1 . Equations de base de l’électromagnétisme -...

Circuits ElectriquesChapitre 1 – Sinusoides et phaseurs

26/10/2015

UFHB - UFR SSMT – L1 Tronc communDr N’Guessan Alexandre 1

Circuits Electriques-Régime sinusoïdal• Objectifs : Fournir aux étudiants les outils de base nécessaires à la

résolution des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal permanent;

• Pré-requis : Bac scientifique (C,D,E)

• Nombre de crédits : 2 crédits

• Type d’enseignement : CM + TD

• Bibliographie : – Fundamentals of electric circuits (Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku)

1

Régime sinusoïdalRésultats attendus

A la fin de ce cours, l’étudiant devra savoir :

• Passer du sinusoïdal temporel permanent au phasoriel etinversement

• Utiliser les lois de base de l’électrocinétique pour déterminer lesgrandeurs d’un circuit fonctionnant en régime sinusoïdalpermanent

• Effectuer le bilan de puissance d’une installation électrique

• Améliorer le facteur de puissance d’une installation électrique

• Adapter un générateur à une charge

• Analyser un circuit lors d’un fonctionnement à la résonance

• Fournir la fonction de transfert et tracer le diagramme de Boded’un circuit

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Régime sinusoïdal

Programme

• Chapitre 1 : Sinusoïdes et phaseurs

• Chapitre 2 : Puissance électrique

• Chapitre 3 : Réponse fréquentielle

3

CHAPITRE 1

SINUSOIDES ET PHASEURS

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1 . 1 Sinusoïde

- : l’amplitude de la sinusoïde

- : la pulsation (en radians/seconde)

- : l’argument

- : la période de la sinusoïde (en sec)-->

- f : la fréquence (en Hertz)

tsinVt m v

2T tTt vv

Tf

1

mV

t

5

Soit :

est l’argument (radians ou degrés)

est la phase (radians ou degrés)

Soient

--> et sont en phase

--> et ne sont pas en phase

tsinVt mv

t

2m tsinVt 2v

0 1v 2v

0 1v2v

1 . 1 Sinusoïde

6

1m tsinVt 1v

21


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Comparaison :• Même fréquence. • Pas obligation de même amplitude• Il vaut mieux exprimer les sinusoïdes sous la même forme (sinus ou cosinus)

1.1 Sinusoïde

7

Soit à effectuer et à mettre sous la forme

1 . 1 Sinusoïde

8

21 uuu tU cos2

t100cos210u1

3t100cos25u2

3sint100sin

3cost100cos25t100cos210u

t100sin3

sin25t100cos3

cos25210u

5.03

cos

87.03

sin

t100sin35.4t100cos25.12u

sintsincostcos2Utcos2Uu

sintsin2Ucostcos2Uu


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Il vient par identification :

et

Divisons membre à membre :

D’où U=13.2 V

Finalement :

1 .1 Sinusoïde

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5.12cosU 35.4sinU

348.05.12

35.4tan

33.0

2222235.45.12UsinUcosU

33.0t100cos2.13u

Pour pouvoir résoudre les circuits alternatifs complexes sans trop de difficultés, on représente tensions et courants par des vecteurs tournants.

Dans le plan Oxy, une tension v = Vmsin (ωt + φ) (ou un courant), est représentée par un vecteur de longueur égale à l'amplitude de la tension, Vm, faisant un angle ωt + φ, avec l'axe Ox. C'est donc un vecteur qui tourne dans le temps avec une fréquence angulaire ω. Cette représentation est appelée représentation de Fresnel.

A chaque instant la grandeur sera égale à la projection du vecteur qui la représente sur l'axe de référence.

1 .2 Représentation de Fresnel

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Si l'on représente sur la même construction de Fresnel plusieurs tensions de même fréquence, les vecteurs qui les représentent tournent à la même vitesse. La figure obtenue tourne donc sans se déformer

Par commodité, on choisit de la construire à t=0 . Dans ce cas, pour représenter une tension, il suffira de construire un vecteur de longueur proportionnelle à Vm faisant un angle φ avec l'axe choisi comme origine des phases. Toute tension sera ainsi associée à un

point du plan.


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Addition de deux tensions sinusoïdales


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1 . 3 Les phaseurs

Soit (représentation temporelle)

ou

D’où

Avec

est la représentation phasorielle de la sinusoïde

Comme dans le cas d’une grandeur complexe, le phaseur peut être exprimé sous forme cartésienne, polaire ou exponentielle.

tcosVt mv

tj

mm eVRetcosVtv

tjj

m eeVRet v

tjeVRet v

m

j

m VeVV

V

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1 .3 Les phaseurs

Un Phaseur est un nombre complexe représentant l’amplitude et la phase d’une sinusoïde

Expression d’un nombre complexe :

• Forme rectangulaire

• Forme polaire

• Forme exponentielle

Relation entre forme rectangulaire et forme polaire :

jyxz

rz jrez

sinjcosrrjyxz

22 yxr x

ytan 1

cosrx sinry

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1 .3 Les phaseurs

Opérations sur les nombres complexes :

•Addition :

•Soustraction :

•Multiplication :

•Division :

11111 rjyxz 22222 rjyxz

212121 yyjxxzz

212121 yyjxxzz

212121 rrzz

21

2

1

2

1

r

r

z

z

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1 . 4 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique

Résistance R

•Forme temporelle :

•Forme phasorielle

La relation tension-courant du domaine temporel continue d’exister dans le domaine phasoriel

tcosImi φωtcosRIR m iv

mII IRV

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•Résistance R

Le courant et la tension sont

en phase

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Inductance L



tcosIi m

mII

tsinLIdt

diL mv

90cossin AA 90tcosLImv

φIeωLeeωLIeωLIV m

j90j90jφ

m

90φj

m

je 90j ILjV

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•Inductance L

Diagramme phasoriel d’une inductance : le courant I est en retard de phase sur V

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•Condensateur C



je 90j

tcosVmv tsinCVdt

dvCi

90tcosCVisoit

mVV

m

90j90jj

m

90j

m VeCeeCVeCVI

VCjI

Cj

IV

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•Condensateur C

Diagramme phasoriel d’un condensateur : le courant I est en avance de phase sur V

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Tableau récapitulatif

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1 .5 Impédance et admittance

L’impédance d’un circuit est le rapport entre le phaseur et le phaseur , mesuré en ohms (Ω)

ou (L’admittance Y est l’inverse

de l’impédance)

Z VI

IZV

I

VZ

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On a : l’impédance (en Ohms)

Avec

: la résistance (en Ohms)

: la réactance (en Ohms)

X positif Impédance inductive

X négatif Impédance capacitive

X nulle Impédance résistive

Forme phasorielle :

Avec et

jXRZ

ZReR

ZImX

ZZ

22 XRZ R

Xtan 1

25

C

1LX

C1L

C1L


On a : l’admittance (Siemens)

Avec

: la conductance (en Siemens)

: la susceptance (en Siemens)

Passage Impédance – Admittance

Remarque : si alors

jBGY

YReG

YImB

V

I

Z

1Y

22 XR

RG

22 XR

XB

0X R

1G

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1 . 6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits

Impédances en série

Impédances en parallèle

pour n=2

n21eq Z...ZZZ

21

21

21 /1/1

1

ZZ

ZZ

ZZZ eq

n21

n21

eq

eq

Y...YY

Z

1...

Z

1

Z

1

V

IY

Z

1

27

1 . 6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits

Pont diviseur de tension

Pont diviseur de courant

VZZ

ZV

21

11

VZZ

ZV

21

22

IZZ

ZI

21

21

IZZ

ZI

21

12

28


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Conversion étoile-triangle Conversion triangle-étoile

1

133221a

Z

ZZZZZZZ

2

133221b

Z

ZZZZZZZ

3

133221c

Z

ZZZZZZZ

cba

cb1

ZZZ

ZZZ

cba

ac2

ZZZ

ZZZ

cba

ba3

ZZZ

ZZZ

29

1 .6 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits

Loi des noeuds

La somme algébrique des courants circulant

dans les branches adjacentes à un nœud est nulle.

On peut aussi dire que la somme algébrique des k

courants entrants dans un nœud est égale à la

somme des l courants sortants.

Exemple :

ou

lk

lk II

0IIII 4321

4231 IIII

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Loi des mailles

La somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant la maille

dans le sens prédéfini est nulle.

Exemple :

contraire sens le dansest si

parcours de sens le dansest si 0

k

k

kV

VV

0EUUE 2211

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Théorème de superposition

L’intensité du courant circulant dans une branche (resp. la tension de branche) d’un réseau contenant plusieurs branches est égale à la somme algébrique des intensités (resp. tensions) créées dans cette branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints).

Remarque : Il y a autant de cas à superposer que de générateurs intervenant dans le réseau.

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Théorème de superposition

Exemple :

Montage global Montage 1 Montage 2

2121

21a

ZZZZZZ

ZZEI

2121

1221

ba1

ZZZZZZ

EZEZ

III

2121

21b

ZZZZZZ

EZI

33


Théorème de Thevenin

Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à un générateur indépendant de tension parfait en série avec le dipôle composé

représente la tension lorsque la portion de réseau débite dans un circuit ouvert (tension à vide).

est l’impédance entre les points A et B lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes.

0E

0Z

0E

0Z

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Théorème de Thevenin

Exemple :

Lorsqu’on éteint les sources :

Sans charge, on a une tension :

21

210

ZZ

ZZZ

21

12210

ZZ

EZEZE

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Théorème de Norton

Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à une source indépendante de courant réelle en parallèle avec un dipôle composé d’admittance .

est le courant électromoteur, c’est à dire lorsque la portion de réseau débite dans un court-circuit.

est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (comme pour Thévenin).

0I

0Y

0I

0Y

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Théorème de Norton

Exemple :

Lorsqu’on éteint les sources :

Sans charge, on a un générateur de courant :

21

210

ZZ

ZZZ

21

210

ZZ

EEI

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Equivalent Norton-Thevenin

On peut passer de Thevenin à Norton et inversement

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Théorème de Millman

Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la branche, le tout divisé par la somme des admittances

n

1i

i

n

1i

ii

Y

EY

V

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