Cálculo 4

Aula 23

Prof. Gabriel Bádue

Aplicações

✓ Teoria

𝐹 = −𝑘𝑥

✓ Teoria

Se ignorarmos qualquer força de resistência externa, pela Segunda Lei de Newton,

temos

ou

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Sua equação auxiliar é

mr2 + k = 0 com as raízes r = ωi, onde Assim, a solução geral é

x(t) = c1 cos ωt + c2 sen ωt

✓ Teoria

A solução geral pode ser representada por

x(t) = A cos(ωt + )

onde

Esse tipo de movimento é chamado movimento harmônico simples.

✓ Exemplos

Exemplo 1

Uma mola com uma massa de 2 kg tem comprimento natural de 0,5 m. Uma força

de 25,6 N é necessária para mantê-la esticada até um comprimento de 0,7 m. Se a

mola é esticada até um comprimento de 0,7 m e, em seguida, libertada com uma

velocidade inicial 0, encontre a posição da massa em qualquer momento t.

✓ TeoriaA seguir, estudaremos o movimento de uma massa presa a uma mola que está

sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento.

Vamos supor que a força de amortecimento seja proporcional à velocidade da

massa e atue na direção oposta ao movimento.

força de amortecimento = –c

onde c é uma constante positiva, chamada constante de amortecimento.

✓ TeoriaA Equação 3 é uma equação diferencial linear de

segunda ordem e sua equação auxiliar é mr2 + cr + k = 0.

As raízes são

CASO I c2 – 4mk > 0 (superamortecimento)

CASO II c2 – 4mk = 0 (amortecimento crítico)

CASO III c2 – 4mk < 0 (subamortecimento)

✓ Teoria

Suponha que, em adição à força restauradora e à força de amortecimento, o

movimento da massa presa à mola seja afetado pela força externa F(t).

✓ Teoria

Uma força externa que ocorre comumente é uma função força periódica

F(t) = F0 cos ω0t onde ω0 ≠ ω =

Nesse caso, e na falta de uma força de amortecimento (c = 0), pede-se que você

use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que

Se ω0 = ω, então a frequência aplicada reforça a frequência natural e o resultado

são vibrações de grande amplitude. Esse é o fenômeno da ressonância .

✓ TeoriaO circuito indicado abaixo contém uma força eletromotriz E (proporcionada pela

pilha ou gerador), um resistor R, um indutor L e um capacitor C, em série. Se a carga

no capacitor no instante t é Q = Q(t), então a corrente é a taxa de variação de Q em

relação a t: I = dQ/dt. É sabido da física que as quedas de voltagem no resistor,

indutor e capacitor são dadas por

✓ TeoriaA lei de voltagem de Kirchhoff diz que a soma destas quedas de voltagem é igual à

voltagem fornecida:

Uma vez que I = dQ/dt, essa equação se torna

Se a carga Q0 e a corrente I0 forem conhecidas no instante 0, então temos as

condições iniciais Q(0) = Q0 Q(0) = I(0) = I0

✓ TeoriaUma equação diferencial para a corrente pode ser obtida derivando-se a equação

anterior em relação a t e lembrando que I = dQ/dt:

Exemplo 2

Determine a carga e a corrente no instante t em um circuito se R = 40 Ω, L = 1 H, C

= 16 10–4 F, E(t) = 100cos 10t, e a carga e a corrente inicial forem ambas 0.