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FORMULARIO DE MATEMATICAS
COESMA 2010
ÍNDICE
MATEMÁTICAS
GeometríaTrigonometríaNúmeros ComplejosGeometría Analítica del EspacioReglas Generales de DerivaciónTablas de IntegralesVectoresIntegrales MúltiplesFórmulas MisceláneasSeries de Fourier Transformada de Laplace
1
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
Geometría
Volumen 43
3 r
Área de la Superficie 4 2 r
Volumen r h2
Área de la superficie lateral 2 rh
r
h
Volumen 13
2 r h
Área de la superficie lateral r r h r l2 2
Volumen 13
2 2 h a ab b
Área de la superficie lateral
a b h b a
a b l
2 2
h
a
b
l
2
Trigonometría
sen sen cos cos senA B A B A B
cos cos cos sen senA B A B A B
tan A BtanA tanB
tanAtanB
1
sen sen A A
cos cos A A sen sen cos cosA B A B A B 12
sen cos sen senA B A B A B 12
cos cos cos cosA B A B A B 12
Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.
Ley de los senos
Ley de los cosenosc a b a b C2 2 2 2 cos
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
a b
a b
tan A B
tan A B
1212
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
A
B
C
a
c
b
Números Complejos
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que r i r p i p
p pcos sen cos sen
Sea n cualquier entero positivo y , entonces
r i r in n kn
kncos sen cos sen 1 1 2 2
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo
3
Geometría Analítica del Espacio
Considerando P x y z1 1 1 1 , , y P x y z2 2 2 2 , ,
Vector que une P1 y P2 : PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1 , , , ,
Distancia entre dos puntos:
d x x y y z z l m n 2 1
2
2 1
2
2 1
2 2 2 2
Recta que pasa por dos puntos:- Forma Paramétrica:
x x l t 1 y y mt 1 z z n t 1
-Forma Simétrica:
tx x
l
1 ty y
m
1 tz z
n
1
Cosenos Directores:
cos
x x
d
l
d2 1 cos
y y
d
m
d2 1 cos
z z
d
n
d2 1
donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente.
Ecuación del Plano:
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a
1 2 3, , :
a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0
-Forma General:Ax By Cz D 0
cos cos cos2 2 2 1 o
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.
4
Coordenadas cilíndricas:
x r
y r
z z
cos
sen
o
r x y
tan
z z
yx
2 2
1
r
z
y
x
y
z
P(x,y,z)(r,z){
x
O
Coordenadas esféricas:
x r
y r
z r
sen cos
sen sen
cos
o r x y z
tanyx
z
x y z
2 2 2
1
12 2 2
cos
z
y
x
y
P (r,{
(x,y,z)
O
z
r
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tan
m m
m m2 1
1 21
Reglas Generales de Derivación
d
dxcx c
d
dxcx ncxn n 1
d
dxu v w
du
dx
dv
dx
dw
dx
d
dxcu c
du
dx
d
dxuv u
dv
dxv
du
dx
d
dxuvw u v
dw
dxu w
dv
dxv w
du
dx
d
dx
u
v
v dudx u dv
dxv
2
d
dxu nu
du
dxn n 1
(Regla de la cadena)
5
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
d
dxu
e
u
du
dxa aa
aloglog
, 0 1
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d
dxu
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si usec
sec
sec
1
2 2
12
21
1
1
1
1
0
d
dxu
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si ucsc
csc
csc
1
2 2
12
21
1
1
1
1
0
0
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d
dxu u
du
dxcoth csc h2
d
dxu u u
du
dxsec sec tanhh h
d
dxu u u
du
dxcsc csc cothh h
6
d
dxu
u
du
dx
si u u
si u ucos
cosh ,
cosh ,h-1
1
1
0 1
0 12
1
1
d
dxu
u
du
dxu o ucoth
12
1
11 1
d
dxu
u u
du
dx
si u u
si u usec
sec ,
sec ,h
h
h-1
1
1
0 0 1
0 0 12
1
1
d
dxu
u u
du
dx u u
du
dxsi u si ucsc ,h-1
1
1
1
10 0
2 2
Regla de L`Hopital
Tablas de Integrales
u dv uv v du csc cot cscu u du u C u du
nu C nn n
1
111
du
uu C ln cot ln senu du u C
e du e Cu u a du
a
aCu
u
ln
csc ln csc cotudu u u C
sen cosudu u C du
a u
u
aC
2 2
1
sen
du
u u a a
u
aC
2 2
11
sec
csc cot2 u du u C du
a u a
u a
u aC2 2
1
2
ln
du
u a a
u a
u aC2 2
1
2
ln
a u duu
a ua
u a u C2 2 2 22
2 2
2 2 ln
du
u a u a
a u a
uC
2 2
2 21
ln
u a u duu
a u a ua
u a u C2 2 2 2 2 2 22
2 2
82
8 ln
du
u a u
a u
a uC
2 2 2
2 2
2
7
a u
udu a u a
a a u
uC
2 22 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 2 3 2 2 2 2
/
a u
udu
a u
uu a u C
2 2
2
2 22 2
lna u du
ua u
a u
aC2 2 2 2
21
2 2 sen
du
a uu a u C
2 2
2 2
ln
u du
a u
ua u
au a u C
2
2 2
2 22
2 2
2 2 ln
a u
udu a u a
a a u
uC
2 22 2
2 2
ln
a u
udu
ua u
u
aC
2 2
22 2 11
sen u a duu
u aa
u u a C2 2 2 22
2 2
2 2 ln
u du
a u
ua u
a u
aC
2
2 2
2 22
1
2 2 sen
Cdu
u a u a
a a u
uC
2 2
2 21
ln
u a
udu u a a
a
uC
2 22 2 1
cos
du
u a u a ua u C
2 2 2 22 21
u a
udu
u a
uu u a C
2 2
2
2 22 2
ln
du
u au u a C
2 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 23
2 2 2 2
du
u u a
u a
a uC
2 2 2
2 2
2
du
u a
u
a u aC
2 23
2 2 2 2
udu
a bu ba bu a a bu C
1
2 ln u du
a bu ba b u abu a bu
2
32 2 22
158 3 4
du
u a bu a
a bu a
a bu aC a
1
0ln , si
201
a
a bu
aC atan , si
du
u a bu a
u
a buC
1
lna bu
udu a bu a
du
u a bu
2
du
u a bu au
b
a
a bu
uC2 2
1
ln
a bu
udu
a bu
u
b du
u a bu
2 2
udu
a bu
a
b a bu ba bu C
2 2
1ln
u a budu
b nu a bu na u a budun n n
2
2 3
32 1
8
du
u a bu a a bu a
a bu
uC
2 2
1 1ln
u du
a bu
u a bu
b n
na
b n
u du
a bu
n n n
2
2 1
2
2 1
1
du
u a bu
a bu
a n u
b n
a n
du
u a bun n n
1
2 3
2 11 1
u a budub
bu a a bu C 2
153 22
32
udu
a bu bbu a a bu
2
322
sen sen2 12
14 2udu u u C csc csc cot ln csc cot3 1
212udu u u u u C
cos sen2 12
14 2udu u u C sen sen cos senn
nn nu du u u
n
nu du
1 1 21
cos cos sen cosnn
n nu du u un
nu du
1 1 21
sen sen cos3 13
22udu u u C cot cot cotn n nudun
u udu
1
11 2
cos cos sen3 13
22u du u u C sec sec secn n nu dun
tanu un
nu du
1
1
2
12 2
csc cot csc cscn n nu dun
u un
nu du
1
1
2
12 2
cot cot ln sen3 12
2u du u u C
sen sen
sen senau bu du
a b u
a b
a b u
a bC
2 2
sec sec ln sec3 12
12u du u tanu u tanu C
cos cos
sen senau bu du
a b u
a b
a b u
a bC
2 2
sen cos
cos cosau bu du
a b u
a b
a b u
a bC
2 2
u udu u u n u udun n ncos sen sen 1
u udu u u u Csen sen cos sen cosn mu udu
sen cos
sen cosn m
n mu u
n m
n
n mu u du
1 121
sen cos
sen cosn m
n mu u
n m
m
n mu udu
1 121
u u du u u u Ccos cos sen u u du
uu
u uCcos cos
1
21
22 1
4
1
4u u du u u n u u dun n nsen cos cos 1
sen sen 1 1 21u du u u u Cu u du
nu u
u du
unn n
n
sen sen ,
1 1 1
1
2
1
1 11
cos cos 1 1 21udu u u u Cu udu
nu u
u du
unn n
n
cos cos ,
1 1 1
1
2
1
1 11
9
u u duu
uu u
Csen sen
12
122 1
4
1
4
ue dua
au e Cau au 112
ln lnudu u u u C
u e dua
u en
au e dun au n au n au 1 1
u u du
u
nn u Cn
n
ln ln
1
211 1
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
sen sen cos
2 2
1
u udu u C
lnln ln
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
cos cos sen
2 2
senh coshudu u C cosh senhudu u C
coth ln senhudu u C
22
22
2 22
1au u duu a
au ua a u
aC
cos
du
a u u
a u
aC
2 2
1
cos
u au u duu au a
au ua a u
aC2
2 3
62
22
22
31
cos
udu
au ua u u a
a u
aC
22
2
2 1
cos
22
2
22 1
a u u
udu a u u a
a u
aC
cos
du
u a u u
a u u
a uC
2
22
2
2 2 22
2
21
a u u
udu
a u u
u
a u
aC
cos
Teorema Fundamental del Cálculo
10
Vectores
A B A B cos 0
donde es el ángulo formado por A y B
A B A B A B A B1 1 2 2 3 3
donde A i j k A A A1 2 3 , B i j k
B B B1 2 3
Son resultados fundamentales:
Producto cruz:
Magnitud del Producto Cruz
El operador nabla se define así:
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas parciales.
Gradiente de U = grad U
Divergencia de A = div A
A
x
A
y
A
z1 2 3
Rotacional de A = rot A
A
y
A
z
A
z
A
x
A
x
A
y3 2 1 3 2 1i j k
Laplaciano de U =
11
Integrales Múltiples
donde y f x 1 e y f x 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:
donde , son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico .
En parámetro arbitrario: En parámetro s:
Vector tangente unitario
t tr t
r t( )
( )
( )
t s r s( ) ( )
Vector normal principal
n sr s
r s( )
( )( )
Vector binormal
Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo
b t n n b t t n b x x x, ,
Recta tangente en Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica
r r t r t 0 0
Plano osculador t n, en
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica
r r t r t xr t 0 0 0 0
x x y y z z
x y z
x y z
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
12
Curvatura y Torsión
tr t r t
r tt
r t r t r t
r t r t
x x
x3 2
Plano Normal
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0
Plano Rectificante t b, en
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t n t 0 0 0
x x y y z z
x y z
y z y z z x z x x y x y
- - -0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
Propiedades de la Divergencia
i) div ( + ) = div ( ) +div ( )
ii) div ( ) = div( ) + ( grad )
iii) div ( + ) = G rot ( ) - ( )
13
Fórmulas misceláneas
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para
Trabajo W
Longitud de arco de y f x en
Centro de gravedad de una región plana ,
Longitud de arco en forma paramétrica
Momento de inercia de R respecto al origen
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y
Cálculo del volumen
Ecuación diferencial de primer orden y P x y Q x( ) ( )
Solución ye Q x e dx kP x dx P x dx( ) ( )
( )
Ecuación del resorte helicoidal r t t tt
( ) cos ,sen ,2
Derivada direccional D f x y z f x y zu
, , , , u (
u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC
q E t 1
Fuerza ejercida por un fluído
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g 2 20
Ley de Torricelli v =
14
Series de Fourier15
ao =
∏
∫ f (x) dx -∏
1 2∏
an =
∏
∫ f (x) -∏
1 ∏
cos nx dx
n= 1, 2, 3…
bn =
∏
∫ f (x) -∏
1 ∏
sen nx dx
n=1F(x)= a0 + ∑
∞ ( an cos nx + bn sen nx)
n= 1, 2, 3…
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