Esercizio 1

Un motore asincrono ha le seguenti caratteristiche: tensione nominale 400 V, frequenza nominale

50 Hz, 4 poli, resistenza equivalente di rotore 0,04 Ω (nella rete equivalente con il rotore riportato a

statore), reattanza equivalente di rotore 0,2 Ω. Determinare la coppia meccanica prodotta dal

motore, alimentato a tensione nominale, quando gira alla velocità di 1450 giri al minuto (assumere

nella formula della coppia Es come la tensione stellata nominale).

Svolgimento proposto:

La rete equivalente semplificata del generatore asincrono con la parte rotorica riportata a statore è:

SI

2τRR

0S

.I

0S

.I

τR

SRI

I

=.

SX SR

E

−

ssRR

12τ

2τRX

0SZ SE

Per prima cosa si determina lo scorrimento:

la velocità di sincronismo è data da:

15002

506060 =⋅=⋅=p

fns rpm

03.01500

14501500 =−=−

=s

ms

nnn

s

l’espressione analitica della caratteristica meccanica è:

( ) ( )

2 22

2 2 22 2

3 3 3S SR R R R

R R RR RR

E EpR E pR p RCR R Rs X sX s Xs s s

τω τ ω ω τ

τ

2

2 22

= = =+ + +

perciò, la coppia è:

( ) ( )747

2.003.003.004.0502

340004.023

22

2

=

⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅

=π

C Nm

Esercizio 2

Per il motore precedente, disegnare la caratteristica meccanica per valori di scorrimento 0<s<1.

Svolgimento proposto:

abbiamo già visto che l’espressione analitica della caratteristica meccanica è:

( ) ( )

2 22

2 2 22 2

3 3 3S SR R R R

R R RR RR

E EpR E pR p RCR R Rs X sX s Xs s s

τω τ ω ω τ

τ

2

2 22

= = =+ + +

cerchiamo ora di ricostruire la curva per punti. Il valore della coppia per lo scorrimento pari a 0.03 ègià stato determinato nell’esercizio precedente.

La coppia è massima per un valore dello scorrimento vicino al rapporto:

2.0==R

R

XR

s

per tale valore dello scorrimento si ottiene una coppia pari a 2548 Nm

Calcolando ora vari punti per valori di scorrimento 0<s<1, si ottiene:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

500

1000

1500

2000

2500

3000

s/1000

C (

Nm

)

Esercizio 3

Per il motore asincrono precedente, determinare la corrente assorbita alla velocità di 1410 rpm peruna tensione di alimentazione uguale al valore nominale (assumere la corrente pari a quella chescorre nel circuito del rotore riportato a statore).

Svolgimento proposto:

La corrente rotorica della macchina è:

22

22

RR

S

RR

RR

Xs

R

E

Xs

R

EI

+

=

+

=

τ

mentre lo scorrimento sarà dato da:

06.01500

14101500 =−=−

=s

ms

nnn

s

Rifacendosi alla rete equivalente dell’esercizio 1, si ha:

( ) ( )476

2.006.002.0

3400

22

22

22=

+

=

+

==

RR

SRSR

XsR

EII

τττ A

Esercizio 4

Per il motore asincrono precedente, determinare il rendimento elettrico sapendo che le perdite nelcircuito magnetico sono pari a 5 kW. Disegnare inoltre per punti la curva del rendimento infunzione dello scorrimento

Svolgimento proposto:

il rendimento elettrico è dato da:

avvmagnu

u

e

ue PPP

PPP

++==η

dove Pu è la potenza all’asse, mentre Pmagn e le Pavv comprendono rispettivamente tutti i tipi diperdite nel circuito magnetico e nei conduttori (ad esempio le perdite nelle spazzole, quelle negliavvolgimenti ausiliari, ecc.).

Rifacendoci sempre alla rete equivalente dell’esercizio 1, si può scrivere:

( )

( ) ( )859.0

12704.0312703.0

03.0104.03

12703.0

03.0104.03

313

13

22

2

2222

22

=⋅⋅++

−⋅⋅

⋅

−⋅⋅

=⋅++

−⋅⋅

−⋅⋅

=

magnSRRmagnSRR

SRR

e

PIRPIs

sR

Is

sR

ττ

τη

Andando ora a disegnare la curva ( )seη per punti, ricordando che:

( ) 22

22

RR

SSR

XsR

EI

ττ

+

=

si ottiene:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

s/1000

rend

imen

to

Esercizio 1

Per una dinamo con eccitazione in derivazione con tensione di rete 48 V, resistenza di indotto e di

spazzole 2,5 Ω, resistenza di eccitazione 120 Ω, determinare la tensione generata quando la corrente

erogata alla rete è pari a 3 A

Svolgimento proposto:

La rete equivalente semplificata della dinamo con eccitazione in derivazione è la seguente:

E0

I

V

Rs

Ri

Is

Re

Ie

l’equilibrio elettrico della rete può essere scritto come segue:

sis RR

EVI

+−

= 0

con

4.012048 ===

ee R

VI A

dall’equilibrio al nodo si ha:

4.34.03 =+=+= es III A

quindi:

5.56)4.35.2(48)(0 =⋅+=⋅++= ssi IRRVE V

Esercizio 2

Per la dinamo precedente determinare la coppia che deve essere applicata per ottenere il

funzionamento da generatore descritto prima, con una velocità di rotazione pari a 900 giri al minuto.

Svolgimento proposto:

Rifacendoci alla rete equivalente dell’esercizio precedente, l’equilibrio meccanico è espresso dalla:

sIEC 0=ω

e quindi:

04.2

60900

2

4.35.56

602

0 =⋅

⋅=⋅

=ππ

nIE

C s

Nm

Esercizio 3

Considerando la caratteristica meccanica della coppia di un motore in corrente continua con

eccitazione in derivazione e sapendo che esso assorbe una corrente di 12 A e produce una coppia di

40 Nm, che corrente necessita per avere una coppia di 36 Nm?

Svolgimento proposto:

la coppia per un motore a corrente continua con eccitazione in derivazione può essere espressatramite la:

Ik

nIE

C M

πφ

π

30

602

0 =⋅

=

ed essendo Mφ è praticamente costante, si ha:

tIC cos=

che graficamente diventa:

C

motore generatore I

perciò:

2

2

1

1

IC

IC

=

dalla quale:

8.1040

12361

122 =⋅=

⋅=

CIC

I A

Esercizio 4

Un motore in corrente continua con eccitazione in derivazione ha le seguenti caratteristiche:

Potenza nominale 7,5 kW, tensione nominale 230 V, rendimento a pieno carico 0,88, la somma

della resistenza di indotto e resistenza di spazzole pari a 0,28 Ω. Calcolare, a pieno carico, la

potenza assorbita, la corrente assorbita, la corrente d’indotto e la forza elettromotrice sapendo che in

questa condizione la corrente di eccitazione è pari a 1 A.

Svolgimento proposto:

La potenza assorbita sarà:

5.888.0

7500 ===η

nass

PP kW

la corrente assorbita è data da:

372308500 ===

n

assass V

PI A

lo schema equivalente del motore è:

E0

Iass

V

Rs

Ri

Ii

Re

Ie

dall’equilibrio al nodo posso ricavare la corrente d’indotto:

36137 =−=−= eassi III A

dall’equilibrio elettrico della rete si ricava:

220)3628.0(230)(0 =⋅−=⋅+−= ssi IRRVE V

Esercizio 1

Un generatore sincrono trifase ha le seguenti caratteristiche: potenza nominale 16000 kVA,

frequenza nominale 50 Hz, 2 poli, tensione nominale 3250 V, corrente di eccitazione al sincronismo

per avere una tensione a vuoto pari a quella nominale 18 A, corrente nello statore durante la prova

in corto circuito al sincronismo (quando la corrente di eccitazione è 18 A) 4000 A. Determinare la

rete equivalente della macchina.

Svolgimento proposto:

La rete equivalente semplificata del generatore sincrono trifase è la seguente:

Dal funzionamento in corto circuito, si ha:

ccs IZE =0

essendo inoltre SS XR << si ottiene:

8125.0400032500 ===

ccs I

EX Ω

dove la tensione di fase a vuoto E0 e la corrente di corto circuito Icc sono ottenute con lo stessovalore della corrente di eccitazione.

Esercizio 2

Per il generatore precedente, determinare l’espressione matematica e disegnare la caratteristicaesterna al sincronismo per un fattore di potenza (cosφ) pari a 0,8 (carico ohmico-induttivo).

Xs

0

.E

+

_ .

E

+

_

.I

Svolgimento proposto:

Il comportamento di un alternatore chiuso su di un carico è descritto dalla:

sss senIXEIXEE ϕ222220 ++=

che con i valori dati e ricavati nell’esercizio 1 diventa:

6,08125,028125,03250 2222 ⋅⋅⋅⋅+⋅+= IEIE

Inserendo nell’espressione precedente dei valori di I (con ccII ≤≤0 ) si ottiene la caratteristicaesterna E(I):

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

I (A)

E (

V)

Esercizio 3

Una macchina sincrona, di cui è riportata la caratteristica a vuoto, è collegata come alternatore aduna rete prevalente.Noti i valori della Reattanza Sincrona Xs = 0.375Ω, della Tensione di Rete E = 220 V, e dellaPotenza Erogata P = 400 W, e ipotizzando le condizioni di funzionamento lineare, si tracci, inmaniera approssimata (calcolando almeno 3 punti di cui uno sia il minimo) il diagramma dellaCurva a V relativa alle condizioni suddette.

I[A]

E [V]

0 325010 3245100 3200500 29901000 26971500 23692000 20042500 15963000 11373500 6143900 1323990 134000 0

Svolgimento proposto:

Rifacendosi alla rete equivalente dell’esercizio 1, la potenza attiva erogata dalla macchina è:

ϕcos3EIP=

Il comportamento di un alternatore chiuso su un carico è dato da:

ϕsenIXEIXEE ss 222220 ++=

Dalla prima equazione e dalla trigonometria si ottiene:

2

22

9EPIIsen −±=ϕ

ovvero:

2

22222

0 92

EPIEXIXEE SS −±+=

Conoscendo l’andamento di E0 con Iecc, posso costruire le curve a V date da I(Iecc). Invece diesplicitare la I, posso dare io arbitrariamente dei valori alla I e, tramite interpolazione lineare,

ricostruire la curva, sapendo che il valore minimo della curva è EPI

3= .

Quello che troverò sarà un grafico del tipo:

Eo[V]

Iecc[A]

217.96 78.36218.42 78.73218.88 79.1219.35 79.48220 80220.64 80.64221.11 81.11221.57 81.57222.03 82.03

Ie

WP 400=

EP

3

I

Esercizio 1

Determinare la rete equivalente di un trasformatore trifase con le seguenti caratteristiche: potenza

nominale 800 kVA, frequenza nominale 50 Hz, rapporto di trasformazione a vuoto 400

20000, potenza

assorbita nella prova a vuoto eseguita a tensione nominale 3200 W, corrente del primario nella prova a

vuoto 0,17 A, tensione di alimentazione del primario nella prova in corto circuito Vcc% = 4,5%,

potenza assorbita in corto circuito 7500 W. Calcolare inoltre il rendimento convenzionale del

trasformatore.

Svolgimento proposto:

La rete equivalente semplificata della macchina monofase, con il secondario riportato a primario, è la

seguente:

Per determinare la rete equivalente si devono calcolare le due impedenze equivalenti 0Z e ccZ .

Dalla prova a vuoto, tenendo conto che il trasformatore in esame è trifase, si ricava:

54.017.0200003

32003

cos101

010 =

⋅⋅=

⋅⋅=

IVP

n

ψ

92.6717.03

200003 10

10 =

⋅=

⋅=

IV

Z n kΩ

da cui:

68.36cos 1000 == ψZR kΩ

17.571000 == ψsenZX kΩ

Dalla prova in corto circuito si ha:

90020000100

5.4 =⋅=ccV V

0ZnV1

ccZ

τ V2

1.23200003

8000003 1

11 =

⋅=

⋅==

n

nncc V

PII A

per cui

21.01.239003

75003

cos =⋅⋅

=⋅⋅

=cccc

cccc IV

Pψ

49.221.233

9003

=⋅

=⋅

=cc

cccc I

VZ Ω

da cui

72.4cos == cccccc ZR ψ Ω

39.22== cccccc senZX ψ Ω

il rendimento convenzionale sarà

987.075003200800000

8000000

=++

=++

=ccn

nc PPP

Pη

Esercizio 2

Dato il trasformatore dell’esercizio 1, calcolare le perdite negli avvolgimenti (tramite la Rcc) quando la

corrente nel primario è pari all’80% della corrente nominale

Svolgimento proposto:

Dal valore I1n dell’esercizio 1 si ricava la nuova corrente al primario:

48.181.2385.080.0 1 =⋅=⋅= nII A

Considerando il valore Rcc dell’esercizio 1, la potenza persa negli avvolgimenti, essendo il

trasformatore trifase, non è altro che

84.4)48.18(72.433 22 =⋅⋅=⋅⋅= IRP ccavv kW

Esercizio 3

Calcolare la caduta di tensione da vuoto a carico del trasformatore dell’esercizio 1, considerando un

fattore di potenza del carico pari a 0,8 e una corrente assorbita dal carico I12 (secondario riportato al

primario) pari all’80% della corrente nominale

Svolgimento proposto:

Riportando tutto al primario, la rete equivalente del trasformatore è:

Dall’esercizio 1, si ha:

200001 =V V

4002 =V V

72.41 =ccR Ω

39.221 =ccX Ω

1.23=nI A

mentre

48.181.238.08.012 =⋅=⋅= nII A

La caduta di tensione da vuoto a carico viene calcolata con:

100)cos(

%10

1211 ⋅⋅+⋅

=∆V

IsenXRV cccccc ψψ

ed essendo dai dati 8.0cos =cψ si ha:

%6.110020000

48.18)43.1372.3(% =⋅⋅+=∆V

10I 12I

0Z1V

ccZ1

τ V2

Per verificare il risultato, riportiamo tutto il sistema al secondario:

In questo caso si ha:

21

2 τcc

ccZ

Z =

e quindi

89.150

72.422

12 ===

τcc

ccR

R mΩ

96.850

39.2222

12 ===

τcc

ccX

X mΩ

mentre

92448.1850122 =⋅=⋅= II τ

La caduta di tensione è così:

%6.1100400

924)1038.51051.1(100)cos(

%33

20

222 =⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅

=∆−−

VIsenXR

V cccccc ψψ

Esercizio 4

Calcolare la e disegnare la curva di rendimento del trasformatore dell’esercizio 1, considerando un

fattore di potenza del carico pari a 1 e una corrente assorbita dal carico I12 (secondario riportato al

primario) pari al 120%,100%, 80%, 60%, 40% e 20% della corrente nominale

Svolgimento proposto:

Riportando tutto al primario, la rete equivalente del trasformatore è:

20I 2I

20

τZτ

1V

ccZ 2

2V

magnavvu

u

PPPP

++=η

dove:

ϕcos3 121 ⋅⋅⋅= IVP nu

2123 IRP ccavv ⋅⋅≅

0PPmagn ≅

Dall’esercizio 1 si ha che Rcc = 4,74 Ω, mentre P0 = 3200 W.

Ponendo cosφ = 1 e I12 = 120% I1n = 27.72 A, si ha:

72.27200003 ⋅⋅=uP = 960221 W

2)72.27(74.43 ⋅⋅≅avvP = 10880 W

3200≅magnP W

magnavvu

u

PPPP

++=η = 0.9855

Ponendo cosφ = 1 e I12 = I1n = 23.1 A, si ha:

1.23200003 ⋅⋅=uP = 800 kW

2)3.21(74.43 ⋅⋅≅avvP = 7587 W

3200≅magnP W

magnavvu

u

PPPP

++=η = 0.9867

0Z cZ

12I10I

ccZ1

1V

Ponendo cosφ = 1 e I12 = 80% I1n = 18.48 A, si ha:

48.18200003 ⋅⋅=uP = 639408 W

2)48.18(74.43 ⋅⋅≅avvP = 4836 W

3200≅magnP W

magnavvu

u

PPPP

++=η = 0.9876

Ponendo cosφ = 1 e I12 = 60% I1n = 13.86 A, si ha:

86.13200003 ⋅⋅=uP = 479556 W

2)86.13(74.43 ⋅⋅≅avvP = 2720 W

3200≅magnP W

magnavvu

u

PPPP

++=η = 0.9878

Ponendo cosφ = 1 e I12 = 40% I1n = 9.24 A, si ha:

24.9200003 ⋅⋅=uP = 320074 W

2)24.9(74.43 ⋅⋅≅avvP = 1209 W

3200≅magnP W

magnavvu

u

PPPP

++=η = 0.9864

Ponendo cosφ = 1 e I12 = 20% I1n = 4.62 A, si ha:

62.4200003 ⋅⋅=uP = 160037 W

2)62.4(74.43 ⋅⋅≅avvP = 456 W

3200≅magnP W

magnavvu

u

PPPP

++=η = 0.9777

La curva disegnata diviene così:

rendimento

0.9720.9740.9760.9780.98

0.9820.9840.9860.9880.99

20 40 60 80 100 120

I 12 /I 1n %

η

Elettrotecnica II

Terni, 28 gennaio 2013 Allievo………………………

Rispondere in modo sintetico alle seguenti domande teoriche

1. Funzionamento a carico di un trasformatore trifase, disegnare inoltre la rete equivalente in tale caso

2. Trasformatori di misura

3.Caratteristica a vuoto di una macchina sincrona

4. Diagrammi polari e curve a V macchina sincrona

5. Disegnare i grafici degli andamenti della coppia meccanica di una macchina asincrona in funzione dello scorrimento, della resistenza addizionale e della velocità di rotazione

6. Schema della rete di un motore asincrono a doppia gabbia, e diagramma della caratteristica meccanica del motore in funzione delle gabbie

7. Eccitazione delle macchine a corrente continua

8. Curve caratteristiche della macchina a corrente continua: tensione in funzione della corrente, velocità di rotazione in funzione della corrente, coppia in funzione della velocità, velocità di rotazione in funzione della coppia

9. Diodi a giunzione

10. Schema di convertitore AC/DC trifase a ponte di Graetz

11. Schema di inverter trifase

Elettrotecnica II

Terni, 28 gennaio 2013 Allievo………………………

Rispondere in modo sintetico alle seguenti domande teoriche

1. Schema delle reti equivalenti del trasformatore funzionante a vuoto, a carico e in cortocircuito

2. Schema e rete equivalente di trasformatori in parallelo, e requisiti per messa in parallelo

3. Funzionamento in corto circuito macchina sincrona

4. Comportamento dell’alternatore libero macchina sincrona, completo di disegno del grafico tensione-corrente

5. Funzionamento a vuoto macchina asincrona

6. Reti equivalenti delle macchine asincrone trifasi

7. Caratteristiche esterne della macchina con eccitazione separata e con eccitazione in derivazione

8. Funzionamento a carico macchina a corrente continua

9. Schema e andamento di tensione e corrente di un raddrizzatore controllato monofase a semplice semionda

10. Schema di inverter monofase

11. Regolazione dei carichi in AC: tecnica ad impulsi ad ampiezza modulata (PWM)