16η ανάρτηση

___________________________________________________________________________ 16η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17

Είναι:

ΑΒ 2x y x 2y , x 2y 2 ή ΑΒ x y , x 2y 2

Για να σχηματίζει γωνία 135ο με τον οριζόντιο άξονα θα πρέπει:

0λ εφ135 x 2y 2

1x y

x 2y 2 x y (1)

Επίσης πρέπει:

ΑΒ 2 2 2

x y x 2y 2 2

Οπότε από την σχέση (1) έχουμε ισοδύναμα:

2 2

x y x y 2 2

2 x y 2 2

x y 1 x y 1 x y 1

x y 1 x y 1

Για x y 1 η (1) γίνεται:

x 2y 2 x y 2x y 2 0 2y 2 y 2 0 4

y3

, άρα 1

x3

Για x y 1 η (1) γίνεται:

x 2y 2 x y 2x y 2 0 2y 2 y 2 0 y 0 , άρα x 1

Επαλήθευση:

Για 1

x3

, 4

y3

έχουμε: ΑΒ 1,1

Λύνει ο Θεόδωρος Παγώνης

http://lisari.blogspot.gr/


Για x 1 , y 0 έχουμε: ΑΒ 1, 1

Η οποία προφανώς απορρίπτεται.

Παρατήρηση: Εδώ οι περιορισμοί είναι καλά «κρυμμένοι» για τον μαθητή. Θα πρέπει το

διάνυσμα ΑΒ να βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο. Δηλαδή πρέπει να έχει αρνητική τετμημένη

και θετική τεταγμένη. Αυτό αποτελεί ένα λεπτό σημείο για πολλούς μαθητές. Σε αυτή την

περίπτωση είναι προφανές ότι η διαδικασία της επαλήθευσης είναι αναπόφευκτη.



Βρίσκουμε το διάνυσμα ΑΒ (x y,x 2y 2) .Αφού ω̂ 135 άρα λ=-1, οπότε

x 2y 21 x 2y 2 x y

x y

άρα y 2 2x (1)

Ακόμη 2 2ΑΒ (x y) (x 2y 2) 2 και μετά από πράξεις (χρησιμοποιώ και την (1))

καταλήγουμε στη σχέση: 3x 2 1 και από εδώ προκύπτει x 1 και 1

x3

.

Οπότε έχουμε:

Αν x 1 , τότε y =0, άρα ΑΒ (1, 1)

Αν 1

x3

,τότε y =4

3, άρα ΑΒ ( 1,1)

Εδώ θέλει προσοχή!

Πρέπει να δούμε ποιο από τα δύο διανύσματα σχηματίζει γωνία ω̂ 135

Επειδή το ΑΒ (1, 1) είναι παράλληλο με το ΟΜ (1, 1)

(Ο η αρχή των αξόνων) και οι συντεταγμένες του Μ(1,-1)

δηλαδή το Μ βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο οπότε η ω̂ 315

Επειδή το ΑΒ ( 1,1) είναι παράλληλο με το ΟΜ ( 1,1)

(Ο η αρχή των αξόνων) και οι συντεταγμένες του Μ(-1,1)

δηλαδή το Μ βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο οπότε η ω̂ 135

Άρα η λύση που δεχόμαστε είναι 1

x3

και y =4

3

Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος



Είναι B A B AΑΒ x x , y y 2x y x 2y, x 1 1 2y x y, x 2y 2 .

Έχουμε:

2

2 2

2 2 2 2

ΑΒ 2 ΑΒ 2

x y x 2y 2 2

x 2xy y x 4y 4 4xy 8y 4x 2

2 22x 5y 2xy 4x 8y 2 0 (1).

Επειδή AB

x y x y 0 x 0 , ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος ΑΒ .

Είναι:

ΑΒ

ΑΒ

ΑΒ

yΑΒ, x'x 135 λ εφ135 εφ45

x

x 2y 2 1 x 2y 2 y x

x y

y 2 2x (2).

Η (1) μέσω της (2) γίνεται:

22 2 22x 5 2 2x 2x 2 2x 4x 8 2 2x 2 0 18x 24x 6 0 3x 4x 1 0 , η

οποία έχει διακρίνουσα 2

Δ 4 4 3 1 4 Δ 2 . Οπότε, έχουμε τις λύσεις:

2

1 1

2

2 2

ΑΒ, x'x 315 απορρίπτεx 1 y 0 ΑΒ 1, 1 , ΑΒ 2 , 4 2

x2 3

x y ΑΒ 1, 1 ,

ται

1 4ΑΒ, x'x 13 5 δεκτήΑΒ 2,

3 3

Άρα, 1

x3

και 4

y3

.

Λύνει ο Νίκος Ελευθερίου



o o o o

ΑΒ ΑΒ

Eστω ΑΒ (α,β) και ω η γωνία που σχηματίζει με τον x΄x άξονα.

Τότε εφω = εφ(135 ) = εφ(180 - 45 ) = -εφ45 = -1 , α < 0, β > 0 .

β βλ εφω = -1, λ , άρα - 1 = β = - α, α < 0, β > 0 .

α α

ΑΒ = (2x + y - x - 2y, x - 1- 1+ 2y

2 2

(1)2 2 2 2

2 2

) AB = (x - y, x + 2y - 2) , με

x < y , x + 2y > 2 , x + 2y - 2 = -x + y y = 2 - 2x (1) .

AB 2 (x - y) + (x + 2y - 2) = 2

(x - 2 + 2x) + (x + 4 - 4x - 2) = 2 (3x - 2) + (2 - 3x) = 2

2(3x - 2) = 2 (3x - 2) = 1

(1)

(1)

3x - 2 = 1 x = 1

ή ή .

3x - 2 = -1 1x = -

3

Για x = 1 y = 0 απορρίπτεται, γιατί πρέπει να είναι x < y .

1 4Για x= y = , για το οποίο είναι x < y, x + 2y = 3 > 2 .

3 31 4

Aρα x = , y = .3 3

Σημείωση: Για αυτές τις τιμές εί

ναι ΑΒ (-1,1), για το οποίο

ισχύουν οτι AB = 2 και εφω = -1 .

.

Λύνει η Ντίνα Ψαθά



Αρχικά υπολογίζουμε το ΑΒ , οπότε έχουμε:

AB 2x y x 2y ,x 1 1 2y AB x y,x 2y 2 .

Επειδή η γωνία που σχηματίζει το ΑΒ με τον άξονα x΄x , είναι 0135 , ισχύουν τα εξής:

0 x 2y 2 x 2y 2εφ135 1 y 2 2x i

x y x y

Η τετμημένη του ΑΒείναι αρνητικός αριθμός, οπότε: x y 0 x y ii

Επίσης 2

2 2 2 2AB 2 2 x y x 2y 2 2 x y x 2y 2 , στην οποία

αντικαθιστούμε το y 2 2x i και μετά από απλές πράξεις καταλήγουμε στην σχέση:

2

3x 2 1 δηλαδή x 1 ή 1

x3

.

Για x 1 από την i παίρνουμε y 0 , τα οποία απορρίπτονται λόγω της ii .

Για 1

x3

από την i παίρνουμε 4

y3

(δεκτές), οπότε προκύπτει το διάνυσμα

AB 1,1 , το οπόιο προφανώς ικανοποιεί τα δεδομένα της άσκησης.

ΥΠΟΔΕΙΞΗ: Αν παραβλέψουμε τον περιορισμό ii , είμαστε υποχρεωμένοι για το ζεύγος

x,y 1,0 να αντικαταστήσουμε και να βρούμε το AB και να κάνουμε επαλήθευση στα

δεδομένα της άσκησης και εύκολα να δούμε οτι δεν ικανοποιεί τα δεδομένα αυτά.

Λύνει ο Κώστας Τσόλκας



Eίναι

ΑΒ x y,x 2y 2 και 2 2 2

ΑΒ 2 x y x 2y 2 (1).

Επίσης πρέπει να ισχύουν οι περιορισμοί x y 0 και x 2y 2 0 λόγω της γωνίας που

σχηματίζει το ΑΒμε τον x΄x.

Ακόμα πρέπει να ισχύει 0 x 2y 2εφ135 1 y 2 2x

x y

(2)

λόγω του συντελεστή διεύθυνσης του ΑΒ .

Το σύστημα των (1), (2) δίνει τις λύσεις: x,y (1,0) , 1 4

x,y ( , )3 3

.

Η 1η απορρίπτεται επειδή x y και η 2η είναι δεκτή.

Λύνει ο Κώστας Δεββές



Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του AB .

B A B AAB x x ,y y (x y,x 2y 2) .

Υπολογίζουμε τον συντελεστη διεύθυνσης του AB .

AB

AB

AB

y x 2y 2λ ,x y

x x y

.

Επειδή το AB σχηματίζει γωνία ο135 με τον άξονα x΄x θα ισχύει:

ο

AB

x 2y 2λ εφ135 1 x 2y 2 x y 2x y 2

x y

. (1)

Επίσης:

2 2 2 2

AB 2 x y x 2y 2 2 x y x 2y 2 2

1

2 2 2 2x y x 2y 2x y 2 x y y x 2

2 2 2

x y x y 2 x y 1 x y 1 ή x y 1

Λύνουμε τα συστήματα:

2x y 2

x,y 1,0x y 1

και

2x y 2 1 4

x,y ,x y 1 3 3

.

Για x,y 1,0 έχουμε: A 1,1 και B(2,0)

Επειδή θ = 3150 η περίπτωση αυτή δεν γίνεται δεκτή

Λύνει ο Δημήτρης Σαριβασίλης

3150

Α

Β Ο 2

1

1



Για 1 4

x,y ,3 3

έχουμε: 5

A 3,3

και

2B(2, )

3

Επειδή θ = 1350 η περίπτωση αυτή γίνεται δεκτή

1350

Α

Β Ο 2

-2/3

-5/3

3



Είναι: ΑΒ (x y,x 2y 2) .

Tώρα πρέπει κατ΄αρχήν ο συντελεστής διεύθυνσης του ΑΒ να ισούται με εφ135ο = -1 και

x y 0, x 2y 2 0 (1) για να σχηματίζει με τον άξονα xx΄ γωνία 135ο.

Δηλαδή

x 2y 21

x y

x 2y 2 y x 2x y 2 y 2 2x .

Τότε

ΑΒ =(3x 2,2 3x) με 2

x3

.

Eπίσης

2 2

ΑΒ = 2 2 3x 2 = 2 3x 2 = 1 3x 2 = 1

1 3x 2 = 1 ή 3x 2 1 x 1 ή x

3

Η λύση x 1 απορρίπτεται λόγω των περιορισμών.

Άρα 1 4

x ,y3 3

και : ΑΒ =( 1,1) .

Λύνει ο Τάκης Καταραχιάς



Στο σύστημα συντεταγμένων Οχy έχουμε:

OA x 2y,1 2y και OB 2x y,x 1 οπότε

AB OB OA 2x y,x 1 x 2y,1 2y (x y,x 2y 2)

Έτσι από 2 2 2

AB 2 AB 2 x y x 2y 2 2, 1

Επειδή το AB σχηματίζει με τον x΄x γωνία 0135 , η διανυσματική του ακτίνα θα

βρίσκεται στο Δεύτερο Τεταρτημόριο και θα ισχύουν:

0

ABλ εφ135 1, 2

x y 0 x y 3

x 2y 2 0 4

Η σχέση x 2y 2

2 1, θυμίζουμε, ότι x y x 2y 2 x y y 2 2x, 5x y

λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων 1 και 5 με απλή αντικατάσταση:

4

2 2 2 21 x 2 2x x 4 4x 2 2 3x 2 3x 2 2

2 2 2 2

63x 2 1

3x 2 3x 2 2 2 3x 2 2 3x 2 1 ή

73x 2 1

Η 6 δίνει x 1 τότε, από 5 y 0, το οποίο είναι άτοπο, βάσει της 3 , άρα από

4

1 47 x y

3 3 , οι τιμές αυτές επαληθεύουν βέβαια τις σχέσεις 3 και 4 .

Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος



Σύμφωνα με τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β που δόθηκαν είναι:

ΑΒ (x y,x 2 2y)

και για να σχηματίζει γωνία 1350 (2ο τεταρτημόριο) με τον άξονα των x΄x πρέπει:

x y 0 x y

x 2 2y 0 x 2 2y

x 2 2y1 x 2 2y x y y 2 2x σχέση (1)

x y

22 2y x y, που προκύπτει y και άρα

32 2

από την y 2 2x 2 2x x3 3

Πρέπει επίσης:

(1)

2 2 2AB 2 3x 2 2 3x 2 2 (3x 2) 2 2

3x 2 1 οπότε

13x 2 1 x 1 ή x

3 .

Από τους περιορισμούς που έχουμε 1

x3

η πρώτη λύση απορρίπτεται, άρα:

1 4x και y

3 3

Λύνει ο Σπύρος Χαλικιόπουλος


16η ανάρτηση

Education

Transcript of 16η ανάρτηση