5

NOŢIUNI GENERALE DE ELECTROTEHNICĂ

1. LEGILE FENOMENELOR ELECTROMAGNETICE

1.1. Legea conservării sarcinii electrice

1.1.1. Forma integrală

Dacă se consideră o suprafaţă închisă, Σ, care trece numai prin

medii izolante, astfel încât nu trece curent prin această suprafaţă, se

constată experimental că, sarcina totală, localizată în interiorul

suprafeţei, rămâne constantă, qΣ = constant, oricare ar fi fenomenele

care se produc în interiorul suprafeţei.

Dacă însă, suprafaţa Σ trece şi prin conductoare în care apare

curent electric de conducţie, sarcina electrică din interiorul suprafeţei

variază în timp - în acord cu interpretarea microscopică a curentului de

conducţie.

Fig. 1.1. Explicativă pentru legea conservării sarcinii.

Considerăm un condensator

încărcat, ale cărui armături se leagă

printr-un conductor metalic (figura

1.1). În interiorul conductorului

potenţialul nu poate rămâne constant

(armăturile având potenţiale diferite)

şi echilibrul electrostatic nu se mai

poate menţine.

Σ

B

-q

q

6

Condensatorul se va descărca, dând naştere unui curent electric

de conducţie, prin conductorul de legătură dintre armături, curent care

va fi egal cu viteza de scădere în timp a sarcinii armăturii

condensatorului:

dtdqi −= . (1.1)

Acest rezultat se generalizează pentru totalitatea corpurilor încăr-

cate, conţinute într-o suprafaţă închisă, Σ, care trece prin medii izolante

sau conductoare şi care se consideră ataşată mediului, prin următorul

enunţ:

Intensitatea curentului electric de conducţie, iΣ, care iese dintr-o

suprafaţă închisă, Σ, ataşată corpurilor, este în fiecare moment egală

cu viteza de scădere a sarcinii electrice, qΣ, localizată în interiorul

suprafeţei.

dt

dqi ΣΣ −= . (1.2)

Relaţia (1.2) exprimă forma globală a legii conservării sarcinii.

1.1.2. Forma locală

Exprimând curentul iΣ cu ajutorul densităţii de curent J , iar

sarcina qΣ, în ipoteza unei repartiţii de volum, cu ajutorul densităţii de

volum a sarcinii, ρV, legea se scrie sub următoarea formă:

dVρdtddsJ

ΣVV

Σ∫∫∫∫∫ −=⋅ . (1.3)

7

Observaţii.

1) La folosirea acestei

legi trebuie să se observe că iΣ

este suma algebrică a curenţilor

care străbat suprafaţa (cu

semnul „+” cei care ies şi cu

semnul „-” cei care intră) adică,

normala n , din dsnds ⋅= , este

nor-mala exterioară (figura 1.2).

Fig. 1.2. Explicativă pentru sensul normalei la suprafaţă.

2) La derivarea integralei de volum trebuie să se considere

suprafaţa Σ mobilă, odată cu corpurile de care este ataşată (derivată

substanţială).

Dacă considerăm suprafaţa fixă, putem deriva sub semnul de

integrare. În acest caz, variaţia sarcinii din interiorul suprafeţei fixe este

produsă şi de ieşirea corpurilor încărcate din suprafaţă, ca urmare a

mişcării lor faţă de ea, adică apare şi curentul de convecţie:

dVt

dVdtd

dtdqii

V

V

VVv ∫∫

ΣΣ

Σ ∂∂

−=−=−=+ ΣΣ

ρρ ;

dVt

dsvdsJV

VV ∫∫∫

Σ∂

∂−=⋅⋅+⋅

ΣΣ

ρρ .

Obţinem forma dezvoltată a legii conservării sarcinii:

( ) dVt

dsvJiiV

VVv ∫∫

Σ

Σ ∂∂

−=+=+Σ

Σρρ . (1.4)

n J

ds

Σ

qΣ , ρV

8

Viteza de scădere a sarcinii electrice din interiorul unei suprafeţe

închise Σ, fixă, este egală cu suma dintre curentul de conducţie, iΣ şi

curentul de convecţie, ivΣ, care ies din suprafaţă.

1.2. Legea legăturii între E,D şi P

În orice moment şi în orice punct din spaţiu, inducţia electrică

este egală cu suma dintre intensitatea câmpului electric multiplicată cu

constanta universală electrică ε0 şi polarizaţie:

[ ]mCDPED o =+= ;ε (1.5)

Legea este valabilă şi pentru câmpul electromagnetic variabil în

timp. În vid 0P = , deci relaţia exprimă proporţionalitatea universală,

existentă prin definiţie, între inducţie şi intensitate:

000 ED ε= . (1.5.a)

1.3. Legea polarizaţiei electrice temporare

Legea polarizaţiei electrice temporare exprimă dependenţa locală

dintre intensitatea câmpului electric şi componenta temporară a polari-

zaţiei electrice:

( )EfPt = . (1.6)

9

Forma explicită a acestei legături depinde de materialul consi-

derat şi de condiţii neelectrice, fiind determinată, cu anumită aproxi-

maţie, prin mijloace experimentale.

Materiale liniare şi izotrope.

Materialele izotrope sunt acele materiale care au proprietăţi locale

independente de direcţie. Ele pot fi în stare fluidă sau solidă amorfă.

Polarizaţia temporară este proporţională cu intensitatea câmpului

electric:

EP et χε 0= ; (1.7)

=

−

mF

πε

3610 9

0 .

χe este o mărime de material, adimensională, numită

susceptivitate electrică, care depinde de natura materialului şi de

condiţiile neelectrice locale (temperatură, presiune, etc.).

Materialele care se conformează acestei dependenţe se numesc

liniare din punct de vedere dielectric.

În aplicaţii, legea polarizaţiei temporare se combină cu legea

legăturii, pentru a stabili legătura de material care rezultă între inducţie

şi intensitate.

1. Materiale fără polarizaţie permanentă.

EPPP etp χε 00 ==⇒= ;

( ) EEEEED ree εεεχεχεε ==+=+=⇒ 0000 1 .

În care:

10

er χ1ε += , este permitivitatea relativă a materialului, adimen-

sională;

rεεε ⋅= 0 este permitivitatea absolută a acestuia.

Pentru vid avem χe = 0, iar pentru aer χe ≈ 0.

2. Materiale cu polarizaţie permanentă.

ppt PEPPEPED +=++=+= εεε 00 ;

pPED += ε .

pP depinde de condiţii neelectrice sau de tratamentele

tehnologice ale materialului.

1.4. Legea fluxului electric

Fluxul electric instantaneu, ψΣ care trece prin orice suprafaţă

închisă Σ, este egal cu sarcina electrică adevărată instantanee qΣ din

interiorul suprafeţei:

ψΣ = qΣ . (1.8)

Dacă se exprimă fluxul electric în funcţie de inducţia electrică, D

şi sarcina electrică adevărată, în funcţie de densităţile ei, se obţine:

ΣΣΣ+++=⋅ ∫∫∫∫

ΣΣΣiC lS SV V qdsdAdVdAD ρρρ . (1.9)

Prin aplicarea teoremei Gauss-Ostrogradski şi separarea

diferitelor specii de divergenţe rezultă formele locale ale legii fluxului

electric.

11

Reţinând doar prima divergenţă, cea de volum, se poate exprima

cea mai cunoscută expresie a formei locale a fluxului electric:

VDdiv ρ= . (1.10)

1.5. Legea fluxului magnetic

1.5.1. Forma integrală a legii

Fluxul magnetic (fluxul vectorului inducţie magnetică) printr-o

suprafaţă închisă este nul, oricare ar fi forma suprafeţei şi în orice

moment: 0=∑Φ , sau,

∫ =⋅Σ

dsB 0 . (1.11)

Această relaţie este o lege general valabilă, oricând şi oriunde,

exprimând o proprietate intrinsecă, de structură, a câmpului magnetic:

caracterul conservativ al fluxului magnetic.

Unitatea de măsură a fluxului magnetic, în sistem internaţional,

este weberul – [Wb].

1.5.2. Forma locală a legii

În domeniile de continuitate a funcţiei de punct )r(B , prin aplica-

rea teoremei Gauss-Ostrogradski, relaţiei (1.11), se obţine:

∫ ∫Σ Σ

=⋅=⋅V

dvBdivdsB 0 ;

ΣV , volumul mărginit de suprafaţa Σ, fiind arbitrar, rezultă:

12

0=Bdiv , (1.12)

adică forma locală a legii fluxului magnetic: în fiecare moment şi în

orice punct, divergenţa inducţiei magnetice este nulă.

Inducţia magnetică este un vector câmp solenoidal (fără sursă),

deci liniile câmpului magnetic sunt întotdeauna curbe închise.

1.6. Legea legăturii dintre H,B şi M

În orice moment şi în orice punct din spaţiu, inducţia magnetică

este egală cu suma dintre intensitatea câmpului magnetic şi magneti-

zaţie, multiplicată cu constanta universală magnetică µ0:

( )MHB o += µ . (1.13)

Legea este general valabilă şi pentru câmpul electromagnetic

variabil în timp. În vid 0=M , relaţia exprimând proporţionalitatea

universală existentă, prin definiţie, între inducţie şi intensitate:

000 HB µ= . (1.13.a)

1.7. Legea magnetizaţiei temporare

Legea magnetizaţiei temporare exprimă dependenţa locală dintre

intensitatea câmpului magnetic şi componenta temporară a magneti-

zaţiei.

( )HfM t = . (1.14)

13

Forma explicită a acestei dependenţe depinde de materialul consi-

derat şi de condiţii ne-electromagnetice.

1. Materiale liniare.

Majoritatea substanţelor sunt izotrope şi liniare din punct de ve-

dere magnetic. Ele nu au magnetizaţie permanentă, iar magnetizaţia

temporară este proporţională cu intensitatea câmpului magnetic care o

determină:

HMM mt χ== , (1.15)

unde χm este o constantă de material, adimensională, numită suscepti-

vitate magnetică.

De obicei această lege se foloseşte combinată cu legea legăturii

dintre H,B şi M :

( ) ( ) ( )HHHMHB mm χµχµµ +=+=+= 1000 , (1.16)

sau:

HB µ= . (1.17)

Mărimea ( ) rmHB µµχµµ 00 1 =+== se numeşte permeabilitate

absolută a materialului, iar 0µ

µµ =r se numeşte permeabilitatea

relativă a materialului.

Materialele magnetizabile temporar se împart din punct de vedere

al proprietăţilor magnetice în două categorii:

− materiale diamagnetice (cuprul): HM ↑↓ , substanţe nepolare,

moleculele lor neavând iniţial moment magnetic rezultant.

14

− materiale paramagnetice (aluminiul): substanţe polare, care se

magnetizează în sensul câmpului magnetic aplicat, HM ↑↑ .

Ambele categorii de materiale se numesc materiale neferomag-

netice cu µr ≈1, deci µ ≈ µ0.

2. Feromagnetismul.

Fierul, cobaltul, nichelul şi unele aliaje se deosebesc de restul

materialelor, prin valori extrem de mari ale permeabilităţii relative (102

÷ 105).

Experimental, se constată că în acest caz, dependenţa B = f(H) nu

mai reprezintă o dreaptă, ca pentru materialele dia şi paramagnetice,

permeabilitatea, µ, fiind funcţie de intensitatea câmpului magnetic, H.

1.8. Teorema lui Ampère

1.8.1. Forma integrală

În regim staţionar tensiunea magnetomotoare, adică tensiunea

magnetică în lungul unei curbe închise, este egală cu solenaţia curen-

ţilor înlănţuiţi de această curbă:

∑∫ ⋅==⋅Γ

INdlH θ . (1.18)

Tensiunea magnetomotoare (t.m.m.) este integrala de linie, pe o

curbă închisă, a intensităţii câmpului magnetic H :

∫Γ

⋅= dlHumm . (1.19)

15

Solenaţia, θ, reprezintă curentul de conducţie total, adică suma

algebrică a curenţilor din conductoarele care străpung suprafaţa

considerată (figura 1.3):

∑∫ ⋅=⋅=Γ

INdsJS

θ . (1.20)

Fig. 1.3. Explicativă pentru modul de integrare.

Se utilizează termenul de „solenaţie”, în loc de intensitatea curen-

tului electric de conducţie, deoarece, ultima mărime caracterizează un

conductor, pe când solenaţia este definită referitor la o suprafaţă,

suprafaţă care poate fi străbătută de mai multe conductoare sau, de

acelaşi conductor de mai multe ori.

1.8.2. Forma locală

În domeniile de continuitate a funcţiei )r(H , se poate aplica teo-

rema lui Stokes integralei (1.19):

∫ ∫ ∫Γ Γ Γ

⋅=⋅=⋅S S

dsJdsHrotdlH .

Cum SΓ este o suprafaţă arbitrară, obţinem:

ds J

ΓS

dl

Linie a câmpului J

H

Γ

Linie a câmpului H

16

JHrot = . (1.21)

Adică, densitatea de curent este egală cu rotorul intensităţii

câmpului magnetic.

Concluzia este că, H este un câmp magnetic staţionar, numai în

domeniile fără curent.

1.9. Legea circuitului magnetic

1.9.1. Forma integrală

Tensiunea magnetomotoare, umm, de-a lungul oricărei curbe

închise, Γ, este egală cu suma a doi termeni:

− primul este solenaţia,ΓSθ , corespunzătoare curenţilor care

străbat o suprafaţă deschisă oarecare, SΓ, mărginită de curba Γ;

− al doilea termen este derivata în raport cu timpul a fluxului

electric,ΓSΨ , prin aceeaşi suprafaţă, SΓ, şi se numeşte curent de depla-

sare.

dt

du S

SmmΓ

Γ

Ψ+= θ . (1.22)

Relaţia (1.22) este general valabilă (şi în regim nestaţionar) şi

poate fi scrisă explicit, sub următoarea formă:

∫ ∫ ∫Γ Γ Γ

⋅+⋅=⋅S S

dsDdtddsJdlH . (1.23)

Dacă se alege un sens pozitiv pentru solenaţie, prin suprafaţa

deschisă, SΓ şi acestuia i se asociază, după regula burghiului drept, un

17

sens pozitiv al t.m.m., pe conturul suprafeţei, Γ, se constată că,

solenaţiilor pozitive le corespund t.m.m. pozitive şi invers. Prin ur-

mare, în expresia (1.23) a legii, ds şi dl sunt asociaţi după regula bur-

ghiului drept (figura 1.4).

Fig. 1.4. Alegerea sensurilor mărimilor vectoriale.

Observaţii.

1) Γ şi SΓ sunt arbitrare şi trebuie considerate drept curbe şi

suprafeţe ataşate corpurilor, în mişcarea lor.

2) În cazul corpurilor imobile legea circuitului magnetic are

următoarea formă integrală:

∫ ∫ ∫Γ Γ Γ

⋅∂

∂+⋅=⋅

S S

dstDdsJdlH ; (1.24)

termenul ∫Γ

Γ ∂∂

=S

D dstDi

S se numeşte curent de deplasare.

3) Se numeşte regim cvasistaţionar, regimul variabil în care se

poate neglija curentul de deplasare în legea circuitului magnetic, peste

tot, cu excepţia dielectricului condensatoarelor. În acest regim, ca şi în

D ds

dl H

J

18

regim staţionar, legea circuitului magnetic se reduce la teorema lui

Ampère.

1.9.2. Forma locală (valabilă numai pentru sisteme de corpuri imo-

bile).

În domeniile de continuitate a proprietăţilor fizice, aplicând teore-

ma lui Stokes membrului din stânga a relaţiei (1.24), se obţine:

∫ ∫ ∫Γ Γ Γ

⋅∂

∂+⋅=⋅

S S S

dstDdsJdlHrot ;

sau,

tDJHrot

∂∂

+= . (1.25)

Relaţia (1.25) reprezintă prima ecuaţie a lui Maxwell.

1.10. Legea inducţiei electromagnetice

1.10.1. Forma integrală

Se numeşte inducţie electromagnetică, producerea unei tensiuni

electromotoare (t.e.m.) într-un circuit sau, în general, în lungul unei

curbe închise, datorită variaţiei în timp a fluxului magnetic care străbate

o suprafaţă sprijinită pe acea curbă.

Sensul acestei t.e.m. este astfel încât, efectele ei se opun cauzei

care a produs-o (regula lui Lenz).

Forma integrală a legii inducţiei electromagnetice:

19

dtd

e SΓΦ

−=Γ (1.26)

Tensiunea electromotoare, produsă prin inducţie

electromagnetică, în lungul unei curbe închise, Γ, este egală cu viteza

de scădere a fluxului magnetic, prin orice suprafaţă sprijinită pe

această curbă.

Relaţia (1.26) se scrie explicit, sub forma:

Γ

Γ

Γ Φ

Γ∫∫ ⋅−=⋅

S

S

e

dsBdtddlE . (1.27)

Observaţii.

1) Sensul de integrare pe curba Γ, adică sensul lui dl şi sensul

normalei n , la suprafaţa ΓS , în raport cu care se calculează fluxul

Fig. 1.5. Explicativă pentru asocierea

sensurilor vectorilor.

(adică sensul lui dsnds ⋅= ),

sunt asociate după regula

burghiului drept.

2) În regim staţionar, când

fluxul magnetic nu va-riază în

timp, t.e.m. indusă e nulă pentru

orice curbă închisă, Γ:

∫Γ

Γ =⋅= 0dlEe . (1.28)

De aici rezultă caracterul potenţial al câmpului electric staţionar.

Teorema potenţialului electrostatic şi teorema potenţialului electric

staţionar sunt forme particulare ale legii inducţiei electromagnetice.

d

J

dl

D

E

dl

ΓS

n ds B

Γ

20

1.10.2. Forma integrală dezvoltată a legii

Derivata fluxului magnetic, în raport cu timpul, este o derivată

substanţială (se ţine cont de faptul că suprafaţa considerată este în

mişcare, odată cu corpurile din interiorul ei):

( )∫ ∫Γ Γ

×+⋅+

∂∂

=⋅S S

dsvBrotBdivvtBdsB

dtd ;

cum 0=Bdiv (legea fluxului magnetic), obţinem:

( )∫ ∫ ∫Γ Γ Γ

Γ ×+∂∂

=⋅=Φ

S S S

S dsvBrotdstBdsB

dtd

dtd

. (1.29)

Aplicând teorema lui Stokes ultimului termen al relaţiei (1.29),

obţinem forma integrală dezvoltată a legii:

( )∫ ∫∫Γ Γ

Γ ×+∂∂

−=⋅=Γ

.. misctransee

S

dlBvdstBdlEe ; (1.30)

în care:

− etrans. - este t.e.m. indusă prin transformare (pulsaţie);

− emişc. – este t.e.m. indusă prin mişcare (rotaţie).

1.10.3. Formele locale

În cazul domeniilor de continuitate a proprietăţilor fizice locale,

aplicând teorema lui Stokes în relaţia (1.30) şi anume, membrului întâi

şi ultimului termen din membrul al doilea, se obţine:

( )∫ ∫Γ Γ

×−

∂∂

−=⋅S S

dsBvrottBdsErot .

21

Suprafaţa SΓ fiind arbitrară, rezultă forma locală a legii inducţiei

electromagnetice:

( )BvrottBErot ×+

∂∂

−= . (1.31)

Pentru corpurile imobile (v = 0), se obţine:

tBErot

∂∂

−= ; (1.32)

relaţie care reprezintă cea de-a doua ecuaţie a lui Maxwell.

1.11. Legea conducţiei electrice (legea lui Ohm)

1.11.1. Forma locală

Legea conducţiei electrice este o lege de material, care generali-

zează condiţia de echilibru electrostatic. În regim electrocinetic,

0≠+ iEE .

Forma locală a legii se exprimă prin relaţia:

JρEE i ⋅=+ (1.33)

şi are următorul enunţ:

Suma vectorială dintre intensitatea câmpului electric, E , şi

intensitatea câmpului electric imprimat, iE , din interiorul unui

conductor izotrop, este proporţională, în fiecare punct, cu densitatea

curentului electric de conducţie din acel punct.

Factorul de proporţionalitate este o mărime de material, numită

rezistivitate, ρ, care depinde de natura materialului, de temperatură, etc.

22

Valoarea reciprocă a rezistivităţii se numeşte conductivitate, σ:

ρσ 1

=

Cu ajutorul conductivităţii, forma locală a legii conducţiei se

scrie:

)(−−−

+= iEEJ σ . (1.33.a)

Observaţii.

1) Condiţia de echilibru electrostatic e forma particulară a legii

conducţiei electrice pentru regimul electrostatic, în care 0=J .

2) În conductoare omogene, 0=iE : JρE ⋅= sau, EσJ ⋅= .

1.11.2. Forma integrală a legii

Fig. 1.6. Porţiune de circuit filiform.

Se consideră o porţiune de circuit

filiform în care este inclusă şi o sursă de

t.e.m. (figura 1.6). Circuitul fiind fili-

form, curentul se poate considera repar-

tizat uniform pe secţiune:

SiJ = ;

SiuJ

−−

= ;

unde, S este aria secţiunii

transversale a conductorului.

Cum dlJ ↑↑−

, se poate scrie:

Sdlidl

SidlJdlJ ==⋅=⋅

−

; (1.34)

dludl ⋅=−

−

J

(C)

2

ei

1

i

23

∫∫ ⋅⋅=+=+−−− 2

)(112

2

)(112)(

Ci

Cfi dlJeudlEE ρ ; (1.35)

− ∫ ⋅=−2

112 dlEu f , este tensiunea electrică în lungul firului;

− ∫ ⋅=−2

112 dlEe ii , este tensiunea imprimată.

Dacă în relaţia (1.35) înlocuim produsul scalar dlJ ⋅−

, prin

expresia sa, dată de (1.34), obţinem:

∫ ⋅==+2

1121212 Ri

Sdlieu if ρ . (1.36)

Relaţie în care, mărimea ∫ ⋅=2

112 S

dlρR se numeşte rezistenţa

electrică a conductorului, între punctele „1” şi „2”.

În general, dacă se notează:

− uf - tensiunea electrică în lungul firului,

− ei - tensiunea electrică imprimată,

− R - rezistenţa firului,

− i - intensitatea curentului,

se obţine forma integrală a legii conducţiei electrice:

iReu if ⋅=+ (1.37)

Pentru o porţiune oarecare, neramificată de circuit filiform,

suma dintre tensiunea electrică luată în lungul firului, uf, şi tensiunea

imprimată, ei (t.e.m.), a surselor ce se găsesc în acea porţiune de

24

circuit, este egală cu produsul dintre intensitatea curentului şi o

mărime caracteristică circuitului, numită rezistenţă electrică.

Observaţii.

1) În cazul în care conductorul este închis:

uf + ei = e, (1.37.a)

e fiind tensiunea electromotoare de contur. Se observă că:

e = R⋅i.

2) În cazul unui circuit pasiv, ei = 0, deci:

uf = R⋅i. (1.37.b)

1.11.3. Teorema potenţialului electric staţionar. Legea lui Ohm.

Legea conducţiei electrice este valabi-

lă atât în curent continuu cât şi în curent

variabil în timp, pentru materiale liniare. În

curent continuu, adică în regim staţionar,

este valabilă teorema potenţialului electric

staţionar:

∫Γ

=⋅ 0dlE (1.38)

Şi, în consecinţă, tensiunea nu depinde de curba în lungul căreia se

calculează integrala, ci numai de punctele extreme:

∫ −=⋅==2

121 VVdlEuu bf ; (1.39)

în care, ub este tensiunea între bornele „1” şi „2”ale conductorului.

Γ ub uf

1

2

25

Se obţine următoarea formă particulară a legii conducţiei

electrice:

iRub ⋅= , (1.40)

cunoscută sub denumirea de legea lui Ohm.

Tensiunea electrică la bornele unui circuit pasiv (fără surse), de

curent continuu, este egală cu produsul dintre intensitatea curentului şi

rezistenţa circuitului.

Forme uzuale: Rui b= ; sau,

iuR b= .

Semnificaţii:

a) definiţia rezistenţei unui conductor: rezistenţa conductorului

este numeric egală cu raportul dintre tensiunea electrică continuă,

aplicată la capetele conductorului şi curentul care-l străbate.

b) conţinut experimental: raportul dintre ub şi i nu depinde de

aceste mărimi, ci de natura ş dimensiunile conductorului.

Observaţii.

1) Legea lui Ohm se referă la materiale liniare din punct de

vedere al conducţiei electrice. Există şi materiale ale căror rezistenţă

depinde de valoarea tensiunii – rezistenţe neliniare.

2) Rezistenţa electrică a unei porţiuni de conductor filiform are

expresia:

∫=2

1 SdlR ρ (1.41)

şi este totdeauna pozitivă.

În cazul unui conductor omogen şi de secţiune constantă:

26

SlR ρ= [Ω]. (1.42)

3) Conductanţa electrică, prin definiţie, este:

lS

RG σ==

1 (1.43)

şi se măsoară în siemens, [S].

4) Un element de circuit construit pentru a avea o anumită rezis-

tenţă, se numeşte rezistor.

1.12. Legea transformării energiei în conductori (legea Joule -

Lenz)

1.12.1. Forma locală

Legea transformării energiei în conductori este o lege generală

care, sub formă locală, dă expresia energiei cedate de câmpul electro-

magnetic în unitatea de timp şi pe unitatea de volum:

Puterea, pJ, cedată pe unitatea de volum a conductorului, de

câmpul electromagnetic, în procesul de conducţie electrică, este egală

cu produsul scalar dintre intensitatea câmpului electric şi densitatea

curentului electric de conducţie:

JEpJ ⋅= . (1.44)

Practic, pJ este o densitate de putere şi se măsoară în [W/m3].

În conductorii omogeni, 0=iE , deci, pJ reprezintă căldura

dezvoltată în unitatea de timp şi de volum, de conductor:

27

2JJEp

JE

J ⋅=⋅=⋅=

ρρ

> 0. (1.45)

Pentru conductorii neomogeni, 0≠iE ; din legea conducţiei elec-

trice avem: iEJρE −⋅= , prin urmare se poate scrie:

GiJ pJJEJp −⋅=⋅−⋅= 22 ρρ . (1.46)

Primul termen al relaţiei (1.46), 2JρpR ⋅= > 0, este întotdeauna

pozitiv şi reprezintă densitatea de volum a puterii pierdute, ireversibil,

de câmpul electromagnetic şi transformată în căldură (independent de

sensul curentului) – efectul Joule - Lenz.

Al doilea termen, cu semn schimbat, JEp iG ⋅= , care poate fi

negativ sau pozitiv, reprezintă densitatea de volum a puterii cedate de

sursele de câmp electric imprimat şi primită de câmpul electromag-

netic.

Dacă vectorii iE şi J sunt omoparaleli, atunci pG > 0 şi această

putere este efectiv cedată de sursă şi primită de câmp (acest fenomen

are loc în orice sursă care debitează curent).

Dacă iE şi J sunt antiparaleli (curentul străbate sursa în sens

opus tensiunii electromotoare), pG < 0 şi puterea este efectiv primită de

sursă şi cedată de câmpul electromagnetic).

1.12.2. Forma integrală

Dacă se integrează expresia (1.44) pe volumul V al unei porţiuni

de conductor filiform, în care E , J şi dl sunt paraleli, se obţine

28

puterea totală, PJ, cedată de câmpul electromagnetic conductorului, în

procesul de conducţie a curentului electric:

∫∫∫ ⋅⋅=⋅⋅=⋅=VVV

JJ dvJEdvJEdvpP . (1.47)

Ţinând cont de caracterul filiform

al conductorului, se poate scrie că,

dldsdv ⋅= ; transformăm integrala

de volum în integrala de linie a

unei integrale de suprafaţă:

∫ ∫∫∫ ∫ ⋅=⋅=⋅

⋅=⋅

⋅⋅=

2

1

2

1

2

1f

SSJ uidlEidldsJEdldsJEP .

S-a considerat că E este constant pe suprafaţa S a conductorului

şi că idsJS

=⋅∫ .

PJ = uf⋅i. (1.48)

Puterea totală cedată de câmpul electromagnetic unei porţiuni de

conductor filiform, în procesul de conducţie electrică, este egală cu

produsul dintre intensitatea curentului şi tensiunea în lungul firului.

Conform legii conducţiei electrice (forma integrală), uf = R⋅i – ei,

deci se poate scrie relaţia:

PJ = R⋅i2 – ei⋅i = PR – PG. (1.49)

Primul termen al relaţiei (1.49) reprezintă puterea disipată, adică

puterea dezvoltată ireversibil sub formă de căldură: PR = R⋅i2 > 0, legea

Joule – Lenz.

dl

ds E J

V

S

i

1

2

29

Prin integrare în timp, se obţine căldura totală dezvoltată în

timpul ∆t = t2 - t1:

∫ ⋅⋅=2

1

2t

tJ dtiRQ . (1.50)

În curent continuu, pentru circuite pasive, tensiunea în lungul

firului, R⋅i, este egală cu tensiunea electrică la borne, ub:

RuiuiRP b

bR

22 =⋅=⋅= ; respectiv, QJ = R⋅i2⋅∆t.

Al doilea termen cu semn schimbat, PG = ei⋅i, care poate fi

negativ sau pozitiv, reprezintă puterea generată, adică puterea adusă în

circuit de sursa de t.e.m., ei, care debitează curentul de intensitate i şi

este egală cu produsul acestor două mărimi.

Dacă PG > 0, adică ei şi i au acelaşi sens efectiv, sursa produce

energie, iar dacă PG < 0, adică ei şi i au sensuri efective opuse, sursa

primeşte energie.

30

2. INDUCTIVITĂŢI.

2.1. Flux fascicular, flux total, definiţia inductivităţii.

Fie o bobină cu N spire, parcursă de curentul I care generează

câmp magnetic. Se consideră că toate spirele sunt traversate de aceleaşi

linii de câmp (figura 1.7).

Se numeşte flux fascicular, φf, fluxul

magnetic care traversează suprafaţa unei

singure spire.

Se numeşte flux total al bobinei, φ,

fluxul magnetic prin toate spirele acesteia

(fluxul printr-o suprafaţă sprijinită pe

curba elicoidală descrisă de conductorul

bobinei). În mod evident, φ = N⋅φf.

Observaţie.

În cazul în care nu toate spirele sunt

traversate de aceleaşi linii de câmp (figura

1.8.), fluxul fascicular nu poate fi definit.

În această situaţie se poate defini un flux fascicular mediu:

Nmed,fφ

=φ . (1.51)

Se numeşte inductivitate (inductanţă), raportul dintre fluxul total

şi curentul care îl generează:

N

i Fig. 1.7. Fluxul magnetic

al unei bobine.

i

N

Fig.1.8. Repartiţia reală a liniilor de câmp magnetic.

31

i

fΦN

iΦL

⋅== ; (1.52)

[L] = H (henry); 1H = 1Wb/ 1A.

2.2. Inductivităţi proprii şi mutuale

Se consideră două circuite

(bobine) cu N1, respectiv N2 spire

şi se presupune că numai primul

circuit este străbătut de curent (i1).

Notaţii (figura 1.9):

− φf11, fluxul fascicular produs de

circuitul „1”;

− φf21, fluxul fascicular produs de circuitul „1” care trece printr-o

spiră a circuitului „2”;

− φfσ21, fluxul fascicular de dispersie (scăpări) al circuitului „1”

faţă de circuitul „2”.

Observaţii:

− primul indice precizează circuitul prin a cărui suprafaţă trece

fluxul;

− al doilea indice precizează curentul care produce fluxul

respectiv;

− sensul de referinţă al fiecăruia dintre aceste fluxuri se asociază

cu sensul de referinţă de pe circuitul înlănţuit de acest flux, după regula

burghiului drept:

φf 21 φfσ21

φf 11

N1, i1

N2, i2 = 0

Fig. 1.9. Referitoare la fluxul de dispersie.

32

Φf 11 > 0; Φf 21 >< 0; Φf 11 = |Φf 21| + Φfσ 21.

A) Inductivitatea proprie

Se numeşte inductivitate proprie, L11, a circuitului „1”, raportul

pozitiv dintre fluxul total, φ11, prin circuitul „1”, produs de curentul

acelui circuit (cu sensul asociat după regula burghiului drept sensului

curentului ) şi curentul i1 care-l produce:

0i

Ni

L1

11f1

1

1111 ≥

Φ⋅=

Φ= . (1.53)

În mod analog se defineşte inductivitatea proprie a circuitului

„2”, în ipoteza i1 = 0 şi i2 ≠ 0:

0i

Ni

L2

22f2

2

2222 ≥

Φ⋅=

Φ= . (1.53.a)

În mediile liniare din punct de vedere magnetic, din teorema

super-poziţiei câmpurilor magnetice, rezultă că fluxurile sunt

proporţionale cu curenţii care le produc. Prin urmare, raportul lor

(flux/curent) este constant, adică inductivitatea proprie, L11, este o

mărime de material care depinde de natura materialului magnetic, de

dimensiunile şi forma circuitului şi de numărul său de spire, dar nu

depinde de mărimea fluxului sau a curentului.

B) Inductivitatea mutuală.

Se numeşte inductivitate mutuală, L21, între circuitele „1” şi „2”,

raportul dintre fluxul total, Φ21, produs de circuitul „1”, care trece

prin circuitul „2”, şi curentul i1 care-l produce:

33

1

21f2

1

2121 i

Ni

L Φ⋅=

Φ= >

< 0. (1.54)

Observaţii:

− într-un mediu magnetic liniar, inductivitatea mutuală depinde

numai de natura materialului, de dimensiunile şi forma circuitelor şi de

poziţia lor relativă;

− inductivitatea mutuală poate rezulta pozitivă sau negativă,

după sensurile de referinţă alese în cele două circuite.

Analog, inductivitatea mutuală L12, între circuitele „2” şi „1” (cu

i1 = 0 şi i2 ≠ 0) este:

2

12f1

2

1212 i

Ni

L Φ⋅=

Φ= >

< 0. (1.54.a)

Se poate demonstra că induc-

tivităţile mutuale satisfac relaţiile de

reciprocitate: L12 = L21.

Stabilirea semnului inductivităţii

mutuale.

Pentru fiecare bobină se notează

una dintre borne cu ∗, „borna de

început” – acele borne în care, dacă

curenţii i1 şi i2 intră simultan, cele două bobine produc flux magnetic în

acelaşi sens (figura 1.10).

Dacă curenţii prin cele două bobine au acelaşi sens în raport cu

bornele de început (ambii intră sau ambii ies), L12 > 0.

i1 *

* i2

Fig. 1.10. Marcarea bornelor „de început”.

34

Dacă curenţii au sensuri contrare în raport cu bornele de început

(unul intră, celălalt iese), L12 < 0.

2.3. Relaţiile lui Maxwell privitoare la inductivităţi

Fluxul total prin circuitul „1”, produs de curentul „2”, este: Φ12 =

L12 i2.

Fluxul total prin circuitul „1”, produs de ambii curenţii (i1 şi i2) se

poate calcula prin superpoziţie (mediu liniar), ca sumă a fluxurilor

produse de fiecare curent în parte:

Φ1 = Φ11 + Φ12;

în care:

Φ11 = L11·i1

Φ12 = L12·i2

Generalizând pentru n circuite, se obţine:

Φ1 = L11·i1+ L12·i2 + ... + L1n·in

Φ2 = L21·i1 + L22·i2+ … + L2n·in (1.55)

.……………………………….

Φn = Ln1·i1+ Ln2·i2 + … + Lnn·in.

2.4. Inductivitatea echivalentă

Se numeşte inductivitate echivalentă a unui ansamblu de bobine

conectate în serie din punct de vedere electric, inductivitatea calculată

cu fluxul total, al întregului circuit.

35

Considerăm cazul a două bobine şi scriem relaţiile lui Maxwell:

⋅+⋅=Φ⋅+⋅=Φ

2221212

2121111

iLiLiLiL

.

Dacă cele două bobine sunt înseriate din punct de vedere electric,

avem i1 = i2 = i, iar fluxul total este Φt = Φ1 + Φ2.

Obţinem:

M2LLii

L 221121t

e ++=Φ+Φ

=Φ

= ; (1.56)

Le este inductivitatea echivalentă a circuitului şi M = L12 = L21.

În relaţia (1.56) trebuie luat în consideraţie semnul lui M. Fluxul

unei bobine prin cealaltă poate avea acelaşi sens cu fluxul propriu al

acesteia (bobinele sunt în concordanţă din punct de vedere magnetic)

sau poate avea sens contrar cu acest flux (bobinele sunt în opoziţie). În

primul caz M > 0, în cel de-al doilea M < 0.

2.5. Inductivităţi utile şi de dispersie

În mod normal, numai o parte din fluxul fascicular propriu produs

de un circuit electric trece prin alt circuit electric. Această parte din

fluxul fascicular propriu se numeşte flux util, Φfu. Φfu→ Φf21.

Cealaltă parte a fluxului fascicular propriu, care se închide direct,

fără a înlănţui spirele altui circuit, se numeşte flux de dispersie sau flux

de scăpări şi se notează Φfσ:

Φfσ 21 = Φf 11 - |Φf 21| > 0. (1.57)

36

Se numeşte inductivitate de dispersie a circuitului „1” faţă de

circuitul „2”, partea din inductivitatea proprie a circuitului „1” cores-

punzătoare fluxului de scăpări faţă de „2”:

0LNNL

iN

iN

iNL 21

2

111

1

21f1

1

11f1

1

21f121 >−=

Φ−

Φ⋅=

Φ⋅= σ

σ .(1.58)

Inductivitatea de dispersie a circuitului „2” faţă de „1”, este:

0LNNLL 12

1

22212 >−=σ . (1.58.a)

În general, Lσ21 ≠ Lσ12.

Inductivitatea proprie a unui circuit se poate scrie sub forma:

L11 = Lσ21 + 2

1

NN |L21| = Lσ21 + Lu21,

în care, 0LNNL 21

2

1u21 >= , se numeşte inductivitate utilă a circuitului

„1” faţă de „2”;

Inductivitatea utilă a circuitului „1” faţă de „2”, este partea din

inductivitatea proprie a circuitului „1” corespunzătoare fluxului util al

circuitului „1” faţă de „2”.

În tehnică se operează cu coeficienţi care definesc gradul de

dispersie a circuitelor.

a) Coeficientul de cuplaj magnetic a două bobine:

212211

12

2211

1221

LLM

LLL

LLLLk

⋅=

⋅=

⋅⋅

= ; (1.59)

în care, M = |L12|.

37

Bobinele necuplate magnetic au L12 = 0, deci k = 0, iar bobinele

cuplate perfect au 2211212 LLL ⋅= , deci k = 1. În general, 0 ≤ k ≤ 1.

b) Coeficientul de dispersie:

21

221

2211

12212211

2211

12212

LLMLL

LLLLLL

LLLL1k1

⋅−⋅

=⋅

⋅−⋅=

⋅⋅

−=−=σ . (1.60)

− pentru k = 0 ⇒ σ = 1; dispersie maximă, adică bobine

necuplate;

− pentru k = 1 ⇒ σ = 0; dispersie nulă, adică bobine cuplate

perfect.

38

3. CIRCUITE MAGNETICE

Se numeşte circuit magnetic, ansamblul format dintr-o succesiune

de corpuri feromagnetice, separate eventual prin întrefieruri, liniile de

câmp ale inducţiei magnetice fiind „conduse” prin aceste corpuri fero-

magnetice în mod similar curentului prin conductoarele metalice.

Calculul circuitelor magnetice se face cu ajutorul legii circuitului

magnetic şi al legii fluxului magnetic. Calculul constă în determinarea

solenaţiei necesare pentru a stabili un anumit flux fascicular util sau

invers.

3.1. Reluctanţe. Permeanţe. Fie o porţiune neramificată de circuit magnetic – care constituie

deci, un tub de flux magnetic – suficient de subţire pentru a putea

considera fluxul repartizat uniform pe secţiunea lui (figura 1.11).

Tensiunea magnetică între două puncte „1” şi „2”, de-a lungul

curbei (C), pe axa tubului, este:

( ) ( ) ( )dlBdlHdlHU

2

1c

2

1c

2

1cm ∫∫∫ µ

=⋅=⋅= ;

deoarece dlHB ↑↑↑↑ (curba (C) este o

linie de câmp), iar HB µ= , obţinem:

( ) ( )

∫∫ µφ=

µφ

=2

1cf

2

1c

fm A

dldlA

U , (1.61)

1

2

dl

H

B

Fig. 1.11. Calculul tensiunii magnetice.

39

în care, φf este fluxul magnetic fascicular, constant prin toate secţiunile

tubului de flux (adică prin toate secţiunile porţiunii de circuit magnetic

neramificat) şi fără dispersie.

Mărimea pozitivă, definită de raportul dintre tensiunea

magnetică şi fluxul fascicular, se numeşte reluctanţă sau rezistenţă

magnetică a porţiunii de circuit magnetic şi se notează:

0>=f

mm

URφ

. (1.62)

Unitatea de măsură a reluctanţei este

⋅

WbspA .

Cu relaţia (1.61), obţinem pentru reluctanţă expresia:

∫ µ=

2

1m A

dlR . (1.63)

Dacă materialul este liniar, reluctanţa este o caracteristică a

tubului de flux, independentă de φf sau de Um.

În cazul particular al porţiunilor de circuit omogen (de lungime l,

de arie, A, constantă şi permeabilitate magnetică, µ, constantă), reluc-

tanţa este:

AlR m µ

= . (1.63.a)

Inversul reluctanţei se numeşte permeanţă şi se notează:

lA

UR1

m

f

m

µ=φ

==Λ . (1.64)

Din relaţia de definiţie (1.62) a reluctanţei se poate scrie:

fmm RU φ= , (1.65)

40

relaţie numită „legea lui Ohm”, pentru circuite magnetice.

Există o analogie între relaţiile definite pentru circuitele

magnetice şi cele pentru circuitele electrice. Fiecare mărime definită

pentru circuitele magnetice are un corespondent în cadrul circuitelor

electrice: tensiunii magnetice îi corespunde tensiunea electrică, fluxului

magnetic fascicular îi corespunde intensitatea curentului electric, iar

reluctanţei magnetice rezistenţa electrică.

Toate aceste corespondenţe duc la o analogie şi între teoremele

folosite în calculul circuitelor magnetice şi cele folosite în calculul

circuitelor electrice.

3.2. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice

A) Teorema I

Aplicăm legea fluxului magnetic, 0dsBφΣ

Σ =⋅= ∫ , unei

suprafeţe Σ ce conţine un punct de

ramificaţie (nod), „q”, al unui circuit

magnetic (figura 1.12):

03f2f1f =+φ+φ+φ=φΣ .

Fluxurile sunt considerate pozi-

tive când sunt îndreptate după nor-

malele exterioare la suprafaţă („ies”

din nod) şi negative în caz contrar (când „intră” în nod).

(q)

φf1

φf2

φf4

φf5 φf3

Σ

Fig. 1.12. Explicativă pentru deducerea teoremei I.

41

Sub formă restrânsă, prima teoremă a lui Kirchhoff pentru nodul

„q”, q = 1,2,3,…,.N - 1, se scrie în mod analog teoremei

corespunzătoare din electrocinetică.

( )

0qk

fk =φ∑∈

. (1.66)

Suma algebrică a fluxurilor magnetice, care trec prin laturile

unui circuit magnetic ce converg într-un nod al acestui circuit,

considerate negative când „intră” în nod şi pozitive în caz contrar, este

nulă.

B) Teorema a II - a

Se consideră ochiul „p”,

într-un circuit magnetic (fi-

gura 1.13) şi se alege un sens

de referinţă pe ochi (sensul în

care se efectuează integrala de

linie a vectorului H ). Se

notează: Rm1, Rm2,…, reluc-

tanţele laturilor; θ1, θ2, …,

solenaţiile bobinelor care înfă-

şoară laturile; φf1, φf2,…, fluxurile fasciculare care trec prin laturi.

Solenaţiile şi fluxurile fasciculare ale laturilor se presupun

definite în sensul de referinţă ales pe ochi. În caz contrar, mărimea

respectivă (solenaţie, flux) intră cu semnul minus în ecuaţia care se

obţine.

(p) Γ φfk

θk

Fig. 1.13. Explicativă pentru deducerea teoremei a II-a.

42

Conform teoremei lui Ampère, în regim staţionar şi cvasista-

ţionar:

( )∑θ=θ= ΓΓ

pkSmmU .

Pe de altă parte, conform definiţiei, descompunând integrala pe

porţiuni:

( ) ( )

fkp

mkp

mkmm RUdlHU φ==⋅= ∑∑∫Γ

Γ .

Rezultă, pentru fiecare ochi, p = 1, 2,…, n (n fiind numărul total

de ochiuri), o a doua teoremă a lui Kirchhoff:

( ) ( )

fkpk

mkpk

k R φ⋅=θ ∑∑∈∈

. (1.67)

În regim staţionar şi cvasistaţionar, suma algebrică a solenaţiilor

care înlănţuie laturile fără dispersie magnetică ale oricărui ochi de

circuit magnetic, este egală cu suma algebrică a produselor reluctan-

ţelor magnetice ale laturilor prin fluxurile magnetice fasciculare care

trec prin ele (adică cu suma căderilor de tensiune magnetică).

3.3. Tensiunea magnetică între două puncte (calculată prin aer).

Se calculează tensiunea

magnetomotoare în lungul

ochiului Γ (figura 1.14), format

din laturile reţelei între două

noduri „A” şi „B” şi închizându-

se prin aer.

φfk Γ

UmAB

θk

A B

Fig. 1.14. Explicativă pentru calculul tensiunii magnetice prin aer.

43

mABfkBA

mkBA

k UR −φ=θ ∑∑→→

,

sau:

( )∑→

θ−φ=BA

kfkmkmAB RU . (1.68)

Analogia dintre teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice

şi cele pentru circuite electrice, permite să se stabilească, în teoria

reţelelor magnetice, teoreme corespunzătoare celor din teoria reţelelor

electrice de curent continuu, dar numai în cazul circuitelor magnetice

liniare – µ = ct., (circuite magnetice nesaturate şi ale căror laturi nu

prezintă dispersie): teorema superpoziţiei, teorema fluxurilor de

ochiuri, etc.

3.4. Teoremele reluctanţelor echivalente

Reluctanţa echivalentă a unei porţiuni de circuit magnetic cu

două „borne” de acces (două extremităţi de circuit) şi fără solenaţii pe

laturi, este egală cu raportul dintre tensiunea magnetică aplicată între

cele două „borne” şi fluxul fascicular care intră printr-o „bornă” şi

iese prin cealaltă:

f

mme

UR

φ= . (1.69)

A) Circuitul magnetic are „n” laturi în serie (figura 1.15).

Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff, obţinem:

∑∑∑===

φ=φ==3

1kmkff

3

1kmk

3

1kmkm RRUU .

44

În concluzie,

∑=

=φ

=3

1kmk

f

mme RUR .

Observaţie: s-a ţinut cont

de faptul că fluxul este acelaşi

prin cele trei reluctanţe.

Prin generalizare, se obţine:

∑=

=n

1kmkme RR . (1.70)

Reluctanţa echivalentă a mai multor laturi conectate în serie,

străbătute de acelaşi flux, este egală cu suma reluctanţelor laturilor.

B) Circuitul magnetic are „n” laturi în paralel (figura 1.16).

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff, obţinem:

φf

A B

φf1

Rm1 φf2

Rm2 φf3

Rm3

Rm1

φf

B A

φf1

φf2

φf3

Rm2

Rm3 ⇔

Fig. 1.16. Reluctanţe conectate în paralel.

A B

φf

Rm1 Rm2 Rm3

A B

φf Rm1 Rm2 Rm3

Um1 Um2 Um3

Um

Fig. 1.15. Reluctanţe în serie.

45

∑∑∑===

==φ=φ3

1k mkm

3

1k mk

m3

1kfkf R

1URU ;

deci,

∑=

=3

1k mkme R1

R1 .

Observaţie: tensiunea magnetică este aceeaşi la bornele tuturor

laturilor.

Prin generalizare, se obţine:

∑=

=n

1k mkme R1

R1 ; sau, ∑

=

Λ=Λn

1kke . (1.71)

Inversul reluctanţei echivalente a mai multor laturi conectate în

paralel, cărora li se aplică aceeaşi tensiune magnetică, este egal cu

suma inverselor reluctanţelor acestor laturi.

46

4. REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL.

4.1. Mărimi variabile, mărimi periodice, terminologie.

Mărime variabilă – este acea mărime care ia valori diferite la

momente diferite, f(t).

Valoare instantanee – este valoarea pe care o mărime variabilă o

are într-un moment oarecare, t şi se notează cu litera mică a simbolului

stabilit prin convenţie, pentru mărimea respectivă.

Mărime periodică – mărimea variabilă a cărei succesiune de

valori se reproduce în aceeaşi ordine, după trecerea unor intervale de

timp egale (figura 1.17).

Fig. 1.17. Explicativă pentru mărimile periodice.

Valoarea instantanee a unei mărimi periodice e o funcţie

periodică de timp u(t) care, prin definiţie, satisface condiţia: u(t) ≡ u(t +

k·T), pentru orice t şi k∈Z. T este o constantă, numită perioadă şi este

Umax

UVV

Umin

T

t1+T t1 0

u

t

47

egală cu cel mai mic interval de timp, după care se reproduc, în aceeaşi

ordine, caracteristicile fenomenului periodic.

Frecvenţa reprezintă numărul de perioade cuprinse în unitatea de

timp:

f = 1/T [Hz]. (1.72)

Produsul frecvenţei prin 2π se numeşte pulsaţie sau frecvenţă

unghiulară, ω, a mărimii periodice:

ω = 2лf [rad/sec]. (1.73)

Relaţiile dintre frecvenţă, pulsaţie şi perioadă:

f = 1/T = ω/2л; ω = 2л/T; ω∙T = 2л.

4.2. Valori caracteristice ale mărimilor periodice

a) Valoarea instantanee.

b) Valoarea de vârf (maximă): cea mai mare valoare instantanee

atinsă de o mărime periodică în decursul unei perioade; notaţie: Umax

sau Û.

c) Valoarea minimă: cea mai mică valoare instantanee atinsă de o

mărime periodică în decursul unei perioade; notaţie: Umin.

d) Valoarea vârf la vârf:

Uvv = Umax – Umin . (1.74)

e) Valoarea medie: media aritmetică a valorilor instantanee ale

mărimii, considerată pe intervalul unei perioade; notaţii: Umed, Uo, ū.

( )∫+

=Tt

tmed1

1

dttuT1U . (1.75)

48

f) Valoarea efectivă (eficace): media pătratică a valorilor

mărimii, pe intervalul unei perioade; notaţii: U, Uef.

( )∫+

⋅=Tt

t

21

1

dttuT1U > 0. (1.76)

Sens fizic: valoarea efectivă a unui curent, e numeric egală cu

valoarea intensităţii unui curent continuu care, străbătând aceeaşi

rezistenţă ca şi curentul periodic, produce aceeaşi dezvoltare de căldură

în timp de o perioadă.

4.3. Clasificarea mărimilor periodice

a) Mărimi alternative: sunt mărimile periodice ale căror valori

medii, în decursul unei perioade, sunt nule (figura 1.18).

Fig. 1.18. Mărime alternativă.

( ) ( ) 0AAT1dttu

T1U

Tt

tmed

1

1

=−== −++

∫ .

„A+ ” şi „A−” sunt modulele integralei funcţiei u pe alternanţa pozitivă

(u > 0), respectiv pe cea negativă (u < 0).

+ +

- -

u

t

T t1

0

49

Întrucât valoarea medie pe o perioadă este nulă, se defineşte

valoarea medie pe o semiperioadă:

( )∫+

=2Tt

t2Tmed

1

1

dttu

2T1U . (1.77)

Se definesc:

− factorul de formă:

( )

( )∫

∫+

+

==2Tt

t

Tt

t

2

2Tmed

eff

1

1

1

1

dttuT2

dttuT1

UUk ; (1.78)

− factorul de vârf:

ef

maxv U

Uk = . (1.79)

b) Mărimi pulsatorii: mărimi periodice pentru care 0Umed ≠ , pe

o perioadă (figura 1.19).

Fig. 1.19. Mărimi pulsatorii.

u

t 0

u

t 0

50

4.4. Mărimi sinusoidale

Se numeşte mărime sinusoidală (armonică), o mărime alternativă

a cărei expresie, ca funcţie de timp, poate fi scrisă sub forma „în sinus”:

( ) ( )γω +⋅= tUtu sinmax ; (1.80)

în care, Umax > 0, ω > 0, γ, pozitiv sau negativ, sunt parametri

constanţi, caracteristici mărimii: amplitudine, pulsaţie şi faza iniţială.

Amplitudinea este modulul valori maxime a mărimii sinusoidale.

Faza este argumentul, dependent liniar de timp, al sinusului:

(ωt + γ).

Faza se exprimă întotdeauna în radiani.

Faza iniţială reprezintă valoarea fazei, γ, în momentul t = 0. De

obicei, γ se aduce în intervalul [-π, π ].

Reprezentările grafice ale mărimilor sinusoidale sunt prezentate

în figura 1.20.

Fig. 1.20. Reprezentări grafice ale mărimilor sinusoidale.

A) Calculul valorilor caracteristice

Se consideră o mărime sinusoidală cu faza iniţială nulă:

ωt γ

t 0 0

u(t)

T

u(ωt)

ωT = 2π ωγ

Umax Umax

51

u(t) = Umax⋅sinωt

a) Valoarea medie pe o semiperioadă.

( ) maxπ0max

π

0maxmed U

π2cosωoU

π1ωtdsinωiU

π1U =⋅−=⋅⋅= ∫ . (1.81)

b) Valoarea efectivă.

( ) =ω⋅ω⋅

π= ∫

π2

0

22max tdtsinU

21U

( ) ( ) .2

Uωtdcos2ωo121U

2π1 max

2π

0

2max =−= ∫ (1.82)

c) Factorul de formă.

1,1122

π

Uπ2

2U

UUk

max

max

med

eff ≅=== . (1.83)

d) Factorul de vârf.

1,412

2UU

UUk

max

max

ef

maxv ≅=== . (1.84)

e) Expresia mărimii sinusoidale în funcţie de valoarea efectivă:

( ) ( )γωtsin2Utu +⋅⋅= . (1.85)

Relaţia (1.85) se numeşte expresie normală în sinus.

B) Relaţii de fază

Se numeşte defazaj între două mărimi sinusoidale, considerate

într-o ordine dată, diferenţa fazelor lor, în această ordine.

52

Considerând două mărimi sinusoidale cu frecvenţe (pulsaţii)

egale,

( )( )

γ+ω⋅=

γ+ω⋅=

222

111

tsinU2u

tsinU2u

,

se observă că defazajul celor două mărimi este egal cu diferenţa fazelor

lor iniţiale (figura 1.21):

( ) ( ) 212112 tt γ−γ=γ+ω−γ+ω=ϕ . (1.86)

Fig. 1.21. Explicativă pentru defazajul dintre două mărimi sinusoidale.

Se definesc următoarele relaţii de fază:

a) ϕ12 = γ1 - γ2 > 0 ⇒ u1 este defazată înaintea lui u2;

b) ϕ12 = γ1 - γ2 < 0 ⇒ u1 este defazată în urma lui u2;

c) γ1 = γ2, ⇒ ϕ12 = 0 ⇒ u1 şi u2 sunt în fază;

d) ϕ12 = γ1 - γ2 = 2π

± ⇒ u1 şi u2 sunt în cuadratură;

e) ϕ12 = γ1 - γ2 = ± π ⇒ u1 şi u2 sunt în opoziţie.

Observaţii.

1. Dacă mărimea u1 e înaintea mărimii u2 cu defazajul ϕ12,

atunci mărimea u2 e în urma mărimii u1 cu defazajul ϕ12.

0 ωt

u2 u1

ϕ12

γ1

γ2

u

53

2. Deoarece fazele sunt determinate până la un termen aditiv,

multiplu arbitrar de 2π şi defazajul e determinat până la un asemenea

termen. De aceea, dacă nu se introduce o restricţie suplimentară,

relaţiile de fază înainte şi în urmă nu au o interpretare unică. Pentru a

evita o exprimare ambiguă, defazajul se reduce întotdeauna la

intervalul [- π, π], adăugând sau scăzând un multiplu de 2π în relaţia

(1.86). Cu această precizare, relaţia de definiţie a defazajului devine:

ϕ12 = γ1 – γ2 + 2π⋅n, iar ϕ12 ∈ [- π; π]. (1.87)

4.5. Reprezentarea în complex a mărimilor sinusoidale

A) Reprezentări geometrice

O funcţie sinusoidală de timp, de frecvenţă dată, e complet carac-

terizată de două valori scalare:

− amplitudinea sau valoarea efectivă – număr pozitiv;

− faza iniţială – unghi.

Un vector liber în plan, e complet caracterizat de două valori

reale:

− modulul – număr pozitiv;

− unghiul făcut de orientarea lui cu o axă de referinţă, numit

argumentul său – unghi.

Se numeşte vector liber, un vector al cărui punct de aplicaţie e

arbitrar, astfel încât reprezintă mulţimea tuturor vectorilor omoparaleli

şi de aceeaşi mărime cu el (echipolenţi cu el), având diferite puncte de

aplicaţie.

54

Se poate deci asocia, fără restricţie, fiecărei mărimi sinusoidale

dintr-o specie dată (curent, tensiune, etc.), un vector liber în plan şi

reciproc, această asociere fiind biunivocă:

( ) ( ) uFγωtsin2Utu ↔+⋅= .

Relaţiilor analitice dintre mărimile sinusoidale le vor corespunde

relaţii geometrice între vectorii corespunzători, relaţii care sunt mai

intuitive şi mai uşor de explicitat.

Vectorii reprezentativi Fu sunt numiţi fazori pentru a se preciza

distincţia faţă de mărimile fizice vectoriale definite în spaţiul fizic,

tridimensional.

Se obţin astfel reprezentările analitice – sau în complex – ale

mărimilor sinusoidale:

( ) ( ) uCγωtsin2Utu ↔+⋅= ,

în care fiecărei funcţii sinusoidale de timp u îi corespunde o mărime

complexă, C u.

B) Reprezentarea în complex simplificată

Această reprezentare poate fi utilizată numai când toate mărimile

sinusoidale au aceeaşi frecvenţă.

În reprezentarea în complex simplificată, imaginea în complex a

mărimii u este un număr complex constant, având modulul egal cu

valoarea efectivă a mărimi sinusoidale şi argumentul egal cu faza

iniţială:

( ) ( ) jγeUUγωtsin2Utu ⋅=↔+⋅= , (1.88)

55

unde 1−=j , este unitatea imaginară, iar U = C u.

C) Teoremele reprezentării in complex

1. Teorema de liniaritate.

∑ ∑∑= ==

⋅=⋅=

⋅

n

1k

n

1kkkkk

n

1kkk UauCauaC . (1.89)

Imaginea în complex a unei expresii liniare de mărimi sinusoidale

este o expresie liniară de mărimi complexe.

2. Teorema derivatei.

UjωujωωdtduC ==

. (1.90)

Demonstraţie:

( )γωtsin2Uu +⋅=

( )

++⋅=+⋅⋅=

2πγωtsin2ωUγωtcosω2U

dtdu

UjωeUeωeUωdtduC

U

jγ

j

2πj

2πγj

⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=

+

3. Teorema integralei.

( ) Ujω1dttuC =∫ (1.91)

Demonstraţie:

( )γωtsin2Uu +⋅=

( ) ( ) ( )

++−=

=+−=+= ∫∫

2πγωtsin2U

ω1

γωtcosω12Udtγωtsin2Udttu

56

( ) Ujω1U

ωjeUe

ω1eU

ω1dttuC

U

jγ

j

2πj

2πγj

=−=⋅⋅−=⋅−=

+

∫ .

4.6. Reprezentarea fazorială a mărimilor sinusoidale

Se aleg în mod convenţional, în plan:

− o axă origine a fazelor (unghiurilor);

− un sens pozitiv pentru măsurarea unghiurilor → sensul trigo-

nometric.

Convenţia de reprezentare.

1. Lungimea fazorului este ega-

lă cu valoarea efectivă a mărimii

sinusoidale (la o anumită scară).

2. Unghiul măsurat de la axa

origine la direcţia fazorului, în

sens pozitiv (trigonometric), este faza iniţială a mărimii sinusoidale.

Reprezentarea prin fazori, pe aceeaşi figură, a tuturor mărimilor

electrice (tensiuni şi curenţi) dintr-un circuit (reţea) constituie diagra-

ma fazorială a circuitului respectiv.

De regulă, în diagrama fazorială nu se mai reprezintă axa origine a

fazelor, alegându-se ca origine a fazelor direcţia unuia dintre fazorii

respectivi.

U

γ

U

+ Axa origine

de fază Fig. 1.22. Fazorul unei mărimi

sinusoidale.

57

5. PUTERI ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

5.1. Puterea instantanee

Facem referire la un dipol electric, adică o reţea electrică cu două

borne de acces. Puterea instantanee la bornele acestuia, în regim

variabil, este dată de relaţia:

p(t) = u(t)⋅i(t). (1.92)

Această putere este primită, respectiv cedată, de la reţeaua

exterioară, după modul de asociere a sensurilor tensiunii la borne u şi

curentului i, respectiv dacă aceasta se face după regula de la receptoare,

sau de la generatoare.

Regulile de asociere a sensurilor tensiunii la borne şi curentului

sunt reamintite în figura 1.23.

În regim sinusoidal, pentru tensiunea la borne şi curent avem

următoarele expresii:

( ) ( )

( ) ( )

+⋅=

+⋅=

2

1

γωtsin2Iti

γωtsin2Utu.

Înlocuindu-le în relaţia (1.92), obţinem:

Dipol electric

Dipol electric

Dipol electric

Dipol electric

i i

ub ub ub ub

i i

a) b) Fig. 1.23. Reguli pentru asocierea sensurilor tensiune – curent: a) convenţia de la receptoare; b) convenţia de la generatoare.

58

p = 2⋅U⋅I⋅sin(ωt + γ1)⋅sin(ωt + γ2) = U⋅I⋅cos(γ1 – γ2) –

– U⋅I⋅cos(2ωt + γ1 + γ2);

p = U⋅I⋅cosϕ – U⋅I⋅cos(2ωt + γ1 + γ2). (1.93)

S-a ţinut cont de faptul că 2sinα⋅sinβ = cos(α – β) – cos(α + β) şi s-a

notat γ1 – γ2 = ϕ.

Prin urmare, puterea instantanee la bornele unui dipol este o

mărime periodică, având o componentă constantă, numită putere activă

şi o componentă de frecvenţă dublă, numită putere oscilantă.

5.2. Puterea activă

Se numeşte putere activă şi se notează cu P, valoarea medie a

puterii instantanee p, luată pe un număr întreg de perioade:

( )∫==nT

0

dttpnT1pP . (1.94)

Înlocuind p din relaţia (1.93) obţinem:

( ) =++−= ∫∫nT

021

nT

0

dtγγ2ωωIcosUnT1dtIcosU

nT1P ϕ

( ) IUγγsinγγ2ωωnsin4πT

nT1IcosU

0

21214ππ

⋅

+−

++−=

ϕ ;

P = U ⋅I⋅cosϕ. (1.95)

Puterea activă a unui dipol electric, în regim sinusoidal, este

egală cu produsul dintre valorile efective ale tensiunii şi curentului,

multiplicat cu cosinusul unghiului de defazaj dintre acestea.

59

Puterea activă, ca şi puterea instantanee, se măsoară în [W].

Pe un interval arbitrar de timp τ, se observă că puterea medie p

are valori apropiate de puterea activă, cu abateri de ordinul τT , fiind

practic egală cu aceasta dacă τ >> T:

( ) ( ) ( )[ ]2121

P

τ

0τ γγsinγγ2ωωsin

4πT

τ1IcosUτ

τ1dttp

τ1p +−++−⋅== ∫

ϕ .

Condiţia τ >> T este întotdeauna realizată în practică, deoarece

intervalele τ cele mai mici, în care se apreciază puterea medie, sunt de

ordinul secundelor şi cuprind sute de perioade la frecvenţa de 50 Hz.

Observaţii.

1. Relaţia generală de definiţie a puterii active (1.94) este

valabilă şi în regim periodic nesinusoidal.

2. Relaţia (1.95) este relaţia de calcul a puterii active în regim

sinusoidal pentru o reţea cu două borne, deci în monofazat.

3. Expresia (1.93) a puterii instantanee arată că aceasta oscilează

cu frecvenţa unghiulară 2ω, în jurul valorii ei medii, care e puterea ac-

tivă (figura 1.24).

ωt

p

u

u, i

i

p = u·i

U⋅I⋅cosφ = P

+ + + +

- - -

Fig. 1.24. Variaţia puterii instantanee.

60

Chiar dacă circuitul e un receptor pasiv, adică P > 0, există

momente în decursul unei perioade când puterea instantanee primită

devine negativă, fiind de fapt cedată spre exterior.

5.3. Puterea aparentă. Factorul de putere.

Se numeşte putere aparentă a unui dipol electric şi se notează cu

S mărimea definită de produsul pozitiv al valorilor efective ale

tensiunii şi curentului:

2

maxmax IUIUS ⋅=⋅= > 0. (1.96)

Unitatea de măsură a puterii aparente este [VA].

Puterea aparentă este o putere calculată „ca în curent continuu”,

fără a lua în considerare influenţa defazajului. Fără a avea o semni-

ficaţie energetică nemijlocită, ca puterea activă, puterea aparentă este

importantă deoarece, reprezintă valoarea maximă a puterii active, la

valori efective invariabile ale tensiunii şi curentului şi defazaj variabil.

Deoarece maşinile şi aparatele electrice sunt caracterizate prin

valori maxime admisibile ale curentului şi tensiunii, puterea aparentă

caracterizează limitele lor de funcţionare şi este indicată, de obicei, pe

plăcuţa de fabricaţie respectivă.

Factorul de putere.

Se numeşte factor de putere, raportul pozitiv şi subunitar dintre

puterea activă şi cea aparentă:

61

01 ≥=≥SPk p . (1.97)

În regim sinusoidal monofazat, cu relaţiile (1.95) şi (1.96), rezultă

pentru factorul de putere următoarea expresie:

.coskIU

cosIUk pp ϕϕ=⇒

⋅⋅⋅

= (1.98)

Pentru ca o anumită instalaţie, de putere aparentă dată, să funcţi-

oneze cu eficienţă maximă, deci cu maximum de putere activă, factorul

de putere corespunzător trebuie să fie cât mai mare (cât mai aproape de

unitate), adică defazajul să fie cât mai mic. De aici rezultă una dintre

problemele tehnico – economice cele mai importante ale exploatării cât

mai eficiente a energiei electrice şi anume, problema ameliorării

factorului de putere.

5.4. Puterea reactivă

Se numeşte putere reactivă a unui dipol electric, Q, mărimea

definită de produsul valorilor efective ale tensiunii şi curentului,

multipli-cat cu sinusul unghiului de defazaj dintre acestea:

ϕϕ sin2

sin maxmax IUIUQ ⋅=⋅⋅=

>< 0. (1.99)

Puterea reactivă se măsoară în [var] (volt – amper – reactiv).

Puterea reactivă primită de un dipol pasiv este pozitivă pentru

circuitele inductive, negativă pentru cele capacitive şi nulă pentru

circuitele rezistive.

62

Între puterea aparentă, puterea activă şi puterea reactivă se poate

pune în evidenţă relaţia:

222 SQP =+ , (1.100)

deoarece,

( ) ( ) ( ) ( )

1

2222222 sincosIUsinIUcosIU ϕϕϕϕ +⋅=⋅+⋅ .

Relaţia (1.100) sugerează aşa numitul „triunghi al puterilor”,

valorile celor trei puteri fiind, întotdeauna, numere pitagorice (figura

1.25).

Observaţii.

1. Puterea reactivă a fost intro-

dusă pe baza relaţiei de definiţie

(1.99), construită prin analogie cu

expresia (1.95) a puterii active. Spre

deosebire de puterea activă, puterea reactivă nu are interpretarea

energetică simplă a acesteia, adică nu corespunde unui aport mediu de

energie pe la borne. Puterea reactivă reprezintă o măsură a

necompensării schimburilor interioare de energie între câmpul

magnetic şi cel electric.

2. Factorul de putere poate fi scris în funcţie de Q:

2

222

p SQ1

SQS

SPk −=

−== , (1.101)

de unde rezultă că problema ameliorării factorului de putere este

echivalentă cu problema reducerii puterii reactive.

P

S=U⋅I Q ϕ

Fig. 1.25. Triunghiul puterilor.

63

6. APLICAŢII TEORETICE

6.1. Probleme rezolvate

1) Se dă circuitul din figură. Dimensiunile sale sunt: b = 15 cm

şi a = 10 cm, secţiunea miezului magnetic are arie constantă A = 10

cm2; δ = 0,5 cm; permeabilitatea materialului este μFe = 2 000μ0. Se

cunoaşte intensitatea câmpului magnetic în prima coloană, H1 = 4 A/m,

produs de bobina respectivă. Se cere să se calculeze intensităţile

câmpului magnetic în celelalte coloane şi în întrefier. Să se calculeze

fluxurile magnetice în cele trei coloane şi tensiunea magnetică între

punctele A şi B. Se consideră că liniile de câmp ale inducţiei magnetice

se închid numai prin materialul magnetic şi întrefier.

Rezolvare:

Analogia dintre circuitele electrice şi magnetice permite

rezolvarea cu uşurinţă a problemei. În figura 1.26.b este reprezentat

circuitul electric echivalent, în care:

B

A

H1 H2

H3

H0

δ

b

a

a

A

B

R1 R2 R1

R3

R0

Φ1 Φ2

Φ3

F

a) b)

64

F = w∙i, reprezintă tensiunea magnetomotoare a bobinei (egală la

rândul ei cu solenaţia w·i a bobinei);

R0, R1, R2, R3, – reluctanţele diferitelor porţiuni ale circuitului

magnetic,

μAδR;

μAb2a

μAδb2aR

μAbR;

μAb2aR 0321 =

+≈

−+==

+= ;

Φ1, Φ2, Φ3 – fluxurile prin cele trei coloane.

Fluxul Φ1 este cunoscut:

AHμΦ 11 ⋅⋅=

Acest flux se va divide prin coloanele 2 şi 3, invers proporţional

cu reluctanţele R2 şi R3 + R0 ale acestor coloane, deoarece, tensiunea

magnetică UmAB este aceeaşi, calculată fiind, fie pe drumul oferit de

coloana 2, fie pe cel oferit de coloana 3:

032

213

032

0312 RRR

RΦΦ;RRR

RRΦΦ++

=++

+=

Din aceste ultime expresii rezultă intensităţile câmpului magnetic

în coloane şi în întrefier:

;μAΦH;

μAΦH;

μAΦH 3

03

`32

2 ===

precum şi tensiunea magnetică, între punctele A şi B:

22mAB ΦRU = .

Numeric:

Φ1 = µH1A = 1,005 10-3 Wb;

Φ2 = 0,905 10-3 Wb;

Φ3 = 0,100 10-3 Wb;

65

H2 = 360 A/m;

H3 = 40 A/m;

H0 = 7,96 104 A/m;

UmAB = R2Φ2 = 54 A.

2) Să se calculeze valoarea curentului i4, din figura alăturată,

ştiind că:

.2πt100πcos2i

;4πt100πcos22i

;4πt100πsin22i

3

2

1

−=

−=

+=

Rezolvare:

2314 IIII −+= , conform primei teoreme a lui Kirchhoff.

( )

( )

( ).t100πsin2i

1;2j212j2I

;2j24πjsin

4πcos2I

;1jsin0cos0I

;100π0sin22π

2πt100πsin2i

;2j24πjsin

4πcos2I

;4π100π0sin22

2π

4πt100πsin22i

4

4

1

3

3

2

2

=

=−−++=

+=

+=

=+=

=

+−=

+=

+

=

+=

+−=

i1

i2

i3 i4

66

3) Să se determine tensiunea u1, din figură ştiind că:

.3πt100πcos22u

;3πt100πsinu

;6πt100πsin22u

4

2

3

−=

−=

+=

Rezolvare:

Conform celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff, se obţine:

;26j

22

3πjsin

3πcos2U

;j36πjsin

6πcos2U

;6π100π0sin22

2π

3π100π0sin22u

;j36πjsin

6πcos2U

;UUUU

2

4

4

3

4231

−=

−+

−=

+=

+⋅=

+=

+−=

+=

+⋅=

−−=

( )

.3πt100πsin22u

;3π3arctg

;231

;3j1223j3

23

23j

21U

1

221

1

+=

==

=+=

+=++−−=

ϕ

U

u4

u3

u1

u2

67

4) Să se calculeze rezistenţa echivalentă între punctele:

a) A − B;

b) D − E;

c) B − E;

d) C − F.

Rezolvare:

Se observă că punctele A, F, E, respectiv B, C, D, sunt puncte de

acelaşi potenţial. În consecinţă, circuitul poate fi echivalat cu

următoarea schemă:

Se calculează rezistenţele echivalente:

R

R

R R

R

R

R

R

R

A

B

C D

E

F

Re1

Re1 R

R

R B,C,D A,E,F

Re2

Re2

R B,C,D A,E,F

68

52RR

2R5

R1

2R3

R1

4R3

4R3

R1

34R

3RRRRR

3RR

R1

R1

R1

R1

EE

e1e2

e1e1

=⇒=+=++=

=+=+=

=⇒++=

5) Se conectează în serie 100 de becuri având puterea de 1 W şi

tensiunea nominală de 2 V. Să se calculeze tensiunea pe care trebuie să

o furnizeze redresorul care le alimentează şi puterea pe care o absoarbe

acesta de la reţea, dacă randamentul său este de 80%.

Rezolvare:

Rezistenţa celor 100 de becuri: Ω.4004100R

;4Ω14

PUR

t

2

b

=⋅=

===

U = 2·100 = 200 V − tensiunea pe cele 100 de becuri legate în

serie.

Curentul pe care trebuie să-l debiteze redresorul:

A0,5400200

RUI

t

=== ; (valoarea curentului prin becuri).

.W1250,8100

ηPP

;W1000,5200IUP

R1

R

===

=⋅=⋅=

PR, – puterea necesară alimentării becurilor;

P1, – puterea absorbită de redresor, de la reţea.

69

6) Să se efectueze

bilanţul puterilor pentru

circuitul din figura alătu-

rată, ştiind că:

B1 ≡ B2: 24 W / 12 V; B3 ≡ B4: 48 W / 12 V; E1 = 16 V; r1 = 1 Ω; E2 =

12 V; r2 = 0,5 Ω.

Rezolvare:

a) Rezistenţele becurilor din circuit:

.Ω348

144P

URR

;Ω624

144P

URR

;RIRUIUP

2

43

2

21

22

====

====

==⋅=

b) Rezistenţa echivalentă a becurilor, conectate în paralel:

;1R2

R2

R1

31e

=+=

Ω1R e = .

Pentru a afla valorile curenţilor din laturile circuitului echivalent,

obţinut, se aplică teoremele lui Kirchhoff (I1, I2, I3):

E1 E2

r1 r2 R2 r1

E1 E2

r2 R R1

B2 B1

E1 E2

r1 r2 B3 B4

70

231

3e222

3e111

III0IRIrE

IRIrE

+−=⋅+⋅=

⋅+⋅=

Rezolvarea sistemului conduce la următoarele valori:

I1 = 6 A

I2 = 4 A

I3 = 10 A

c) Bilanţul puterilor:

23e

222

2112211 IRIrIrIEIE ++=+

W.144W144 =

6.2. Probleme propuse

1) Să se calculeze rezistenţa echivalentă a circuitului din figură,

între bornele:

a) A − D;

b) A − C;

c) F − C.

2) Un redresor încarcă doi

acumulatori de 12 V, având

capacitatea de 55 Ah, respectiv 45 Ah.

Se recomandă ca valoarea curentului

de încărcare să fie 10% din capacitatea

RL

E2 E

E1

R

R

R R R

R R A B

D E

G C F

R

71

acumulatorului. Cât trebuie să fie rezistenţa de limitare a curentului,

dacă redresorul furnizează 17 V ?

3) Să se calculeze curenţii din laturi şi să se realizeze bilanţul

puterilor, pentru circuitele din figurile următoare, dacă: R1 = R2 = R3 =

1 Ω; E1 = 2 V; E2 = 4 V.

4) Să se determine valoarea

standardizată a siguranţei S, necesară în

circuitul din figură, dacă, E1 = 16 V, r1 =

1 Ω, E2 = 12 V, r2 = 0, 5 Ω, în situaţiile în

care, între bornele A − B ale circuitului,

se conectează consumatorii din figurile a), b), c) şi d).

E2 E1 R2

R1

R3

E1

E2

R2 R1 R3

E2

E1

R2 R1 R3

E1

R1

E2

R2 R3

E1

S

r1

E2

r2

A

B

72

a) b)

c) d)

3Ω

0,5Ω

3Ω 1Ω

1Ω

A

B

3Ω

2Ω

3Ω

2Ω 2Ω

A

B

3

1Ω

3 4Ω 4Ω 2Ω 2Ω

A

B

2Ω

0,75Ω

0,75Ω

1Ω 1Ω

A

B