6. Esercizi di Dinamica del

Punto Materiale

Fisica Generale A

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September 24, 2010

Esercizio 1

• Un pacco pesante, di massa m = 80 kg, viene trascinato su di un pavimento orizzontale mediante una fune, tesa a un angolo

= /2000 rispetto all’orizzontale.

• Il coefficiente di attrito dinamico tra pacco e pavimento è pari a μ = 0.4.

• Quale forza deve essere esercitata sulla fune affinché il moto sia uniforme?

• Quale forza deve essere esercitata sulla fune affinché il moto sia uniformemente accelerato con accelerazione a = 2 m/s2?

• = 200

T

p

Rt

Rn

2Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 1 (II)

• Il pacco non ruota ma trasla soltanto. Può essere perciò considerato un punto materiale.

• Primo caso: moto uniforme.

• La risultante delle forze deve essere nulla.

• Per componenti:

• Sappiamo inoltre che:

R = p + R

n+ R

t+ T = 0

Rt+ T cos = 0

T sin + Rnmg = 0

R

t= μR

n

3Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

T

p

Rt

Rn

Esercizio 1 (III)

• Eliminiamo Rt e Rn dalle equazioni:

Rt+T cos = 0

T sin + Rnmg = 0

Rt= μR

n

T sin +Rt

μmg = 0

T sin +T cos

μmg = 0 T sin +

cos

μ= mg

T =μmg

μ sin + cos=

0.4 80 9.81

0.4sin0.314 + cos0.314= 292N

4Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

T

p

Rt

Rn

Esercizio 1 (IV)

• Secondo caso: moto uniformemente accelerato, con accelerazione a = 2 m/s2.

• La risultante delle forze deve essere pari a ma.

• Per componenti:

R = p + Rn+ R

t+ T = ma

Rt+ T cos = ma

T sin + Rn

mg = 0

Rt= μR

n

5Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

T

p

Rt

Rn

Esercizio 1 (V)

• Eliminiamo Rt e Rn dalle equazioni:

Rt+T cos = ma

T sin + Rnmg = 0

Rt= μR

n

T sin +Rt

μmg = 0

T sin +T cos ma

μmg = 0 T sin +

cos

μ= mg +

ma

μ

T =μmg + ma

μ sin + cos=0.4 80 9.81+ 80 2

0.4sin0.314 + cos0.314= 440N

6Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

T

p

Rt

Rn

Esercizio 2

• Un punto materiale di massa m = 4 kg è vincolato a muoversi lungo una guida rettilinea orizzontale fissa.

• Al tempo t = 0 il punto materiale ha velocità v(0) = v0 = ( /10) m/s.

• Il punto materiale è soggetto a una forza avente la stessa direzione della velocità, verso opposto e modulo proporzionale alla radice quadrata del modulo della velocità, essendo k = m1/2 kg s 3/2 la costante di proporzionalità.

• Trovare il tempo necessario affinché il punto si arresti e la distanza percorsa dal punto.

• = 360.

7Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 2 (II)

• Scelto l’asse x diretto come la guida, la forza si scrive:

• La forza è contraria alla velocità e dunque rallenta il punto materiale. Tuttavia la forza non è in grado di fare cambiare verso alla velocità, perché quando il punto si ferma la forza diventa nulla.

• Le condizioni iniziali si scrivono:

• Per il secondo principio della dinamica si ha, considerando la componente x:

F = k v v̂

x 0( ) = 0

x 0( ) = v0

mv = k v

8Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 2 (III)

• Risolvendo:

• Indicando con t1 l’istante in cui il punto si ferma, si ha:

dv

dt=

k

mv

dv

v

=k

mdt

dv

vv0

v t( )

=k

mdt

0

t

2 vv0

v t( )=

k

mt0

t

2 v t( ) 2 v0=

k

mt v t( ) = v

0

k

2mt

v t( ) = v0

k

2mt

2

0 = v0

k

2mt1

2

v0

k

2mt1= 0

t1=2m

kv0=2 8

36036 = 0.267s

9Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 2 (IV)

• Per calcolare la distanza percorsa occorre conoscere la legge oraria.

• Integriamo l’espressione della velocità:

dx

dt= v

0

k

2mt

2

dx = v0

k

2mt

2

dt

dx

x 0( )

x t( )

= v0

k

2mt

2

d t

0

t

= v0

k

mv0t +

k2

4m2t2dt

0

t

x t( ) x 0( ) = v0t

k

2mv0t2+k2

12m2t3

0

t

x t( ) =k2

12m2t3

k

2mv0t2+ v

0t

10Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 2 (V)

• Sostituendo t1:

x t( ) =k

2

12m2

t3

k

2mv

0t

2+ v

0t

t1=

2m

kv

0

x t1

( ) =k2

12m2t1

3k

2mv0t1

2+ v

0t1=

=k2

12m2

8m3

k3v0v0

k

2mv0

4m2

k2v0+ v

0

2m

kv0=

=2

3

m

kv0v0

v0

2m

kv0+ v

0

2m

kv0=2

3

m

kv0v0

x t1

( ) =2

3

4

36036 36 = 1.60m

11Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 3

• Un cubetto, di massa m = 1 g, è posto all’interno di un imbuto che ruota attorno al proprio asse, disposto verticalmente (vedi figura) con frequenza pari a s 1.

• Le pareti dell’imbuto sono inclinate di un angolo = 60º rispetto alla verticale, il coefficiente di attrito statico tra cubetto e imbuto è f = /1000 e il centro del cubetto si trova a una distanza r = 5 cm dall’asse dell’imbuto.

• Quali sono i valori minimo e massimo della frequenza di rotazione per i quali il cubetto non si muove rispetto all’imbuto? m

r

12Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 3 (II)

• Nel SdR (non inerziale) dell’imbuto in rotazione, oltre alla forza peso, alla reazione vincolare e alla forza di attrito radente statico, è presente anche la forza di trascinamento FT = 2rm.

• Considerando le componenti parallela e perpendicolare alla generatrice dell’imbuto, si ha:

dove nel simbolo ± si sceglie il segno + o a seconda che prevalga la forza di trascinamento o la forza peso (in quanto la forza di attrito radente statico è sempre opposta alla risultante delle forze attive).

r

FT=

2rm

p = mg

mg cos 2rmsin ± Rt

s( )= 0

Rt

s( )f R

n= f mg sin +

2rmcos( )

13Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

m

r

Esercizio 3 (III)

• Si ha allora:

mg cos2rmsin ± R

t

s( )= 0

Rt

s( )f mg sin +

2rmcos( )mg cos

max

2 rmsin + f mg sin +max

2 rmcos( ) = 0

mg cosmin

2 rmsin f mg sin +min

2 rmcos( ) = 0

mg cosmax

2 rmsin + mgf sin +max

2 rmf cos = 0

mg cosmin

2 rmsin mgf sinmin

2 rmf cos = 0

max

2 r sinmax

2 rf cos = g cos + gf sin

min

2 r sin +min

2 rf cos = g cos gf sin

max

2 r sin f cos( ) = g cos + f sin( )

min

2 r sin + f cos( ) = g cos f sin( )14Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

m

r

Esercizio 3 (IV)

• E dunque:

max

2 r sin f cos( ) = g cos + f sin( )

min

2 r sin + f cos( ) = g cos f sin( )

max

2=

g cos + f sin( )r sin f cos( )

min

2=

g cos f sin( )r sin + f cos( )

15Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

m

r

Esercizio 3 (V)

• Infine:

max

2=g cos + f sin( )r sin f cos( )

min

2=g cos f sin( )r sin + f cos( )

max=

1

2

g cos + f sin( )r sin f cos( )

f < tan

f > tan

min=

1

2

g cos f sin( )r sin + f cos( )

f < cot

0 f > cot

16Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

m

r

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