ESFUERZO DE ORIGEN TÉRMICO

CALOR

Ms. JOEL HERRADDA VILLANUEVA

L=L0 T

ESFUERZO DE ORIGEN TÉRMICO

Lo ΔL

L

CALOR

α se denomina Coeficiente de dilatación térmica y es característica de cada material; sus valores están tabulados y se expresan en unidades 1/ºC.En el caso mas simple, se tiene una barra de longitud Lo:

Lo

Lo dilata una cantidad ΔL cuando la temperatura de Lo se incrementa.

Lo ΔL L

L=Lo+ΔL Є=ΔL/Lo=(L-Lo)/Lo Є es positivo

Lo contrae una cantidad ΔL cuando la temperatura disminuye

L ΔL Lo

L=Lo-ΔL Є=ΔL/Lo=( L-Lo )/Lo Є es negativo

La experiencia ha demostrado que si La experiencia ha demostrado que si incrementamos la temperatura de un incrementamos la temperatura de un cuerpo éste se dilata ( aumenta sus cuerpo éste se dilata ( aumenta sus dimensiones) y si se decrementa la dimensiones) y si se decrementa la temperatura éste se contrae (reduce temperatura éste se contrae (reduce sus dimensiones); este fenómeno es sus dimensiones); este fenómeno es reversible, es decir, cuando el cuerpo reversible, es decir, cuando el cuerpo vuelve a la temperatura inicial, vuelve a la temperatura inicial, recupera las dimensiones que tenía recupera las dimensiones que tenía inicialmente.inicialmente.

Fácilmente se comprende que en un cuerpo Fácilmente se comprende que en un cuerpo en cuyo interior exista un gradiente de en cuyo interior exista un gradiente de temperaturas, las dilataciones de las temperaturas, las dilataciones de las superficies que se encuentren en un instante superficies que se encuentren en un instante determinado a mayor temperatura serán determinado a mayor temperatura serán superiores a las de temperaturas más bajas, superiores a las de temperaturas más bajas, y esta dilatación relativa de unas superficies y esta dilatación relativa de unas superficies respecto de otras, serán causa de un estado respecto de otras, serán causa de un estado de tensiones que en algunos casos (como de tensiones que en algunos casos (como ocurre en las turbinas de vapor y motores ocurre en las turbinas de vapor y motores Diesel) puede ser de extraordinaria Diesel) puede ser de extraordinaria importancia su conocimiento. importancia su conocimiento.

Consideraremos en primer lugar, el Consideraremos en primer lugar, el caso en que el gradiente de caso en que el gradiente de temperaturas es nulo, es decir, cuando temperaturas es nulo, es decir, cuando en todo el material la temperaturas es en todo el material la temperaturas es nulo, es decir, cuando en todo el nulo, es decir, cuando en todo el material la temperatura es uniforme.material la temperatura es uniforme.

Experimentalmente se ha obtenido que la Experimentalmente se ha obtenido que la variación de la longitud con la temperatura variación de la longitud con la temperatura es una función lineal, por lo que los es una función lineal, por lo que los alargamiento serán directamente alargamiento serán directamente proporcionales a los incrementos de proporcionales a los incrementos de temperatura.temperatura.

ℓℓ = = ℓℓoo (1 + (1 + ΔT)ΔT)

o bieno bien

Δl = Δl = ℓℓ ΔT ΔT

La constante de proporcionalidad La constante de proporcionalidad αα es una es una característica física del material y se llama característica física del material y se llama coeficiente de dilatación lineal.coeficiente de dilatación lineal.

Los valores que toma este coeficiente para Los valores que toma este coeficiente para los materiales más usuales en construcción los materiales más usuales en construcción se reflejan en la tabla que se muestra en la se reflejan en la tabla que se muestra en la siguiente diapositiva.siguiente diapositiva.

En consecuencia, el cambio unitario en la En consecuencia, el cambio unitario en la longitud de la barra debido a la variación de longitud de la barra debido a la variación de temperatura, ΔT, será:temperatura, ΔT, será:

Tl

l

Es evidente que si la barra sometida a un Es evidente que si la barra sometida a un cambio de temperatura es libre, no cambio de temperatura es libre, no aparecerá tensión alguna, ya que no existe aparecerá tensión alguna, ya que no existe ninguna fuerza sobre la misma. ninguna fuerza sobre la misma.

En cambio, si la barra como frecuentemente En cambio, si la barra como frecuentemente ocurre está impedida a alargarse, el ocurre está impedida a alargarse, el fenómeno es equivalente a una compresión fenómeno es equivalente a una compresión cuyo acortamiento sea igual al alargamiento cuyo acortamiento sea igual al alargamiento térmico. térmico.

Por la ley de Por la ley de HookeHooke, en la barra se creará , en la barra se creará una tensión normal dada por la ecuaciónuna tensión normal dada por la ecuación

= -= -E E = -E = -E ΔTΔT

En la construcción y en el diseño En la construcción y en el diseño de miembros de un mecanismo o de miembros de un mecanismo o elementos estructurales, es elementos estructurales, es necesario tener en cuenta las necesario tener en cuenta las deformaciones térmicas, sobre todo deformaciones térmicas, sobre todo cuando se emplean distintos cuando se emplean distintos materiales. materiales.

Algunas veces, los valores del Algunas veces, los valores del coeficiente de dilatación térmica coeficiente de dilatación térmica son casi iguales, entonces se son casi iguales, entonces se favorece su uso conjunto, como favorece su uso conjunto, como ocurre con el hormigón y el acero ocurre con el hormigón y el acero cuando se utilizan ambos en el cuando se utilizan ambos en el hormigón armado.hormigón armado.

Es conveniente utilizar el siguiente procedimiento Es conveniente utilizar el siguiente procedimiento para determinar las tensiones térmicas cuando se para determinar las tensiones térmicas cuando se impiden las dilataciones:impiden las dilataciones:

– Se calcula la dilatación, como si ésta fuera libre.Se calcula la dilatación, como si ésta fuera libre.– Se aplica la fuerza de tracción o compresión Se aplica la fuerza de tracción o compresión

monoaxial para que la pieza ocupe la posición a monoaxial para que la pieza ocupe la posición a la que está obligada por las ligaduras impuestas.la que está obligada por las ligaduras impuestas.

– Se hace un esquema gráfico de los dos Se hace un esquema gráfico de los dos apartados anteriores y se deducirá de él la apartados anteriores y se deducirá de él la relación o relaciones geométricas entre las relación o relaciones geométricas entre las deformaciones debidas a las variaciones deformaciones debidas a las variaciones térmicas y las fuerzas de tracción o compresión térmicas y las fuerzas de tracción o compresión aplicadas.aplicadas.

Ejemplos:Ejemplos: La viga rígida indeformable articulada en el punto O La viga rígida indeformable articulada en el punto O

está colgada de dos tirantes elásticos iguales. está colgada de dos tirantes elásticos iguales. Determinar los esfuerzos en los tirantes al Determinar los esfuerzos en los tirantes al calentarlos ∆T calentarlos ∆T ooC.C.

Cortamos los tirantes e introducimos las fuerzas NCortamos los tirantes e introducimos las fuerzas N11

y Ny N22 [figura (b)]. [figura (b)].

Igualando a cero la suma de los momentos de las Igualando a cero la suma de los momentos de las fuerzas respecto a la articulación O, hallaremosfuerzas respecto a la articulación O, hallaremos

NN11 a + 2 N a + 2 N22 a = 0 a = 0

Supongamos ahora que, como resultado del Supongamos ahora que, como resultado del calentamiento de los tirantes, la viga rígida gira calentamiento de los tirantes, la viga rígida gira alrededor del punto O y ocupa la posición A’B’ alrededor del punto O y ocupa la posición A’B’ [figura (b)]. [figura (b)].

De la semejanza de los triángulos OAA’ y =OBB’, De la semejanza de los triángulos OAA’ y =OBB’, hallaremoshallaremos

∆ℓ∆ℓ22 = 2 ∆ℓ = 2 ∆ℓ11

O de acuerdo con la ecuación que nos da el O de acuerdo con la ecuación que nos da el alargamiento de una barra homogénea, solicitada en alargamiento de una barra homogénea, solicitada en sus extremos y calentada uniformemente: sus extremos y calentada uniformemente:

TSE

P

T

SE

NT

SE

N

12 2

Es decir,Es decir,

NN22 – 2 N – 2 N11 = E S = E S αα ΔT ΔT

Resolviendo esta ecuación simultáneamente con la de Resolviendo esta ecuación simultáneamente con la de equilibrio, obtendremos,equilibrio, obtendremos,

TSE5

1NyTSE

5

2N 21

El signo negativo de NEl signo negativo de N11 indica que la primera barra no indica que la primera barra no

trabaja a tracción como se supuso anteriormente, sino a trabaja a tracción como se supuso anteriormente, sino a compresión.compresión.

Se trata de un problema hiperestático por lo que es conveniente suponer que el extremo superior se encuentra libre. El DSL será como el de la figura. En esta condición la viga puede deformarse libremente, entonces:

mxCmCxTLL 46 1034,2)º105)(1)(/º104,23( Esta sería la contracción que sufriría la viga por efecto térmico estando su extremo libre.Calcularemos entonces la fuerza que sería necesaria para colocar el extremos superior de la viga en su posición original.

LEAL

F..De la relación:

kgm

cmkgxcmmxF 2,655

1)/108,2)(10)(1034,2( 2524

Por lo tanto la tensión (esfuerzo) que se desarrolla en la viga por efecto térmico es:

2102,655cmkg

AF

Entonces: 2/52,65 cmkg

Solución:El cambio de longitud (acortamiento) por efecto térmico será:

TLL

mmCmmCxL 1,62)º20020)(300)(/º105,11( 4

La deformación axial unitaria es: 207,03001,62 mmmm

LL

Luego, el esfuerzo que se desarrolla en la barra es:

)/101,2(207,0 25 mmNxE

2/43470 mmN

Probablemente después de una ligera deformación, la barra se rompa, antes de que la temperatura alcance los 20 ºC.

De la relación: TLL Obtenemos,

CmmCx

mmLL

T º26,5)200)(/º1019(

2,06

Solución:

El aumento de temperatura necesario para que el extremo A de la barra alcance la pared rígida se determina de la expresión correspondiente a la deformación por efecto térmico

El incremento de temperatura que exceda los 5,26 ºC originará esfuerzo de origen térmico en el interior de la barra.

Este incremento de temperatura es:

CCCT º74,44º26,5º50

El esfuerzo que se genera en el interior de la barra por efecto de este incremento de temperatura es:

TEE

GPaCCxGPa 0935,0)º74,44)(/º1019)(110( 6

MPa5,93

Solución:

Podemos determinar la fuerza cortante en el tornillo vertical y en base a él se pueden realizar cálculos para la varilla de acero.Área del tornillo:

252

10854,74

)01,0(4

mxmD

A

Entonces la fuerza cortante en el tornillo es:

NmxPaxAF 4,4712)10854,7)(1060( 256

La fuerza en la varilla será: NNFP 8,9424)4,4712(22

El esfuerzo en la varilla es: MpaPaxmxN

AP

120102,110854,78,9424 8

25

El aumento de temperatura que genere este esfuerzo se puede calcular utilizando la relación:

TE Así: C

CxPaxPax

ET º50

)/º1012)(10200(102,1

69

8

CT º50

La barra AC representada en la figura es totalmente rígida, está articulada en A y unida a las barras BD y CE. El peso de AC es 5 000 kg y el de las otras dos barras es despreciable. Si la temperatura de las barras BD y CE aumenta 40 ºC. Hallar los esfuerzos producidos en esas barras. BD es de cobre para el cual E = 1,05 x 106 kg/cm2 , α = 17,7 x 10-6 / ºC y la sección 12 cm2 , mientras que CE es de acero para el cual E = 2,1 x 106 kg/cm2, α = 11 x 10-6 / ºC y la sección 6 cm2 , despreciar la posibilidad de pandeo lateral en las barras

EJEMPLO:

El diagrama de sólido libre de la barra ABC se muestra en el gráfico siguiente:

Del equilibrio del sistema podemos obtener las siguientes ecuaciones:

00 xx AF

kgCEBDAF yy 50000 )120(5000)240()120(0 CEBDM A kgCEBD 50002

Como se aprecia el problema es hiperestático, por lo que requerimos suplementar las ecuaciones del equilibrio con ecuaciones de deformación de los componentes del sistema en estudio.

----(1)

Las barras BD y CE se deforman por acción mecánica y efecto térmico, entonces la barra ABC adoptará una posición inclinada como se muestra en el esquema

De este esquema se obtiene:

BDCECEBD

cm2

240120

TAEP

La deformación cuando es originada por acción mecánica y por efecto térmico se expresa de la forma siguiente:

)º40)(/º107,17(90

)12(/1005,1)90(

2)º40)(/º1011(90)6(/101,2

)90( 6226

6226 CCxcm

cmcmkgxcmBD

CCxcmcmcmkgx

cmCE

-------- (2)

De la ecuación (2) con los datos del problema se tiene:

De donde: 7,1429 CE-4,2857 BD = 87 840 ----------(3)

Considerando la ecuación (1) tenemos:

7,1429 CE – 14,2857(5 000 kg – 2 CE) = 87840 de donde:

CE = 4 459,52 kg y BD = - 3 919,04 kg entonces los esfuerzos serán:

2652,4459cm

kgCE

2/25,743 cmkgCE

21204,3919

cmkg

BD

2/59,326 cmkgBD