Universidad Nacional Autónoma de MéxicoUniversidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de IngenieríaFacultad de Ingeniería

Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM

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• Tema Tema 1.4 Obtención de campos eléctricos 1.4 Obtención de campos eléctricos originados por distribuciones discretas y continuas originados por distribuciones discretas y continuas de carga (Carga puntual, segmento de línea, de carga (Carga puntual, segmento de línea, superficie infinita, línea infinita).superficie infinita, línea infinita).

• Objetivo: Determinar la expresión matemática del campo eléctrico en distribuciones discretas y continuas de carga (Carga puntual, segmento de línea, superficie infinita, línea infinita).

• Calcular el campo eléctrico resultante por efecto de las distribuciones discretas y continuas de carga..

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• Campo producido por un segmento de línea.Campo producido por un segmento de línea.• Distribución lineal de carga Distribución lineal de carga λλ y el campo eléctrico. y el campo eléctrico.

dxdq

xqxq

xmCq

rr

dxEd

rr

dqEd

A

A

20

20

4

1

4

1

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• Línea con carga negativa distribuida uniformemente

• Diferencial de carga dq

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• Campo producido por Campo producido por un segmento de línea.un segmento de línea.

Eje

Y

Eje X

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

dx

xA

λ

ÊA

ř

a

θ2

θ1

r1

r2

---

dq

l

x2

x1

dxdq

xqxq

xmCq

r

r

dxEd A 2

04

1

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r

r

dxEA 2

04

1

r

r

dxEd A 2

04

1

)(4

12

0

jr

yir

x

r

dxEd A

)(4

12

0

jr

yir

x

r

dxEA

Componentes Componentes del vector del vector unitario unitario

Integrando el Integrando el campo campo

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r

r

dxEA 2

04

1

Integrando el Integrando el componente componente en en x x

Integrando el Integrando el campo en Acampo en Ax x y y

dividir 2/2dividir 2/2

23

223 xar

Sustituyendo Sustituyendo en integrando en integrando en los límites.en los límites. 2

3220

2

24

1 2

1 xa

xdxE

x

x

Ax

304 r

xdxEAx

2

1

2124

1 2

122

0

x

xAx

xaE

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r

r

dxEA 2

04

1

Sustituyendo Sustituyendo límites y límites y considerando el considerando el signo (-)signo (-)

Expresado por Expresado por componentes de componentes de los ángulos los ángulos y y multiplicando multiplicando por por a/aa/a

2

122

22

121

20

11

4

1

xaxa

EAx

1204

1

sensena

EAx

2122

22

xa

a

r

asenxar

Recordando la Recordando la

expresión expresión trigonométrica.trigonométrica.

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r

r

dxEA 2

04

1

Definir la sustitución trigonométrica en la expresión de la Definir la sustitución trigonométrica en la expresión de la componente en componente en yy

23

220

2

2

124

1

csccotcottan

xa

dxaE

dadxaxa

x

x

a

x

x

Ay

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r

r

dxEA 2

04

1

Integrando la componente en Integrando la componente en y, y, por sustitución trigonométricapor sustitución trigonométrica

a

dsen

a

d

a

daa

a

daa

a

daa

aa

daaEAy

2

10

2

10

33

22

102

322

22

10

2

322

22

102

3222

22

10

4

1

csc4

1

csc

csc

4

1

]csc[

csc

4

1

]cot1[

csc

4

1

cot

csc

4

1

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r

r

dxEA 2

04

1

Expresando por Expresando por componentes componentes de los ángulosde los ángulos

)cos(cos4

1

)cos(4

1

4

1

csc4

1

210

2

10

2

10

2

10

a

aa

dsen

a

d

2

122

2

1

2

121

2

2

04

1

xa

x

xa

x

aEAy

210

coscos4

1

a

EAy

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• casos particularescasos particulares

• A) Si el punto A se encuentra en la mediatriz, entonces la componente en x es cero

• B) si a es mucho menor que l, (10 veces menor) y el punto esta en la región media, entonces:

AyAx EE a

EAy

2

4

1

0

aEA

2

41

0

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• Campo producido por una línea cargada muy larga a Campo producido por una línea cargada muy larga a una distancia una distancia aa [m] [m] y con una densidad lineal de y con una densidad lineal de carga carga λλ (C/m)(C/m)

aEA

2

41

0

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• Campo eléctrico producido por anillo circular cargadoCampo eléctrico producido por anillo circular cargado

Eje X

Eje

Z

Eje Y

ds

ra

b

dE

θ°

dEcosθθ°+

+

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

++

+

+

A y

z

x

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r

r

dxEA 2

04

1

El campo en el punto El campo en el punto AA del anillo de acuerdo a del anillo de acuerdo a diferencial de carga diferencial de carga eléctrica eléctrica dq, dq, donde donde QQ es la carga total del es la carga total del anilloanilloLos componentes en Los componentes en xx y y zz se cancelan y solo se cancelan y solo existe componente en existe componente en yy

r

r

dqEd

204

1

200

20

cos

4

1cos

4

1cos

r

Qdq

rdEdEE

Q

yA

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Los componentes en Los componentes en xx y y zz se cancelan y solo existe componente se cancelan y solo existe componente en en yy

y

z

x

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r

r

dxEA 2

04

1

Expresando el coseno Expresando el coseno en función de las en función de las componentes de componentes de aa y y bb, ,

Finalmente el campo en función del radio Finalmente el campo en función del radio aa y la y la distancia distancia bb

C

N

ba

Qb

ba

b

r

QEAy

2

32202

122

20 4

1

4

1

21

22 ba

bCos

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• Casos particulares del campo por un anillo.Casos particulares del campo por un anillo.

• A) En el centro el campo E=0

• B) para un punto lejano del anillo.

C

N

b

QEAy 2

04

1

ba

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• Campo producido por una superficie circular Campo producido por una superficie circular cargadacargada

a

A

+

+

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

++

+

+

Eje X

Eje

Z

Eje Y bdr

rdE

r0

σ

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• Campo producido por una superficie circular Campo producido por una superficie circular cargadacargada

43

2204

1

br

bdqdEA

Se considera que se Se considera que se tienen anillos de tienen anillos de grosor grosor drdr y radio y radio r r y y su contribución son su contribución son diferenciales diferenciales

rdrdAdqA

q 2Como el diferencial de Como el diferencial de carga esta en una carga esta en una superficie circular superficie circular entonces: entonces:

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• Campo producido por una superficie circular Campo producido por una superficie circular cargadacargada

23

22002

322002

32200

2

4

12

4

12

4

000

br

rdrb

br

rdrb

br

drrbE

rrr

A

Sustituyendo Sustituyendo dqdq en la expresión del campo en el punto en la expresión del campo en el punto AA se tiene:se tiene:

00

02

1220

0

12

322

0 2)

)123

((

4rr

A

br

bbrbE

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• Campo producido por una superficie circular Campo producido por una superficie circular cargadacargada

Sustituyendo Sustituyendo los límites los límites en la expresión del campo en el en la expresión del campo en el punto punto AA se tiene: se tiene:

C

N

br

bE

br

b

br

bE

A

A

)1(2

)2

1

2()

22

1(

2

122

00

2

122

00002

122

00

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• Campo producido por una superficie circular Campo producido por una superficie circular cargadacargada

El campo en el El campo en el punto punto AA es: es:

C

N

br

bE

A2

122

00

12

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• Casos particulares del campo por una superficie.Casos particulares del campo por una superficie.

• A) la distancia b << r0 en el punto A , 1/ r0 tiende a cero Por lo que se obtiene el campo cuando esta cerca del centro de la superficie.

•

02

AE

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• Casos particulares del campo por una superficie.Casos particulares del campo por una superficie.

• B) la distancia b >> r0 , la expresión se puede considerar como una carga puntual.

•

C

N

br

bbrEA

21

220

21

220

02

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• Desarrollando el binomio.Desarrollando el binomio.

21

2

20

21

2

20

021

2

220

21

2

220

0

21

220

21

220

021

220

21

220

0

1

11

2

1

2

1

11

21

1

2

br

br

bbr

bbr

E

bbr

bb

bbr

b

b

br

bbrE

A

A

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• Recordando el teorema del binomio, con exponentes Recordando el teorema del binomio, con exponentes fraccionarios o negativos: fraccionarios o negativos:

...!3

2

!23

3

32

2

2ba

m

mnmnnba

m

mnnba

m

naba m

mn

m

mn

m

mn

m

n

m

n

...1

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)2(21211

!22

2111

!121

11

32

02

)2(31

3

22

02

)2(21

202

212

12

0

b

r

b

ra

b

r

b

r

• Sustituyendo los coeficientes rSustituyendo los coeficientes r00 y b: y b:

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• ComoComo b b mucho mayor que mucho mayor que rr0 , 0 , y el cociente y el cociente rr00/b /b tiende tiende

a cero. De acuerdo al desarrollo del binomioa cero. De acuerdo al desarrollo del binomio

2

02

12

0

2

111

b

r

b

r

• El campo de una superficie esEl campo de una superficie es: :

2

0

2

0

0

21

1

121

1

2

b

r

b

r

E

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• ComoComo b b mucho mayor que mucho mayor que rr0 , 0 , y el cociente y el cociente rr00/b /b tiende tiende

a cero, entonces la unidad es mucho mayor que:a cero, entonces la unidad es mucho mayor que:

2

0

2

11

b

r

• El denominador tiende a cero y el campo de una El denominador tiende a cero y el campo de una superficie essuperficie es: :

2

20

0 2

1

2 b

rE

2

0

2

0

0

21

1

121

1

2

b

r

b

r

E

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• Casos particulares del campo por una superficie.Casos particulares del campo por una superficie.

• La densidad La densidad

superficial de superficial de carga es:carga es:

204

1

b

QE

20r

Q

A

Q

Sustituyendo en Sustituyendo en la ecuación de la ecuación de campo, para el campo, para el caso B caso B

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En la figura se muestra una superficie muy grande coincidente con el plano “XZ”, una línea muy larga que pasa por el punto C(0,2,0) [m] paralela al eje “X” y una carga puntual Q=30[μC] ubicada en el punto (0,2,3) [m]. Si Q experimenta la fuerza F=(300 j +500 k )[N]. Determine:

a) El valor y signo de la densidad lineal de carga λ .

b) El valor y signo de la densidad superficial de carga σ.

c) El vector campo eléctrico total en el punto D (0,2,-1) [m] si λ=8.31x10-4[C/m] y σ =177[mC/m2 ].

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positivam

C

k

rE

C

NE

C

NE

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FE

kEjEEEE

k

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CQ

QQ

Q

CQ

CQ

39

7

77

76

1077.21092

31067.1

2

1067.1101

10)ˆ67.1ˆ1(1030

1)ˆ500ˆ300(

ˆˆ

2

2

• Resolviendo para calcular Resolviendo para calcular λλ..

•

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kkr

QE

jEEEEc

m

N

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1030109ˆ

4

1

ˆ)

1077.1

101)1085.8(222

)

2

69

20

24

7120

0

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C

NkjE

C

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C

NE

D

D

DQ

7

7

0

7

10ˆ498.1ˆ1

101ˆ2

10496.1

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C

NkjE

C

NjE

D

D

7

7

0

10ˆ498.1ˆ1

101ˆ2

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• La figura muestra dos alambres muy largos con carga, coplanares y paralelos al aje “X”. El alambre 1 posee una distribución lineal λ1 =- 0.5[ C/m] y cruza el eje “Z” en el punto M (0,0,3) [cm]; el alambre 2 con λ2 = 0.5 [ C/m] cruza el eje “Z” en el punto N(0,0,-3) [cm]. Calcule:

• a) El vector campo eléctrico en el punto O (0,0,0) [cm].• b) El vector campo eléctrico en el punto A (0, 1.5, 0)

[cm].

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La figura muestra una carga puntual q=-2 [nC] situada en el punto (0,-3,3) [cm], una línea cargada de longitud infinita paralela al eje “z” y que pasa por el punto (0,5,0) [cm].•Determine:•a) Si el campo eléctrico total en el punto B(0,0,3) [cm] es: E = -18.2×10ˆ3 j [N/C] obtener la densidad de carga λ en la línea.b) Si λ=4 [nC/m) obtener el vector de campo eléctrico total en el origen O (0,0,0).c) El vector fuerza que actúa sobre la carga q debido a la línea

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• Próxima clase: Tema 1.5 concepto y Próxima clase: Tema 1.5 concepto y definición de definición de Flujo eléctrico.

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