SISTEMAS DE 1 GRAU DE LIBERDADE Problema 1
( )tPukum eq =+&& Situação 1: 21eq kkk +=
Situação 2:
21
eq
k1
k1
1k+
=
Situação 3:
213
eq
kk1
k1
1k
++
=
Problema 2
21n m3m
k343
+=ω
Problema 3
( )22n baaekb3+γ
=ω (com efeito de peso ( )22n baae2abeg3kb6+γγ−
=ω )
Problema 4
222
211
n mmk
ll +=ω θ
Problema 5 1. 0g =θ+θ&&l
2. s/rad2gn ==ω
l
Problema 6
2est
n mcosmgk
ll θ−
=ω θ
Problema 7 a) kg293,0mC = b) mm4,8uest = c) s/m13,0v Cmax, = Problema 8 a) 03,0gm8,0k~2,0cI E
2eq
2B =θ⋅+θ⋅+θ⋅+θ &&&
b) kg66,1mE = c) mm49uest = d) s/rad4,12a =ω e) Deslocamento do ponto D:
( ) ( )409,1t4,12sine0203,0tu t644,0D +−= − (considerando o sentido positivo para cima)
( ) mm1,75,0uD −=
Problema 9 ( ) ( )t76,9sin293,0tu = (considerando o sentido positivo para esquerda)
Problema 10 a) s/rad91,7n =ω b) m/sN98,252ccr ⋅= c) %8,13138,0 ==ζ d) s/rad83,7a =ω e) m336,0Au = f) rad296,0−=φ g) ( ) s/m175,046,2v −= (considerando o sentido positivo para cima) Deslocamento ( ) ( )296,0t83,7sine336,0tu t094,1 −−= −
Problema 11 s/rad26,18n =ω
Problema 12
hg3
n =ω
Problema 13
hg2
n =ω
Problema 14
2OA kgm479,0I =
Problema 15
kgf40Pmesa = m/kN32,6klateral =
Problema 16
N3,326F max,mola = T=22,2s
Deslocamento na parte transiente usando a formula exacta e simplificada
Deslocamento após 22s usando a formula exacta e simplificada
Deslocamento usando somente a formula estacionária
Problema 17 1. s/rad5,60n =ω 2. mm63,7umax = 3. kNm95,20Mmax = Problema 18 1. s/rad27,10n =ω 2. kNm35,44Mmax = Problema 19 1. s/rad6n =ω 2. m037,0umax = , s/m149,0vmax = , 2
max s/m596,0a = 3. kN7,44Nmax = Problema 20 1. s/rad57,124a =π=ω , s/rad58,12n =ω 2. 05,0=ζ 3. m20,0umax = , s/m52,2vmax = , 2
max s/m65,31a = Problema 21 1. cm04,7umax = 2. h/km66,144v =
Problema 22 1. mm19,4u relmax, = 2. mm82,16u absmax, = Problema 23 Para 1ue = , 1n =ω , 5td = e 2td =
Problema 24
1. s/rad4n =ω , designando kFu 0
e = ,
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )11110
1
211
011
201
t4t4sint2cos2t2t4sint2sin32Ftt2
t2sint2t4sint2sin32Ft2tt
t2sin16Ftt
−+−<
+−≤<
≤
2. 0emax F0183,0u171,1u == 3. 0emax F0188,0u200,1u == , erro=2,48% Comparação: aproximada versus exacta
s1t1 =( )
eutu
s1,0t1 =
( )eutu
Problema 25 ( ) 0
3e F1097,8u574,04u −⋅==
Problema 26 1. ( )s1,0tmm93,3u rmax == , ( )s2tmm08,2u rmax ==
2. impulso triangular: cheio: mm627,1umax = , kN7,40Vmax = , kNm7,813Mmax = vazio: mm819,2umax = , kN5,70Vmax = , kNm4,1409Mmax = outros 2 impulsos: cheio: mm340,4umax = , kN5,108Vmax = , kNm2170Mmax = vazio: mm517,7umax = , kN9,187Vmax = , kNm3759Mmax = Problema 27 1. pilares rotulados
mm68,17umax = kNm2,123Mmax =
2. pilares encastrados mm38,5umax = kNm0,75Mmax =
( )eutu s1,0tr =
s2tr =
[ ]mmurotulados
sencastrado
Problema 28 1. ue=16,5mm, ωn=7,78rad/s
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ω=≤
2tsinu2tus2,0t n
2e - ( )⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
ω− tsin
2,01
2,0tu n
ne
( ) => tus2,0t ( ) ( )( )[ ]1,0tcos902,0tcosu nne −ω+ω− 2. umax=12,0mm, Mmax=54,56kNm 3. umax=12,85mm, erro=7% Espectro de resposta (acção periódica: )t2sin(ub π= )
( )eutu
exacta
aproximada
nT
u 01,0=ζ05,0=ζ
1,0=ζ
3,0=ζ
8,0=ζ
5,0=ζ
nT
totu 01,0=ζ05,0=ζ
1,0=ζ
3,0=ζ
8,0=ζ
5,0=ζ
Problema 29 1. pilares rotulados: umax=9,75cm, Mmax=679kNm 2. pilares encastrados: umax=2,65cm, Mmax=369kNm Problema 30 Mmax=109kNm Problema 31 1. umax=6,52mm, Vmax=163,1kNm, Mmax=3262kNm 2. umax=3,77mm, Vmax=282,5kNm, Mmax=5649kNm 3. umax=2,01mm, Vmax=151,1kNm, Mmax=3022kNm
MÉTODO DE RAYLEIGH Problema 1 c.f. cinemáticas (bege)
%2,27EIL472,4
2n μ=ω
c.f. cinemáticas e estáticas (verde)
%4,0EIL530,3
2n μ=ω
trigonométrica (violeta)
%62EIL70,52n μ
=ω
simplificada contínua (verde)
%4,0EIL530,3
2n μ=ω
simplificada discreta (azul)
%30EIL449,2
2n −μ
=ω
exacta (vermelha) Nota: as deformadas foram normalizadas para todas terem o deslocamento na extremidade unitário. Problema 2 cúbica (vermelha)
%00,4EIL826,5
2n μ=ω
polinómio de 4º (verde)
%88,0EIL651,5
2n μ=ω
Problema 3 (metade da deformada) polinómio de 4º (vermelha)
%00,4EIL826,5
2n μ=ω
polinómio de 4º (verde)
%66,0EIL717,5
2n μ=ω
sinusoidal (violeta)
%33,0EIL698,5
2n μ=ω
método simplificado aproximação contínua (azul)
%025,0EIL681,5
2n μ=ω
método simplificado modelo discretizado em 1 massa
μ=ω
EIL657,5
2n
modelo discretizado em 3 massas
μ=ω
EIL679,5
2n
2º modo, sinusoidal
)exacta(EIL
42
2
n μπ
=ω
2º modo, método simplificado modelo discretizado em 3 massas
μ=ω
EIL192,392n
Problema 4
3n mhEI762,2=ω
SISTEMAS DE VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Problema 1
a) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡00
uu
1113
hEI24
uu
2001
m2
13
2
1
&&
&&
b) ( )3
1n mh
EI745,2=ω , ( )3
2n mh
EI745,8=ω ,
( ) ( )T1 684,0;255,0m1
=Φ , ( ) ( )T2 180,0;967,0m1
−=Φ
Problema 2
1. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2500000300
M ton, ton m2, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2L/3L/3L/6
LEI2 2
K kN/m, kN, kNm
2. ( ) s/rad08,61n =ω , ( ) s/rad41,232
n =ω , Normalização feita deixando a matriz de massa nas unidades acima mencionadas
( ) ( )T321 10836,3;10590,4 −− ⋅−⋅=Φ , ( ) ( )T322 10028,5;10502,3 −− ⋅⋅=Φ 3. s/rad50,7n =ω Problema 3
1. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10000100
M ton, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
115368000800024000
K kN/m
2. ( ) s/rad73,81n =ω , ( ) s/rad71,162
n =ω , Normalização feita deixando a matriz de massa nas unidades acima mencionadas
( ) ( )T1 090,0;044,0=Φ , ( ) ( )T2 044,0;090,0 −=Φ Método de Stodola para o primeiro modo
1 0.610485 0.520784 0.497316 0.490977 0.48925 0.488778 0.48865 0.488614 0.4886051 1 1 1 1 1 1 1 1 1
‐1 ‐0.22097 0.245184 0.417092 0.468651 0.483118 0.4871 0.488191 0.488489 0.488571 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Problema 4 Opção 1 (graus de liberdade de acordo com o enunciado do problema)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
36,6948184836,6918
18189
EI1F , kg
5,20001005,20010
10101000
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=M
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
087,14804,9174,19804,9087,14174,19
699,3699,3360,9
50001D s2
( ) rad/s79,12ω 1n = , ( ) s/rad17,342
n =ω , ( ) s/rad24,433n =ω
Normalização feita usando a matriz de massa em kg ( ) ( )T21 317,4;317,4;505,110 −= −Φ , ( ) ( )T2 05,0;05,0;0=Φ , ( ) ( )T23 515,2;515,2;782,210 −= −Φ
Opção 2 (graus de liberdade u2 e u3 perpendicularmente às barras)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
36,7194,4947,1894,4936,7147,18
47,1847,189
EI1F , kg
200000200000999
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=M
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
271,14988,9453,18988,9271,14453,18
694,3694,3991,8
50001D s2
( ) rad/s79,12ω 1n = , ( ) s/rad17,342
n =ω , ( ) s/rad24,433n =ω
Método de Stodola usando nas matrizes de opção 1 1º modo (9 iterações)
1 0.39904 0.349846 0.348274 0.348583 0.348673 0.34869 0.348692 0.348693 0.3486931 ‐0.63484 ‐0.94407 ‐0.99203 ‐0.99888 ‐0.99984 ‐0.99998 ‐1 ‐1 ‐11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2º modo (19 iterações)
1 0.332251 0.233842 0.15861 0.104678 0.067774 0.043317 0.027453 0.017304 0.0108691 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0.399479 0.577347 0.713324 0.810801 0.877504 0.921707 0.950381 0.968724 0.980354
0.006812 0.004264 0.002666 0.001667 0.001041 0.00065 0.000406 0.000254 0.000158 9.89E‐05
1 1 1 1 1 1 1 1 1 10.987687 0.992293 0.995181 0.996988 0.998118 0.998824 0.999266 0.999541 0.999714 0.999821
3º modo (9 iterações)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0.903717 0.903717 0.903717 0.903717 0.903717 0.903717 0.903717 0.903717 0.9037171 ‐0.90372 ‐0.90372 ‐0.90372 ‐0.90372 ‐0.90372 ‐0.90372 ‐0.90372 ‐0.90372 ‐0.90372
Problema 5
( )kN/m
360617
18491
1849
3601651
23
123
32
10001
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=F , ton400020
00449
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=M
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
856,6444,5250,12889,10172,9375,1843167,8
10001D s2
( ) rad/s61,6ω 1n = , ( ) s/rad40,282
n =ω , ( ) s/rad74,1093n =ω
Normalização feita usando a matriz de massa em ton ( ) ( )T1 272,0;435,0;163,0=Φ , ( ) ( )T2 043,0;449,0;219,0 −−=Φ , ( ) ( )T3 417,0;330,0;084,0 −=Φ
Problema 6
( ) rad/s69,21ω 1n = , ( ) Hz45,3f 1
n = , ( ) s/rad73,3452n =ω , ( ) Hz02,55f 2
n = ( ) ( )T1 332,0;542,1
m1
=Φ , ( ) ( )T2 972,1;274,1m1
−=Φ
Problema 7
a)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
24.sim2472h6h6h6h6h6hh6h6h6h20h16h6h60h2h2h16
hEI
2
22
22
222
3K
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
607,11508,17508,17885,54
hEI
708106810683348
h61EI
33condK , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2001
mM
b) ( )3
1n mh
EI690,1=ω , ( )3
2n mh
EI605,7=ω
( ) ( )T1 688,0;231,0m1
=Φ , ( ) ( )T2 164,0;973,0m1
−=Φ
c) ( )3
1n mh
EI697,1=ω , ( ) ( )T1 685,0;251,0m1
=Φ
Problema 8 Nota: no cálculo foram utilizadas as unidades básicas de SI a) ( )401,1t752,11sine303,0q t1811,1
1 += − ( )489,1t442,37sine025,0q t7631,3
2 −−= −
( )401,1t752,11sine10722,7u t1811,141 +⋅= −− ( )489,1t442,37sine10397,2 t7631,34 −⋅− −−
( )401,1t752,11sine10742,20u t1811,142 +⋅= −− ( )489,1t442,37sine10446,0 t7631,34 −⋅+ −−
Deslocamentos em coordenadas modais em coordenadas da estrutura b) ( )025,0t50sin0108,0q1 +−= , ( )172,0t50sin0879,0q2 +−=
( ) ( )172,0t50sin10006,85025,0t50sin10745,2u 551 +⋅−+⋅−= −−
( ) ( )172,0t50sin10823,15025,0t50sin10372,7u 552 +⋅++⋅−= −−
Deslocamentos em coordenadas modais em coordenadas da estrutura
1q 2u
1u
2q
1q 2u
1u2q
aceleração em coordenadas da estrutura 2
max,1 s/m193,2a = , 2max,2 s/m215,0a =
Problema 9 Nota: no cálculo foram utilizadas as unidades ton, kN, m e s
( )0180,0t50sin10811,1q 41 +⋅−= − , ( )0526,0t50sin10040,4q 4
2 +⋅−= − ( ) ( )0526,0t50sin1030,360180,0t50sin1095,7u 66
1 +⋅−+⋅−= −− ( ) ( )0526,0t50sin1074,170180,0t50sin1027,16u 66
2 +⋅−+⋅−= −− Deslocamentos em coordenadas modais em coordenadas da estrutura
2a
1a
1q
2u
1u2q
m1058,1u 6max,2
−⋅= , pré-esforço necessário=3,94N Problema 10 Nota: no cálculo foram utilizadas as unidades ton, kN, m e s
( )t306,3sin1990,0q 21 = , ( )t198,14sin0111,0q 2
2 −= , ( )t869,54sin0005,0q 23 −=
( ) ( ) ( )( ) 32221 10t869,54sin05,0t198,14sin44,2t306,3sin40,32u −⋅+−=
( ) ( ) ( )( ) 32222 10t869,54sin18,0t198,14sin01,5t306,3sin53,86u −⋅++=
( ) ( ) ( )( ) 32223 10t869,54sin23,0t198,14sin48,0t306,3sin20,54u −⋅−+=
Deslocamentos em coordenadas modais em coordenadas da estrutura
mm46,91u max,2 ≅ para t=1.43s mm72,91u max,2 ≤
Problema 11 Fb=66,197kN F1=10,39kN (13,24kN), F2=55,81kN (52,96kN)
( )mm45,7mm45,7u max,1 = , ( )mm36,19mm00,20u max,2 = Mmax=41,86kNm(39,72kNm) pilares inferiores
( ) ton920,1;130,5 Tx =P , ( ) tonm00637,0;08115,0 T
max =q ( ) ( ) mm55,17;53,6 T1 =u , ( ) ( ) mm36,0;95,1 T2 −=u
mm82,6u max,1 = , mm55,17u max,2 = M1,max=43,55kNm, M2,max=12,98kNm, Mmax=45,44kNm pilares inferiores
1q
2u
1u
2q
3q
3u
Problema 12 Fb=326,32kN F1=107,11kN (108,77kN), F2=212,21kN (217,55kN)
( )mm07,14mm04,14u max,1 = , ( )mm62,28mm74,28u max,2 = Mmax=117,59kNm(116,37kNm) pilares superiores no meio Vmax=78,39kN(77,58kN) pilares superiores no meio Pré-esforço necessário=71,86kN(71,54kN)
( ) ton59,4;37,13 Tx =P , ( ) tonm0514,0;2861,0 T
max =q ( ) ( ) mm71,25;56,12 T1 =u , ( ) ( ) mm26,2;62,4 T2 −=u
mm38,13u max,1 = , mm81,25u max,2 = M1,max=105,18kNm, M2,max=-54,98kNm, Mmax=118,68kNm superiores no meio V1,max=70,12kN, V2,max=-36,65kN, Vmax=79,12kN superiores no meio Pré-esforço1=64,27kN, Pré-esforço2=5,64kN, Pré-esforço necessário=64,52kN Problema 13
( ) ton028,1;686,2;995,1 Tx =P , ( ) tonm00030,0;01564,0;05636,0 TH
max =q ( )mm025,0;43,3;18,9H
1 =u , mm80,9uHmax,1 = ,
( )mm099,0;03,7;51,24H2 −=u , mm50,25uH
max,2 =
Matriz das forças da acção horizontal kN052,6156,2685,2
395,2333,11144,2728,3878,33916,4
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
( )kNm41,1;40,45;09,48Henc =M , kNm15,66H
max,enc =M
( ) ton008,1;070,1;960,1 Ty −−=P , ( ) tonm00029,0;00312,0;02451,0 TV
max −−=q
( )mm024,0;68,0;99,3V1 −−=u , mm05,4uV
max,1 = ,
( )mm096,0;40,1;66,10V2 −=u , mm75,10uV
max,2 =
Matriz das forças da acção vertical kN828,5429,0168,1306,2257,2932,0589,3748,6138,2
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
( )kNm36,1;04,9;92,20Venc −−=M , kNm83,22V
max,enc =M mm87,9u max,1 = , mm70,25u max,2 = , kNm51,66max,enc =M
SISTEMAS CONTÍNUOUS Problema 1 Condições de fronteira: ( ) 00u = , ( ) ( ) 0LNLma =+
Equação característica: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω=
ωμ c
LancotcL
Lm
( ) s/rad13,41n =ω , ( ) s/rad82,202
n =ω , ( ) s/rad23,403n =ω
( ) ( )x0653,0sin480,01 =Φ ton/1 , ( ) ( )x3292,0sin619,02 =Φ ton/1 ,
( ) ( )x6362,0sin628,03 =Φ ton/1
Problema 2 Condições de fronteira: ( ) ( ) 00N0ma =+− , ( ) ( ) 0LNLku =+
( ) s/rad27,31n =ω , ( ) s/rad53,152
n =ω , ( ) s/rad74,323n =ω
( ) ( ) ( )x0516,0cos282,0x0516,0sin291,01 −=Φ ton/1 ,
( )3Φ( )2Φ
( )1Φ
( )3Φ( )2Φ
( )1Φ
( ) ( ) ( )x2455,0cos112,0x2455,0sin548,02 −=Φ ton/1 , ( ) ( ) ( )x5177,0cos058,0x5177,0sin605,03 −=Φ ton/1 ,
Nmax=629,17 2s/ton
Problema 3 Condições de fronteira: ( ) 00w = , ( ) ( ) 0LkwLwS =+′
( ) s/rad57,11n =ω , ( ) s/rad13,32
n =ω , ( ) s/rad70,43n =ω
( ) ( )x157,0sin1062246,70 31 −⋅=Φ kg/1 , ( ) ( )x313,0sin1062248,70 32 −⋅=Φ kg/1 , ( ) ( )x470,0sin1062250,70 31 −⋅=Φ kg/1
3max 1062250,70w −⋅= kg/1 , 376,66F max,e = 2s/kg
Condições de fronteira: ( ) ( ) 00kw0wS =−′ , ( ) ( ) 0LkwLwS =+′
( ) s/rad56,11n =ω , ( ) s/rad13,32
n =ω , ( ) s/rad69,43n =ω
( ) ( ) ( )x156,0cos0006,0x156,0sin0705,01 +=Φ kg/1 , ( ) ( ) ( )x313,0cos0011,0x313,0sin0705,02 −=Φ kg/1 , ( ) ( ) ( )x469,0cos0017,0x469,0sin0705,03 −=Φ kg/1
0705,0wmax = kg/1 , 13,66F max,e = 2s/kg
( )3Φ ( )2Φ
( )1Φ
Problema 4
Condições de fronteira: ( ) 00w = , ( ) ( )0wk0M ′= , ( ) 0LM = , ( ) ( ) tt,Ltwmt,LV 2
2
∀∂∂
= ( ) s/rad74,21n =ω , ( ) s/rad99,442
n =ω , ( ) s/rad62,1623n =ω
( )3Φ ( )2Φ
( )1Φ
( )3Φ
( )2Φ
( )1Φ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x0417,0sin1483,0x0417,0cos0690,0x0417,0sinh0333,0x0417,0cosh0690,01 +−−=Φ ton/1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x1687,0sin2157,0x1687,0cos0276,0x1687,0sinh0293,0x1687,0cosh0276,02 +−−=Φ ton/1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x3207,0sin2209,0x3207,0cos0160,0x3207,0sinh0159,0x3207,0cosh0160,03 +−−=Φ ton/1 ,
Deslocamento máximo ao longo da estrutura
Momento flector máximo ao longo da estrutura
( )1maxmax ww ≈
( )2maxw
( ) 0w 3max ≈
( )1maxM
( )2maxM
( )3maxM
maxM
d) Condições de fronteira: ( ) 00w = , ( ) ( )0wk0M ′= , ( ) ( ) tt,Lxt
wIt,LM 2
3
0 ∀∂∂
∂−= ,
( ) ( ) tt,Ltwmt,LV 2
2
∀∂∂
=
R=0,5m, ( ) s/rad74,21n =ω , ( ) s/rad80,442
n =ω , ( ) s/rad29,1603n =ω
( ) mm70,65Lwmax = , ( ) kNm69,6250Mmax = , ( ) kNm37,3LMmax =
R=2m, ( ) s/rad74,21
n =ω , ( ) s/rad08,422n =ω , ( ) s/rad04,1273
n =ω ( ) mm45,65Lwmax = , ( ) kNm06,6590Mmax = , ( ) kNm22,142LMmax =
( )1maxM
( )2maxM
( )3maxM
maxM
( )1maxM
( )2maxM
( )3maxM
maxM
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