Prof. Edson A. R. Theodoro UTFPR – Cornélio Procópio
No sentido de Lyapunov:
Um ponto de equilíbrio 𝑥∗ é dito estável no sentido de Lyapunov se dado 휀 > 0 suficientemente pequeno, existe δ(휀) > 0 tal que para todo 𝑥0, satisfazendo 𝑥0 − 𝑥∗ < 𝛿, a solução 𝜙(𝑡) com 𝜙 𝑡0 = 𝑥0 satisfaz 𝜙 𝑡 − 𝑥∗ < 휀, para t ≥ 𝑡0.
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d
e
X* X0
X0
X1
X2
t X*
d
e
Propriedade de atratividade:
Um ponto de equilíbrio 𝑥∗ é dito atrativo se dado δ > 0 tal que para todo 𝑥0, satisfazendo 𝑥0 − 𝑥∗ < 𝛿, a solução 𝜙(𝑡) com 𝜙 𝑡0 = 𝑥0
satisfaz 𝑙𝑖𝑚t→∞ 𝜙 𝑡 − 𝑥∗ = 0.
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Exemplo Vinograd (1957)
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O equilíbrio é atrativo mas não é
estável
Estabilidade + atratividade = estabilidade assintótica
Um ponto de equilíbrio 𝑥∗ é dito assintóticamente estável no sentido de Lyapunov se dado 휀 > 0 existe δ > 0 tal que para todo 𝑥0, satisfazendo 𝑥0 − 𝑥∗ < 𝛿, a solução 𝜙(𝑡) com 𝜙 𝑡0 = 𝑥0
satisfaz 𝜙 𝑡 − 𝑥∗ < 휀, para t ≥ 𝑡0 e 𝑙𝑖𝑚t→∞ 𝜙 𝑡 − 𝑥∗ = 0.
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d
e
X* X0
X0
X1
X2
t X*
d
e
Instabilidade
Um ponto de é dito instável se o mesmo não é estável no sentido de Lyapunov.
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d
e
X* X0
Exemplos
(a) 𝑥 = −𝑥, 𝑥0= 0,1.
▪ Equilíbrio estável!
(b) 𝑥 = 𝑥, 𝑥0= 0,1.
▪ Equilíbrio instável!
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Representação gráfica (2D ou 3D) para análise qualitativa do comportamento dinâmico de soluções de equações diferenciais.
Os eixos ordenados normalmente representam variáveis de estado e/ou suas derivadas.
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Exemplos
(a) 𝑥 = 𝑘𝑥
(b) 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 3
(c) 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥
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Parafraseando o teorema original:
Dado um sistema não linear 𝑥 = 𝑓 𝑥 e sua linearização em torno de um ponto de equilíbrio hiperbólico (ou seja 𝑥 = 𝐷𝑓 𝑥 |𝑥∗ , com 𝐷𝑓 𝑥 |𝑥∗ não singular), então existe um homeomorfismo (transformação) que leva órbitas do sistema não linear em órbitas do sistema linear preservando a orientação e tempo.
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Assim,
Para classificar a estabilidade de um equilíbrio qualquer do sistema não linear 𝑥 = 𝑓 𝑥 , calculamos 𝐷𝑓 𝑥 |𝑥∗ e avaliamos a estabilidade do sistema linear:
▪ Todos os autovalores com parte real negativa => estabilidade assintótica;
▪ Um autovalor com parte real positiva => instabilidade.
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Estude, utilizando as idéias do Teorema de Hartman e Grobman, a estabilidade dos pontos de equilíbrio dos seguintes sistemas não lineares:
(a) 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 3
(b) 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥
▪ Entrega: próxima semana – pode ser manuscrito!
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