Esercizio 1 Fisica Generale A - CORE · 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale Fisica Generale...
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6. Esercizi di Dinamica del
Punto Materiale
Fisica Generale A
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September 24, 2010
Esercizio 1
• Un pacco pesante, di massa m = 80 kg, viene trascinato su di un pavimento orizzontale mediante una fune, tesa a un angolo
= /2000 rispetto all’orizzontale.
• Il coefficiente di attrito dinamico tra pacco e pavimento è pari a μ = 0.4.
• Quale forza deve essere esercitata sulla fune affinché il moto sia uniforme?
• Quale forza deve essere esercitata sulla fune affinché il moto sia uniformemente accelerato con accelerazione a = 2 m/s2?
• = 200
T
p
Rt
Rn
2Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
Esercizio 1 (II)
• Il pacco non ruota ma trasla soltanto. Può essere perciò considerato un punto materiale.
• Primo caso: moto uniforme.
• La risultante delle forze deve essere nulla.
• Per componenti:
• Sappiamo inoltre che:
R = p + R
n+ R
t+ T = 0
Rt+ T cos = 0
T sin + Rnmg = 0
R
t= μR
n
3Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
T
p
Rt
Rn
Esercizio 1 (III)
• Eliminiamo Rt e Rn dalle equazioni:
Rt+T cos = 0
T sin + Rnmg = 0
Rt= μR
n
T sin +Rt
μmg = 0
T sin +T cos
μmg = 0 T sin +
cos
μ= mg
T =μmg
μ sin + cos=
0.4 80 9.81
0.4sin0.314 + cos0.314= 292N
4Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
T
p
Rt
Rn
Esercizio 1 (IV)
• Secondo caso: moto uniformemente accelerato, con accelerazione a = 2 m/s2.
• La risultante delle forze deve essere pari a ma.
• Per componenti:
R = p + Rn+ R
t+ T = ma
Rt+ T cos = ma
T sin + Rn
mg = 0
Rt= μR
n
5Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
T
p
Rt
Rn
Esercizio 1 (V)
• Eliminiamo Rt e Rn dalle equazioni:
Rt+T cos = ma
T sin + Rnmg = 0
Rt= μR
n
T sin +Rt
μmg = 0
T sin +T cos ma
μmg = 0 T sin +
cos
μ= mg +
ma
μ
T =μmg + ma
μ sin + cos=0.4 80 9.81+ 80 2
0.4sin0.314 + cos0.314= 440N
6Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
T
p
Rt
Rn
Esercizio 2
• Un punto materiale di massa m = 4 kg è vincolato a muoversi lungo una guida rettilinea orizzontale fissa.
• Al tempo t = 0 il punto materiale ha velocità v(0) = v0 = ( /10) m/s.
• Il punto materiale è soggetto a una forza avente la stessa direzione della velocità, verso opposto e modulo proporzionale alla radice quadrata del modulo della velocità, essendo k = m1/2 kg s 3/2 la costante di proporzionalità.
• Trovare il tempo necessario affinché il punto si arresti e la distanza percorsa dal punto.
• = 360.
7Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
Esercizio 2 (II)
• Scelto l’asse x diretto come la guida, la forza si scrive:
• La forza è contraria alla velocità e dunque rallenta il punto materiale. Tuttavia la forza non è in grado di fare cambiare verso alla velocità, perché quando il punto si ferma la forza diventa nulla.
• Le condizioni iniziali si scrivono:
• Per il secondo principio della dinamica si ha, considerando la componente x:
F = k v v̂
x 0( ) = 0
x 0( ) = v0
mv = k v
8Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
Esercizio 2 (III)
• Risolvendo:
• Indicando con t1 l’istante in cui il punto si ferma, si ha:
dv
dt=
k
mv
dv
v
=k
mdt
dv
vv0
v t( )
=k
mdt
0
t
2 vv0
v t( )=
k
mt0
t
2 v t( ) 2 v0=
k
mt v t( ) = v
0
k
2mt
v t( ) = v0
k
2mt
2
0 = v0
k
2mt1
2
v0
k
2mt1= 0
t1=2m
kv0=2 8
36036 = 0.267s
9Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
Esercizio 2 (IV)
• Per calcolare la distanza percorsa occorre conoscere la legge oraria.
• Integriamo l’espressione della velocità:
dx
dt= v
0
k
2mt
2
dx = v0
k
2mt
2
dt
dx
x 0( )
x t( )
= v0
k
2mt
2
d t
0
t
= v0
k
mv0t +
k2
4m2t2dt
0
t
x t( ) x 0( ) = v0t
k
2mv0t2+k2
12m2t3
0
t
x t( ) =k2
12m2t3
k
2mv0t2+ v
0t
10Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
Esercizio 2 (V)
• Sostituendo t1:
x t( ) =k
2
12m2
t3
k
2mv
0t
2+ v
0t
t1=
2m
kv
0
x t1
( ) =k2
12m2t1
3k
2mv0t1
2+ v
0t1=
=k2
12m2
8m3
k3v0v0
k
2mv0
4m2
k2v0+ v
0
2m
kv0=
=2
3
m
kv0v0
v0
2m
kv0+ v
0
2m
kv0=2
3
m
kv0v0
x t1
( ) =2
3
4
36036 36 = 1.60m
11Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
Esercizio 3
• Un cubetto, di massa m = 1 g, è posto all’interno di un imbuto che ruota attorno al proprio asse, disposto verticalmente (vedi figura) con frequenza pari a s 1.
• Le pareti dell’imbuto sono inclinate di un angolo = 60º rispetto alla verticale, il coefficiente di attrito statico tra cubetto e imbuto è f = /1000 e il centro del cubetto si trova a una distanza r = 5 cm dall’asse dell’imbuto.
• Quali sono i valori minimo e massimo della frequenza di rotazione per i quali il cubetto non si muove rispetto all’imbuto? m
r
12Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
Esercizio 3 (II)
• Nel SdR (non inerziale) dell’imbuto in rotazione, oltre alla forza peso, alla reazione vincolare e alla forza di attrito radente statico, è presente anche la forza di trascinamento FT = 2rm.
• Considerando le componenti parallela e perpendicolare alla generatrice dell’imbuto, si ha:
dove nel simbolo ± si sceglie il segno + o a seconda che prevalga la forza di trascinamento o la forza peso (in quanto la forza di attrito radente statico è sempre opposta alla risultante delle forze attive).
r
FT=
2rm
p = mg
mg cos 2rmsin ± Rt
s( )= 0
Rt
s( )f R
n= f mg sin +
2rmcos( )
13Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
m
r
Esercizio 3 (III)
• Si ha allora:
mg cos2rmsin ± R
t
s( )= 0
Rt
s( )f mg sin +
2rmcos( )mg cos
max
2 rmsin + f mg sin +max
2 rmcos( ) = 0
mg cosmin
2 rmsin f mg sin +min
2 rmcos( ) = 0
mg cosmax
2 rmsin + mgf sin +max
2 rmf cos = 0
mg cosmin
2 rmsin mgf sinmin
2 rmf cos = 0
max
2 r sinmax
2 rf cos = g cos + gf sin
min
2 r sin +min
2 rf cos = g cos gf sin
max
2 r sin f cos( ) = g cos + f sin( )
min
2 r sin + f cos( ) = g cos f sin( )14Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
m
r
Esercizio 3 (IV)
• E dunque:
max
2 r sin f cos( ) = g cos + f sin( )
min
2 r sin + f cos( ) = g cos f sin( )
max
2=
g cos + f sin( )r sin f cos( )
min
2=
g cos f sin( )r sin + f cos( )
15Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
m
r
Esercizio 3 (V)
• Infine:
max
2=g cos + f sin( )r sin f cos( )
min
2=g cos f sin( )r sin + f cos( )
max=
1
2
g cos + f sin( )r sin f cos( )
f < tan
f > tan
min=
1
2
g cos f sin( )r sin + f cos( )
f < cot
0 f > cot
16Domenico Galli – Fisica Generale A – E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale
m
r
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Domenico Galli Dipartimento di Fisica
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