6. Esercizi di Dinamica del

Punto Materiale

Fisica Generale A

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September 24, 2010

Esercizio 1

Un pacco pesante, di massa m = 80 kg, viene trascinato su di un pavimento orizzontale mediante una fune, tesa a un angolo

= /2000 rispetto allorizzontale.

Il coefficiente di attrito dinamico tra pacco e pavimento pari a = 0.4.

Quale forza deve essere esercitata sulla fune affinch il moto sia uniforme?

Quale forza deve essere esercitata sulla fune affinch il moto sia uniformemente accelerato con accelerazione a = 2 m/s2?

= 200

T

p

Rt

Rn

2Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 1 (II)

Il pacco non ruota ma trasla soltanto. Pu essere perci considerato un punto materiale.

Primo caso: moto uniforme.

La risultante delle forze deve essere nulla.

Per componenti:

Sappiamo inoltre che:

R = p + R

n+ R

t+ T = 0

Rt+ T cos = 0

T sin + Rnmg = 0

R

t= R

n

3Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

T

p

Rt

Rn

Esercizio 1 (III)

Eliminiamo Rt e Rn dalle equazioni:

Rt+T cos = 0

T sin + Rnmg = 0

Rt= R

n

T sin +Rt

mg = 0

T sin +T cos

mg = 0 T sin +

cos

= mg

T =mg

sin + cos=

0.4 80 9.81

0.4sin0.314 + cos0.314= 292N

4Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

T

p

Rt

Rn

Esercizio 1 (IV)

Secondo caso: moto uniformemente accelerato, con accelerazione a = 2 m/s2.

La risultante delle forze deve essere pari a ma.

Per componenti:

R = p + Rn+ R

t+ T = ma

Rt+ T cos = ma

T sin + Rn

mg = 0

Rt= R

n

5Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

T

p

Rt

Rn

Esercizio 1 (V)

Eliminiamo Rt e Rn dalle equazioni:

Rt+T cos = ma

T sin + Rnmg = 0

Rt= R

n

T sin +Rt

mg = 0

T sin +T cos ma

mg = 0 T sin +

cos

= mg +

ma

T =mg + ma

sin + cos=0.4 80 9.81+ 80 2

0.4sin0.314 + cos0.314= 440N

6Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

T

p

Rt

Rn

Esercizio 2

Un punto materiale di massa m = 4 kg vincolato a muoversi lungo una guida rettilinea orizzontale fissa.

Al tempo t = 0 il punto materiale ha velocit v(0) = v0 = ( /10) m/s.

Il punto materiale soggetto a una forza avente la stessa direzione della velocit, verso opposto e modulo proporzionale alla radice quadrata del modulo della velocit, essendo k = m1/2 kg s 3/2 la costante di proporzionalit.

Trovare il tempo necessario affinch il punto si arresti e la distanza percorsa dal punto.

= 360.

7Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 2 (II)

Scelto lasse x diretto come la guida, la forza si scrive:

La forza contraria alla velocit e dunque rallenta il punto materiale. Tuttavia la forza non in grado di fare cambiare verso alla velocit, perch quando il punto si ferma la forza diventa nulla.

Le condizioni iniziali si scrivono:

Per il secondo principio della dinamica si ha, considerando la componente x:

F = k v v

x 0( ) = 0

x 0( ) = v0

mv = k v

8Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 2 (III)

Risolvendo:

Indicando con t1 listante in cui il punto si ferma, si ha:

dv

dt=

k

mv

dv

v

=k

mdt

dv

vv0

v t( )

=k

mdt

0

t

2 vv0

v t( )=

k

mt0

t

2 v t( ) 2 v0=

k

mt v t( ) = v

0

k

2mt

v t( ) = v0

k

2mt

2

0 = v0

k

2mt1

2

v0

k

2mt1= 0

t1=2m

kv0=2 8

36036 = 0.267s

9Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 2 (IV)

Per calcolare la distanza percorsa occorre conoscere la legge oraria.

Integriamo lespressione della velocit:

dx

dt= v

0

k

2mt

2

dx = v0

k

2mt

2

dt

dx

x 0( )

x t( )

= v0

k

2mt

2

d t

0

t

= v0

k

mv0t +

k2

4m2t2dt

0

t

x t( ) x 0( ) = v0t

k

2mv0t2+k2

12m2t3

0

t

x t( ) =k2

12m2t3

k

2mv0t2+ v

0t

10Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 2 (V)

Sostituendo t1:

x t( ) =k

2

12m2

t3

k

2mv

0t

2+ v

0t

t1=

2m

kv

0

x t1

( ) =k2

12m2t1

3k

2mv0t1

2+ v

0t1=

=k2

12m2

8m3

k3v0v0

k

2mv0

4m2

k2v0+ v

0

2m

kv0=

=2

3

m

kv0v0

v0

2m

kv0+ v

0

2m

kv0=2

3

m

kv0v0

x t1

( ) =2

3

4

36036 36 = 1.60m

11Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 3

Un cubetto, di massa m = 1 g, posto allinterno di un imbuto che ruota attorno al proprio asse, disposto verticalmente (vedi figura) con frequenza pari a s 1.

Le pareti dellimbuto sono inclinate di un angolo = 60 rispetto alla verticale, il coefficiente di attrito statico tra cubetto e imbuto f = /1000 e il centro del cubetto si trova a una distanza r = 5 cm dallasse dellimbuto.

Quali sono i valori minimo e massimo della frequenza di rotazione per i quali il cubetto non si muove rispetto allimbuto? m

r

12Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

Esercizio 3 (II)

Nel SdR (non inerziale) dellimbuto in rotazione, oltre alla forza peso, alla reazione vincolare e alla forza di attrito radente statico, presente anche la forza di trascinamento FT =

2rm.

Considerando le componenti parallela e perpendicolare alla generatrice dellimbuto, si ha:

dove nel simbolo si sceglie il segno + o a seconda che prevalga la forza di trascinamento o la forza peso (in quanto la forza di attrito radente statico sempre opposta alla risultante delle forze attive).

r

FT =2rm

p = mg

mg cos 2rmsin Rt

s( )= 0

Rt

s( )f R

n= f mg sin + 2rmcos( )

13Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

m

r

Esercizio 3 (III)

Si ha allora:

mg cos 2rmsin Rt

s( )= 0

Rt

s( )f mg sin + 2rmcos( )

mg cosmax

2 rmsin + f mg sin +max

2 rmcos( ) = 0mg cos

min

2 rmsin f mg sin +min

2 rmcos( ) = 0

mg cosmax

2 rmsin + mgf sin +max

2 rmf cos = 0

mg cosmin

2 rmsin mgf sinmin

2 rmf cos = 0

max

2 r sinmax

2 rf cos = g cos + gf sin

min

2 r sin +min

2 rf cos = g cos gf sin

max

2 r sin f cos( ) = g cos + f sin( )

min

2 r sin + f cos( ) = g cos f sin( )14Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

m

r

Esercizio 3 (IV)

E dunque:

max

2 r sin f cos( ) = g cos + f sin( )

min

2 r sin + f cos( ) = g cos f sin( )

max

2=

g cos + f sin( )r sin f cos( )

min

2=

g cos f sin( )r sin + f cos( )

15Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

m

r

Esercizio 3 (V)

Infine:

max

2=g cos + f sin( )r sin f cos( )

min

2=g cos f sin( )r sin + f cos( )

max=

1

2

g cos + f sin( )r sin f cos( )

f < tan

f > tan

min=

1

2

g cos f sin( )r sin + f cos( )

f < cot

0 f > cot

16Domenico Galli Fisica Generale A E 6. Esercizi di Dinamica del Punto Materiale

m

r

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Domenico Galli Dipartimento di Fisica

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2010-10-01T10:00:45+0200Domenico Galli