CONSERVAÇÃO DE ENERGIA

- Fluxo energia que entra no VC- Fluxo energia que sai do VC- Geração energia no VC- Taxa variação energia armazenada no VC no instante t€

˙ E e

€

˙ E s

€

˙ E g

€

˙ E at

Num instante de tempo:

Num intervalo de tempo:

€

dEat

dt= ˙ E at = ˙ E e − ˙ E s + ˙ E g

€

Ee + Eg − Es = ΔEat = ΔU + ΔEc + ΔEp( )

- Sistema fechado: troca de energia na forma de calor e trabalho- Sistema aberto (VC): fluxo de energia também é devido ao fluxo de massa 1

Balanço de energia num sistema aberto (1 entrada e 1 saída):

€

˙ m u + pvh

+V 2

2+ gz

"

# $ $

%

& ' '

e

− ˙ m u + pvh

+V 2

2+ gz

"

# $ $

%

& ' '

s

+ ˙ E g + ˙ Q − ˙ W =dEat

dt

Gás ideal com cp constante : Δh = cp (Te −Ts)Fluido incompressível (cp = cv = c) : ue − us = c(Te −Ts)

Balanço de energia numa superfície

€

˙ E e − ˙ E s = 0qcond

" −qconv" −qrad

" = 0

2

Unidades e Dimensões

Grandeza Dimensão Unidade (SI)Comprimento L mMassa M kgConcentração C molTempo t s Temperatura T KCorrente elétrica I AForça ML/t2 N=mkg/s2

Pressão e tensão M/Lt2 Pa=N/m2

Energia ML2/t2 J=NmPotência ML2/t3 W=J/s

3

EXEMPLO

Barra longa condutora, de resistência elétrica por unidade de comprimento Rr

’, está inicialmente em equilíbrio térmico com o ambiente. O equilíbrio é perturbado quando uma corrente elétrica I passa através da barra. Desenvolva uma equação para determinar a variação da temperatura da barra com o tempo, durante a passagem da corrente.

Hipóteses: T uniforme em cada tempo t; propriedades ctes

€

˙ E g − ˙ E s = ˙ E at =d(ρcVT)

dt˙ E g = I2Rr

' L = ˙ Q V˙ E s = h(πDL)(T −T∞) + εσ (πDL)(T 4 −Tsup

4 )

I2Rr' L − h(πDL)(T −T∞) −εσ (πDL)(T 4 −Tsup

4 ) = ρc πD2

4L dT

dtdTdt

=I2Rr

'

ρc(πD2 /4)−

4hρcD

(T −T∞) − 4εσρcD

(T 4 −Tsup4 )

4

Capítulo 2 INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO

Lei de Fourier:

€

q''= −k∇T ou q = −kA∇TEm coordenadas cartesianas :

q''= −k ∂T∂xqx "

ˆ i + ∂T∂yqy "

ˆ j + ∂T∂zqz "

ˆ k

%

&

' ' '

(

)

* * *

meio isotrópico

5

Meio não isotrópico: Condutividade térmica depende da direção ⇒ kx(=-qx”/∂T/∂x)≠ky≠kz

Emgeral,ksólido>klíquido>kgás

Sólidos em geral: k cai com TFluidos: - Gases: k cresce com T - Líquidos: k cai com TOutras propriedades importantes: ρ, ν, cp, cv, α=k/ρcp

6

Equação da Condução de Calor

€

˙ E g = ˙ q dxdydz ˙ E at = ρc p∂T∂t

dxdydz

˙ E at = ˙ E e + ˙ E g − ˙ E s

⇒ qx + q y + qz + ˙ q dxdydz − qx +dx − q y +dy − qz+dz = ρc p∂T∂t

dxdydz

7

€

qx = −kdydz ∂T∂x

q y = −kdxdz ∂T∂y

qz = −kdxdy ∂T∂z

$

%

& & &

'

& & &

€

⇒∂∂x

k ∂T∂x

$

% &

'

( ) +

∂∂y

k ∂T∂y

$

% &

'

( ) +

∂∂z

k ∂T∂z

$

% &

'

( ) + ˙ q = ρc p

∂T∂t

Equação de condução de calor em coordenadas cartesianas:

Para k constante:

€

∂ 2T∂x2

#

$ %

&

' ( +

∂ 2T∂y 2

#

$ %

&

' ( +

∂ 2T∂z2

#

$ %

&

' ( +

˙ q k

=1α∂T∂t

= 0 em reg.permanente

8

€

q"= −k ∂T∂r

ˆ e r +1r∂T∂θ

ˆ e θ +1

r sinθ∂T∂φ

ˆ e φ&

' (

)

* +

1r 2

∂∂r

kr 2 ∂T∂r

&

' (

)

* + +

1r 2 sin2θ

∂∂φ

k ∂T∂φ

&

' (

)

* + +

1r 2 sinθ

∂∂θ

k sinθ ∂T∂θ

&

' (

)

* + + ˙ q = ρc p

∂T∂t

€

q"= −k ∂T∂r

ˆ e r +1r∂T∂θ

ˆ e θ +∂T∂z

ˆ e z%

& '

(

) *

1r∂∂r

kr ∂T∂r

%

& '

(

) * +

1r 2

∂∂θ

k ∂T∂θ

%

& '

(

) * +

∂∂z

k ∂T∂z

%

& '

(

) * + ˙ q = ρc p

∂T∂t

Em coordenadas cilíndricas:

Em coordenadas esféricas:

9

Exemplo:

Num certo instante de tempo, a distribuição de temperatura numa parede de 1m de espessura é:

T(x) = a + bx+ cx2 ( T(0C), x(m)), a=9000C, b=-3000C/m, c=-500C/m2. A área da parede é 10 m2, e existe uma geração interna de calor (q=1000W/m3). As propriedades da parede são: ρ=1600kg/m3, k=40W/mK e cp=4kJ/kgK. Calcular:

1.  A taxa de calor transferido em x=0 e x=1m

A

qe qs

T(x)

q.

10