Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
• Exemplos de aplicação
• Função potencial de velocidade
- Equipotenciais são rectas verticais• Função de corrente
- Linhas de corrente são rectas horizontais
constantexconstanteaxyx =⇒== φφ ,),(
constanteyconstanteayyx =⇒== ψψ ,),(
ℜ∈= aazW com
ayaxW i+=
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Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
• Exemplos de aplicação
• Velocidade complexa
• Escoamento uniforme paralelo ao eixo x com aV =r
0, ==
==
VaU
adz
dWV
ℜ∈= aazW com
ayaxW i+=φ=constante
ψ=constante
y
x
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Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
• Exemplos de aplicação
• Função potencial de velocidade
- Equipotenciais são rectas de declive• Função de corrente
- Linhas de corrente são rectas de declive
( )( ) ( ) ( )xayayaxayxaaW 212121 iii −++=+−=
constantexa
ayconstanteyaxayx +−=⇒=+=
2
121 ,),( φφ
2
1
a
a−
constantexa
ayconstantexayayx +=⇒=−=
1
221 ,),( ψψ
1
2
a
a
( )12arctgi2
2
2
121 icomaa
eaaaaaazW−+=−==
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• Exemplos de aplicação
• Velocidade complexa
• Escoamento uniforme que faz um ângulo αcom o eixo x
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
φ=constante
ψ=constante
y
x
( )12arctgi2
2
2
121 icomaa
eaaaaaazW−+=−==
α
21
21
,
i
aVaU
aadz
dWV
==
−==
αα i*
1
2arctg −=
= zez
a
a
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Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
( ) ( ) ( )axyyxa
yxa
W i2
i2
222+−=+=
( ) constantexyconstanteyxa
yx +=⇒=−= 2222 ,2
),( φφ
x
constanteyconstanteaxyyx =⇒== ψψ ,),(
ℜ∈= aza
W com2
2• Exemplos de aplicação
• Função potencial de velocidade
- Equipotenciais são hipérboles rectangulares comas bissectrizes y=x e y=-x como assímptotas
• Função de corrente
- Linhas de corrente são hipérboles rectangularescom os eixos como assímptotas
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x
y
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
• Exemplos de aplicação
• Velocidade complexa
• Escoamento em 4 cantos rectos (ângulo de 90o)
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
( )
ayVaxU
yxaazdz
dWV
−==
+===
,
i
ℜ∈= aza
W com2
2
φ=constante
ψ=constante
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• Exemplos de aplicação
• Em fluido perfeito, uma parede impermeável é uma linha de corrente, pelo que, uma linha de corrente podeser substituída por uma parede
- Os semi-planos y≥0 e y≤0, representam o escoamento de encontro a uma parede plana dedimensão infinita
- Cada um dos quadrantes representa o escoamentonum canto a 90o
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ℜ∈= aza
W com2
2
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• Exemplos de aplicação
- Escoamento para y≥0
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ℜ∈= aza
W com2
2
φ=constante ψ=constante
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• Exemplos de aplicação
- Escoamento para o primeiro quadrante,
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ψ=constante
φ=constante
ℜ∈= aza
W com2
2
00 ≥∧≥ yx
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• Escoamento em torno de diedros
• Função potencial de velocidade
• Função de corrente
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ℜ∈= azn
aW
n com
enenctnrctnr
n
ayx =⇒== )cos(),cos(),( θφθφ
( ) )sen(i)cos(ii θθθθnr
n
anr
n
aer
n
are
n
aW
nnnnn
+===
enenctnrctnr
n
ayx =⇒== )sen(),sen(),( θψθψ
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• Escoamento em torno de diedros
- Velocidade complexa
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ℜ∈= azn
aW
n com
( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )1
1
1
11
1i11
1sen
1cos
1seni1cos
−
−
−
−−
−−−
==
−−=
−=
−+−=
===
n
n
n
nn
nnn
arVV
narV
narU
narnarV
earazdz
dWV
rθ
θ
θθ
θ
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• Escoamento em torno de diedros
• Função de corrente
- Linha de corrente, ψ=0
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ℜ∈= azn
aW
n com
enenctnrctnr
n
ayx =⇒== )sen(),sen(),( θψθψ
( ) ( )
n
kn
k
n
πθθ
πθπ
θ
θ
==
≤≤∧==
=
10 ,0
20,...2,1,0
0)sen(
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• Escoamento em torno de diedros
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ℜ∈= azn
aW
n com
Canto côncavo→<>2
,2 1
πθn
4,4 1
πθ ==n
3,3 1
πθ ==n
ψ=constanteφ=constante
6,6 1
πθ ==n
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• Escoamento em torno de diedros
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ℜ∈= azn
aW
n com
→==4
3,
3
41
πθn
→==2
,2 1
πθn
→== πθ1,1n
Canto recto
Escoamento uniforme
ψ=constante
φ=constante
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• Escoamento em torno de diedros
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ℜ∈= azn
aW
n com
→>< πθ1,1n Canto convexo
ψ=constante φ=constante
2
3
3
2
1
πθ =
=n
4
5,
5
41
πθ ==n
4
7,
7
41
πθ ==n
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• Escoamento em torno de diedros
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ℜ∈= azn
aW
n com
→== πθ 2,2
11n Placa sem espessura (θ1 máximo)
ψ=constante
φ=constante
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• Escoamento em torno de diedros
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
- Ângulo do diedro
- Primeira parede coincidente com o eixo realpositivo
- Ângulo do diedro é medido no sentido anti-horário
- Ilustrações anteriores para
ℜ∈= azn
aW
n com
n
πα =
n
πθ ≤≤0
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Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
- Velocidade complexa
- Velocidade na origem do referencial, canto dodiedro, r=0
( )θ1i11 −−− === nnnearaz
dz
dWV
1−= narV
r
• Escoamento em torno de diedros ℜ∈= azn
aW
n com
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Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
1−= narV
r
∞→=
>
⇒<≤
=
=⇒=
==
<⇒>
−=
=
−
=
nr
r
n
r
Vn
aVn
Vn
10
1
0
1
1
0
1
0
112
1
1
001
r
r
r
πθ
πθ
πθ
Escoamento uniforme
Canto côncavo
Canto convexo
• Escoamento em torno de diedros ℜ∈= azn
aW
n com
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• Escoamento em torno de um cilindro
• Função potencial de velocidade
• Função de corrente
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
( ) ( )
−+
+=+=
rra
rra
re
aareW
1seni
1cos
i
i θθθ
θ
ℜ∈+= az
aazW ,
( ) ( ) eect
rrct
rrayx =
+⇒=
+=
1cos,
1cos),( θφθφ
( ) ( ) eect
rrct
rrayx =
−⇒=
−=
1sen,
1sen),( θψθψ
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• Escoamento em torno de um cilindro
• Linha de corrente, ψ=0
• Eixo x mais circunferência de raio 1 centrada na origem
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ℜ∈+= az
aazW ,
( )
( )
10
01
0sen
01
sen
=∨=∨=
=
−∨=
=
−
r
rr
rr
πθθ
θ
θ
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• Escoamento em torno de um cilindro
• Linha de corrente, ψ=0
• Para um cilindro de raio R
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ℜ∈+= az
aazW ,
ℜ∈
+=→ a
z
RzaW ,
2
ψ=constante
φ=constante
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• Escoamento em torno de um cilindro
• Linha de corrente, ψ=0
• Para um cilindro de raio R
Fluido Perfeito/IdealPotencial Complexo
ψ=constante
φ=constante
ℜ∈+= az
aazW ,
1≥r
ℜ∈
+=→ a
z
RzaW ,
2
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• Fonte/poço é qualquer ponto dum escoamento planono qual se cria/destrói fluido
- 2πm é o caudalpor unidade de larguraemitido/absorvidopela linha de fontes/poços
- m é a intensidadeda fonte/poço
- m>0 fonte,m<0 poço
1
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
Aerodinâmica
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• Uma linha de fontes/poços (2-D) produz um escoamento radial,
• O potencial de velocidade é obtido a partir da equaçãoda continuidade (conservação da massa)
rreVVrr
=
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
( )rm
mr
rrVr
ln
222
=
=∂
∂=
φ
πφ
ππ
0, ==∂
∂
∂
∂= θ
θ
φφrV
rVr
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• Linha de Fontes/poços
• A velocidade radial é inversamente proporcional a r
• Potencial de velocidade
• Condições de Riemann-Cauchy em coordenadaspolares
r
mVr =
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
( )rm ln=φ
rrrr ∂
∂−=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂ ψ
θ
φ
θ
ψφ 1,
1
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• Linha de Fontes/poços
• Função de corrente
• Potencial complexo
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
θψ m=
( )
( )( ) ( )
( ) ( )zM
zmW
remrmW
mrmW
ln2
ln
lniln
ilni
i
π
θ
θψφθ
==
=+=
+=+=
rrr
m
∂
∂−=
∂
∂=
ψ
θ
ψ0,
1
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• Linha de Fontes/poços colocada em z1
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
( ) ( )11 ln2
ln zzM
zzmW −=−=π
ψ=constante
φ=constante
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• Considere-se um linha de fontes de intensidade mcolocada em z1 e uma linha de poços colocada em –z1
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
a
αα
a
+m
-m
• Potencial complexo doconjunto
• Quando
αi1 aez =
( ) ( )
+−
−=
+−−=
αα ii
11
1ln1ln
lnln
ez
ame
z
amW
zzmzzmW
)1ln()1ln(0i εεα +−−=⇒→ mmWae
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• Linha de dipolos ou dobletes- Desenvolvendo em série de Taylor a função logaritmoem torno do ponto 1
- Para pequenos valores de
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
...3
223
3i33i
−−−=z
eam
z
maeW
αα
...32
)1ln(
...32
)1ln(
32
32
−−−−=−
++−=+
εεεε
εεεε
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• Linha de dipolos ou dobletes
- No limite quando
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
( ) ( )αθµ
αθµ
µµ α
−+−−=
=−=
senicos
2i
rrW
maz
eW
∞→∧→ mae 0iα
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• Linha de dipolos ou dobletes
- Função potencial de velocidade
- Função de corrente
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
( ) ( ) ( ) eect
rct
ryx =−=−−= αθ
µφαθ
µφ cos,,cos,
( ) ( ) ( ) eect
rct
ryx =−=−= αθ
µψαθ
µψ sen,,sen,
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• Linha de dipolos ou dobletes
- Velocidade complexa
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
( )
( ) ( )αθµ
θαµ
µµµ θα
θ
αα
−=−=
==== −
2sen,2cos22
2i
22i2
i
2
i
rV
rU
erer
e
z
e
dz
dWV
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• Linha de dipolos ou dobletes
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
y
x
α
ψ=constante
φ=constante
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• Escoamento com linhas de corrente circulares em quea circulação, Γ, em torno de qualquer circunferênciaé constante. O sentido positivo de Γ é o sentido directo(contrário aos ponteiros do relógio).
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
πθ
φ
πθ
φπθ
2
21
2
Γ=
∂
∂
∂
∂==⋅=Γ ∫ r
rrVsdV
rr
Aerodinâmica
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• Uma linha de vórtices produz um escoamentocircunferencial,
• O potencial de velocidade é obtido a partir dacirculação
θθ eVVrr
=
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
θπ
φ
θ
φππ θ
2
22
Γ=
Γ=∂
∂=rV
0,2
1==
∂
∂Γ=
∂
∂= rV
rrrV
φ
πθ
φθ
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• Linha de vórtices
• A velocidade tangencial é inversamente proporcional a r
• Potencial de velocidade
• Condições de Riemann-Cauchy em coordenadas polares
rV
πθ
2
Γ=
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
θπ
φ2
Γ=
rrrr ∂
∂−=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂ ψ
θ
φ
θ
ψφ 1,
1
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Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Linha de vórtices
• Função de corrente
• Potencial complexo
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
( )rr
ln2π
ψΓ
−=
( )
( )( ) ( )
( )zW
rerW
rW
ln2
i
ln2
iiln2
i
ln2
i2
i
i
π
πθ
π
πθ
πψφ
θ
Γ−=
Γ−=+
Γ−=
Γ−
Γ=+=
rrr ∂
∂−=
Γ
∂
∂=
ψ
πθ
ψ
2,
10
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• Linha de vórtices colocada em z1
Fluido Perfeito/IdealSingularidades
ψ=constante
φ=constante
( )1ln2
i zzW −Γ
−=π
Aerodinâmica
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• Combinando os potenciais complexos dassingularidades com um escoamento uniforme consegue-se obter o escoamento em torno de diversos corpos sólidos, cuja superfície érepresentada por uma das linhas de corrente do escoamento
Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Linha de fontes em z=0 mais escomento uniforme
- Função de corrente
Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades
( )
∞
∞
∞
−=⇔=
+=
+=
U
Mz
dz
dW
z
MU
dz
dW
zM
zUW
π
π
π
20
1
2
ln2
( )2
,22
senM
U
Mr
Mr ±=⇒±==+=
∞
ψπθπ
θπ
θψ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Linha de fontes em z=0 mais escomento uniforme
Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Linha de fontes em z=-a, linha de poços em z=a
mais escoamento uniforme
- Função de corrente
Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades
( ) ( )
∞
∞
∞
+±=⇔=
−−=
−−++=
aU
Maz
dz
dW
az
aMU
dz
dW
azM
azM
zUW
π
π
ππ
10
ln2
ln2
22
00,1,arctg2
arctg2
=⇒=+±=
−−
++=
∞
ψπππ
ψ yaU
Max
ax
yM
ax
yMy
Aerodinâmica
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• Linha de fontes em z=-a, linha de poços em z=a
mais escoamento uniforme
Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades
1=∞aU
M
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• Dipolo de orientação π e intensidade em z=0mais escoamento uniforme
- Função de corrente
Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades
( ) 0,sen2
=⇒±=
−= ∞ ψθψ Rz
r
RrU
Rzdz
dW
z
RU
dz
dW
z
RzUW
±=⇔=
−=
+=
∞
∞
0
12
2
2
2RU∞
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• Dipolo de orientação π e intensidade em z=0mais escoamento uniforme
Fluido Perfeito/IdealCombinação de Singularidades
2RU∞
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