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ACTIONSDECONTACTDANSLESFLUIDES–EXERCICES

1. TPmesuredeviscosité:OnlâcheuneparticulesphériquederayonR=1,25mmdemassevolumiqueρs=3800kg.m-3dansune éprouvette graduée contenant un liquide visqueux dont on veut déterminer la viscositéη. Lamassevolumiquedufluideestρf=1260kg.m-3OnadmetquelaforcedefrottementvisqueuxsurlabilleestdonnéeparlaformuledeStokes.1) MontrerquelavitessedelabilletendversunevitesselimiteVo,quel’onexprimeraenfonctiondeρf,ρs, R,η et g accélération de la pesanteur ( g = 9,8 SI ) . Au bout de combien de temps peut-onconsidérerquelaparticuleaatteintsavitesselimite?2) La vitesse limitemesurée est v = 3,0.10-3 m.s-1. Déterminer la viscosité du fluide et valider laméthode.Réponse:1,7Pa.s

2. Jeuxdeballes:Ondonnelesvitessestypiquesetlesdimensionsdeballespourplusieurssports:

Football Golf Tennis Base-BallDiamètre(cm) 22 4,3 6,4 7,5Vitesse(km.h-1) 55 260 180 150CalculerlenombredeReynoldsdanschaquecas,sachantquepourl’airρ=1,2kg.m-3etη=2,0.10-5Pl.Commentersavaleur.3. NombredeReynolds:Deuxécoulementsd’échelledifférentessontidentiquessiilsontlemêmenombredeReynolds.Onconsidèreunécoulementdemassevolumiqueρ,deviscositéη,devitessecaractéristiqueU,variantsurunedimensioncaractéristiqueL.1)OnétudieunaviondelongueurLdestinéàvoleràvitesseUdansl’air.Unemaquettedecetavionàl’échelle1/10èmeestétudiéedansunesoufflerieàair.Quelledoitêtre,enfonctiondeU,lavitessedel’écoulement?2) Au lieu d’une soufflerie à air, on utilise une veine liquide ( tunnel à écoulement d’eau ). Quellevitessedoitavoirl’eaupoursimulerlaréalité?Données:ηair=1,8.10-5Pl;ηeau=1,0.10-3Pl.

4. Forcessuruneailed’avion(CCPPC2020):Ons’interesseauxforcesexecéessuruneailed’avion.Lecoefficientdeportanceestdéfinipar:

𝐶! =𝐹!

12 𝑆!"#𝜌!𝑣!

!

où𝜌! 𝑒𝑡 𝑣!sontlamassevolumiquedel’airetlavitesseloindel’aile.Sréfestlasurfacedel’aile,etFzlaforcedeportanceexetcéesurl’aile.Ilexisteparailleursuneforcedetrainée,parraleleàl’écoulementetopposéeaudéplacement:

𝐹! =12𝐶!𝑆!"#𝜌!𝑣!

! oùCxestlecoefficientdetrainée.

PC/PC*20/21 LycéeSCHWEITZERMulhouse1) VérifierquelecoefficientdeportanceCzestadimensionné.2) Lepilotepeut faire varier la surfacedes ailes en actionnantdes surfacesmobiles, les volets. Enphase de décollage, indiquer et justifier la configuration que le pilote va choisir : volets rentrés ousortis?3) On considère un vol en palier, c’est-à-dire avec un vecteur vitesse et une altitude de l’avionconstants.Représenterl’ensembledesforcess’exerçantsurl’avionetexpliquercommentlaforcedetraînéeestcompensée.4) Pourquoiest-ilintéressantdevoleràhautealtitude?5) Dans cette question, on se propose d’interpréter physiquement ce que les professionnels del’aéronautiqueappellentlafinessef=Cz/Cxd’uneaile.Pourcela,onconsidèrelasituationd’unavion,tousmoteurscoupés,ayantunmouvementdetranslationrectiligneuniformedescendant.Onnote𝛼l’angleentreladirectiondel’écoulementdel’airautourdel’avionetl’horizontale(figure6).Àl’aided’unereprésentationdesforcessurleschémadelafigure6,établirlelienentrelafinessefetl’angle𝛼. De quelle distance dH l’avion a-t-il avancé à l’horizontale lorsqu’il a perdu une altitude dV ?Concluresurlesensphysiquedelafinesse.

6)Pourapprécierlaqualitéd’uneaileontracelapolairedel’ailequiestlacourbedesonCzenfonctiondesonCx(figure7).Reproduire l’allure de la polaire d’une aile et indiquer les pointscorrespondant respectivement à une traînée minimale, uneportancemaximaleetunefinessemaximale.7)Quandonvadupointpourlequellatraînéeestminimaleverslepointpourlequellaportanceestmaximale,commentévoluel’angled’incidence?8) On s’intéresse au décollage d’un quadriréacteur A380 dont lamasse audécollage est de 500 tonnes. Sa vitesse aumoment où ilquitte la piste est de 260 km·h-1. Estimer, en précisant leshypothèseseffectuées,unordredegrandeurdelapousséed’unréacteurlorsdephased’accélérationsurlapiste.Discutervotrerésultatsachantquelapousséemaximaled’unréacteurd’A380estde370kNetquelafinesseaudécollageestprochede10.4.Puissanced’uncycliste:Onconsidèreuncyclisteroulantàv=36km.h-1dansl’air.a) Enmodélisant le cycliste d’unemanière très simple ( et connue ),montrer que la puissance Pv

nécessairepourcontrerlarésistancedel’airestproportionnelleaucubedesavitesse.b) Ce cycliste gravit unepente à2,5%.On considèreque le coefficientde trainée vautC≈ 1,0. La

puissancePvest-ellesupérieureàlapuissancedupoids?Données:viscositédel’air:η=1,8.10-5Pl;massevolumiquedel’airρ=1,3kg.m-3;massetotaleM=100kg.

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EQUATIONSLOCALESDELADYNAMIQUEDESFLUIDESVISQUEUX–EXERCICES

1. Couchedemiel(E3A):

Une couche d’épaisseur constante h, d’un fluide visqueux newtonien incompressible, de viscositédynamiqueηetdemassevolumiqueρ,s’écouledanslechampdepesanteursupposéuniforme,surunplaninclinéfaisantunangleαavecl’horizontale.

Lechampdesvitessesnedépendnidexnideyets’écritsouslaforme:𝑣 = 𝑣 𝑧 . 𝑒! .a)Simplifierl’équationgénéraledeNavier-Stokes:𝜌 !!

!"+ 𝑣.𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑣 = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑃 + 𝜌𝑔 + 𝜂Δ𝑣.

b)Projeterl’équationlocaledeladynamiquequienrésultesurlabase(𝑒! , 𝑒! , 𝑒!).Endéduirelesexpressionsdescomposantesduvecteur𝑔𝑟𝑎𝑑𝑃surcettebase.

c)Justifierquelarépartitiondepressiondanslemiels’écritP=P(z),puisl’exprimer.

d)Etablirl’équationdifférentielle!!!(!)!!!

= 𝑘. 𝑠𝑖𝑛𝛼vérifiéeparlavitessev(z)etidentifierk. Alasurfacelibre,surlepland’équation z h= ,lacontraintetangentielleexercéeàlasurfacelibreparlacouched’airsurlacouchedemielestnulle.

e)Ecrire,enlesjustifiant,lesconditionsauxlimitesrelativesàlavitessev,enz=0etàsadérivée!"(!)!"

,enz=h.

f)Résoudrel’équationdifférentielleetmontrerqueleprofildevitessedanslacouchedemielvérifielarelation: 𝑣 𝑧 = 𝛽𝑧(2ℎ − 𝑧).Identifierβ.

2. Ecoulementdepétrole:OnfaitcoulerdupétroledansuneconduitedediamètreD=50cmavecundébitD=50l.s-1.a) Calculerlavitessemoyenned’écoulement.b) CalculerlenombredeReynolds.c) Calculerlapuissancedissipéeparlesforcesdeviscositéparkilomètredeconduite.Données:ρ=870kg.m-3;η=0,25Pa.s.

3. Effetdepeauenmecaniquedesfluides(CCPPSI08):Considéronsuneplaqueplane,infinieenlongueuretlargeur,formantleplanxOy.Unfluidevisqueuxincompressible (par exemple du miel) de viscosité η est déposé sur cette plaque sur une grandeépaisseurh.Lefluideoccupealorsledemi-espacez>0(toutsepassecommesil’espaceétaitillimité).Laplaqueoscilleàlapulsationω ,savitesseétant .x0plaque u).tcos(.VV !ω=

ex

ey

ez g

Z

h

O

x α Figure 1

z

air

miel

PC/PC*20/21 LycéeSCHWEITZERMulhouse1)Enanalysantlesinvariancesetsymétriesdusystèmeetensupposant que la vitesse du fluide est parallèle à celle de laplaque,justifierquelechampdesvitessess’écrit:

𝑣 = 𝑣 𝑧, 𝑡 .𝑢!etquelechampdepressionnedépendquedezetdet.2) Montrer que le terme convectif de l’accélération est nulpour ce problème. En déduire alors que la pression dans lefluideestunefonctionaffinedelacotezetquelechampde

vitessessatisfaitàl’équationdifférentielle: oùl’onexprimeraνenfonctiondeρ etdeη.

3)Onchercheunesolutionpourlechampdevitessesouslaforme .Donnerlaforme

générale de f(z) ; on introduira la quantité .En étudiant le comportement aux limites du

fluide,donnerl’expressionduchampdesvitessesréeldanslefluide.Commenterl’expressionobtenue.4)Danslecasd’unfluide1000foisplusvisqueuxquel’eau(onrappellequelaviscositédel’eauestde10-3Pa.s)etpourunefréquencede2Hz,calculerlavaleurnumériquedeladistancecaractéristiqued’atténuationδenprenantcommemassevolumiquelamassevolumiquedel’eau.5) Lesrochesenfusiondanslemanteauterrestresontextrêmementvisqueusesetontunemassevolumique très grande, si bien que leur viscosité cinématique est de l’orde de ν = 10-2 m².s-1 . Endéduireunepropriétéimportantepourlesondessismiquesdecisaillementquiontdesfréquencesdequelqueshertz.

4. Associationderésistanceshydrauliques(CCPPC):On considère l’écoulement de Poiseuille cylindrique d’un fluide de viscosité η dans une conduite delongueurLetderayonR.1)RappelerlaloidePoiseuille.2)OndéfinitRhy,résistancehydrauliquedelongueur L etdesurface S ,parlarelationΔP=RH.DvExprimerRhyenfonctiondeL ,R etη .Quelleestl’analogieavecladéfinitiondelarésistanceélectrique?3) On associe deux cylindres A1 et A2(figure)derésistanceshydrauliquesRhy1etRhy2 de même section S , l'un est comprisentrex0=0etx1=L1,lesecondestcomprisentrex1=L1etx2=L1+L2.OnnoteP0,P1etP2lespressionscorrespondantes.

Établirl'expressiondelarésistancehydrauliqueRhydel'ensembleenfonctiondeRhy1etRhy2.Indiquer,enlajustifiant,uneanalogieavecunproblèmed’électrocinétique.EndéduirelapressionP1enfonctiondeP0,P2,Rhy1etRhy2.4)LesdeuxcylindresA1,desectionS1etdelongueurL1etA2 de section S2 et de longueur L2 sont associés en«parallèle» (figure). On note P0, la pression sur les facesd'entréepourx0=0etP1,lapressionsurlesfacesdesorties(x1=L1pourA1,etx2=L2pourA2).Etablir l’expression de la résistance hydraulique de cetteassociation en raisonnant par analogie avecl’électrocinétique.EndéduireledébitQ1danslecylindreA1desectionS1enfonctiondudébittotalQ,Rhy1etRhy2.5) Rappeler l’expression de la puissance électrique dissipée dans une résistance électrique R,traverséeparuncourantd’intensitéI.Paranalogie,déterminerlapuissancedissipéeparlesforcesdeviscositéenfonctiondeRhyetQ.

²zv².

tv

∂∂ν=

∂∂

xti e.e.)z(fv ω=

ων=δ 2

zLiquidevisqueux h xPlaque

0 0x = 1 1x L= 2 1 2x L L= +

0 0x = 1 1x L= 2 2x L=