Cuaderno de Actividades: Física II
11) CORRIENTE ALTERNA
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 205
( )ε t
Cuaderno de Actividades: Física II
11.1) Generadores
( ) m
CORRIENTES
ALTER
t e t
N S
n
A
sθ
ε ε ε ω ϕ
⇒
≡ ≡ +
678
Se pueden producir con un sistema de bobinas en la región de B debido a inducción Faraday.**La f.e.m. alterna la circulación de las corrientes.
11.2) Circuitos resistivos, capacitivos e inductivos
i) Circuito Resistivo
( )( )
?
M
i i t
t sen tε ε ω= =
≡
≡2ªLey de Kirchhoff : ε - Ri 0
( )
( )
MM
MM M
i t sen t I sen
i t I sen
t
R
R
t I
Rεω
εε ω ω≡ ≡
→≡ =
≡
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 206
Cuaderno de Actividades: Física II
( ) ( ) M Mt sen t i t I sen tε ε ω ω≡ ⇒ ≡
:
( )
FASE
v iε→
≡ −
USANDO FASORES ( =“VECTORES”), para describir las relaciones v-i
Los FASORES son especies de vectores de intensidad igual a los valores máximos (o valores pico) de las CF asociadas. Se les representa girando con frecuencia angular ω en un plano, de tal manera que los valores instantáneos de las CF se obtienen mediante su proyección en el eje vertical.
Para el circuito resistivo:
( ) ( ) M Mt v t sen sen tε ε θ ε ω≡ = = ( ) M Mi t I sen I sen tθ ω≡ ≡
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( )v t
( )i t
MV
MI
θ
ωt
207
( )ε t
Cuaderno de Actividades: Física II
Graficando las ecuaciones para v(t) y i(t)
ii) Circuito Capacitivo
C≡
De 2ªLey de Kirchhoff :
qε - 0
( )
cos
M M
M
t V sen t q CV sen t
dqi CV t
dt
ε ω ω
ω ω
≡ ⇒ ≡
⇒ ≡ ≡
( )
( )
cos
2
M
M
i t CV t
i t CV sen t
ω ωπω ω
→ ≡
≡ +
( )2Mi t I sen tπω ≡ +
1M M M MI C V V I
Cω
ω ≡ → ≡
M C MV X I⇒ ≡
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Cuaderno de Actividades: Física II
, : Re1
CC X acatrancia
Capaci va
XC
tiω
≡
Con lo que las ecuaciones para V e i, resultan,
( ) ( ) Mt v t V sen tε ω≡ = ( )2Mi t I sen tπω ≡ +
Como puede apreciarse de las ecuaciones v(t) e i(t), la corriente en el capacitor adelanta en (π/2) al voltaje, en el “lenguaje” de fasores tendríamos la siguiente representación,
De igual forma en el “lenguaje” grafico, las curvas v-i muestran el mismo adelanto de la corriente frente al voltaje,
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MVMI
209
( )ε t
Cuaderno de Actividades: Física II
iii) Circuito Inductivo
( ) ?
dt
≡ =
≡
De la 2ªLey de Kirchhoff :
diε - L 0
i i t
( ) ( ) Mt v t V sen tε ω= ≡ ( )2Mi t I sen tπω ≡ −
En la ecuación de corrientes,
MM M M
VI V L I
Lω
ω≡ → ≡
M L M LV X I X Lω≡ ⇒ ≡
: Re tanL X ac cia inductiva
Las ecuaciones v(t) e i(t) asociadas muestran, ahora, un retraso de (π/2) de la corriente frente al voltaje,
( ) ( ) Mt v t V sen tε ω= ≡ ( )2Mi t I sen tπω ≡ −
Este retraso es claramente descrito por los fasores,
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MV
MI
210
Cuaderno de Actividades: Física II
La información contenida en la gráfica V-t muestra claramente este retraso de la corriente,
iv)
Observaciones
j) Grafico de reactancias
La influencia opositora de la resistencia, R, y de las reactancias χc y χL, en
función de la ω,
( )R R ω≠
1CX
Cω≡
L X Lω≡
jj)Corriente y voltaje eficaz,Ief, Vef
Las cantidades eficaces son cantidades que representan al circuito de CA, se determinan usando criterios energéticos, como por ejemplo, a un circuito resistivo puro de CA, se le asocia otro de CC de tal forma que la potencia disipada por R sea la misma,
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211
Cuaderno de Actividades: Física II
( )2 2
" " max
M P
P
i t I sen t I sen t
I I pico o ima
π πω ω ≡ + ≡ +
≡
Cuando la potencia generada por el circuito alterno es igual a la potencia del circuito continuo, I=Ief. Se encuentra experimentalmente que la corriente i(t)
genera la mitad de potencia que Im ( o Ip),
( )1
22 P e fI I eiP
t f
IIP P P≡ → ≡≡
Razonamiento análogo conduce a, 2P
ef
VV ≡
11.3) Circuitos RLC en serie
( ) ?i i t≡ =
De la 2da de Kirchhoff,
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I
PI
R
i(t)P
i
( )ε t i
( )i t
ε(t)
L
R
C
212
Cuaderno de Actividades: Física II
( )
( )
0
1
...C
q dit Ri L
C dtR
q q q tL LC
resolviendola E Diferencial
ε
ε
− − − ≡
→ + + ≡
→
&& &
Resolviendo usando Fasores…El diagrama de fasores se muestra en la siguiente figura,
Recuerden las correlaciones entre las corrientes y los voltajes; como en el circuito en serie la corriente es la misma, comparamos los voltajes con la corriente. Los fasores VL, VC y VR se componen para obtener el fasor V0=VM,
de tal forma que,
( ) 2 2 20,
,
,
L C R M M
CS
L L M C C M R M
V V V V V V
y conlas E
V I V I y V RIχ χ
− + ≡ ← =
= = =
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 213
Cuaderno de Actividades: Física II
( ) ( )
2 2 2 2
12 2 2:
:Im
L C M M
L C
M M ef ef
MM
R I V
Definiendo Z R
Z pedancia del circuito deCA
V ZI V ZI
VI
Z
χ χ
χ χ
→ − + =
= − +
→ = → =
→ =
F
Con lo que si,
( ) ( )
,
tan( )
M M
L C
v t V sen t i t I sen t
Donde
R
ω ω φ
φχ χφ
≡ → ≡ −
−=
Depende de la intensidad de los χs,
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X *
R
X L
X C
X L Xc X L XcX L Xc=
R
X* L
La tensión totalestará adelantado
menos de 90 gradosrespecto a la
corriente
R
X * C
La tensión totalestará retrasado
menos de 90 gradosrespecto a la
corriente
R
Tensión total ycorriente
en fase
X* LΦ
X L X C
R
Z R X L
X C
R
X * cΦ
X LX C
Z
214
Cuaderno de Actividades: Física II
Observaciones:
i) Usando el plano complejo
Supongamos que la impedancia, Z, se defina sumando complejamente R y las χs,
,
,
( )
C L
R C C L L
R C C L C
Z R
transformando a impedancias complejas
Z R Z i y Z i
Z Z Z Z R i
χ χ
χ χ
χ χ
= + +
→ ≡ ≡ − ≡
→ = + + ≡ + −
Esto es, si consideramos a las Zs, fasores en un plano complejo,
( ) 1
2 2 2
1
?iL
n
Ci
Z Z ZR Zχ χ=
→ = = − + =→ ∑
ii) Circuitos RLC en paralelo
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 215
Cuaderno de Actividades: Física II
La Z del circuito se obtendrá usando fasores de corriente, puesto que ahora se aplica el mismo voltaje a todos los Zs,
122 2
122 2
1 1 1 1
M M M M
C L
C L
V V V V
Z R
Z R
χ χ
χ χ
= + −
→ = + −
También podríamos asumir impedancias en paralelo, usando
( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )
1
22
122 2
1
1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1?
L C
C L C L
C L L C C L
C L C L L C
C L C L L C
C L L C
C L
n
i i
i
Z R i i Z R
R i RZ
Z R R i
R
Z Z
R iZ
R
Z R
χ χχ χ χ χ
χ χ χ χ χ χχ χ χ χ χ χ
χ χ χ χ χ χ
χ χ χ χ
χ χ =
−= + + → = +
−+ −
→ = → =+ −
− −→ =
+ −
→ = + − → =
∑
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IC
IL
IR
VM
IM
216
Cuaderno de Actividades: Física II
11.4) Potencia de un circuito de CA
i) P instantanea,P(t)
( )
( )
...M M
M M
v t i t
V sen t I sen t
P V I sen t sen
P
P
t
ω ω φ
ω ω φ
≡
≡ − → ≡ −
ii) P Media, PM
2
2
( )
1cos 2
2
12 0
2
T
M M
M M
T
m
T
P t
P V I sen t sen t sen
P V I sen t sen t
sen t sen t
P
ω φ ω φ
ω ω φ
ω ω
≡
≡ −
→ ≡ −
→ ≡ ∧ ≡
2
2 2
0 0
12 2 0
2
1cos cos
2?m
T T
TT
M M ef ef
ef
sen t sen t dt sen t sen t dt
P I
P V I V I
R
ω ω ω ω
φ φ
→ ≡ ≡ ∧ ≡
→ ≡
≡
→ ≡ ≡
∫ ∫
Al factor cos(φ) se le llama FACTOR DE POTENCIA, describe la influencia de las impedancias (reactancias) sobre la Pm.
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 217
Cuaderno de Actividades: Física II
11.5) Resonancia
Es un fenómeno en donde la I de un circuito de CA alcanza su valor máximo (CCA serie, por ejemplo). Este valor extremo se alcanza bajo la condición,
1res
LCω ≡
En general:
( ) ( )( )
22
2
2
2 2
22 2 2 2 222
( )1
1
ef
efef ef
m ef
efm m
res
VI I
R LC
P I R
VP R
R
V RP
LL
C
R
ωω
ω
ω
ωω
ω
ωω
ωω
≡ ≡ + −
≡
≡ → + −
≡ + −
La grafica Pm-ω muestra la dependencia con ωres. A dicha frecuencia el
circuito se comportará como resistivo puro, ya que los efectos capacitivos e inductivos se anulan mutuamente.
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∆ω
218
Cuaderno de Actividades: Física II
En las curvas de Pm se define el factor de calidad, Q0, el cual se vincula a R,
0resQ
ωω
≡∆
Donde ∆w se mide a media altura, Pm = (Pm,max /2)
¿Es curioso o no que en los circuitos en paralelo se obtenga?
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 219
Cuaderno de Actividades: Física II
11.6) Transformadores
Son dispositivos (maquinas eléctricas) que permiten controlar voltajes alternos, así como impedancias, usando inducción Faraday. Están constituidos básicamente por dos enrollados y un entrehierro como indica la figura,
Primario Secundario
p p
p
N
R
ε −
s s
s
N
R
ε −
Aplicando inducción Faraday a ambas bobinas, primaria y secundaria,
,
,
...1
...2
B pp p
B ss s
dN
dt
dN
dt
φε
φε
≡
≡
De las ecuaciones 1 y 2 y asumiendo un entrehierro altamente colector de B (ferromagnético),
, ,B p B sd d
dt dt
φ φ≡
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 220
Cuaderno de Actividades: Física II
Entonces, en la aproximación de transmisión de flujo ideal,
p p
s s
N
N
εε
≡
Esta expresión puede, por supuesto, extenderse a los (voltaje pico) o ,p efV V debido a que la señal en el secundario tiene la misma frecuencia que la del primario,
p p pp efp
s s ps efs
N V V
N V V
εε
≡ ≡ ≡
Ahora, asumiendo caso ideal para la potencia, esto es, la ,p sP P≡
p p p s s s p p s sV I V IP V I P V I≡ ≡ ≡ → ≡
En los casos reales se introduce un factor de potencia,ε,
: %s pP Pε ε←≡
¿? Que importancia tecnológica tienen los transformadores.
¿? Que tipos de transformadotes existen y con que usos.
¿? Podría construir un transformador no convencional y darle aplicación.
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 221
Cuaderno de Actividades: Física II
11.7) Circuitos Filtro
Circuitos constituidos por R, C o L, capaces de atenuar señales eléctricas en función de la frecuencia, es decir, pueden filtrar señales de baja frecuencia, alta frecuencia o una banda determinada de frecuencias.
i) CF pasa bajas
La ganancia, g, es notable para señales de baja frecuencia.
La g se define de la siguiente manera,
, : :s es
e
V V enla salida yV V deentV
g aV
rad≡
Tenemos el siguiente circuito,
El voltaje de salida se toma en el condensador, de tal forma que la ganancia es,
( )22
21
11
1
c
e
M
M
s I wCZI
RwC
Vg
V RwC
χ≡ ≡ ≡ +
≡
+
donde la g es casi 1 para bajas ws, como se muestra en la grafica,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
g 1
0 w
222
Circuit1Title:
R1
1.0kohm
C1
1.0uFV1
1V 1000Hz
1 2
0
Cuaderno de Actividades: Física II
ii) CF pasa altas
La ganancia, g, es notable para señales de alta frecuencia.
Usando el mismo circuito,
El voltaje de salida se toma en la resistencia, de tal forma que la ganancia es,
222
1
11
1e
M
M
s RI RVg
RwC
ZIR
V
wC
≡ ≡ ≡ +
+
≡
observamos que la g es casi 1 para altas ws, como se muestra en la grafica,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
g 1
0 w
223
Circuit1Title:
R1
1.0kohm
C1
1.0uFV1
1V 1000Hz
1 2
0
Cuaderno de Actividades: Física II
¿? Es posible construir otros circuitos filtro usando L.
¿? Como se construiría un circuito pasa banda, (w1, w2).
¿? Si estos CF son pasivos, cuales son los activos.
¿? Aplicaciones tecnológicas del los CF.
Aplicaciones:
S6P5) Un generador de ca y frecuencia variable se conecta a un circuito LCR serie con R = 1 kΩ, L = 50 mH y C = 2,5 µF.a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito?
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 224
Cuaderno de Actividades: Física II
b) ¿Cuál es el valor de Q?c) ¿A qué frecuencia el valor de la potencia media suministrada por el
generador es la mitad de su valor máximo?
SOLUCION:
a) CA, RCL ene serie: 3 6 310 , 2,5 10 50 10R C y L− −≡ ≡ × ≡ ×
( ) ( )03 6
1 1
50 10 ,5 0?
2 1resw w
LC − −≡ ≡ ≡ ≡
× ×
b) y c) ,max
1? ? / ( )
2s m mQ y w P w P≡ ≡ ≡
El factor de calidad Q, se obtiene por,
( )
?L rese resr sw Lw
R
wQ
w R
χ≡ ≡
∆≡≡
donde, ∆w es el ancho de frecuencias a media altura, como muestra la figura, 2 1,w w w∆ ≡ −
1 2 1 2 ,max
1?, ? / ( ) ( )
2m m mw w w P w P w P∆ ≡ ∧ ≡ ≡ ≡
yendo a la ecuacion de mP w− , e imponiendo la condición de ws,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
Pm
Pm,max
(1/2)Pm,max
0 w w1 wres w2
225
Cuaderno de Actividades: Física II
( )( )
2 2
22 2 2 2 2
ef
m
res
V RP
R L
ωω
ω ω ω
≡ + −
( )( )
2 2 2
22 2 2 2 2
1
2ef ef
m
res
V R VP
RR L
ωω
ω ω ω
≡ ≡ + −
( ) 22 2 2 2 2 2 2res res
RR
Lw wL wω ω ω− ≡ → − ≡ ±
2 2 2 2
2 2
...
...
0
0
res res
res
w w w w
w
R Rw w
L L
Rw
L
I
w II
− ≡ ± → + − ≡
→ − − ≡
22
22
1 3
4 4
2:
2
res res
R R R RL L L L
w w
w w
De I
− + + − − + ≡ ∧ ≡
22
2
22
4
4 4
2:
2
res resw w
D
R R R R
e IIL L L L
w w
+ + + + − + ≡ ∧ ≡
Las soluciones 3 y 4 se desestiman por ser negativas y de 1 y 2, resulta,
1
2
?
?
?
resw LRw
LQ
R
w
w
≡ ≡
≡
∆ ≡
≡
→
S6P37)
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i R + ∼ C - - L
226
Cuaderno de Actividades: Física II
En el circuito RLC en serie de la figura, tome R = 8 Ω, L = 40 mH, C = 20 µF, la diferencia de potencial pico de la fuente, v0 = 100 V y ν =( 200/π) Hz. a) Deduzca la impedancia del circuitob) ¿Cuál es el valor de la corriente?
Halle la diferencia de potencial rms a través dec) R, C y L individualmented) R y C combinados e) C y L combinadas
SOLUCION:
De los datos 6
max8, 0,04, 20 10 , 100 400pR L C V V y w−≡ ≡ ≡ × ≡ ≡ ≡ ,
a)… ( ) 1
2 2 2 ...?L CZ Rχ χ + ≡≡ −
b) De las ecuaciones,1
, ,MM C L
VI w
Z wCy Lχ χ≡ ≡ ≡
( ) ( )( ) ( )
6
1 1125
400 20 10
400 0,04 16
C
L
wC
y wL
χ
χ
−≡ ≡ ≡
×
≡ ≡ ≡
Calculando max109,3 y con 100 8,Z V y R≡ ≡ ≡
0,92MI ≡
c) Hallando los ,rms efV V≡
c1) , 50,92 8 7,4 ,32
M R Mp
ef
VVV I R≡ ≡ × ≡ ≡ ≡→
c2) , 0,92 125 115 81,62
M eCp
M C f
VVV I χ ≡ ≡≡ ≡ × ≡ →
c3) , 0,92 16 14, 107 ,42
M L M Lp
ef
VVV I χ≡ ≡ × ≡ ≡ ≡→
d) Ahora para la combinación RC,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 227
Cuaderno de Actividades: Física II
2 2 2 2
,
8 125 125,3
0,92 125,3 115, 1,3 8 82
CRC
M RCp
fRC eM
R
V IV
V
χ χ
χ
≡ + ≡ + ≡
≡ → ≡≡ ≡× ≡
e) Combinación CL,
,
109
0,92 109 100 12
, 13 7 ,pef
LC
M LC M LCV IV
V
χ
χ
≡
≡ ≡ × ≡ ≡≡ →
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 228
Cuaderno de Actividades: Física II
S6P25)En relación al circuito mostrado,a) Halle la resistencia equivalente.b) Halle corriente por la resistencia.c) Halle la corriente por la inductancia.d) Si se toma una señal por la resistencia ¿Es un
filtro? Why.
SOLUCION:
Datos: 3 660, 150, 10, 5 10 , 20 10pV R L Cν − −≡ ≡ ≡ ≡ × ≡ × ,
a) La impedancia del sistema estaría dada por,
( )
12 2
2 L C
C L
Z Rχ χ
χ χ
≡ + −
Calculando para,1
,C Ly wLwC
χ χ≡ ≡
( ) ( )
( ) ( )
6
3
1 1132,7
2 60 20 10
2 60 5 10 1,9
C
L
ywC
wL
χπ
χ π
−
−
≡ ≡ ≡× ×
≡ ≡ × × ≡
Reemplazando en Z,
10,2Z ≡
b) Usando MM
VI
Z≡ , resulta,
15014,7
10,2MI ≡ ≡
c) Determinando el voltaje en el inductor,
( ) ( )2 22 2 2 2150 10 14,7p R LC LCV V V V≡ + → ≡ × +
( )29,8 29,8 1, 5,79 1LC L L L LL IV V I Iχ→ ≡ → ≡ → ≡ ≡→
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
10 Ω
150 V 20 µF
5mH60Hz
229
Cuaderno de Actividades: Física II
d) De la ecuación para la g,
( )( ) ( )
2 20
2 222 22 0
.../
?M
ML C
C
s
e
L
w w
w w w RC
R RV
V
I
ZR
gI χ χ
χ χ
≡ ≡ ≡ + −
−
− +
≡
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 230
Cuaderno de Actividades: Física II
S6P6) Uno de los empleos de un transformador es el de ajuste de impedancias. Por ejemplo, la impedancia de salida de un amplificador estéreo se ajusta a la impedancia de un altavoz mediante un transformador. En la ecuación V1ef I1,ef = V2,ef I2,ef pueden relacionarse las corrientes I1 e I2 con la impedancia del secundarios ya que I2 = V2/
Z. Utilizando las ecuaciones 2
2 11
NV V
N= demostrar que ( )1 2
1 2/I
N N Z
ε=
y, por consiguiente, Zef = (N1/N2)2Z.
SOLUCION:…
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 231
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