BAHAN AJAR TRIGONOMETRI

Pengertian Trigonometri

Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat

Cartesis atau pada segitiga siku-siku. Jika didefinisikan pada segitiga siku-siku, maka

Perhatikan gambar ;

Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC dengan sisi AB = 3 cm dan BC = 4 cm.

Tentukana:

a. Panjang AC !

b. Nilai perbandingan:

Sin , Cos , Tan , Cot , Sec , dan Cosec !

Jawab:

a. AC =

=

=

=

= 5

b. Sin = Cot =

Cos = Sec =

Tan = Cosec =

Sin = Cot =

Cos = Sec =

Tan = Cosec =

2. Jika Cos = dan 0o < < 90o, tentukan nilai sin dan tan !

Jawab:

Cos = , maka

BC =

=

=

=

Jadi, Sin = = =

Tan = = = 1

B. NILAI TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT – SUDUT ISTIMEWA

Nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa ( 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o ) adalah

sebagai berikut :

Sin cos tan cot sec cosec

0o 0 1 0~

0 ~

30o 2

45o 1 1

60o 2

90o 1 0 ~ 0 ~ 0

C. RUMUS SUDUT-SUDUT YANG BERELASI DALAM TRIGONOMETRI

Tanda – tanda fungsi:

FungsiKuadran

| || ||| lV

Sin + + - -

Cos + - - +

tan + - + -

Rumus trigonometri sudut berelasi:

Kuadran | Kuadran |||

Kuadran || Kuadran lV

Contoh:

a. sin 150o = sin (180o - 30o) = sin 30o =

b. cos 225o = cos (180o + 45o) = - cos 445o = -

c. tan 150o = tan (180o - 30o) = - tan 30o = -

sin ( 90o - o) = cos o

cos ( 90o - o) = sin o

tan ( 90o - o) = cot o

cot ( 90o - o) = tan o

sec ( 90o - o) = cosec o

cosec ( 90o - o) = sec o

sin ( 180o - o) = sin o

cos ( 180o - o) = -cos o

tan ( 180o - o) = -tan o

cot ( 180o - o) = -cot o

sec ( 180o - o) = -sec o

cosec ( 180o - o) = cosec o

sin ( 360o - o) = -sin o

cos ( 360o - o) = cos o

tan ( 360o - o) = -tan o

cot ( 360o - o) = -cot o

sec ( 360o - o) = sec o

cosec ( 360o - o) = -cosec o

sin ( 180o + o) = -sin o

cos ( 180o + o) = -cos o

tan ( 180o + o) = tan o

cot ( 180o + o) = cot o

sec ( 180o + o) = -sec o

cosec ( 180o + o) = -cosec o

d. cos 300o = sin (360o - 60o) = sin 60o =

D. RUMUS – RUMUS IDENTITAS TRIGONOMETRI

Contoh :

Sederhanakanlah: !

Jawab:

= . = . = 1

E..KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT CARTESIUS

1. Koordinat Cartesius p ( x, y )

r =

cos

sin

tan

2. Koordinat Kutub p (r, )

Contoh:

1. Nyatakan koordinat cartesius ( -2, 2 ) menjadi koordinat kutub!

tan = sin2 + cos2 = 1

cot = tan2 + 1 = sec2

sec = cot + 1 = cosec2

cosec =

Jawab:

Koordinat kutub p ( r, )

Mencari r =

=

=

= = 2

Mencari : tan

tan

tan

Jadi, koordinat kutubnya p ( 2

2. Tentukan koordinat cartesius jika koordinat kutub p (4, 45o)!

Jawab:

Koordinat cartesius p(x,y)

Mencari x: Mencari y:

x = r. cos y = r. sin x

= 4. cos 45o = 4. sin 45o

= 4. = 4.

= =

Jadi, koordinat cartesiusnya p ( , )

F. ATURAN SINUS

Pada segitiga ABC berlaku :

= =

Contoh:

Pada ABC diketahui AB = 4, BC = 6, dan C = 45O, tentukan besar A !

Jawab:

4 sin A=

Sin A=

A= 68,720

G. ATURAN COSINUS

Pada segitiga ABC berlaku:

Contoh:

Diketahui ABC dengan a = 4, b = 5, dan c = 6. Tentukan besar sudut - sudut ABC!

Jawab:

Cos A =

a2 = b2 + c2 – 2 bc. cos

b2 = a2 + c2 – 2 bc. cos

c2 = a2 + b2 – 2 bc. cos

cos A =

cos B =

Cos A = 0,75

A = 41,40

A = 41,40

Cos B = 0,5625

B = 55,770

B = 55,770

C = 1800 – ( A + B )

= 1800 – ( 41,40 + 55,770 )

= 82,830

Cos B =

H. LUAS SEGITIGA

Luas ABC

Contoh:

Tentukan luas segitiga, jika sisi AB = 6 cm, AC = 4 cm dan A = 450!

Jawab:

Luas segitiga = cm2

I. TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT RANGKAP

Rumus:

Contoh:

1. Bila sin p, tentukan nilai dari sin 2 !

Jawab:

sin p ( dikuadratkan )

(sin p2

p2

Ingat!

Sin 2 dan 2

maka; 1- sin 2 = p2

- sin 2 = 1 + p2

Jadi, sin 2 p2

2. Pada ABC diketahui tan , tentukan nilai dari sin 2 !

Jawab:

AC =

Maka, sin

Sin 2

sin 2 = 2 sin cos

cos 2 = cos2 - sin2

cos 2 = 1 - 2 sin2

cos 2 = 2 cos2 - 1

tan 2 =

Jadi, sin 2

J. RUMUS PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN

1. Rumus – rumus Penjumlahan

2. Rumus – rumus Perkalian

Contoh:

a. cos 5x – cos 3x = -2 sin (5x + 3x) sin (5x – 3x) = -2 sin 4x sin x

b.

K. PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Rumus:

Untuk sinus, jika:

Keterangan: k = bilangan bulat = 0, 1, 2, …

Untuk Cosinus, jika:

Untuk Tangen, jika:

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a. sin 2x = ; 0o 360o

Jawab:

sin 2x = sin 30o

maka: 2x = 30o + k.360o

x = 15o + k. 180o

Untuk k = 0 x = 15o + 0. 180o = 15o

k = 1 x = 15o + 1. 180o = 195o

atau

2x = ( 180o – 30o) + k. 360o

2x = 150o + k. 360o

x = 75 o + k. 360o

Untuk k = 0 x = 75o + 0. 180o = 75o

k = 1 x = 75o + 1. 180o = 225o

Jadi, himpunan penyelesaian sin 2x = adalah

Sin x = sin maka x = + k. 360o

X2 = ( 180o - ) + k. 360o

Cos x = cos maka x = + k. 360o

Tan x = tan maka x = + k. 180o

b. cos 2x =

Jawab:

cos 2x = cos 30o

maka: 2x = 30o + k.360o

x = 15o + k. 180o

Untuk k = 0 x = 15o + 0. 180o = 15o

k = 1 x = 15o + 1. 180o = 195o

atau

2x = - 30o + k.360o

x = - 15o + k. 180o

Untuk k = 0 x = -15o + 0. 180o = -15o

k = 1 x = -15o + 1. 180o = 165o

Jadi, himpunan penyelesaian cos 2x = adalah

c. tan 2x =

Jawab:

tan 2x = tan 60o

maka: 2x = 60o + k.360o

x = 30o + k. 180o

Untuk k = 0 x = 30o + 0. 180o = 30o

k = 1 x = 30o + 1. 180o = 210o

Jadi, himpunan penyelesaian tan 2x = adalah

d. sin ( x – 30o ) + sin ( x + 60o) = 1 ; 0o

Ingat!

Gunakan rumus sin A + sin B = 2 sin ( A + B ) cos ( A + B ),

Sehingga:

sin ( x – 30o) + sin ( x + 60o ) = 1

2 sin

2 sin

2 sin

2 sin

2 sin

2 sin

2 sin

( dirasionalkan)

2 sin ( x + 15o ) =

sin ( x + 15o ) =

sin ( x + 15o ) =

sin ( x + 15o ) = sin 45o

x + 15o = 45o + k. 360o

x = 30o + k. 360o

Untuk k = 0 x = 30o + 0. 360o = 30o

atau

x + 15o = ( 180o – 45o) + k. 360o

x + 15o = 135o + k. 360o

x = 120o + k. 360o

Untuk k = 0 x = 120o + 0. 360o = 120o

Jadi, himpunan penyelesaian sin (x – 30o) + sin (x + 60o) = 1 adalah