18η ανάρτηση

___________________________________________________________________________ 18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17

α) Έχουμε:

f(x) 3x α εφx 2ημx 0 f 0 για κάθε

π πx ,

2 2

άρα η f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο 0

x 0

β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο

π π,

2 2 άρα και στο

0x 0 οπότε

x 0

f x f 0f 0 lim

x 0

Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0

x 0 το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος

π π,

2 2, άρα από το θεώρημα του Fermat έχουμε:

f 0 0

Επομένως:

x 0 x 0

x 0

x 0

0

0

x 0

2

x 0

3x α εφx 2ημx 0f x f 0lim 0 lim 0

x 0 x 0

3x α εφx 2ημx lim 0

x


x


x

α3 2συνx

συν x lim 01

3 α 2 0 α 1 0 α 1

γ) Έχουμε:

π πf(x) 3x εφx 2ημx , x ,

2 2

Αναζητούμε το πρόσημο της συνάρτησης 3x εφx 2ημx , άρα θέτουμε:

π πg x 3x εφx 2ημx, x ,

2 2

Λύνει ο Μάκης Χατζόπουλος

http://lisari.blogspot.gr/


η οποία είναι παραγωγίσιμη στο

π π,

2 2με

2

3 2

2

2

2

2

2

1g x 3 2συνx

συν x

2συν x 3συν x 1=

συν x

συνx 1 2συν x συνx 1

συν x

12 συνx 1 συνx

20

συν x

αφού 1

συνx 02

για κάθε

π πx ,

2 2 και η ισότητα ισχύει για x 0 .

Το πρόσημο της g x και η μονοτονία της g φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

x π

2 0

π

2

g x

g > >

Η g είναι συνεχής στο 0

x 0 άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

π π,

2 2, οπότε:

π

0 x g x g 0 g x 02

και

π

x 0 g x g 0 02

Επομένως:

πg x , x 0

2f(x) 3x εφx 2ημx g xπ

g x ,0 x2

π3x εφx 2ημx , x 0

2π

3x εφx 2ημx ,0 x2



0

π π f(x) = 3x + α εφx - 2ημx 0, για κάθε x (- , ) Α και

2 2 f(0) = 0, άρα f(x) f(0), για κάθε x A, οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0.

Η f είναι παραγωγίσιμη στο Α, άρα είναι παραγωγίσιμη και στο

α)

β)

x 0 x 0

x>0

x 0 x 0 x 0

x 0

0 Α. Δηλαδή

f(x) - f(0) f(x)-f(0) lim = lim , (1)

x - 0 x-0

3x+α εφx-2ημx 3x+α εφx-2ημxf(x)-f(0) lim lim lim

x x x

εφx ημx lim 3 + α - 2 = 3 + α - 2 = α + 1 (2)

x x

li

x<0

x 0 x 0 x 0

(2),(3)

3x+α εφx-2ημx εφx ημxf(x) - f(0)m = lim lim 3 α 2 3 α-2 α+1 (3)

x x x x

(1) α + 1 = - α + 1 2 α + 1 = 0 α + 1 = 0 α = -1.

π π Έστω g(x) = 3x - εφx - 2ημx, x (- , ) Α, άρα f(x) = g(x) .

2 2

Για κάθε x A,

γ)

3 2

2 2

3 2 3 2 2 2

2 2

1 -2συν x + 3συν x - 1g'(x) = 3 - - 2συνx = .

συν x συν x

-2w + 3w - 1 = -2w + 2w + w - 1 = -2w (w - 1) + (w - 1)(w + 1)

= (w - 1)(-2w + w + 1) = - (w - 1) (2w + 1).

(σ Άρα, για w = συνx, είναι g'(x)=

2

2

υνx-1) (2συνx+1)0, με g'(x)=0, μόνο για x=0.

συν x Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο Α.

π ΄Ετσι, για κάθε x (- ,0), x < 0 g(x) > g(0) g(x) > 0

2π

και για κάθε x [0, ), x 0 g(x) g(0) g(x) 0. 2

Άρα τελικά η συνάρτηση f είναι

πg(x) = 3x - εφx - 2ημx, x (- ,0)

2 f(x) =π

g(x) = -3x+εφx+2ημx, x [0, )2

Λύνει η Ντίνα Ψαθά



α) Για συνάρτηση f ισχύει:

π πf(x) 3x aεφx 2ημx 0 f(0), x ,

2 2 ,

αυτό σημαίνει ότι η f παρουσιάζει ‘’ολικό ‘’ ελάχιστο στη θέση 0

x 0 .

β) Στη θέση 0

x 0 ισχύει το θεώρημα Fermat

0

0

0

x , είναι εσωτερικό σημείο

x , είναι θέση ακροτάτου

στο x ,η f παραγωγίζεται

, οπότε

x 0 x 0 x 0 x 0

f(x) f(0) f(x) f(x) f(x)f (0) 0 lim 0 lim 0 lim lim 0

x 0 x x x

Έτσι από

x 0 x 0 x 0

3x αεφx 2ημx 3x αεφx 2ημxf(x)lim 0 lim 0 lim 0

x x x

x 0

εφx ημxlim 3 α 2 0 3 α 1 2 1 0 α 1 0 α 1 0 α 1

x x

Σχόλιο:

x 0

ημxlim 0,

x (βασικό όριο) και

x 0 x 0 x 0 x 0

εφx ημx ημx1 1 1lim lim lim lim 1 1

x x συνx x συνx συν0 ( η συνάρτηση συνx είναι

συνεχής στο ).

γ) Αφού α 1 τότε f(x) 3x εφx 2ημx .

Θεωρούμε την συνάρτηση

π πg(x) 3x εφx 2ημx, x ,

2 2 , έχουμε:

3 2

2 2

1 2συν x 3συν x 1g (x) 3 2συνx

συν x συν x , στην συνέχεια μελετάμε το πρόσημο της

θέτουμε, συνχ ω

3 2 3 2A(x) 2συν x 3συν x 1 Α(ω) 2ω 3ω 1 με σχήμα Horner:

2 3 0 1 1

2 1 1

2 1 1 0

και δευτεροβάθμια καταλήγουμε: Α(ω)=

2 1ω 1 ω

2 δηλ.

2

0

0

1Α(x) (συνx 1) συνx 0

2 , το ίσον ισχύει μόνο στη θέση

0x 0 , άρα

π πg (x) 0, x ,

2 2 , το ίσον ισχύει μόνο στη θέση

0x 0 ,οπότε η συνάρτηση

g είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και επομένως

Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος



Αν

πx ,0 , τότε g(x) g(0) 0

2 και άρα f(x) 3x εφx 2ημx

Αν

πx 0, , τότε g(x) g(0) 0

2 και άρα f(x) 3x εφx 2ημx

Συνοψίζουμε:

π3x εφx 2ημx ,x ,0

2f(x)

π3x εφx 2ημx ,x 0,

2



α) Προφανώς f(x) f(0) 0 .

΄Αρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0

x 0 , το f(0) 0 .

β) Εφ όσον η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη , θα είναι παραγωγίσιμη και στο 0

x 0

δηλαδή

x 0

f(x) f(0)f '(0) lim

x=

x 0

f(x) f(0)lim

x.

Όμως

x 0

f(x) f(0)lim

x

x 0

3x α εφx 2ημxlim

x

x 0


x

x 0


x

x 0

εφx ημxlim 3 α 2

x x1 α .

΄Όμοια:

x 0

f(x) f(0)lim

x

x 0


x-

x 0


x

x 0


x

x 0


x x- 1 α .

Επόμενα:

1 α =- 1 α 1 α 0 α 1.

Άρα

π πf(x) 3x εφx 2ημx , x ,

2 2.

γ) Θέτω g(x) 3x εφx 2ημx ,

π πx ,

2 2 .

Τότε

f(x) g(x) , 2

1g'(x) 3 2συνx

συν x= 3 2

2

2συν x 3συν x 1

συν x

=

2

2

(2συνx 1)(συνx 1)

συν x < 0

π πx ( ,0) (0, )

2 2.

Επειδή η g'(x) διατηρεί πρόσημο στο π π

( ,0) (0, )2 2

και g συνεχής στο 0

x 0 , η g είναι

γνησίως φθίνουσα στο π π

( , )2 2

.

Επίσης η g ως γνήσια μονότονη είναι και 1-1 στο πεδίο ορισμού της.

Συνεπώς g(x) 0 g(x) g(0) x 0.

Λύνει ο Τάκης Καταραχιάς



Οπότε : για π

x 0 g(x) g(0) 0 f(x) g(x)2

3x εφx 2ημx ,

για π

0 x g(x) g(0) 0 f(x) g(x)2

- 3x εφx 2ημx .

Άρα:

αν π

x 02

τότε f(x) 3x εφx 2ημx ,

αν π

0 x2

τότε f(x) - 3x εφx 2ημx .



Α) Αφού

π πf(0) 0 και f(x) 0, x ,

2 2, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο

0x 0 , το

μηδέν.

Β) Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της για την παράγωγό της στο 0

x 0

θα ισχύει;

x 0 x 0

f(x) f(0) f(x) f(0)lim lim

x x

x 0 x 0

3x α εφx 2 ημx 3x α εφx 2 ημxlim lim

x x

x 0 x 0


x x

x 0 x 0


x x

x 0 x 0


x x

x 0 x 0

ημx ημx ημx ημx3x 1 3x 1lim α 2 lim α 2

x x συνx x x x συνx x

1 α 1 α 2 1 α 0 1 α 0 α 1

Γ) Θεωρώ την συνάρτηση

π πg(x) 3x εφx 2ημx , x ,

2 2 που είναι παραγωγίσιμη

και για την οποία ισχύει g(0)=0. Είναι:

22 3

;

2 2 2

2συνx 1 συνx 11 3συν x 1 2συν xg (x) 3 2συνx .... 0

συν x συν x συν x

Επειδή:

ο ο

22

1. από το πεδίο ορισμού (4 και 1 τεταρτημόριο) συνx 0 2συνx 1 0

2. συν x 0 , συνx-1 0 και η ισότητα ισχύει μόνο αν x 0 (διπλή ρίζα) Επομένως η g

είναι συνεχής, γνησίως φθίνουσα στο

π π,

2 2 και άρα1:1 αφού δε g(0)=0 προκύπτει:

Λύνει ο Σπύρος Χαλικιόπουλος



πx ,0 g(x) g(0) g(x) 0

2

πx 0, g(x) g(0) g(x) 0

2

Οπότε:

π3x εφx 2ημx , x ,0

2f(x) g(x)

π3x εφx 2ημx , x [0, )

2



α) Για την συνάρτηση f, ως απόλυτη τιμή , θα ισχύει: f(x) 0 .

Επίσης: f(0)=0. Άρα f(x) f(0) . Επομένως για x=0 η f παρουσιάζει ελάχιστη τιμή το 0.

β) Η f για x=0 παρουσιάζει ακρότατο. Επειδή

f

π π0 A ,

2 2 και η f είναι παραγωγίσιμη σε

αυτό, από Θ. Fermat θα ισχύει: f (0) 0 .

Δηλαδή:

x 0 x 0

f(x) f(0) f(x) f(0)lim lim 0

x x.

x 0

x 0 x 0 x 0 x 0

3x αεφx 2ημx 3x αεφx 2ημxf(x) f(0) f(x)lim lim lim lim

x x x x

x 0


x x(1).

Εξετάζουμε αν υπάρχει το όριο που βρίσκεται εντος της απόλυτης τιμής.

x 0

εφx ημxlim 3 α 2 1 α

x x διότι:

x 0

ημxlim 1

x και

x 0 x 0

εφx ημx 1lim lim 1 1 1

x x συνx.

Άρα από την σχέση (1) έχουμε:

x 0

f(x) f(0)lim 1 α

x.Επίσης:

x 0

x 0 x 0 x 0 x 0

3x αεφx 2ημx 3x αεφx 2ημxf(x) f(0) f(x)lim lim lim lim

x x x x

x 0 x 0

3x αεφx 2ημx εφx ημxlim lim 3 α 2 1 α

x x x όπως παραπάνω.

Τελικά: 1 α 1 α 0 α 1

γ) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση

π πg : ,

2 2Rμε τύπο:

g(x) 3x εφx 2ημx .Τότε: 2

1g (x) 3 2συνx

συν x.

Η g΄ είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με:

3

3 3 3

1 1 συν x 1g (x) 2ημx 2ημx 2ημx 1 2ημx

συν x συν x συν x.

Ισχύει: 3 30 συνx 1 0 συν x 1 1 συν x 1 0 .

Άρα

3

3

συν x 10

συν x.

Λύνει ο Δημήτρης Σαριβασίλης



Για

πx ,0

2 ισχύει: ημx 0 και τότε: g (x) 0 .

Για

πx 0,

2 ισχύει: ημx 0 και τότε: g (x) 0 .

Άρα η g΄ παρουσιάζει για x 0 μέγιστο το g (0) 3 1 2 0 .

Δηλαδή: g (x) g (0) 0 . Τότε η συνάρτηση g είναι φθίνουσα και θα ισχύει:

για

πx ,0

2 ισχύει: x 0 g(x) g(0) g(x) 0

για

πx 0,

2 ισχύει: x 0 g(x) g(0) g(x) 0 .

Τελικά ο τύπος της f είναι:

π3x εφx 2ημx ,x ,0

2f(x)

π3x εφx 2ημx ,x 0,

2



α) Αν g(x) 3x α εφx 2ημx η f(x) g(x) έχει ελάχιστο στο 0 το f(0) 0 , γιατί είναι

f(x) f(0)στο

π π,

2 2.

β) Είναι

x 0

g(x)lim α 1

x και

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

g(x) g(x) g(x) g(x)f(x)lim f (0) lim lim lim lim α 1 0 α 1

x x xx xR

γ)

3 2 3 2 2

2 2 2

1 2συν x 3συν x 1 2συν x 2συν x συν x 1g x 3 2συνx

συν x συν x συν x

2

2

2 2

12 συνx 1 συνx

συνx 1 2συν x συνx 1 20

συν x συν x

με το = μόνο στο 0.

Δηλαδή η g στο

π π,

2 2 και για

πx 0 g(x) 0

2ενώ για

π0 x g(x) 0

2.

Λύνει ο Κώστας Δεββές



α) Παρατηρούμε ότι: για x 0 έχουμε f 0 0 και προφανώς f x f 0 0για κάθε

π πx ,

2 2 οπότε η f παρουσιάζει O.E. το 0 στη θέση

0x 0 .

β) Έστω g x 3x αεφx 2ημx , με g 0 0 . Επιπλέον g συνεχής στο

π π,

2 2.

Άρα f x g x , με

π πx ,

2 2.

ΠΙΘΑΝΟΙ ΤΎΠΟΙ ΤΗΣ f:

1) f x g x ,

π πx ,

2 2 2) f x g x ,

π πx ,

2 2

3)

πg x ,x ,0

2

f x 0 , x 0

πg x ,x 0,

2

4)

πg x ,x ,0

2

f x 0 , x 0

πg x ,x 0,

2

Επειδή η f έχει Ο.Ε. στο 0 και απο υπόθεση f παραγωγίσιμη στο 0 , ισχύει το Θ.Fermat,

οπότε f ' 0 0 . Οι τύποι 3,4 για την f λόγω παραγωγισιμότητας στο 0

( με τον ορισμό

x 0 x 0

f x f 0 f x f 0f ' 0 lim lim 0

x 0 x 0) μας δίνουν α 1.

Επίσης και οι τύποι 1,2 μας δίνουν την τιμή α 1.

γ) Άρα η f μπορεί να έχει έναν απο τους παρακάτω τύπους:

1) f x 3x εφx 2ημx ,

π πx ,

2 2, 3)

π3x εφx 2ημx,x ,0

2

f x 0 , x 0


2

Λύνει ο Κώστας Τσόλκας



2) f x 3x εφx 2ημx ,

π πx ,

2 2, 4)


2

f x 0 , x 0


2

Για να γράψουμε την f χωρίς την απόλυτη τιμή εργαζόμαστε ως εξής:

Ξαναγυρίζοντας στην αρχή απορρίπτουμε τους τύπους 1, 2 ως εξής:

Για τον 1) έχουμε 2

1f ' x 3 2συνx 0

συν x,

π πx ,

2 2 (το ίσον ισχύει για x 0 μόνο) ,

οπότε δεν παρουσιάζει ακρότατο στο 0 .

Για τον 2) έχουμε 2

1f ' x 3 x συνx 0

συν,

π πx ,

2 2

(το ίσον ισχύει για x 0 μόνο) , οπότε δεν παρουσιάζει ακρότατο στο 0 .

O τύπος 4) απορρίπεται γιατί τότε η συνάρτηση f παρουσιάζει τότε Ο.Μ. (αλλάζει η

μονοτονία εκατέρωθεν του 0, αύξουσα-φθίνουσα , και f παραγωγίσιμη-συνεχής στο 0)

Επίσης για τον τύπο 3 πληρούνται οι προυποθέσεις όλες οπότε τελικά έχουμε:


2

f x 0 , x 0


2


18η ανάρτηση

Education

Transcript of 18η ανάρτηση