18 Ondes Son et Lumière - lphe.epfl.ch · 7 Ondes dans le temps Considérons des ondes d'eau que...
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Types d'ondesx
€
δy = δy(x,t)
y
€
δx = δx(x,t)
x
Exemples: son dans l'air: onde longitudinale. lumière: transverse.
Exemple: le son
On peut enclencher une onde de pression dans un gaz par lavibration de la membrane d'un haut-parleur. Celui-ci secomporte comme un piston. Les molécules d'une couchetransmettent le mouvement à la couche suivante etc.
Pressionexterne = P0
P0+ΔP P0−ΔP
P(t) = P0 + ΔP sinωt
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Exemple: ondes e.m. transverses
B
Ex
yOnde électromagnétique polarisée horizontalement
Ex = E sin ωt
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Ondes dans le tempsConsidérons des ondes d'eau que l'on génère en jetant une pierre(on néglige l'atténuation au cours du temps).
On peut fixer un point, à distance r dupoint d'impact et observer l'hauteur del'onde au cours du temps:
h(t) = H sin(ωt + φ)
H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(φ) est l'hauteur à t = 0.
tH
h
ω = 2π/T
T
Ex: amplitude champ Electrique d'une onde e.m. en un point E(t) = E0 sin(ωt)
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Ondes dans l'espace
On peut aussi prendre une photo au temps tet observer l'hauteur de l'onde en fonctionde la distance r du centre:
h(r) = H sin(κr + γ)
H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(γ) est l'hauteur en r = 0.
rH
h
κ = 2π/λλ
Ex: amplitude champ Electrique d'une onde e.m. à un instant E(r) = E0 sin(κr)
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Vitesse des ondes
δ(x,t) = A sin(κx + ωt + φ)
Une onde sinusoïdale est en général donnée par:
On peut extraire la vitesse de cette onde. On fixe un pointde l'onde au temps t, on attend une période t → t + T, et on repère la distance parcourue.
Par définition, elle sera unelongueur d'onde λ plus loin.
La vitesse de propagation est doncv = λ/T
t
t+T λ
Si ν est la fréquence = 1/T
v = λν
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Vitesse des ondes .2On parle d'onde progressive quand la vitesse n'est pas nulleet il y a donc transport d'énergie. Exemples:La vitesse de la lumière dans le vide est c = 2.998 108 m/s.Le son dans l'air voyage à 344 m/s, dans le fer à 5120 m/s.
On peut relier la vitesse de propagation d'une onde à descaractéristiques physiques. P. ex., la vitesse dans une cordeest donnée par
€
v =Tension
masse /longueur
Ex. 21.3: transmission d'une impulsion le long d'unecorde de piano Tension=1098 N, masse parunité de longueur = 0.065 kg/m ⇒ v = 130 m/s
Par contre: la vibration d'une corde de piano à la résonanceconstitue une onde stationnaire, v = 0.
v
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vgaz =
sPcP⇢cV
Vitesse des ondes .3
Vitesse dans un gaz parfait:
les cP, cV sont les chaleurs spécifiques massiques isobare et isochore(cP / cV =5/3 pour un gaz parfait monoatomique, 7/5 pour les diatomiques), P la pression et ρ la masse volumique.
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Interférences
Des ondes peuvent s'additionner et former des figures complexes.
a(t) = A1 sin(ω1t + φ1) + A2 sin(ω2t + φ2)P. ex.:
Les ondes d'eau peuvent se croiser sans se détruire.
* Ce principe de superposition est valable si le phénomène est"linéaire".Si par contre on a, p. ex., un phénomène de saturation, l'amplitudetotale peut être plus petite quel'addition linéaire.
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Interférences .2
interférence destructive interférence constructive
les ondes sont en contre-phase les ondes sont en phase
Additionnons deux ondes de même amplitude et fréquence.On a deux cas particuliers:
somme = onde avec ledouble d'amplitude
€
Asin(ωt) −Asin(ωt) = 0
€
Asin(ωt) + Asin(ωt) = 2Asin(ωt)
Ex.: considérer un cas intermédiaire.
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Interférences .3L'addition de deux ondes de fréquence différente, génère desbattements.Ex.: 2 sinusoïdes, même amplitude. Fréquences écartées de δ/2π
€
A(t) = sin ωt( )+ sin (ω + δ)t( )=
= 2cosδ2
t$
% &
'
( ) × sin
t(2ω + δ)2
≈ 2cos δ2
t$
% &
'
( ) × sin ωt( ) si δ <<ω
Donc, approximativement, on a une onde de même fréquenceque l'onde initiale, mais modulée par le cosinus avec unefréquence qui est égale à la moitié de la différence entreles fréquences des deux ondes.
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Ondes stationnaires et résonance .1Dans plusieurs systèmes, on peut entretenir des ondes stationnaires,si les conditions "au bord" sont respectées. Par exemple, une cordetendue entre deux points, peut être sollicitée à vibrer selon des"modes" de longueur d'onde qui dépendent de la longueur de lacorde.
€
λ = 2L /n n=0
1
2
3
La fréquence dépend de la tension de la corde:
€
ν =vλ
=n2L
Tensionmasse /L
n = 0,1,2,3,...
On peut s'imaginer qu'il s'agit de 2 ondes progressives, de vitesse v, qui rebondissent aux bords et interfèrent continuellement.
(pas d'oscillation)
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Ondes stationnaires et résonance .2
Il est possible d'exciter une corde de façon efficace seulement quandon tombe sur les fréquences propres du système, les harmoniques.Sinon l'énergie est rapidement dispersée.
€
λ = 2L /n
antinodes= ventres
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Ondes stationnaires et résonance .3tuyau ouvert: les ventres (antinodes) sont sur les extrémités La fondamentale
λ = 2L ν = v/2L
Harmoniqueλ = L ν = v/L
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Ondes stationnaires et résonance .4tuyau fermé: un ventre est sur l'ouverture, un noeud sur le côté fermé.
Fondamentaleλ = 4L ν = v/4L
Harmoniqueλ = 4/3 L ν = 3v/4L
⌫ =(2n� 1)v
4L
Avec :
n=1: fréquence fondamentale,
n=2 première harmonique, …
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a) Source sonore stationnaire et b) en mouvement par rapport aumilieu (p. ex. l'air). La longueur d'onde est modifiée, à cause du mouvement. La personne qui écoute le son, va enregistrer un sonplus aigu ou plus bas suivant qu'elle voit la source s'approcher(position B) ou s'éloigner (A).Si ν est la fréquence d'émission, dans a) on a λ = v/ν. v est lavitesse de propagation de l'onde, une constante.Au point B on aura λ' = (v-V)/ ν, où V<v est la vitesse de la source.La fréquence du son à l'oreille de B sera
L'effet Doppler avec observateur immobile
ν' = v/ λ' = v ν /(v−V)
ν' = v/ λ' = v ν /(v+V)et pour A:
et source enmouvementvv
a) b)
A B
v
v
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v
La personne qui écoute le son, va enregistrer un son plus aigu ouplus bas suivant qu' elle se rapproche de la source (dans la figure,se serait pour V<0) ou elle s'en éloigne (V>0).Si ν est la fréquence d'émission, au repos (V=0) on a λ = v/ν.La vitesse du son d'après l'observateur vaut v' = v − V.Donc la fréquence est modifiée par
Effet Doppler avec source immobile
ν' = v'/ λ = (v−V)ν/v
et observateur enmouvement
V
Donc ν' > ν quand V > 0 ν' < ν quand V < 0
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Ondes de chocQuand la vitesse de la source est égale à celle de l'onde, V = v, une onde de choc se forme sur le front avant.
Si V>v, l'onde de choc suit la source. C'est l'origine du bang sonique.
région de hautepression
L'équivalent du bang sonique dans le cas électromagnétique estl'effet Cherenkov.
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Intensité du son
La puissance sonore par unité de surface du son, ou intensité I,est proportionnelle à l'amplitude de l'onde de pression au carré
Ex.:haut-parleur 1 W, S=0.05 m2, I à la surface =1/0.05 = 20W/m2
à R=1 m, l'onde est répartie sur une demi-sphère S=2πR2
R
€
I = (1 W) /(2π ×12 m2) ≈1/6 Wm−2
N/m2
𝜌 = masse volumiquedu milieu (air:1.2 kg/m3)
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Le décibel
Le décibel
€
β =10log II0
est une grandeur qui exprime la sensibilité "logarithmique"de l'oreille.
Par convention, on utilise pour I0 = 10−12 W/m2.
ce qui correspond à environ 0 dB pour le seuil d'audition à 1000 Hz.Le seuil de la douleur est à 120 dB
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La vitesse de la lumière
La vitesse de la lumière dans le vide est c=299 792 458 m/sexactement, car le mètre est défini comme la longueur parcouruepar la lumière en 1/ 299 792 458 de seconde.Q.: quelles sont les expériences qui ont permis de mesurer c ?
Dans un milieu matériel, la vitesse v de la lumière est v = c /navec n > 1, l'indice de réfraction .
n dépend faiblement de la longueur d'onde.C'est la dispersion. Cela permet de séparer lescomposantes d'un rayon de lumière par unprisme.
nAir 1.00029Eau 1.333Verre 1.5 - 1.6Diamant 2.417
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Propagation dans un milieu
L'oscillation est caractérisée par une fréquence ν déterminée.Dans un milieu d'indice n, on observe donc un changement delongueur d'onde
€
λ =vν
=cn1ν
Lors du passage entre deux milieux d'indice n1, n2, le rapportdes longueurs d'onde est:
€
λ1λ2
=n2n1
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Réflexion .1
Diffusion
Réflexion spéculaire (miroir).
φ φ
L'angle d'incidence et de réflexionsont identiques.
Quand la lumière traverse l'interface entre deux milieuxtransparents, une partie de la lumière est absorbée, une partieréfléchie, et le reste est transmis…
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Réflexion .2
Pour des rayons à incidence normale (ou presque) surl'interface entre deux milieux d'indice n1, n2, l'intensité réfléchieIr est donnée par
€
Ir = I0n2 − n1n2 + n1
#
$ %
&
' (
2
I0
IrIt
Ex. 23.2Portion de la lumière réfléchie sur une lentille de verre n=1.5
€
IrI0
=1.5 −11.5 +1#
$ %
&
' ( 2
= 0.04
n1 n2
On perd environ 4% d'intensité à chaque interface air-verre.
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Réfraction .1
Loi de Snell φ1 φ1
φ2
n1
n2
rayonréfracté
rayonincident
rayonréfléchi
n1 sinφ1 = n2 sinφ2
air n=1
H2On=4/3
30°
22°Ex.: air-eau
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Réflexion totaleLa loi de Snell, n1 sinφ1 = n2 sinφ2 , prédit que l'anglede réfraction "rasant" φ2=90° est atteint quand l'angleincident vaut l'angle critique φc:
€
n1 sinφc = n2 sin90° = n2sinφc = n2/n1
n1
n2
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Interférence .1Les fentes de Young
On illumine une plaque avec deux fentes avec de la lumière monochromatique. Si la lumière avait un comportement "géométrique", on s'attendrait à observer deux spots lumineux sur l'écran.
Ce n'est pas le cas: on observeune structure complexe de figuresd'interférence.point de vue
géométrique !
frontsd'onde
écran
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Interférence .2Les fentes de Young
On observe une structure complexe de figures d'interférence que l'on peut interpréter par le principe de Huyghens: les deux trous sont sources d’ondelettes qui partent en phase.
point de vueondulatoire
frontsd'onde
intensité
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Interférence .4 Les fentes de Young
Pour arriver au point x de l'écran,les deux rayons parcourent unedistance qui diffère de d/2
D
d
x
0δ
rθ
€
δ ≈ dsinθPour avoir interférence constructive (les maxima), la différence de chemin doit différer d'un multiple entier de la longueur d'onde:
€
δ =mλ m = 0,±1,±2,...
x =rδd
=rdmλ ≈ D
dmλ
La position des maxima permet donc de déterminer lalongueur d'onde de l'onde incidente.On utilise des grilles fines ou réseaux de diffraction pourséparer la lumière dans ses composantes, comme avec un prisme.
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C'est le phénomène d'interférenceproduit par une source étendue.Dans la figure, une fente de largeur d est illuminée et l’image est projetée sur un écran à distance D>>d.En appliquant le principe de Huygens, on peut déterminer la position des maxima:
d
d sin θ = mλLes maxima se trouvent approximativement pour m=0, ±3/2, ±5/2,..les minima avec m = ±1, ±2, ±3,...
θ
D
Diffraction .1
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Diffraction .2
Ouverture circulaire de diamètre d:le premier minimum se trouve lorsque sin θ = 1.22 λ / d
premier minimum
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Diffraction .3
Diffraction de rayons X (gauche) et d'électrons (droite) traversant une feuille mince d'Al. Les électrons se comportent donc comme des ondes! C'est une démonstration de la dualité onde-particule.
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Polarisation de la lumière .1
B
Ex
yOnde électromagnétique polarisée horizontalement
Ex = E sin ωt
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Polarisation de la lumière .2
Si le champ électrique oscille toujours dans le même plan, on ditque l'onde est polarisée linéairement.
L'émission de lumière d'un atome est polarisée. L'émission d'unensemble d'atomes est normalement une superposition aléatoired'émissions individuelles avec plans de polarisation différents,ce qui donne une lumière globalement non polarisée.
On peut produire de la lumière polarisée par réflexion, absorptionou diffusion.
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Polarisation de la lumière .3On peut produire de la lumière polarisée par absorption sélective,par des filtres Polaroïd, p. ex. Ces filtres contiennent des chaînesmoléculaires allongées qui absorbent le champ électrique quand il est parallèle à la direction des chaînes.
faisceaunon polarisé faisceau
polarisé
chaînesmoléculaires
Eau
Air
φp
Par réflexion si l’angle d’incidence est l’angle de Brewster φp = atan n2/n1. Pour l’eau atan(4/3 / 1) = 53°
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Polarisation de la lumière .4
Système "polariseur - analyseur"φ
I0
L'intensité après l'analyseur vaut
I1
I1 = I0 cos2 φ
orientationdu polariseur
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Laser
La phase des émission des atomes est en général aléatoire.On peut forcer un milieu à émettre de façon cohérente parla méthode du LASER:light amplification by stimulated emission of radiation.
miroir100%
miroir99.9 %
rubis
faisceau laser
lampes flash
ex: laser à rubis
monochromatiquecohérent
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Diffraction rayons XIl est possible de rendre monochromatique un faisceau de rayons Xpar l'utilisation d'un réseau cristallin. Dans ce réseau, les atomessont disposés de façon régulière, dans des plans à distance d,et on observe une réflexion quand l'angle satisfait 2d sin α = mλ m = 1,2,3,...
α
Ex 23.14 d = 0.2 nm α = 10°
λ = 2d sin α / m pour m = 1 λ = 0.07 nmcette longueur d'onde est dans le domaine X
d
(condition de Bragg)
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Diagrammes de Laue et structure cristalline
rayons X spectre continu
film
points qui satisfontla condition de Bragg
écran pour bloquer le faisceau direct
cristal
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Les rayons X
Ont été découverts en 1895 par W. K. Roentgen pendant qu'ilétudiait les décharges électriques dans les gaz. Trois moisplus tard, les rayons X sont utilisés à l'hôpital de Vienne lorsde la préparation d'une opération.
filamentchauffant
cathode anode ciblefaisceaud'électrons
rayons X
− kV +
spectre anodeen Rhodium
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La RadioOn génère des ondes radio en faisant osciller un circuit électroniquequi est couplé à une antenne: Le dipôle de l'antenne oscille à une fréquence f,la polarité des bouts change continuellement eton mesure un champ E = E0 sin(ω t) ω=2πf.f est la fréquence de la "porteuse" (Ex: 100 MHz)La question est: comment transporter l'information ?La première version de la solution de ce problème a étéle code "Morse" des télégraphistes. Cela consiste à allumeret éteindre le circuit de façon à générer les lignes et les points:
E
t
... =S --- =O
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Lentilles
biconvexe plan convexe ménisque convergent
symbole
φ1
φ2
n2n1 n2
n1sin φ1 = n2sin φ2 axe optique
biconcave plan concave ménisquedivergent
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Lentilles .4
R1
R2
formule des opticiens:lentilles sphériques de rayonde courbure R1 et R2, d'indicede réfraction n1, dans milieu n2:
€
1f
=n1n2−1
#
$ %
&
' ( 1R1
+1R2
#
$ %
&
' (
N.B.: Les Ri peuvent être >0, <0, ou même infini pourune surface plane.f<0 (f> 0) indique une lentille divergente (convergente).
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Formation de l'image
Pour reconstruire l'image, on peut utiliser deux deces trois rayons particuliers.
F F
s s'
f
L'image de la figure est réelle. On peut la projeter sur un écran.
La formule des lentilles minces:
€
1s
+1s'
=1f
objet
image
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Formation de l'image .2
Pour reconstruire l'image, on peut utiliser deux deces trois rayons particuliers.
F F
s s'
f
L'image de la figure est virtuelle.
image
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L'oeil
rétine
cristallin+cornée
θ
Punctum optimum pour l'observation de petits objets:d = xm ~ 25 cm.
On est capable de séparer des points distants d'environ h=0.1 mm ce qui correspond à θ ~ 0.1mm/25 cm = 0.1/250 = 4 10−4 rad.
Une loupe, placée tout près de l'oeil est capable de diminuercet angle d'un facteur 2 ou 3...
d θ
h
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La loupeimage virtuelleà ~ l'infini
~f θ'
L'angle d'observation θ' vaut environ h/f
h
Le grossissement est le rapport
€
G =θ'θ
=h /f
h /0.25m=0.25mf
loupe
cristallin+cornée
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Puissance
La Puissance P = 1/f s'exprime en dioptries:
1 dioptrie = 1 m−1
Pour des lentilles accolées, la distance focale résultante vaut
€
1f
=1f1
+1f2
En termes de Puissance: P = P1 + P2
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Microscope
f1
objectif oculaire oeil
image virtuelleL'objet est légèrement plus loin que le foyerde l'objectif s~f1. Le grossissementvaut g1 = s'/s ~ s'/f1 de l'ordre de 10-100.
L'image intermédiaire est légèrement au-delà du plan focal del'oculaire qui fonctionne comme une loupe pour produire une imagevirtuelle, g2 ~0.25/f2. On a donc g = g1g2 ~ 0.25s'/(f1f2)
s s'
f2
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Aberrations .2
sphérique:
Types: sphérique, coma, astigmatisme, courbure du champ, distorsion
coma: les rayons proches de l'axeforment une image plus petite queceux de la périphérie
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Aberrations .3
astigmatisme: un point sur l'axe xenvoie ses rayons dans le planhorizontal vers une image pluséloignée que celle des rayons dansle plan vertical.
x
y
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RésolutionLes phénomènes de diffraction limitent la capacité de l'appareillagede séparer deux points source.
La figure représente l'image produite parun objectif avec 3 résolutions différentes.Pour une ouverture circulaire de diamètre d, on avait trouvé que la position du premier minimum se trouve à un angle
€
sinθ =1.22 λd
S' il s'agit d'une lentille de distance focale f, l'image d'un point surle plan focal aura une taille r:
~f
rθ
€
θ ≈rf≈1.22 λ
d⇒ r ≈1.22 λf
d
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Résolution .2La résolution d'un système indique la capacité de "séparer" deux points.On peut considérer que deux points sont "séparés" quand leur distanceest plus grande que la distance de leur premier minimum:
θ > θmin
Dans le cas de microscopes, p. ex, cette formuledonne la distance d résolue avec unelentille d'indice de réfraction n:
Donc le max de l'un va finir dans le min de l'autre:
θmin
€
d =λ
2nsinφ=λ2N
φ est l'angle sous lequel l'objectif voit l'objetsinφ ~ D/2f . D est le diamètre de l'objectif.N = n sinφ est l'ouverture numérique
φD
~f