___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Έχουμε:
f(x) 3x α εφx 2ημx 0 f 0 για κάθε
π πx ,
2 2
άρα η f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο 0
x 0
β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο
π π,
2 2 άρα και στο
0x 0 οπότε
x 0
f x f 0f 0 lim
x 0
Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0
x 0 το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος
π π,
2 2, άρα από το θεώρημα του Fermat έχουμε:
f 0 0
Επομένως:
x 0 x 0
x 0
x 0
0
0
x 0
2
x 0
3x α εφx 2ημx 0f x f 0lim 0 lim 0
x 0 x 0
3x α εφx 2ημx lim 0
x
3x α εφx 2ημx lim 0
x
3x α εφx 2ημx lim 0
x
α3 2συνx
συν x lim 01
3 α 2 0 α 1 0 α 1
γ) Έχουμε:
π πf(x) 3x εφx 2ημx , x ,
2 2
Αναζητούμε το πρόσημο της συνάρτησης 3x εφx 2ημx , άρα θέτουμε:
π πg x 3x εφx 2ημx, x ,
2 2
Λύνει ο Μάκης Χατζόπουλος
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
η οποία είναι παραγωγίσιμη στο
π π,
2 2με
2
3 2
2
2
2
2
2
1g x 3 2συνx
συν x
2συν x 3συν x 1=
συν x
συνx 1 2συν x συνx 1
συν x
12 συνx 1 συνx
20
συν x
αφού 1
συνx 02
για κάθε
π πx ,
2 2 και η ισότητα ισχύει για x 0 .
Το πρόσημο της g x και η μονοτονία της g φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
x π
2 0
π
2
g x
g > >
Η g είναι συνεχής στο 0
x 0 άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
π π,
2 2, οπότε:
π
0 x g x g 0 g x 02
και
π
x 0 g x g 0 02
Επομένως:
πg x , x 0
2f(x) 3x εφx 2ημx g xπ
g x ,0 x2
π3x εφx 2ημx , x 0
2π
3x εφx 2ημx ,0 x2
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
0
π π f(x) = 3x + α εφx - 2ημx 0, για κάθε x (- , ) Α και
2 2 f(0) = 0, άρα f(x) f(0), για κάθε x A, οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0.
Η f είναι παραγωγίσιμη στο Α, άρα είναι παραγωγίσιμη και στο
α)
β)
x 0 x 0
x>0
x 0 x 0 x 0
x 0
0 Α. Δηλαδή
f(x) - f(0) f(x)-f(0) lim = lim , (1)
x - 0 x-0
3x+α εφx-2ημx 3x+α εφx-2ημxf(x)-f(0) lim lim lim
x x x
εφx ημx lim 3 + α - 2 = 3 + α - 2 = α + 1 (2)
x x
li
x<0
x 0 x 0 x 0
(2),(3)
3x+α εφx-2ημx εφx ημxf(x) - f(0)m = lim lim 3 α 2 3 α-2 α+1 (3)
x x x x
(1) α + 1 = - α + 1 2 α + 1 = 0 α + 1 = 0 α = -1.
π π Έστω g(x) = 3x - εφx - 2ημx, x (- , ) Α, άρα f(x) = g(x) .
2 2
Για κάθε x A,
γ)
3 2
2 2
3 2 3 2 2 2
2 2
1 -2συν x + 3συν x - 1g'(x) = 3 - - 2συνx = .
συν x συν x
-2w + 3w - 1 = -2w + 2w + w - 1 = -2w (w - 1) + (w - 1)(w + 1)
= (w - 1)(-2w + w + 1) = - (w - 1) (2w + 1).
(σ Άρα, για w = συνx, είναι g'(x)=
2
2
υνx-1) (2συνx+1)0, με g'(x)=0, μόνο για x=0.
συν x Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο Α.
π ΄Ετσι, για κάθε x (- ,0), x < 0 g(x) > g(0) g(x) > 0
2π
και για κάθε x [0, ), x 0 g(x) g(0) g(x) 0. 2
Άρα τελικά η συνάρτηση f είναι
πg(x) = 3x - εφx - 2ημx, x (- ,0)
2 f(x) =π
g(x) = -3x+εφx+2ημx, x [0, )2
Λύνει η Ντίνα Ψαθά
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Για συνάρτηση f ισχύει:
π πf(x) 3x aεφx 2ημx 0 f(0), x ,
2 2 ,
αυτό σημαίνει ότι η f παρουσιάζει ‘’ολικό ‘’ ελάχιστο στη θέση 0
x 0 .
β) Στη θέση 0
x 0 ισχύει το θεώρημα Fermat
0
0
0
x , είναι εσωτερικό σημείο
x , είναι θέση ακροτάτου
στο x ,η f παραγωγίζεται
, οπότε
x 0 x 0 x 0 x 0
f(x) f(0) f(x) f(x) f(x)f (0) 0 lim 0 lim 0 lim lim 0
x 0 x x x
Έτσι από
x 0 x 0 x 0
3x αεφx 2ημx 3x αεφx 2ημxf(x)lim 0 lim 0 lim 0
x x x
x 0
εφx ημxlim 3 α 2 0 3 α 1 2 1 0 α 1 0 α 1 0 α 1
x x
Σχόλιο:
x 0
ημxlim 0,
x (βασικό όριο) και
x 0 x 0 x 0 x 0
εφx ημx ημx1 1 1lim lim lim lim 1 1
x x συνx x συνx συν0 ( η συνάρτηση συνx είναι
συνεχής στο ).
γ) Αφού α 1 τότε f(x) 3x εφx 2ημx .
Θεωρούμε την συνάρτηση
π πg(x) 3x εφx 2ημx, x ,
2 2 , έχουμε:
3 2
2 2
1 2συν x 3συν x 1g (x) 3 2συνx
συν x συν x , στην συνέχεια μελετάμε το πρόσημο της
θέτουμε, συνχ ω
3 2 3 2A(x) 2συν x 3συν x 1 Α(ω) 2ω 3ω 1 με σχήμα Horner:
2 3 0 1 1
2 1 1
2 1 1 0
και δευτεροβάθμια καταλήγουμε: Α(ω)=
2 1ω 1 ω
2 δηλ.
2
0
0
1Α(x) (συνx 1) συνx 0
2 , το ίσον ισχύει μόνο στη θέση
0x 0 , άρα
π πg (x) 0, x ,
2 2 , το ίσον ισχύει μόνο στη θέση
0x 0 ,οπότε η συνάρτηση
g είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και επομένως
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Αν
πx ,0 , τότε g(x) g(0) 0
2 και άρα f(x) 3x εφx 2ημx
Αν
πx 0, , τότε g(x) g(0) 0
2 και άρα f(x) 3x εφx 2ημx
Συνοψίζουμε:
π3x εφx 2ημx ,x ,0
2f(x)
π3x εφx 2ημx ,x 0,
2
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Προφανώς f(x) f(0) 0 .
΄Αρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0
x 0 , το f(0) 0 .
β) Εφ όσον η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη , θα είναι παραγωγίσιμη και στο 0
x 0
δηλαδή
x 0
f(x) f(0)f '(0) lim
x=
x 0
f(x) f(0)lim
x.
Όμως
x 0
f(x) f(0)lim
x
x 0
3x α εφx 2ημxlim
x
x 0
3x α εφx 2ημxlim
x
x 0
3x α εφx 2ημxlim
x
x 0
εφx ημxlim 3 α 2
x x1 α .
΄Όμοια:
x 0
f(x) f(0)lim
x
x 0
3x α εφx 2ημxlim
x-
x 0
3x α εφx 2ημxlim
x
x 0
3x α εφx 2ημxlim
x
x 0
εφx ημxlim 3 α 2
x x- 1 α .
Επόμενα:
1 α =- 1 α 1 α 0 α 1.
Άρα
π πf(x) 3x εφx 2ημx , x ,
2 2.
γ) Θέτω g(x) 3x εφx 2ημx ,
π πx ,
2 2 .
Τότε
f(x) g(x) , 2
1g'(x) 3 2συνx
συν x= 3 2
2
2συν x 3συν x 1
συν x
=
2
2
(2συνx 1)(συνx 1)
συν x < 0
π πx ( ,0) (0, )
2 2.
Επειδή η g'(x) διατηρεί πρόσημο στο π π
( ,0) (0, )2 2
και g συνεχής στο 0
x 0 , η g είναι
γνησίως φθίνουσα στο π π
( , )2 2
.
Επίσης η g ως γνήσια μονότονη είναι και 1-1 στο πεδίο ορισμού της.
Συνεπώς g(x) 0 g(x) g(0) x 0.
Λύνει ο Τάκης Καταραχιάς
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Οπότε : για π
x 0 g(x) g(0) 0 f(x) g(x)2
3x εφx 2ημx ,
για π
0 x g(x) g(0) 0 f(x) g(x)2
- 3x εφx 2ημx .
Άρα:
αν π
x 02
τότε f(x) 3x εφx 2ημx ,
αν π
0 x2
τότε f(x) - 3x εφx 2ημx .
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α) Αφού
π πf(0) 0 και f(x) 0, x ,
2 2, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο
0x 0 , το
μηδέν.
Β) Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της για την παράγωγό της στο 0
x 0
θα ισχύει;
x 0 x 0
f(x) f(0) f(x) f(0)lim lim
x x
x 0 x 0
3x α εφx 2 ημx 3x α εφx 2 ημxlim lim
x x
x 0 x 0
3x α εφx 2 ημx 3x α εφx 2 ημxlim lim
x x
x 0 x 0
3x α εφx 2 ημx 3x α εφx 2 ημxlim lim
x x
x 0 x 0
3x α εφx 2 ημx 3x α εφx 2 ημxlim lim
x x
x 0 x 0
ημx ημx ημx ημx3x 1 3x 1lim α 2 lim α 2
x x συνx x x x συνx x
1 α 1 α 2 1 α 0 1 α 0 α 1
Γ) Θεωρώ την συνάρτηση
π πg(x) 3x εφx 2ημx , x ,
2 2 που είναι παραγωγίσιμη
και για την οποία ισχύει g(0)=0. Είναι:
22 3
;
2 2 2
2συνx 1 συνx 11 3συν x 1 2συν xg (x) 3 2συνx .... 0
συν x συν x συν x
Επειδή:
ο ο
22
1. από το πεδίο ορισμού (4 και 1 τεταρτημόριο) συνx 0 2συνx 1 0
2. συν x 0 , συνx-1 0 και η ισότητα ισχύει μόνο αν x 0 (διπλή ρίζα) Επομένως η g
είναι συνεχής, γνησίως φθίνουσα στο
π π,
2 2 και άρα1:1 αφού δε g(0)=0 προκύπτει:
Λύνει ο Σπύρος Χαλικιόπουλος
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
πx ,0 g(x) g(0) g(x) 0
2
πx 0, g(x) g(0) g(x) 0
2
Οπότε:
π3x εφx 2ημx , x ,0
2f(x) g(x)
π3x εφx 2ημx , x [0, )
2
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Για την συνάρτηση f, ως απόλυτη τιμή , θα ισχύει: f(x) 0 .
Επίσης: f(0)=0. Άρα f(x) f(0) . Επομένως για x=0 η f παρουσιάζει ελάχιστη τιμή το 0.
β) Η f για x=0 παρουσιάζει ακρότατο. Επειδή
f
π π0 A ,
2 2 και η f είναι παραγωγίσιμη σε
αυτό, από Θ. Fermat θα ισχύει: f (0) 0 .
Δηλαδή:
x 0 x 0
f(x) f(0) f(x) f(0)lim lim 0
x x.
x 0
x 0 x 0 x 0 x 0
3x αεφx 2ημx 3x αεφx 2ημxf(x) f(0) f(x)lim lim lim lim
x x x x
x 0
εφx ημxlim 3 α 2
x x(1).
Εξετάζουμε αν υπάρχει το όριο που βρίσκεται εντος της απόλυτης τιμής.
x 0
εφx ημxlim 3 α 2 1 α
x x διότι:
x 0
ημxlim 1
x και
x 0 x 0
εφx ημx 1lim lim 1 1 1
x x συνx.
Άρα από την σχέση (1) έχουμε:
x 0
f(x) f(0)lim 1 α
x.Επίσης:
x 0
x 0 x 0 x 0 x 0
3x αεφx 2ημx 3x αεφx 2ημxf(x) f(0) f(x)lim lim lim lim
x x x x
x 0 x 0
3x αεφx 2ημx εφx ημxlim lim 3 α 2 1 α
x x x όπως παραπάνω.
Τελικά: 1 α 1 α 0 α 1
γ) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση
π πg : ,
2 2Rμε τύπο:
g(x) 3x εφx 2ημx .Τότε: 2
1g (x) 3 2συνx
συν x.
Η g΄ είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με:
3
3 3 3
1 1 συν x 1g (x) 2ημx 2ημx 2ημx 1 2ημx
συν x συν x συν x.
Ισχύει: 3 30 συνx 1 0 συν x 1 1 συν x 1 0 .
Άρα
3
3
συν x 10
συν x.
Λύνει ο Δημήτρης Σαριβασίλης
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Για
πx ,0
2 ισχύει: ημx 0 και τότε: g (x) 0 .
Για
πx 0,
2 ισχύει: ημx 0 και τότε: g (x) 0 .
Άρα η g΄ παρουσιάζει για x 0 μέγιστο το g (0) 3 1 2 0 .
Δηλαδή: g (x) g (0) 0 . Τότε η συνάρτηση g είναι φθίνουσα και θα ισχύει:
για
πx ,0
2 ισχύει: x 0 g(x) g(0) g(x) 0
για
πx 0,
2 ισχύει: x 0 g(x) g(0) g(x) 0 .
Τελικά ο τύπος της f είναι:
π3x εφx 2ημx ,x ,0
2f(x)
π3x εφx 2ημx ,x 0,
2
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Αν g(x) 3x α εφx 2ημx η f(x) g(x) έχει ελάχιστο στο 0 το f(0) 0 , γιατί είναι
f(x) f(0)στο
π π,
2 2.
β) Είναι
x 0
g(x)lim α 1
x και
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
g(x) g(x) g(x) g(x)f(x)lim f (0) lim lim lim lim α 1 0 α 1
x x xx xR
γ)
3 2 3 2 2
2 2 2
1 2συν x 3συν x 1 2συν x 2συν x συν x 1g x 3 2συνx
συν x συν x συν x
2
2
2 2
12 συνx 1 συνx
συνx 1 2συν x συνx 1 20
συν x συν x
με το = μόνο στο 0.
Δηλαδή η g στο
π π,
2 2 και για
πx 0 g(x) 0
2ενώ για
π0 x g(x) 0
2.
Λύνει ο Κώστας Δεββές
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Παρατηρούμε ότι: για x 0 έχουμε f 0 0 και προφανώς f x f 0 0για κάθε
π πx ,
2 2 οπότε η f παρουσιάζει O.E. το 0 στη θέση
0x 0 .
β) Έστω g x 3x αεφx 2ημx , με g 0 0 . Επιπλέον g συνεχής στο
π π,
2 2.
Άρα f x g x , με
π πx ,
2 2.
ΠΙΘΑΝΟΙ ΤΎΠΟΙ ΤΗΣ f:
1) f x g x ,
π πx ,
2 2 2) f x g x ,
π πx ,
2 2
3)
πg x ,x ,0
2
f x 0 , x 0
πg x ,x 0,
2
4)
πg x ,x ,0
2
f x 0 , x 0
πg x ,x 0,
2
Επειδή η f έχει Ο.Ε. στο 0 και απο υπόθεση f παραγωγίσιμη στο 0 , ισχύει το Θ.Fermat,
οπότε f ' 0 0 . Οι τύποι 3,4 για την f λόγω παραγωγισιμότητας στο 0
( με τον ορισμό
x 0 x 0
f x f 0 f x f 0f ' 0 lim lim 0
x 0 x 0) μας δίνουν α 1.
Επίσης και οι τύποι 1,2 μας δίνουν την τιμή α 1.
γ) Άρα η f μπορεί να έχει έναν απο τους παρακάτω τύπους:
1) f x 3x εφx 2ημx ,
π πx ,
2 2, 3)
π3x εφx 2ημx,x ,0
2
f x 0 , x 0
π3x εφx 2ημx,x ,0
2
Λύνει ο Κώστας Τσόλκας
___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
2) f x 3x εφx 2ημx ,
π πx ,
2 2, 4)
π3x εφx 2ημx,x ,0
2
f x 0 , x 0
π3x εφx 2ημx,x ,0
2
Για να γράψουμε την f χωρίς την απόλυτη τιμή εργαζόμαστε ως εξής:
Ξαναγυρίζοντας στην αρχή απορρίπτουμε τους τύπους 1, 2 ως εξής:
Για τον 1) έχουμε 2
1f ' x 3 2συνx 0
συν x,
π πx ,
2 2 (το ίσον ισχύει για x 0 μόνο) ,
οπότε δεν παρουσιάζει ακρότατο στο 0 .
Για τον 2) έχουμε 2
1f ' x 3 x συνx 0
συν,
π πx ,
2 2
(το ίσον ισχύει για x 0 μόνο) , οπότε δεν παρουσιάζει ακρότατο στο 0 .
O τύπος 4) απορρίπεται γιατί τότε η συνάρτηση f παρουσιάζει τότε Ο.Μ. (αλλάζει η
μονοτονία εκατέρωθεν του 0, αύξουσα-φθίνουσα , και f παραγωγίσιμη-συνεχής στο 0)
Επίσης για τον τύπο 3 πληρούνται οι προυποθέσεις όλες οπότε τελικά έχουμε:
π3x εφx 2ημx,x ,0
2
f x 0 , x 0
π3x εφx 2ημx,x ,0
2
Top Related