Circuits ElectriquesChapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
26/10/2015
UFHB - UFR SSMT – L1 Tronc communDr N’Guessan Alexandre 1
Circuits Electriques-Régime sinusoïdal• Objectifs : Fournir aux étudiants les outils de base nécessaires à la
résolution des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal permanent;
• Pré-requis : Bac scientifique (C,D,E)
• Nombre de crédits : 2 crédits
• Type d’enseignement : CM + TD
• Bibliographie : – Fundamentals of electric circuits (Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku)
1
Régime sinusoïdalRésultats attendus
A la fin de ce cours, l’étudiant devra savoir :
• Passer du sinusoïdal temporel permanent au phasoriel etinversement
• Utiliser les lois de base de l’électrocinétique pour déterminer lesgrandeurs d’un circuit fonctionnant en régime sinusoïdalpermanent
• Effectuer le bilan de puissance d’une installation électrique
• Améliorer le facteur de puissance d’une installation électrique
• Adapter un générateur à une charge
• Analyser un circuit lors d’un fonctionnement à la résonance
• Fournir la fonction de transfert et tracer le diagramme de Boded’un circuit
2
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Régime sinusoïdal
Programme
• Chapitre 1 : Sinusoïdes et phaseurs
• Chapitre 2 : Puissance électrique
• Chapitre 3 : Réponse fréquentielle
3
CHAPITRE 1
SINUSOIDES ET PHASEURS
4
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1 . 1 Sinusoïde
- : l’amplitude de la sinusoïde
- : la pulsation (en radians/seconde)
- : l’argument
- : la période de la sinusoïde (en sec)-->
- f : la fréquence (en Hertz)
tsinVt m v
2T tTt vv
Tf
1
mV
t
5
Soit :
est l’argument (radians ou degrés)
est la phase (radians ou degrés)
Soient
--> et sont en phase
--> et ne sont pas en phase
tsinVt mv
t
2m tsinVt 2v
0 1v 2v
0 1v2v
1 . 1 Sinusoïde
6
1m tsinVt 1v
21
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Comparaison :• Même fréquence. • Pas obligation de même amplitude• Il vaut mieux exprimer les sinusoïdes sous la même forme (sinus ou cosinus)
1.1 Sinusoïde
7
Soit à effectuer et à mettre sous la forme
1 . 1 Sinusoïde
8
21 uuu tU cos2
t100cos210u1
3t100cos25u2
3sint100sin
3cost100cos25t100cos210u
t100sin3
sin25t100cos3
cos25210u
5.03
cos
87.03
sin
t100sin35.4t100cos25.12u
sintsincostcos2Utcos2Uu
sintsin2Ucostcos2Uu
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Il vient par identification :
et
Divisons membre à membre :
D’où U=13.2 V
Finalement :
1 .1 Sinusoïde
9
5.12cosU 35.4sinU
348.05.12
35.4tan
33.0
2222235.45.12UsinUcosU
33.0t100cos2.13u
Pour pouvoir résoudre les circuits alternatifs complexes sans trop de difficultés, on représente tensions et courants par des vecteurs tournants.
Dans le plan Oxy, une tension v = Vmsin (ωt + φ) (ou un courant), est représentée par un vecteur de longueur égale à l'amplitude de la tension, Vm, faisant un angle ωt + φ, avec l'axe Ox. C'est donc un vecteur qui tourne dans le temps avec une fréquence angulaire ω. Cette représentation est appelée représentation de Fresnel.
A chaque instant la grandeur sera égale à la projection du vecteur qui la représente sur l'axe de référence.
1 .2 Représentation de Fresnel
10
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1 .2 Représentation de Fresnel
11
Si l'on représente sur la même construction de Fresnel plusieurs tensions de même fréquence, les vecteurs qui les représentent tournent à la même vitesse. La figure obtenue tourne donc sans se déformer
Par commodité, on choisit de la construire à t=0 . Dans ce cas, pour représenter une tension, il suffira de construire un vecteur de longueur proportionnelle à Vm faisant un angle φ avec l'axe choisi comme origine des phases. Toute tension sera ainsi associée à un
point du plan.
1 .2 Représentation de Fresnel
12
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Addition de deux tensions sinusoïdales
1 .2 Représentation de Fresnel
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1 . 3 Les phaseurs
Soit (représentation temporelle)
ou
D’où
Avec
est la représentation phasorielle de la sinusoïde
Comme dans le cas d’une grandeur complexe, le phaseur peut être exprimé sous forme cartésienne, polaire ou exponentielle.
tcosVt mv
tj
mm eVRetcosVtv
tjj
m eeVRet v
tjeVRet v
m
j
m VeVV
V
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1 .3 Les phaseurs
Un Phaseur est un nombre complexe représentant l’amplitude et la phase d’une sinusoïde
Expression d’un nombre complexe :
• Forme rectangulaire
• Forme polaire
• Forme exponentielle
Relation entre forme rectangulaire et forme polaire :
jyxz
rz jrez
sinjcosrrjyxz
22 yxr x
ytan 1
cosrx sinry
15
1 .3 Les phaseurs
Opérations sur les nombres complexes :
•Addition :
•Soustraction :
•Multiplication :
•Division :
11111 rjyxz 22222 rjyxz
212121 yyjxxzz
212121 yyjxxzz
212121 rrzz
21
2
1
2
1
r
r
z
z
16
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1 . 4 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
Résistance R
•Forme temporelle :
•Forme phasorielle
La relation tension-courant du domaine temporel continue d’exister dans le domaine phasoriel
tcosImi φωtcosRIR m iv
mII IRV
17
1 . 4 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
•Résistance R
Le courant et la tension sont
en phase
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1 . 4 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
Inductance L
•Forme temporelle :
•Forme phasorielle
tcosIi m
mII
tsinLIdt
diL mv
90cossin AA 90tcosLImv
φIeωLeeωLIeωLIV m
j90j90jφ
m
90φj
m
je 90j ILjV
19
1 . 4 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
•Inductance L
Diagramme phasoriel d’une inductance : le courant I est en retard de phase sur V
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1 . 4 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
•Condensateur C
•Forme temporelle :
•Forme phasorielle
je 90j
tcosVmv tsinCVdt
dvCi
90tcosCVisoit
mVV
m
90j90jj
m
90j
m VeCeeCVeCVI
VCjI
Cj
IV
21
1 . 4 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
•Condensateur C
Diagramme phasoriel d’un condensateur : le courant I est en avance de phase sur V
22
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1 . 4 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
Tableau récapitulatif
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1 .5 Impédance et admittance
L’impédance d’un circuit est le rapport entre le phaseur et le phaseur , mesuré en ohms (Ω)
ou (L’admittance Y est l’inverse
de l’impédance)
Z VI
IZV
I
VZ
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1 .5 Impédance et admittance
On a : l’impédance (en Ohms)
Avec
: la résistance (en Ohms)
: la réactance (en Ohms)
X positif Impédance inductive
X négatif Impédance capacitive
X nulle Impédance résistive
Forme phasorielle :
Avec et
jXRZ
ZReR
ZImX
ZZ
22 XRZ R
Xtan 1
25
C
1LX
C1L
C1L
1 .5 Impédance et admittance
On a : l’admittance (Siemens)
Avec
: la conductance (en Siemens)
: la susceptance (en Siemens)
Passage Impédance – Admittance
Remarque : si alors
jBGY
YReG
YImB
V
I
Z
1Y
22 XR
RG
22 XR
XB
0X R
1G
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1 . 6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Impédances en série
Impédances en parallèle
pour n=2
n21eq Z...ZZZ
21
21
21 /1/1
1
ZZ
ZZ
ZZZ eq
n21
n21
eq
eq
Y...YY
Z
1...
Z
1
Z
1
V
IY
Z
1
27
1 . 6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Pont diviseur de tension
Pont diviseur de courant
VZZ
ZV
21
11
VZZ
ZV
21
22
IZZ
ZI
21
21
IZZ
ZI
21
12
28
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Conversion étoile-triangle Conversion triangle-étoile
1
133221a
Z
ZZZZZZZ
2
133221b
Z
ZZZZZZZ
3
133221c
Z
ZZZZZZZ
cba
cb1
ZZZ
ZZZ
cba
ac2
ZZZ
ZZZ
cba
ba3
ZZZ
ZZZ
29
1 .6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Loi des noeuds
La somme algébrique des courants circulant
dans les branches adjacentes à un nœud est nulle.
On peut aussi dire que la somme algébrique des k
courants entrants dans un nœud est égale à la
somme des l courants sortants.
Exemple :
ou
lk
lk II
0IIII 4321
4231 IIII
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1 .6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Loi des mailles
La somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant la maille
dans le sens prédéfini est nulle.
Exemple :
contraire sens le dansest si
parcours de sens le dansest si 0
k
k
kV
VV
0EUUE 2211
31
1 .6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de superposition
L’intensité du courant circulant dans une branche (resp. la tension de branche) d’un réseau contenant plusieurs branches est égale à la somme algébrique des intensités (resp. tensions) créées dans cette branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints).
Remarque : Il y a autant de cas à superposer que de générateurs intervenant dans le réseau.
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1 .6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de superposition
Exemple :
Montage global Montage 1 Montage 2
2121
21a
ZZZZZZ
ZZEI
2121
1221
ba1
ZZZZZZ
EZEZ
III
2121
21b
ZZZZZZ
EZI
33
1 .6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Thevenin
Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à un générateur indépendant de tension parfait en série avec le dipôle composé
représente la tension lorsque la portion de réseau débite dans un circuit ouvert (tension à vide).
est l’impédance entre les points A et B lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes.
0E
0Z
0E
0Z
34
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1 .6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Thevenin
Exemple :
Lorsqu’on éteint les sources :
Sans charge, on a une tension :
21
210
ZZ
ZZZ
21
12210
ZZ
EZEZE
35
1 .6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Norton
Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à une source indépendante de courant réelle en parallèle avec un dipôle composé d’admittance .
est le courant électromoteur, c’est à dire lorsque la portion de réseau débite dans un court-circuit.
est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (comme pour Thévenin).
0I
0Y
0I
0Y
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1 .6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Norton
Exemple :
Lorsqu’on éteint les sources :
Sans charge, on a un générateur de courant :
21
210
ZZ
ZZZ
21
210
ZZ
EEI
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1 .6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Equivalent Norton-Thevenin
On peut passer de Thevenin à Norton et inversement
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1 .6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Millman
Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la branche, le tout divisé par la somme des admittances
n
1i
i
n
1i
ii
Y
EY
V
39
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