya me-dida es 60. Por un punto P, exterior al plano, se trazan PQ AC y PS AB. Calcule la dis-tancia de P al plano si PQ=20, PS=7 y PA=25.
A) 3 B) 2 10 C) 6D) 11 E) 37
8. Se tienen las rectas cruzadas L 1 y L 2; ade-ms AB es la distancia entre ellas (A en L
1 y
B en L
2). Se toman C en L
1 y D en L
2, tal que mCDB=90 y AC=2BD. Calcule la medida del ngulo con el que se cruzan L
1 y L
2.
A) 30 B) 45 C) 60D) 75 E) 90
9. Se tiene el cuadrado ABCD y el rectngulo DEFC contenidos en planos perpendiculares. Halle la mnima distancia entre AC y BE si AD=2DE=L.
A) L5
B) L5
5 C) L3
3
D) L6
6 E) L6
2
10. Los planos que contienen a los ngulos BAC y BAD son perpendiculares.Si mBAC=mBAD=45, calcule mACD.
A) 30 B) 372 C) 53
2
D) 452 E) 60
Geometra
49
11. Se tiene el ngulo triedro equiltero O - ABCcuyas caras miden 60. En el interior se traza el rayo OP, tal que mPOA=mPOB=mPOC. Calcule mPOB.
A) 45 B) arcsen34
C) arcsen33
D) 60 E) 30
12. En la bisectriz de ngulo AOB, se ubica H y se tra-za HQ perpendicular al plano AOB. Adems en el ngulo triedro O - ABQ, mAOQ=mBOQ=60, mAOB=90. Si OH=2, halle HQ.
A) 1 B) 2 C) 2D) 4 E) 2 2
13. En un triedro O - ABC, si OA=BC; OB=AC y OC=AB, calcule la suma de las medidas de las caras del triedro.
A) 60 B) 120 C) 180D) 270 E) 90
14. En un triedro issceles O - ABC, en el cual las caras AOB y AOC miden 60, adems la cara BOC mide 90, calcule la medida del ngulo formado por OA y su proyeccin ortogonal sobre la cara BOC.
A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60
15. En el ngulo triedro O - ABC, mAOB=mAOC, la medida del diedro OB es q. Halle la medida del diedro OC.
A) 90 q B) q/2 C) qD) 45 q E) 2q
16. En un triedro O - ABC, mAOB=30, mBOC=70,mAOC=60. Luego se traza OM (M AC), tal que mAOM=20. Halle un posible valor para la mBOM.
A) 10 B) 25 C) 30D) 50 E) 40
NIVEL AVANZADO
17. Se tiene el punto M exterior al plano que con-tiene al tringulo rectngulo issceles PQR(recto en Q), de manera que MP, MQ y MR for-ma con dicho plano ngulos de 45 cada uno. Calcule la medida del ngulo diedro que for-man los planos MPQ y MQR.
A) 60 B) 2 2arctg C) 90D) 53 E) arctg 3
18. Sean L 1 y L 2 dos rectas alabeadas, cuya distan-cia es AB (A L
1). Adems, en L
1 se considera el
punto D, y O en L
2. Si AD2+BC2+BD2+AC2=64, halle DC. (L
1 y L
2 son ortogonales).
A) 3 2 B) 5 2 C) 4 2D) 2 E) 2 2
19. Se tiene un cuadrante AOB (AO=OB) y un tringulo issceles AON recto en N, ubicados en planos perpendiculares. Si AO=2 2 m, cal-cule la distancia entre AB
y ON
.
A) 2 63
m B) 4 23
m C) 43
3 m
D) 3 2 m E) 3 32
m
20. En un ngulo triedro, donde cada diedro mide 120, calcule la medida de una cara del ngulo triedro.
A) arcsen28
B) arcsen 2 23
C) arcsen26
D) arcsen2 25
E) arcsen 2 27
Geometra
50
Poliedros regulares
NIVEL BSICO
1. Calcule el nmero de aristas de aquel poliedro convexo cuyo nmero de caras es igual al n-mero de vrtices, adems la suma de las medi-das de los ngulos de todas sus caras es 1440.
A) 12 B) 8 C) 9D) 10 E) 14
2. En un octaedro regular, calcule la suma de las medidas de las caras de uno de sus ngulos tetraedros.
A) 60 B) 120 C) 180D) 240 E) 360
3. En un icosaedro regular, calcule la suma de las medidas de las caras de uno de sus ngulos pentaedros.
A) 108 B) 120 C) 180D) 240 E) 300
4. Segn las siguientes proposiciones, indique (V) si es verdadera o (F) si es falsa.I. Si dos poliedros regulares tienen el mismo
nmero de aristas y de la misma longitud, entonces son congruentes.
II. Si la diagonal de un hexaedro regular mide 3 3, entonces la longitud de su arista es 3.
III. Si en un poliedro regular el nmero de aris-tas es 30, entonces dicho poliedro es el do-decaedro.
A) FVF B) FFF C) VVVD) VFV E) VVF
5. En un dodecaedro regular, calcule el valor de la siguiente expresin:
TM
V+
donde:T: Nmero de tringulos contenidos en la su-
perficie del slido y cuyos vrtices son los vrtices del dodecaedro regular.
M: Nmero de trapecios contenidos en la su-perficie del slido y cuyos vrtices son los vrtices del dodecaedro regular.
V: Nmero de vrtices del dodecaedro regular.
A) 12 B) 16 C) 22D) 26 E) 32
6. Segn la figura, se tiene un icosaedro regular, tal que la longitud de una diagonal de EKLND
es 5 1+( ) cm. Calcule el rea de la superficie total del poliedro.
D
E K
L
N
A) 10 2 2cm
B) 10 3 2cm
C) 15 2 2cm
D) 20 2 2cm
E) 20 3 2cm
NIVEL INTERMEDIO
7. Cuntas diagonales tiene aquel poliedro for-mado por 6 cuadrilteros y 8 tringulos?
A) 36 B) 26 C) 24D) 48 E) 30
8. Cuntos poliedros existen, tal que sus caras sean regiones triangulares equilteras?
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) infinitos
Geometra
51
9. En un poliedro convexo, la suma de los ngulos interiores de todas las caras es 10 800. Halle el nmero de sus vrtices.
A) 12 B) 20 C) 30D) 32 E) 40
10. En las siguientes proposiciones, indique verda-dero (V) o falso (F) segn correspondaI. Los puntos medios de las aristas de un te-
traedro regular son vrtices de un octaedro regular.
II. Los centros de las caras de un tetraedro re-gular son los vrtices de un cubo.
III. Los centros de las caras de un octaedro re-gular son los vrtices de un cubo.
A) VVV B) VFV C) VFFD) FVV E) FFV
11. En un tetraedro regular O - ABC de arista a, la altura OH interseca al plano BMC en el punto P (M es el medio de OA). Calcule la longitud de OP.
A) a 64
B) a 612
C) a 34
D) a 24
E) a 33
12. Halle el rea de la seccin resultante al interse-car un cubo ABCD-EFGH de arista igual a 12 m con un plano que pasa por los puntos medios de BE y ED, y por el vrtice E.
A) 100 m2 B) 28 m2 C) 27 m2
D) 54 m2 E) 72 3 2m
13. En un cubo ABCD - EFGH, M es punto medio de la arista EH y P es centro de la cara DCGH. Si un plano contiene a B, M y P, determine qu regin se forma en dicho cubo.
A) triangularB) cuadrangularC) pentagonalD) exagonalE) octogonal
14. Si el rea de la proyeccin de un tetraedro re-gular sobre un plano paralelo a su altura y per-pendicular a una arista en S, calcule el rea de la superficie total del tetraedro.
A) 2 2S B) 2 3S C) 2 6SD) 8 2S E) S 6
15. Indique la seccin producida en el octaedro regular M - ABCD - N por el plano que contiene a los puntos medios de las aristas MC y BM, y por el vrtice N.
A) pentagonalB) cuadrangularC) triangularD) exagonalE) octogonal
16. En un octaedro regular P - ABCD - Q la distan-cia del baricentro de la cara PCD al vrtice Qes 6 m. Calcule la distancia entre BE
y CF
, E AQ y F PD.
A) 6 B) 6 C) 2D) 2 E) 3
NIVEL AVANZADO
17. Un poliedro convexo est conformado por po-lgonos de cinco diagonales. Si las caras fueran triangulares, se necesitarn 40 caras ms para que el nmero de aristas no vare. Cuntas ca-ras tiene el slido inicial?
A) 80 B) 65 C) 60D) 45 E) 50
Geometra
52
18. En un tetraedro regular A - BCD, se ubica el punto medio M de la altura AH de la cara ADC. Calcule la medida del ngulo diedro formado por las regiones BMD y BCD.
A) arctg4 25
B) arctg2 25
C) arctg3 25
D) arctg25
E) arctg15
19. Se tiene el cubo ABCD - EFGH y una recta L
exterior alabeada a todas las aristas del cubo.
Calcule la menor distancia entre CG
y L
, si se sabe que la menor distancia de L
a las aristas
AE, BF y DH son 3; 5 y 7 cm, respectivamente.
A) 8 B) 10 C) 6D) 9 E) 7,5
20. Un octaedro regular M - ABCD - N de arista a se proyecta sobre un plano perpendicular a MN, de modo que determina la regin A'B'C'D'.Si
el slido gira 45 alrededor de MN
, la nueva proyeccin es A''B''D''C''. Calcule el rea de la regin de interseccin de las dos proyecciones.
A) 2 2 1 2( )aB) 2 2 2aC) 2 2 2+( )aD) 2 2 2( )aE) 2 3 2( )a
Geometra
53
Prisma
NIVEL BSICO
1. Con respecto a un tronco de prisma, seale el enunciado incorrecto.I. Se genera por el trazo de un plano secante
no paralelo a las bases de un prisma.II. Sus bases pueden ser congruentes.III. Puede tener 4 vrtices.
A) VVV B) VVF C) FVFD) VFF E) FVV
2. En un rectoedro, el rea de su base es 80 m2, la suma de las aristas laterales es 20 m. Calcule su volumen.
A) 200 m3 B) 250 m3 C) 300 m3
D) 400 m3 E) 450 m3
3. En un prisma hexagonal regular, el rea de su superficie lateral y su volumen son 432 m3 y972 3 3m . Calcule el valor de la altura de di-cho prisma.
A) 2 B) 3 C) 4D) 8 E) 9
4. Si el rea total de un prisma cuadrangular re-gular es 192 cm2, adems, su altura mide 5 cm, calcule el volumen de dicho prisma.
A) 100 cm3 B) 150 cm3 C) 180 cm3
D) 200 cm3 E) 960 cm3
5. Si el rea lateral de un prisma triangular recto es 216 m2 y los lados de su base se encuen-tran en progresin aritmtica, cuyo producto es 192 m3, halle el volumen de dicho prisma.
A) 18 10 3m B) 18 5 3m C) 24 5 3mD) 36 5 3m E) 36 15 3m
6. Se tiene un prisma cuadrangular regular. Sus diagonales forman un ngulo de 37 con las ca-ras laterales y el rea de su base es 9 m2. Calcu-le el volumen del prisma.
A) 3 7B) 4 7C) 5 7D) 8 7E) 9 7
NIVEL INTERMEDIO
7. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados.I. La cantidad de aristas de un prisma puede
ser 369.II. La razn entre la cantidad de vrtices y de
caras de un prisma es 1/2.III. En un prisma recto, el desarrollo de su su-
perficie lateral es una regin rectangular.
A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) FFF
8. En un cubo, cuya arista mide 6, M es el centro de la cara EFGH, y O es la interseccin de BHy DF. Halle el volumen del slido COD - GMH.
A) 24 B) 30 C) 36D) 40 E) 45
9. En un prisma regular hexagonal ABCDEF - MNPQRS, m RBS=53/2. Calcule la razn de lon-gitudes entre una arista bsica y una lateral.
A) 1 B) 2 C) 32
D) 63
E) 62
10. En un prisma triangular oblicuo ABC - A'B'C'. m ABC=90, la proyeccin de C' sobre ABCes el incentro de dicho tringulo, la arista la-teral mide 4 m, AB=3 m y BC=4 m. Calcule el volumen de dicho prisma.
A) 6 2 3m B) 6 3 3m C) 6 6 3mD) 12 2 3m E) 12 3 3m
Geometra
54
11. Se tiene un prisma oblicuo ABCDEF - GHIJKLcuya base es un hexgono regular de lado igual a 1 m, donde J es la proyeccin de A en el plano de la base. Calcule el volumen de dicho prisma si GD=5 m.
A) 2 3 B) 3 3 C) 4 3
D) 9 32
E) 9 34
12. Se muestra un tronco de prisma triangular regular. Si ABCD es una regin cuadrada de lado 2, calcule el volumen de dicho tronco.
AA
BB
C
DD
53
A) 3 32
B) 4 37
C) 6 35
D) 7 32
E) 7 33
13. En un prisma triangular regular ABC - DEF, se traza un plano que contiene a D e interseca a las prolongaciones de AC y AB en P y Q, respec-tivamente. Si AD=18, AP=3(AC) y BQ=AB=6, calcule el volumen del slido determinado en el prisma por la regin ABC y el plano trazado.
A) 86 3 B) 90 3 C) 96 3D) 100 3 E) 117 3
14. Por cada arista de un tetraedro se ha trazado un plano paralelo a la arista opuesta. Calcule la razn entre el volumen de dicho tetraedro y el volumen del paraleleppedo que se determina con dichos planos.
A) 1/6 B) 2/3 C) 1/4D) 1/3 E) 3/8
15. En un exaedro regular ABCD - EFGH, cuya aris-ta mide 4, con centro en E, H, y radio EB y HCse trazan arcos que intersecan a HC y EB en M y N, respectivamente. Calcule el volumen del slido ENF - HMG.
A) 4 2 B) 16 2 C) 20 2D) 32 2 E) 12 2
16. Se muestra un tronco de prisma triangular recto. Si QR=6; r=1 y 6(RC)=3(BQ)=2(AP), calcule el volumen de dicho slido.
A) 4 3B) 6 3C) 8 3D) 12 3
AABB
CC
P
Q
R
r
37E) 15 3
NIVEL AVANZADO
17. En un prisma recto ABCD - EFGH, el rea de la regin EFGH es A y la distancia entre AB y HGes a. Calcule el volumen del prisma.
A) Aa B) A
a C)
Aa2
D) Aa2
E) 2 Aa
18. En un tetraedro regular de volumen V, M, N y Pson puntos medios de BC, BD y AC, respectiva-mente. Calcule el volumen del slido interior al tetraedro, limitado por los planos que pasan por M, N y P; y por el que pasa por MN y es pa-ralelo a una de las caras del tetraedro.
A) V3
B) V4
C) 29V
V E) VD) 38 6
Geometra
55
19. Se tiene un prisma cuadrangular regular ABCD - ABCD cuya arista bsica mide a, de modo que su diagonal forma con su base un ngulo cuya medida es 45. Calcule el rea de la seccin plana determinada en el prisma por un plano que pasa por D y los puntos medios de AB y BC.
A) 356
2a B) 257
172a
C) 7 1724
2a
D) a2
8 E)
78
2a
20. En un prisma exagonal regular ABCDEF - A'B'C'D'E'F', la longitud de la diagonal mayor del prisma es d y la medida del ngulo A'DF' es q. Calcule el volumen del prisma.
A) 3 32
1 43 2d sen
B) 3 3 1 43 2d sen sen ( )C)
3 32
1 43 2 2d sen sen ( )D) d3 2 21 4sen sen ( )E) d3 21 4 sen
Geometra
56
Cilindro
NIVEL BSICO
1. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.I. Un cilindro es siempre un conjunto convexo.II. Todo cilindro recto es de revolucin.III. El desarrollo de la superficie lateral de un
cilindro oblicuo es una regin paralelogr-mica.
A) VVV B) VVF C) FVVD) FFF E) FFV
2. Se muestran dos cilindros de revolucin, halle la razn entre sus volmenes.
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4D) 1/8 E) 1/9
3. En un cilindro de revolucin, el rea de su superficie lateral es 12p y su volumen igual a 18p. Halle el rea de su superficie total.
A) 20p B) 24p C) 25pD) 30p E) 36p
4. En un cilindro equiltero el rea de su seccin axial es 4 m2. Halle su volumen.
A) p m3 B) 2p m3 C) 3p m3
D) 4p m3 E) 6p m3
5. Un cubo cuyo volumen es V, se inscribe en un cilindro circular recto, tal que dos caras estn contenidas en las bases del cilindro. Halle el volumen de dicho cilindro.
A) V2
B) Vp2 C)
Vp3
D) Vp
4 E) Vp
6. En un prisma regular hexagonal se inscriben y circunscriben dos cilindros de revolucin, de manera que sus bases circulares son concn-tricas. Halle la razn de volmenes de dichos cilindros.
A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3D) 2 E) 3/4
NIVEL INTERMEDIO
7. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.I. Si las secciones axiales de dos cilindros de
revolucin son congruentes, entonces di-chos cilindros son congruentes.
II. Si dos cilindros tienen igual volumen y altu-ras de igual longitud, entonces dichos cilin-dros son congruentes.
III. Si dos cilindros presentan alturas congruen-tes y secciones rectas congruentes, enton-ces dichos cilindros son equivalentes.
A) VVV B) VFF C) VVFD) FFV E) FFF
8. Se muestra un cilindro de revolucin y el desa-rrollo de su superficie lateral, AB=6. Halle R.
RR
B
A
A) pp3
B) 3p C) 3 p
p
D) 3 p E) 2 3p
Geometra
57
9. En un cilindro equiltero, AB y CD son gene-ratrices diametralmente opuestas y O es el centro de una de las bases. Calcule mSAOC, siendo B, O y D coplanares.
A) 60 B) 90 C) 53D) 37 E) 45
10. En un hexaedro regular de volumen V, se ins-criben y circunscriben cilindros de revolucin, de tal manera que sus bases estn en los pla-nos de dos caras opuestas del hexaedro. Cal-cule el volumen del slido comprendido entre los cilindros.
A) Vp
4 B)Vp
3 C)
Vp2
D) Vp6
E) Vp4
2
11. Se tiene un cilindro de revolucin. En una de sus bases se ha trazado una cuerda AB, m AB = 60 y en la otra base el dimetro CD, tal que ABCD es un trapecio issceles. Si CD=4, halle el volumen del cilindro. (A ABCD=9).
A) p 6 B) 2 6p C) 3 6p
D) 4 6p E) 6 6p
12. En la figura se muestra un octaedro regular inscrita en un cilindro de revolucin. Calcule la razn entre los volmenes de dichos slidos.
A) p : 3 B) p : 2 C) p: 1
D) p: 2 E) 1: 2
13. En un tronco de cilindro oblicuo cuya seccin recta es circular; se inscribe un tronco de pris-ma triangular oblicuo cuya seccin recta es regular, de tal modo que una de sus aristas laterales sea la generatriz mxima del tronco de cilindro.
A) 43p
B) 4
39
p C)
4 33
p
D) p 3
9 E) 49p
14. Se tiene un tronco de cilindro circular recto en el que su volumen es numricamente igual al valor de su rea lateral. Halle la longitud de la circunferencia que constituye su base.
A) p B) 2p C) 3pD) 4p E) 5p
15. En un cilindro se traza un plano paralelo a su eje, a una distancia a de este, que en la cir-cunferencia de la base determina un arco de medida a. Si el rea de la seccin es S, calcule el volumen del cilindro.
A) pi
aStan B)
pi
aScos
C) pi
aSsen
D) pi
aSsen2 E)
pi
aScos2
16. Se muestra un tronco de cilindro de revolucin. Adems, su generatriz menor y mayor miden 2 m y 5 m. Halle el volumen de dicho slido.
3030A) 7p
B) 7p/2
C) 14p/2
D) 21p/4
E) 21p/8
Geometra
58
NIVEL AVANZADO
17. Se muestra un tronco de cilindro oblcuo de seccin recta circular, a+q=90, AB=3, CD=8
y BC=4. Halle el volumen de dicho slido.
A
D
B
C
A) 1285
p B)
13825
p C)
14825
p
D) 18825
p E)
19825
p
18. Calcule el volumen de un cilindro de revolu-cin, sabiendo que sus bases son coplanares
con las caras de un hexaedro regular, una
arista de dicho hexaedro es una generatriz del
cilindro, dos de sus caras son tangentes a la
superficie cilndrica y el rea de la seccin de-
terminada en el cilindro por una de las caras
es 8 2 1+( ) u2.
A) 16 2 1+( ) p u3B) 4 2 1+( ) p u2C) 8 2 p u3
D) 4 2 2 1+( ) p u3E) 16 2 p u3
19. En un cilindro de revolucin, el radio de sus bases es R. Un punto de la circunferencia de
la base superior se une con un punto de la cir-
cunferencia de la base inferior. La recta que
contiene a dichos puntos forma con el plano
de la base un ngulo que mide 7130 y la dis-
tancia entre la recta y el eje de simetra del ci-
lindro es 2 23
R . Calcule el rea de la superfi-
cie total del cilindro.
A) 6pR2 B) 8pR2 C) 10pR2
D) 12pR2 E) 16pR2
20. En la figura se muestra a un cilindro circular recto inscrito en un cubo. Calcule el rea de la
superficie cilndrica del menor slido que se
determinar al trazar un plano secante que pasa
por BD y E.
4 m
E H
G
CB
FFF
DDDA
A) 8 2p m2
B) 6 p m2
C) 6 2 p m2
D) 16 2 p m2
E) 4 2 p m2
Geometra
59
Pirmide
NIVEL BSICO
1. Respecto de una pirmide, indique la secuen-cia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciadosI. Toda pirmide presenta diagonales.II. En una pirmide regular, las caras laterales
son siempre regiones equilteras.III. Existen dos pirmides regulares de igual
cantidad de aristas e igual volumen, que son congruentes.
A) VFF B) VVF C) VFVD) VVV E) FFF
2. Se tiene una pirmide cuadrangular regular V-ABCD, se trazan las apotemas VM y VN de las caras AVB y CVD, tal que el tringulo MVNes equiltero, cuyo lado mide 2 u. Halle el volumen de dicha pirmide.
A) 23
u3 B) 2 33
u3 C) 3 32
u3
D) 4 33
u3 E) 3 34
u3
3. En una pirmide pentagonal regular la suma de caras del ngulo pentaedro de dicha pir-mide es igual a 150, adems, el arista lateral mide 6 u. Halle el rea de su superficie lateral.
A) 30 u2 B) 36 u2 C) 40 u2
D) 45 u2 E) 54 u2
4. Se tiene una pirmide triangular regular V-ABC, tal que la altura VH=AB, calcule la suma de las medidas angulares entre VH y las aristas laterales.
A) 60 B) 30 C) 90D) 150 E) 180
5. Se tiene un tronco de pirmide pentagonal re-gular, cuyas aristas bsicas miden 2 y 6, y la suma de medidas de las caras de uno de sus ngulos triedros es 228. Calcule el rea de la superficie lateral.
A) 10 3 B) 20 3 C) 30 3D) 40 3 E) 50 3
6. Calcule el volumen del slido que resulta de la interseccin de 2 pirmides, una triangular y la otra cuadrangular, de volmenes 30 y 40 m3 respectivamente, si los volmenes de las partes no comunes estn en la razn de 2 a 3 respectivamente.
A) 30 m3 B) 15 m3 C) 20 m3
D) 25 m3 E) 10 m3
NIVEL INTERMEDIO
7. En una pirmide regular cuadrangular, los ngulos que hacen su arista y su cara lateral con la base son complementarios. Halle su volumen si el rea de las bases es 4 2 m2.
A) 4 m3 B) 4 2 m3 C) 43
3m
D) 83
3m E)
163
3m
8. Halle el volumen de la pirmide O-ABC cuyas caras laterales forman diedros de 45 con la base triangular ABC si AB=13 m. BC=14 m y AC=14 m.
A) 56 m3 B) 68 m3 C) 112 m3
D) 156 m3 E) 224 m3
9. En un tronco de cilindro circular recto, est inscrita una pirmide triangular regular O-ABC, cuyo volumen es 3 3 m3 , O es centro de la elipse y ABC est inscrito en la base del tronco. Calcule el volumen del tronco de cilindro circular recto.
A) 8 m3 B) 6 m3 C) 10 m3
D) 12 m3 E) 18 m3
Geometra
60
10. Calcule el volumen de la pirmide O-ABC. Si OA = 17 u , OB=OC=6 u, AB=AC=5 u y mSCAB=106.
A) 6 u3
B) 12 u3
C) 14 u3
D) 16 u3
E) 20 u3
11. Tomando como base las caras de una pir-mide cuadrangular regular, se han trazado
exteriormente tetraedros regulares. Calcule
la distancia entre los vrtices externos de dos
tetraedros opuestos, si la arista bsica de la pi-
rmide mide a.
A) a 2 B) a C) 2a
D) 32a
E) 23a
12. La base de una pirmide cuadrangular O-ABCD es un rectngulo donde 2AB=BC=2A
y la cara BOC es perpendicular a la base.
Calcule BG siendo G baricentro de la cara AOD
y AO=OD=AD.
A) 152
A B) 153
A C) 43
A
D) 15A E) 7A
13. En una pirmide triangular regular V-ABC se traza un plano secante que biseca a uno de los
ngulos internos de la base y que contiene al
vrtice determinando una seccin limitada por
un tringulo rectngulo, si la arista bsica es b.
Calcule el volumen de la pirmide.
A) b3 224
B) b3 26
C) 29
3b
D) 5 212
3b E)
3 22
3b
14. Calcule la longitud de la altura de un cilindro equiltero inscrito en una pirmide triangular
regular de arista lateral de longitud b, si se sabe
que dichas aristas forman con la base de la
pirmide un ngulo que mide a.
A) 2bsen
cot
B) b
sec csc +
C) 2b
sec csc +
D) 2bv
csc sec
E) b
sen sen
15. La arista lateral de una pirmide cuadrangular regular es 2 3 1+( ) y el ngulo formado por la arista lateral y el plano de la base es 60. En
esta pirmide esta inscrito un cilindro circular
recto cuya seccin axial es regular de manera
que una de sus generatrices est situada en la
diagonal de la base en tanto que las circunfe-
rencias de las bases son tangentes a dos caras
laterales adyacentes de la pirmide. Halle el
radio de la base del cilindro.
A) 2 B) 1 C) 3
D) 1,5 E) 2
16. Se tiene un cubo ABCD-EFGH cuya arista tiene una longitud igual a d. Siendo M y N puntos
medios de las aristas AB y DH respectivamente,
halle el volumen del slido MBNH.
A) d3
3 B)
d3
4 C)
d3
12
D) d3
18 E)
d3
24
Geometra
61
NIVEL AVANZADO
17. En una pirmide regular V-ABCDEF, la mnima distancia entre CD y VF es 2 2 cm, y la medida
de unas caras del ngulo hexaedro equiltero
es 37. Calcule el volumen de la pirmide.
A) 3 3 cm3
B) 4 3 cm3
C) 4 2 cm3
D) 6 3 cm3
E) 6 2 cm3
18. En una pirmide cuadrangular regular, por la diagonal de la base se traza un plano paralelo a
una arista lateral determinando una pirmide
cuya base se encuentra en la base de la pir-
mide inicial. Halle la razn de volmenes de
dichas pirmides.
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4
D) 2/3 E) 1/8
19. Sea una pirmide V-ABCD cuya base es un rombo. Donde mSBAD=74 y AB=5 u calcule
el volumen de dicha pirmide si el pie de su
altura es el punto de interseccin de sus diago-
nales y el menor ngulo que forma una de sus
aristas laterales con la base es 45.
A) 8 B) 16 C) 18
D) 24 E) 32
20. En una pirmide cuadrangular regular, por la diagonal de la base se traza un plano perpen-
dicular a la arista lateral y determina un ngulo
diedro con la base que mide 53. Adems, el
rea de la seccin determinada multiplicada
por la diagonal de la base es 24 m3. Calcule el
volumen de la pirmide.
A) 5 m3
B) 6 m3
C) 8 m3
D) 10 m3
E) 12 m3
Geometra
62
Cono
NIVEL BSICO
1. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.I. Todo cono es un conjunto convexo.II. El desarrollo de la superficie lateral de un
cono de revolucin siempre es un conjunto convexo.
III. Solo los conos de revolucin presentan seccin axial.
A) VVV B) VFV C) FVVD) FF
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