CAPÍTULO 8 - ESCOAMENTOS INTERNOS§ Escoamento confinado§ Camada limite se desenvolve com restrição§ Regiões de entrada
§ fluido desacelera próximo às paredes e acelera na região central para conservar massa
velocidade média: Comprimento da região de entrada: Lent
§ Comprimento de entrada: Lent
1
ctedAuAumtAm =∫== ρρ!
∫=tAt
m dAuA
u ρρ1
2
O relação também poderia ter sido obtida através de um balanço de
forças no seguinte volume de controle
∑ = 0xF ⇒ 0=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂+− dxmPsTAdx
xppTAp τ
4hD
xp
mPTA
xp
s ∂
∂−=
∂
∂−=τ
• Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e
turbulento
p+ dxxp∂
∂ R r
x
p τs
dx
§ Região de Escoamento Hidrodinâmicamente Desenvolvido§ Perfil de velocidade não varia axialmente§ Equilíbrio de forças
§ Tensão na parede constante, queda de pressão constante
mt
h PA
D4
=Diâmetro hidraúlico
- Diâmetro hidraúlicomt
h PA
D4
=
Exemplos:
° círculo: DD
D
Dh ==π
π4
42
° espaço anular: 1212
21
22
h DD)DD(
4DD4
D −=+
−
=π
π
D
D2 D1
° retângulo: L/H1
H2)LH(2
LH4Dh +=
+=
° placas planas infinitas: H2Dh =
H
L
H
- Número de Reynolds:
- Recr ≈ 2300
- Re < Recr regime laminar- Re > Recr regime turbulent
- Em escoamentos laminares, Lent/D ≈ 0,05 Re
- Em escoamentos turbulentos, 10 ≤ Lent/D ≤ 60
µ
ρ hm Du=Re
4
mt
h PA
D4
=
- Perfil de velocidades num tubo circular:
Ø Hipóteses:- Escoamento laminar- Regime permanente (∂/∂t=0)- Propriedades constantes- Simetria angular (∂/∂θ=0)- Escoamento desenvolvido (∂/∂x=0)- Tubulação horizontal
0
0
=
=
xu
v
∂∂
5
- Balanço de forças num elemento de fluido:
[ ]
[ ] 0222
222
=+−
+++−
})()({)(
})()({)(
dxrdrpdxdrdrprdrp
drrdxdrdrdxrdx
πππ
πτπτπτ
drduµτ =Fluido Newtoniano:
6
( )dxdp
drrd
r=⇒
τ1
Substituindo na equação obtida do balanço de forças: dx
dpdrdur
drd
r=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛µ
7
( )dxdpr
drrd
=⇒τ
drduµτ =
Integrando
212
41 CrCrdxdpru ++= ln)(
µ
12
21 Crdxdp
rdudr +=
µ
dxdpr
drdur
drd
µ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒
41C 02
2
20or
dxdpru
µ−=⇒=)()(
rCr
dxdp
rdud 1
21
+=⇒µ
Condições de contorno
00 finita) e velocidad(simetria, 0r 1) 10
=⇒===
Cdrdu
r(
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⇒
2
221
4 o
orr
dxdpr
ruµ
)(
- Velocidade média:
€
um = −r02
8µdpdx
- Queda de pressão e fator de atrito para escoamento desenvolvido
€
f =−(dp/dx)D1/2ρum
2
€
Cf =τ
1/2ρum2
Cf =f4
fator deatrito:
Coeficientede atrito:
8
∫=∫==o
t
r
oA
om drru
rdAu
ru
022211 π
ππ
- Escoamento laminar desenvolvido:
€
f =64Re
- Escoamento turbulento - superfícies lisas:
62
451
441
10x5Re3000 1640790
10x2 1840
10x2 3160
≤≤−=
≥=
≤=
−
−
−
),Re(ln,
ReRe,
ReRe,
/
/
f
f
f
9
Duto circular
Análise térmica- Camada Limite térmica- T(r,x) no escoamento desenvolvido depende das condições de contorno- Desenvolvimento térmico no escoamento laminar: Lent,t/D ≈0,05 RePr
- Número de Peclet: Pe = Re Pr- Pr > 1: Lent/D < Lent,t/D- Pr < 1: Lent/D > Lent,t/D- Pr >100: Lent/D << Lent,t/D
11
- Temperatura média ou de mistura (bulk): ∫= A pp
m TdAuccm
T ρ!1
- Lei de Newton de resfriamento: qs" = h (Ts-Tm)
- Região termicamente desenvolvida:
€
θ =Ts(x) − T (r,x)Ts(x) − Tm(x)
€
∂θ∂x
= 0 … Temperatura adimensional
para 2 CC, (Ts=cte ou qs=cte. Obs.: se qs=cte, Ts=Ts(x))
- Como θ independe de x, então:
€
∂θ∂r r=R
=−∂T /∂r
r=R
Ts −Tm≠ f (x)
qs"= −k∂T∂r r=R
= h(Ts − Tm) ⇒ hk≠ f (x) h independe de x, se
as propriedades são ctes 12
h(x) no escoamento através de um tubo:§ Variação brusca na região de desenvolvimento§ Constante na região desenvolvida
13
[ ])()()(),( xTxTxTxrT mss −−= θ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=dxdT
dxdT
dxdT
xe sms θ
∂∂T ntão
€
θ =Ts(x) − T (r,x)Ts(x) − Tm(x)
Na região desenvolvida
€
∂θ∂x
= 0
- Para o caso em que Ts = cte, na região desenvolvida:
0=dxdTs
14
)(rfdxdT
TTTT
dxdT
xm
ms
sm =−
−==⇒ θ
∂∂T
- Para o caso em que qs" = cte, na região desenvolvida:
dxdT
dxdT
ctehq mss =⇒=ʹ́
(independe de r)dxdT
dxdT
xms ==⇒ T
∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=dxdT
dxdT
dxdT
xsms θ
∂∂T
Exemplo
15
Escoamento de metal líquido em um tubo circular: Perfil de velocidade: u( r)=C1 ; Perfil de temperaturaT( r)-Ts= C2[1-(r/r0)2]Calcule o número de Nusselt
ms
sTT
qh
−
ʹ́= ∫= A p
pm TdAuc
cmT ρ
!1
10122211 CdrrC
rdAu
ru
o
t
r
oA
om =∫=∫= π
ππ
drrrrCT
rdrr
rrCTcu
cruT
oo r
os
o
r
osvm
vomm ∫
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+=∫
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+=
0 2
2220 2
222
12211 πρπρ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+=
24222 2
2
422
2
2C
Trrr
Cr
Tr
T so
ooos
om
16
ms
sTT
qh
−
ʹ́=
orrs r
Tkq=∂
∂−=ʹ́
- Fluxo de calor qs" (Lei de Fourier)
orro rCk
rrCk
o
22 222 −=−=
=
o
ork
Cr
Ckh 4
2
2
2
2=
−
−
=/
824
===kr
rk
kDhNu o
o
Número de Nusselt
- O Balanço de Energia
!!! "!!! #$%
"#$
%%%
VC do atravésmovimentar se ao fluido pelo realizado
líquido trabalho+ massa fluxo ao devida térmicaenergia de fluxo
convecçãopor calor de trocade taxa
0
)(
)()()(
υ
υυυ
pTcdmdq
dxdx
pTcdmpTcmpTcmdq
mvconv
mvmvmvconv
+=⇒
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++−+=
Para gases ideais: pυ=RTm , cp=cv+R mpconv dTcmdq !=⇒
Para líquidos incompressíveis, cv=cp e υ é muito pequeno (d(pυ)<<d(cvTm)) mpconv dTcmdq !=⇒
17
Integrando a equação acima ao longo de todo o tubo:)( ,, emsmpconv TTcmq −= !
"#$
tuboao do transferilcalor tota
Num elemento diferencial de fluido:
)( mspp
sm
sconv
TThcmP
cmPq
dxdT
dxPqdq
−=ʹ́
=⇒
ʹ́=
!!
D)=P :circular (tubo superfície da perímetro - P π
• Se Ts>Tm, calor é transferido ao fluido e Tm cresce com x• Se Ts<Tm, calor é transferido pelo fluido e Tm cai com x 18
- Solução para fluxo de calor na superfície constante
)()( ,, PLqTTcmq semsmpconv ʹ́=−= !
Além disso:
xcmPq
TxT
ctecmPq
dxdT
p
semm
p
sm
!
!
ʹ́+=⇒
=ʹ́
=
,)(
• Na entrada Ts-Tm cresce com x, porque h=h(x) cai com x
• Na região desenvolvida, h=cte e Ts-Tm também 19
- Solução para temperatura na superfície constante
∫−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒∫−=∫
L
pe
saiL
p
TT hdx
LcmPL
TT
hdxcmP
TTdsai
e 001ln
!! Δ
Δ
ΔΔΔ
Δ)(
• (Ts-Tm) cai exponencialmente com x
20
p
smcmPq
dxdT
!ʹ́
= ms TTT −≡Δ
ThcmP
cmPq
dxTd
dxdT
pp
sm ΔΔ
!!=
ʹ́=−=)(
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
−
−=⇒−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒
xpems
xms
Lpems
saims
e
saiL
pe
sai
hcmPx
TTTT
hcmPL
TTTT
TT
hcmPL
TT
!
!!
exp
exp
,
,
,
,
ou
lnΔ
Δ
Δ
Δ
)/ln(
)()( ,,
esai
esailm
lmsconv
T
saims
T
emspconv
TTTT
T
TAhq
TTTTcmq
saie
ΔΔ
ΔΔΔ
Δ
ΔΔ
−≡
=⇒
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
==
!"#
$$!$$"#$!$"#%
tubono ra temperatudealogaritmic média diferença
onde
- Fluxo de calor:
- Se ao invés de conhecermos Ts, conhecemos a temperatura do fluido externo em contato com a superfície (T∞) ou a temperatura da superfície externa (Tse), a expressão acima continua válida, substituindo h por U (coeficiente global de troca de calor) e Ts por T∞ ou Tse 21
22
Exemplo
Vapor condensando mantem a temperatura da superfície externa de um tubo (D=50mm e L=6m) constante e igual a 100 oC. Água escoa com fluxo de massa igual a 0,25 kg/s, e as temperaturas na entrada e na saída são 15 oC e 57 oC. Qual o coeficiente médio de troca de calor interno?
lmsconv
entmsaimpconv
TAhq
TTcmq
Δ=
−= )( ,,!
lms
entmsaimpTA
TTcmh
Δ
)( ,, −=!
CTTTTTTTT
T o
entssais
entssaislm 661
15100571001510057100 ,)]/()ln[()()(
)]/()ln[()()(
=−−−−−
=−−
−−−≡Δ
KmWh2
755661050151004178250
=××
−×=
,,)(,
π
Escoamento laminar em tubos circulares: análise térmica e correlações para o coeficiente de troca de calor
Ø Equação da energia para escoamento termicamente e hidrodinâmicamente desenvolvido
Ø hipóteses: i. Regime laminarii. Simetria angular, ∂/∂θ=0 iii. Hidrodinâmicamente desenvolvido, ∂u/∂x=0 iv. Regime permanente, ∂ /∂t=0 v. Propriedades constantesvi. Termicamente desenvolvidovii. dissipação viscosa desprezívelviii. Fluxo de calor axial constante
23
cteqs =ʹ́
!ctevr
rrvr
xu
zero
=⇒=+ 0∂
∂∂∂
q escoamento totalmente desenvolvido:§ Continuidade
§ Quantidade de Movimento
24
v = 0
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
2
221
4 o
orr
dxdpr
ruµ
)( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=dxdpr
u om µ8
2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
2
212
om r
ruru )(
§ Equação da energia
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+
rTr
rrrTv
xTu
∂∂
∂∂α
∂∂
∂∂
- escoamento termicamente totalmente desenvolvido:- Fluxo de calor constante
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
rTr
rrdxdT
rru m
om ∂
∂∂∂α
212
25
€
θ =Ts(x) − T (r,x)Ts(x) − Tm(x)
0=∂∂xθ
cteTThq mss =−=ʹ́ )(
p
smscmPq
dxdT
dxdT
xT
!ʹ́
===∂∂
12
42
422
Crrr
dxdTu
rTr
o
mm +⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
α∂∂
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
2
12
octe
mmrrr
dxdTu
rTr
r!"#
α∂∂
∂∂
rC
rrr
dxdTu
rT
o
mm 12
3
422
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
α∂∂
§ Condições de contorno(1) r=0, T é finito (simetria angular) ⇒ C1=0
212
42
1642
CrCRrr
dxdTu
xrT mm ++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ln),(
α
26
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
242
41
161
1632
oo
moms r
rrr
dxdTru
xTxrTα
)(),(
1632 2
2omm
sr
dxdTu
xTC ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
α)((2) r=ro T=Ts(x) ⇒
§ Temperatura de mistura
212
42
1642
CrCRrr
dxdTu
xrT mm ++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ln),(
α
27
∫=∫=or
omA p
pm drrTu
ruTdAcu
cmT
02211 π
πρ
!
∫⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
or
oo
momsm
omm drr
rr
rr
dxdTru
xTrru
ruT
0
242
20
2
22
41
161
1632
121 παπ
)(
dxdTru
xTxT momsm ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
α
2
4811)()(
- Utilizando este resultado podemos determinar o número de Nusselt
dxdTru
xTxT momsm ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
α
2
4811)()(
Nusselt = constante !28
kDq
xTxT ssm
")()(
4811
−=−pom
s
p
smcru
PqcmPq
dxdT
2πρ
ʹ́=
ʹ́=!
cte)=(q" 3641148
s,=≡⇒=khDNu
Dkh D
pck
ρα = orD 2=
- Com a CCT de temperatura da superfície constante (Ts=cte), a equação de energia fica:
€
1r∂∂r
r∂T∂r
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =2umα
dTmdx
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ 1− r
R⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ 2⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥ Ts −TTs −Tm
Da solução da equação acima (por método iterativo):
NuD=3,66
29
30
Exemplo
Tubo circular (D=60 mm) com CC de fluxo constante na parede (q”s=2000W/m2).(a) Água pressurizada entra a 0,01 kg/s e Tmi=20 C. Qual o comprimento do tubo para que a água saia a 80 C?(b) Qual é a temperatura da parede na saída do tubo, assumindo esc. desenvolvido?
- Região de entrada
- Solução do problema térmico na região de entrada, considerando perfil de velocidade desenvolvido (p.ex., altos Pr como é o caso óleos- Problema combinado: desenvolvimento hidrodinâmico e térmico simultâneo
• Nu → ∞ em x=0• Nu × Gz independe de Pr no problema de desenvolvimento térmico• Nu depende de Pr no problema de desenvolvimento simultâneo (Nu cai com Pr e tende ao resultado do problema de desenvolvimento térmico quando Pr → ∞)
31
- Correlação de Hausen (para CC de qs"=constante):
€
NuD ≡hDk
= 3.66 +0.0668(D /L)ReD Pr
1+ 0.04[(D /L)ReD Pr]2 / 3
- Correlação de Sieder e Tate (válido para o desenvolvimento simultâneo e para CC de Ts =constante)
€
NuD =1.86 ReDPrL /D
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ 1/ 3 µ
µs
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
0.14
0.48 < Pr <16700
0.0044 <µµs
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ < 9.75
propriedades avaliadas a Tf 32
- Escoamento turbulento em tubos lisos circulares
Usando a analogia de Chilton-Colburn e a expressão parafator de atrito, chega-se a Correlação de Colburn:
€
NuD = 0.023ReD
4 / 5Pr1/3
€
NuD = 0.023ReD
4 / 5 Pr n n = 0.4 (aquecimento, Ts > Tm) n = 0.3 (resfriamento, Ts < Tm)
Correlação de Dittus-Boelter
Estas equações devem ser usadas para (Ts-Tm) baixos amoderados e nas seguintes condiçoes:
€
0.7 ≤ Pr ≤160ReD ≥10000L /D ≥10
- propriedades a Tm
33
€
0.7 ≤ Pr ≤16700ReD ≥10000L /D ≥10
€
NuD = 0.027ReD
4 / 5 Pr1/ 3 µµs
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
0.14
- Correlação de Sielder e Tate:
propriedades a Tm, exceto µs
€
NuD =( f /8)ReD Pr
1.07 +12.7( f /8)1/ 2(Pr2/ 3−1) 0.5 < Pr < 2000 e 104 < ReD < 5x106
- Correlação de Petukhov (menores erros):
€
NuD =( f /8)(ReD−1000)Pr
1+12.7( f /8)1/ 2(Pr2/ 3−1) 0.5 < Pr < 2000 e 3000 < ReD < 5x106
- Correlação de Gnielinski:
propriedades a Tm
- Aumento de f com a rugosidade é maior que o aumento de h34
- Em escoamentos turbulentos, o desenvolvimento é rápido, 10<(Lent/D)<60. Assim,
entrada de região da dependem mC, 1
:pequenos tubosPara
mdes
D
desD
DxC
NuNu
NuNu
)/(+=
≈
- Para metais líquidos (0.003<Pr<0.05):• Correlação de Skupinski (qs=constante):
• Correlação de Seban e Shimazaki (Ts=constante ePeD>100):
€
NuD = 4.82 + 0.0185PeD0.827 3600 < ReD < 9.05x105
100 < Pe D <10000
€
NuD = 5+ 0.025PeD0.8
35
- Tubos não circulares:
• Diâmetro hidráulico: DH=4Ac/P Ac - área seção transversal P - perímetro molhado• ReDH e NuDH• Nu perto dos cantos → 0 ⇒ • Em escoamentos laminares, a aproximação é pior ⇒ Tabela
€
Nu
ab
aquecidoisolado
b/a NuD=hDH/k (qs=cte) NuD=hDH/k (Ts=cte) fReDh
- 4.36 3.66 641.0 3.61 2.98 571.43 3.73 3.08 592.0 4.12 3.39 624.0 5.33 4.44 538.0 6.49 5.60 82∞ 8.23 7.54 96∞ 5.39 4.86 96
- 3.11 2.47 5336
- Espaço anular
q"i=hi(Tsi-Tm)q"o=ho(Tso-Tm)
€
Nui ≡hiDh
k Nuo ≡
hoDh
k
Dh = 4(π/4)(Do2 −Di
2 )π (Do −Di)
=Do −Di
Di/Do Nui Nuo0 3.66
0.05 17.46 4.060.1 11.56 4.110.25 7.37 4.230.5 5.74 4.431 4.86 4.86
Di/Do Nuii Nuoo θi* θο*0 4.364 oo 0
0.05 17.81 4.792 2.18 0.02940.1 11.91 4.834 1.383 0.05620.2 8.499 4.833 0.905 0.10410.4 6.583 4.979 0.603 9.18230.6 5.912 5.099 0.473 0.24550.8 5.58 5.24 0.401 0.2991 5.385 5.385 0.346 0.346
Nu para CC Ts e q=0
- CC de fluxo cte em ambas as paredes:
€
Nui =Nuii
1− (q"o /q"i )θi*
Nuo =Nuoo
1− (q"i /q"o )θo*
- obs.: para escoamentos turbulentos, estes coeficientes podem ser usados como aproximação
37
- Aumento de troca de calor
• aumento de ho rugosidade na superfície para aumentar a turbulênciao introdução de movimentos rotacionais no fluidoo introdução de escoamentos secundários
• aumento da área de troca
38
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