Aula 05 - Tipos de Estabilidade

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Prof. Edson A. R. Theodoro UTFPR – Cornélio Procópio

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No sentido de Lyapunov:

Um ponto de equilíbrio 𝑥∗ é dito estável no sentido de Lyapunov se dado 휀 > 0 suficientemente pequeno, existe δ(휀) > 0 tal que para todo 𝑥0, satisfazendo 𝑥0 − 𝑥∗ < 𝛿, a solução 𝜙(𝑡) com 𝜙 𝑡0 = 𝑥0 satisfaz 𝜙 𝑡 − 𝑥∗ < 휀, para t ≥ 𝑡0.

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d

e

X* X0

X0

X1

X2

t X*

d

e

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Propriedade de atratividade:

Um ponto de equilíbrio 𝑥∗ é dito atrativo se dado δ > 0 tal que para todo 𝑥0, satisfazendo 𝑥0 − 𝑥∗ < 𝛿, a solução 𝜙(𝑡) com 𝜙 𝑡0 = 𝑥0

satisfaz 𝑙𝑖𝑚t→∞ 𝜙 𝑡 − 𝑥∗ = 0.

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Exemplo Vinograd (1957)

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O equilíbrio é atrativo mas não é

estável

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Estabilidade + atratividade = estabilidade assintótica

Um ponto de equilíbrio 𝑥∗ é dito assintóticamente estável no sentido de Lyapunov se dado 휀 > 0 existe δ > 0 tal que para todo 𝑥0, satisfazendo 𝑥0 − 𝑥∗ < 𝛿, a solução 𝜙(𝑡) com 𝜙 𝑡0 = 𝑥0

satisfaz 𝜙 𝑡 − 𝑥∗ < 휀, para t ≥ 𝑡0 e 𝑙𝑖𝑚t→∞ 𝜙 𝑡 − 𝑥∗ = 0.

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d

e

X* X0

X0

X1

X2

t X*

d

e

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Instabilidade

Um ponto de é dito instável se o mesmo não é estável no sentido de Lyapunov.

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d

e

X* X0

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Exemplos

(a) 𝑥 = −𝑥, 𝑥0= 0,1.

▪ Equilíbrio estável!

(b) 𝑥 = 𝑥, 𝑥0= 0,1.

▪ Equilíbrio instável!

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Representação gráfica (2D ou 3D) para análise qualitativa do comportamento dinâmico de soluções de equações diferenciais.

Os eixos ordenados normalmente representam variáveis de estado e/ou suas derivadas.

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Exemplos

(a) 𝑥 = 𝑘𝑥

(b) 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 3

(c) 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥

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Parafraseando o teorema original:

Dado um sistema não linear 𝑥 = 𝑓 𝑥 e sua linearização em torno de um ponto de equilíbrio hiperbólico (ou seja 𝑥 = 𝐷𝑓 𝑥 |𝑥∗ , com 𝐷𝑓 𝑥 |𝑥∗ não singular), então existe um homeomorfismo (transformação) que leva órbitas do sistema não linear em órbitas do sistema linear preservando a orientação e tempo.

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Assim,

Para classificar a estabilidade de um equilíbrio qualquer do sistema não linear 𝑥 = 𝑓 𝑥 , calculamos 𝐷𝑓 𝑥 |𝑥∗ e avaliamos a estabilidade do sistema linear:

▪ Todos os autovalores com parte real negativa => estabilidade assintótica;

▪ Um autovalor com parte real positiva => instabilidade.

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Estude, utilizando as idéias do Teorema de Hartman e Grobman, a estabilidade dos pontos de equilíbrio dos seguintes sistemas não lineares:

(a) 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 3

(b) 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥

▪ Entrega: próxima semana – pode ser manuscrito!

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