CAPÍTULO 8 - ESCOAMENTOS INTERNOS · CAPÍTULO 8 - ESCOAMENTOS INTERNOS § Escoamento confinado...

41
CAPÍTULO 8 - ESCOAMENTOS INTERNOS § Escoamento confinado § Camada limite se desenvolve com restrição § Regiões de entrada § fluido desacelera próximo às paredes e acelera na região central para conservar massa velocidade média: Comprimento da região de entrada: L ent § Comprimento de entrada: L ent 1 cte dA u A u m t A m = = = ρ ρ ! = t A t m dA u A u ρ ρ 1

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CAPÍTULO 8 - ESCOAMENTOS INTERNOS§  Escoamento confinado§  Camada limite se desenvolve com restrição§  Regiões de entrada

§  fluido desacelera próximo às paredes e acelera na região central para conservar massa

velocidade média: Comprimento da região de entrada: Lent

§  Comprimento de entrada: Lent

1

ctedAuAumtAm =∫== ρρ!

∫=tAt

m dAuA

u ρρ1

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2

O relação também poderia ter sido obtida através de um balanço de

forças no seguinte volume de controle

∑ = 0xF ⇒ 0=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂+− dxmPsTAdx

xppTAp τ

4hD

xp

mPTA

xp

s ∂

∂−=

∂−=τ

• Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e

turbulento

p+ dxxp∂

∂ R r

x

p τs

dx

§  Região de Escoamento Hidrodinâmicamente Desenvolvido§  Perfil de velocidade não varia axialmente§  Equilíbrio de forças

§  Tensão na parede constante, queda de pressão constante

mt

h PA

D4

=Diâmetro hidraúlico

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- Diâmetro hidraúlicomt

h PA

D4

=

Exemplos:

° círculo: DD

D

Dh ==π

π4

42

° espaço anular: 1212

21

22

h DD)DD(

4DD4

D −=+

π

D

D2 D1

° retângulo: L/H1

H2)LH(2

LH4Dh +=

+=

° placas planas infinitas: H2Dh =

H

L

H

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- Número de Reynolds:

- Recr ≈ 2300

- Re < Recr regime laminar- Re > Recr regime turbulent

- Em escoamentos laminares, Lent/D ≈ 0,05 Re

-  Em escoamentos turbulentos, 10 ≤ Lent/D ≤ 60

µ

ρ hm Du=Re

4

mt

h PA

D4

=

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-  Perfil de velocidades num tubo circular:

Ø  Hipóteses:- Escoamento laminar- Regime permanente (∂/∂t=0)- Propriedades constantes- Simetria angular (∂/∂θ=0)- Escoamento desenvolvido (∂/∂x=0)- Tubulação horizontal

0

0

=

=

xu

v

∂∂

5

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- Balanço de forças num elemento de fluido:

[ ]

[ ] 0222

222

=+−

+++−

})()({)(

})()({)(

dxrdrpdxdrdrprdrp

drrdxdrdrdxrdx

πππ

πτπτπτ

drduµτ =Fluido Newtoniano:

6

( )dxdp

drrd

r=⇒

τ1

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Substituindo na equação obtida do balanço de forças: dx

dpdrdur

drd

r=⎟

⎞⎜⎝

⎛µ

7

( )dxdpr

drrd

=⇒τ

drduµτ =

Integrando

212

41 CrCrdxdpru ++= ln)(

µ

12

21 Crdxdp

rdudr +=

µ

dxdpr

drdur

drd

µ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

41C 02

2

20or

dxdpru

µ−=⇒=)()(

rCr

dxdp

rdud 1

21

+=⇒µ

Condições de contorno

00 finita) e velocidad(simetria, 0r 1) 10

=⇒===

Cdrdu

r(

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎞⎜⎝

⎛−=⇒

2

221

4 o

orr

dxdpr

ruµ

)(

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- Velocidade média:

um = −r02

8µdpdx

- Queda de pressão e fator de atrito para escoamento desenvolvido

f =−(dp/dx)D1/2ρum

2

Cf =τ

1/2ρum2

Cf =f4

fator deatrito:

Coeficientede atrito:

8

∫=∫==o

t

r

oA

om drru

rdAu

ru

022211 π

ππ

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- Escoamento laminar desenvolvido:

f =64Re

- Escoamento turbulento - superfícies lisas:

62

451

441

10x5Re3000 1640790

10x2 1840

10x2 3160

≤≤−=

≥=

≤=

),Re(ln,

ReRe,

ReRe,

/

/

f

f

f

9

Duto circular

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- Diagrama de Moody:

10

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Análise térmica-  Camada Limite térmica-  T(r,x) no escoamento desenvolvido depende das condições de contorno-  Desenvolvimento térmico no escoamento laminar: Lent,t/D ≈0,05 RePr

-  Número de Peclet: Pe = Re Pr-  Pr > 1: Lent/D < Lent,t/D-  Pr < 1: Lent/D > Lent,t/D-  Pr >100: Lent/D << Lent,t/D

11

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- Temperatura média ou de mistura (bulk): ∫= A pp

m TdAuccm

T ρ!1

- Lei de Newton de resfriamento: qs" = h (Ts-Tm)

- Região termicamente desenvolvida:

θ =Ts(x) − T (r,x)Ts(x) − Tm(x)

∂θ∂x

= 0 … Temperatura adimensional

para 2 CC, (Ts=cte ou qs=cte. Obs.: se qs=cte, Ts=Ts(x))

- Como θ independe de x, então:

∂θ∂r r=R

=−∂T /∂r

r=R

Ts −Tm≠ f (x)

qs"= −k∂T∂r r=R

= h(Ts − Tm) ⇒ hk≠ f (x) h independe de x, se

as propriedades são ctes 12

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h(x) no escoamento através de um tubo:§ Variação brusca na região de desenvolvimento§ Constante na região desenvolvida

13

[ ])()()(),( xTxTxTxrT mss −−= θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=dxdT

dxdT

dxdT

xe sms θ

∂∂T ntão

θ =Ts(x) − T (r,x)Ts(x) − Tm(x)

Na região desenvolvida

∂θ∂x

= 0

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- Para o caso em que Ts = cte, na região desenvolvida:

0=dxdTs

14

)(rfdxdT

TTTT

dxdT

xm

ms

sm =−

−==⇒ θ

∂∂T

- Para o caso em que qs" = cte, na região desenvolvida:

dxdT

dxdT

ctehq mss =⇒=ʹ́

(independe de r)dxdT

dxdT

xms ==⇒ T

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=dxdT

dxdT

dxdT

xsms θ

∂∂T

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Exemplo

15

Escoamento de metal líquido em um tubo circular: Perfil de velocidade: u( r)=C1 ; Perfil de temperaturaT( r)-Ts= C2[1-(r/r0)2]Calcule o número de Nusselt

ms

sTT

qh

ʹ́= ∫= A p

pm TdAuc

cmT ρ

!1

10122211 CdrrC

rdAu

ru

o

t

r

oA

om =∫=∫= π

ππ

drrrrCT

rdrr

rrCTcu

cruT

oo r

os

o

r

osvm

vomm ∫

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−+=∫

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−+=

0 2

2220 2

222

12211 πρπρ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−+=

24222 2

2

422

2

2C

Trrr

Cr

Tr

T so

ooos

om

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16

ms

sTT

qh

ʹ́=

orrs r

Tkq=∂

∂−=ʹ́

- Fluxo de calor qs" (Lei de Fourier)

orro rCk

rrCk

o

22 222 −=−=

=

o

ork

Cr

Ckh 4

2

2

2

2=

=/

824

===kr

rk

kDhNu o

o

Número de Nusselt

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- O Balanço de Energia

!!! "!!! #$%

"#$

%%%

VC do atravésmovimentar se ao fluido pelo realizado

líquido trabalho+ massa fluxo ao devida térmicaenergia de fluxo

convecçãopor calor de trocade taxa

0

)(

)()()(

υ

υυυ

pTcdmdq

dxdx

pTcdmpTcmpTcmdq

mvconv

mvmvmvconv

+=⇒

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++−+=

Para gases ideais: pυ=RTm , cp=cv+R mpconv dTcmdq !=⇒

Para líquidos incompressíveis, cv=cp e υ é muito pequeno (d(pυ)<<d(cvTm)) mpconv dTcmdq !=⇒

17

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Integrando a equação acima ao longo de todo o tubo:)( ,, emsmpconv TTcmq −= !

"#$

tuboao do transferilcalor tota

Num elemento diferencial de fluido:

)( mspp

sm

sconv

TThcmP

cmPq

dxdT

dxPqdq

−=ʹ́

=⇒

ʹ́=

!!

D)=P :circular (tubo superfície da perímetro - P π

•  Se Ts>Tm, calor é transferido ao fluido e Tm cresce com x•  Se Ts<Tm, calor é transferido pelo fluido e Tm cai com x 18

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- Solução para fluxo de calor na superfície constante

)()( ,, PLqTTcmq semsmpconv ʹ́=−= !

Além disso:

xcmPq

TxT

ctecmPq

dxdT

p

semm

p

sm

!

!

ʹ́+=⇒

=ʹ́

=

,)(

•  Na entrada Ts-Tm cresce com x, porque h=h(x) cai com x

•  Na região desenvolvida, h=cte e Ts-Tm também 19

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- Solução para temperatura na superfície constante

∫−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒∫−=∫

L

pe

saiL

p

TT hdx

LcmPL

TT

hdxcmP

TTdsai

e 001ln

!! Δ

Δ

ΔΔΔ

Δ)(

•  (Ts-Tm) cai exponencialmente com x

20

p

smcmPq

dxdT

!ʹ́

= ms TTT −≡Δ

ThcmP

cmPq

dxTd

dxdT

pp

sm ΔΔ

!!=

ʹ́=−=)(

⎟⎟

⎜⎜

⎛−=

⎟⎟

⎜⎜

⎛−=

−=⇒−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒

xpems

xms

Lpems

saims

e

saiL

pe

sai

hcmPx

TTTT

hcmPL

TTTT

TT

hcmPL

TT

!

!!

exp

exp

,

,

,

,

ou

lnΔ

Δ

Δ

Δ

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)/ln(

)()( ,,

esai

esailm

lmsconv

T

saims

T

emspconv

TTTT

T

TAhq

TTTTcmq

saie

ΔΔ

ΔΔΔ

Δ

ΔΔ

−≡

=⇒

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−=

==

!"#

$$!$$"#$!$"#%

tubono ra temperatudealogaritmic média diferença

onde

- Fluxo de calor:

- Se ao invés de conhecermos Ts, conhecemos a temperatura do fluido externo em contato com a superfície (T∞) ou a temperatura da superfície externa (Tse), a expressão acima continua válida, substituindo h por U (coeficiente global de troca de calor) e Ts por T∞ ou Tse 21

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22

Exemplo

Vapor condensando mantem a temperatura da superfície externa de um tubo (D=50mm e L=6m) constante e igual a 100 oC. Água escoa com fluxo de massa igual a 0,25 kg/s, e as temperaturas na entrada e na saída são 15 oC e 57 oC. Qual o coeficiente médio de troca de calor interno?

lmsconv

entmsaimpconv

TAhq

TTcmq

Δ=

−= )( ,,!

lms

entmsaimpTA

TTcmh

Δ

)( ,, −=!

CTTTTTTTT

T o

entssais

entssaislm 661

15100571001510057100 ,)]/()ln[()()(

)]/()ln[()()(

=−−−−−

=−−

−−−≡Δ

KmWh2

755661050151004178250

=××

−×=

,,)(,

π

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Escoamento laminar em tubos circulares: análise térmica e correlações para o coeficiente de troca de calor

Ø  Equação da energia para escoamento termicamente e hidrodinâmicamente desenvolvido

Ø  hipóteses: i.  Regime laminarii.  Simetria angular, ∂/∂θ=0 iii.  Hidrodinâmicamente desenvolvido, ∂u/∂x=0 iv.  Regime permanente, ∂ /∂t=0 v.  Propriedades constantesvi.  Termicamente desenvolvidovii.  dissipação viscosa desprezívelviii. Fluxo de calor axial constante

23

cteqs =ʹ́

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!ctevr

rrvr

xu

zero

=⇒=+ 0∂

∂∂∂

q escoamento totalmente desenvolvido:§  Continuidade

§  Quantidade de Movimento

24

v = 0

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎞⎜⎝

⎛−=

2

221

4 o

orr

dxdpr

ruµ

)( ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=dxdpr

u om µ8

2

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−=

2

212

om r

ruru )(

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§  Equação da energia

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+

rTr

rrrTv

xTu

∂∂

∂∂α

∂∂

∂∂

- escoamento termicamente totalmente desenvolvido:-  Fluxo de calor constante

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

rTr

rrdxdT

rru m

om ∂

∂∂∂α

212

25

θ =Ts(x) − T (r,x)Ts(x) − Tm(x)

0=∂∂xθ

cteTThq mss =−=ʹ́ )(

p

smscmPq

dxdT

dxdT

xT

!ʹ́

===∂∂

12

42

422

Crrr

dxdTu

rTr

o

mm +⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

α∂∂

⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

2

12

octe

mmrrr

dxdTu

rTr

r!"#

α∂∂

∂∂

rC

rrr

dxdTu

rT

o

mm 12

3

422

+⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

α∂∂

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§  Condições de contorno(1) r=0, T é finito (simetria angular) ⇒ C1=0

212

42

1642

CrCRrr

dxdTu

xrT mm ++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= ln),(

α

26

⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

242

41

161

1632

oo

moms r

rrr

dxdTru

xTxrTα

)(),(

1632 2

2omm

sr

dxdTu

xTC ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

α)((2) r=ro T=Ts(x) ⇒

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§  Temperatura de mistura

212

42

1642

CrCRrr

dxdTu

xrT mm ++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= ln),(

α

27

∫=∫=or

omA p

pm drrTu

ruTdAcu

cmT

02211 π

πρ

!

∫⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−=

or

oo

momsm

omm drr

rr

rr

dxdTru

xTrru

ruT

0

242

20

2

22

41

161

1632

121 παπ

)(

dxdTru

xTxT momsm ⎟

⎜⎜

⎛−=

α

2

4811)()(

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- Utilizando este resultado podemos determinar o número de Nusselt

dxdTru

xTxT momsm ⎟

⎜⎜

⎛−=

α

2

4811)()(

Nusselt = constante !28

kDq

xTxT ssm

")()(

4811

−=−pom

s

p

smcru

PqcmPq

dxdT

2πρ

ʹ́=

ʹ́=!

cte)=(q" 3641148

s,=≡⇒=khDNu

Dkh D

pck

ρα = orD 2=

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- Com a CCT de temperatura da superfície constante (Ts=cte), a equação de energia fica:

1r∂∂r

r∂T∂r

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =2umα

dTmdx

⎝ ⎜

⎠ ⎟ 1− r

R⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ 2⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎦ ⎥ ⎥ Ts −TTs −Tm

Da solução da equação acima (por método iterativo):

NuD=3,66

29

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30

Exemplo

Tubo circular (D=60 mm) com CC de fluxo constante na parede (q”s=2000W/m2).(a) Água pressurizada entra a 0,01 kg/s e Tmi=20 C. Qual o comprimento do tubo para que a água saia a 80 C?(b) Qual é a temperatura da parede na saída do tubo, assumindo esc. desenvolvido?

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- Região de entrada

- Solução do problema térmico na região de entrada, considerando perfil de velocidade desenvolvido (p.ex., altos Pr como é o caso óleos- Problema combinado: desenvolvimento hidrodinâmico e térmico simultâneo

•  Nu → ∞ em x=0•  Nu × Gz independe de Pr no problema de desenvolvimento térmico•  Nu depende de Pr no problema de desenvolvimento simultâneo (Nu cai com Pr e tende ao resultado do problema de desenvolvimento térmico quando Pr → ∞)

31

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- Correlação de Hausen (para CC de qs"=constante):

NuD ≡hDk

= 3.66 +0.0668(D /L)ReD Pr

1+ 0.04[(D /L)ReD Pr]2 / 3

- Correlação de Sieder e Tate (válido para o desenvolvimento simultâneo e para CC de Ts =constante)

NuD =1.86 ReDPrL /D

⎝ ⎜

⎠ ⎟ 1/ 3 µ

µs

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

0.14

0.48 < Pr <16700

0.0044 <µµs

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ < 9.75

propriedades avaliadas a Tf 32

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- Escoamento turbulento em tubos lisos circulares

Usando a analogia de Chilton-Colburn e a expressão parafator de atrito, chega-se a Correlação de Colburn:

NuD = 0.023ReD

4 / 5Pr1/3

NuD = 0.023ReD

4 / 5 Pr n n = 0.4 (aquecimento, Ts > Tm) n = 0.3 (resfriamento, Ts < Tm)

Correlação de Dittus-Boelter

Estas equações devem ser usadas para (Ts-Tm) baixos amoderados e nas seguintes condiçoes:

0.7 ≤ Pr ≤160ReD ≥10000L /D ≥10

- propriedades a Tm

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0.7 ≤ Pr ≤16700ReD ≥10000L /D ≥10

NuD = 0.027ReD

4 / 5 Pr1/ 3 µµs

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

0.14

- Correlação de Sielder e Tate:

propriedades a Tm, exceto µs

NuD =( f /8)ReD Pr

1.07 +12.7( f /8)1/ 2(Pr2/ 3−1) 0.5 < Pr < 2000 e 104 < ReD < 5x106

- Correlação de Petukhov (menores erros):

NuD =( f /8)(ReD−1000)Pr

1+12.7( f /8)1/ 2(Pr2/ 3−1) 0.5 < Pr < 2000 e 3000 < ReD < 5x106

- Correlação de Gnielinski:

propriedades a Tm

- Aumento de f com a rugosidade é maior que o aumento de h34

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- Em escoamentos turbulentos, o desenvolvimento é rápido, 10<(Lent/D)<60. Assim,

entrada de região da dependem mC, 1

:pequenos tubosPara

mdes

D

desD

DxC

NuNu

NuNu

)/(+=

- Para metais líquidos (0.003<Pr<0.05):• Correlação de Skupinski (qs=constante):

• Correlação de Seban e Shimazaki (Ts=constante ePeD>100):

NuD = 4.82 + 0.0185PeD0.827 3600 < ReD < 9.05x105

100 < Pe D <10000

NuD = 5+ 0.025PeD0.8

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- Tubos não circulares:

•  Diâmetro hidráulico: DH=4Ac/P Ac - área seção transversal P - perímetro molhado•  ReDH e NuDH•  Nu perto dos cantos → 0 ⇒ •  Em escoamentos laminares, a aproximação é pior ⇒ Tabela

Nu

ab

aquecidoisolado

b/a NuD=hDH/k (qs=cte) NuD=hDH/k (Ts=cte) fReDh

- 4.36 3.66 641.0 3.61 2.98 571.43 3.73 3.08 592.0 4.12 3.39 624.0 5.33 4.44 538.0 6.49 5.60 82∞  8.23 7.54 96∞  5.39 4.86 96

- 3.11 2.47 5336

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- Espaço anular

q"i=hi(Tsi-Tm)q"o=ho(Tso-Tm)

Nui ≡hiDh

k Nuo ≡

hoDh

k

Dh = 4(π/4)(Do2 −Di

2 )π (Do −Di)

=Do −Di

Di/Do Nui Nuo0 3.66

0.05 17.46 4.060.1 11.56 4.110.25 7.37 4.230.5 5.74 4.431 4.86 4.86

Di/Do Nuii Nuoo θi* θο*0 4.364 oo 0

0.05 17.81 4.792 2.18 0.02940.1 11.91 4.834 1.383 0.05620.2 8.499 4.833 0.905 0.10410.4 6.583 4.979 0.603 9.18230.6 5.912 5.099 0.473 0.24550.8 5.58 5.24 0.401 0.2991 5.385 5.385 0.346 0.346

Nu para CC Ts e q=0

- CC de fluxo cte em ambas as paredes:

Nui =Nuii

1− (q"o /q"i )θi*

Nuo =Nuoo

1− (q"i /q"o )θo*

- obs.: para escoamentos turbulentos, estes coeficientes podem ser usados como aproximação

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- Aumento de troca de calor

•  aumento de ho  rugosidade na superfície para aumentar a turbulênciao  introdução de movimentos rotacionais no fluidoo  introdução de escoamentos secundários

•  aumento da área de troca

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Exercícios do Capítulo 8

8.2, 8.6, 8.8, 8.10, 8.12, 8.14, 8.18, 8.22, 8.26, 8.27,8.32, 8.38, 8.42, 8.47, 8.55, 8.67, 8.78, 8.80, 8.88, 8.94, 8.96, 8.99

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