γλώσσες
Σελίδες
Νομικός
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ &
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
έκδοση DΥΝI-TFLT_2016b
Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα.
Copyright © Ε.Μ.Π. - 2016 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών – Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών – κτ. Μ – αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Πληροφορίες ________________________________________________ Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, [email protected], 210-7721524 Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, [email protected], 210-7722332
Περιεχόμενα
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς
2. Μετασχηματισμός Laplace
3. Διαγράμματα Bode
Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς
1
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά
... περιοδική διέγερση
πολυβάθμιο δυναμικό σύστημα
m-c-k
... μόνιμη απόκριση
συχνότητα διεγέρτη
πλάτος συνιμητονικών
όρων
πλάτος ημητονικών
όρων
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά
... η διεγείρουσα δύναμη του j B.E.
⇒
... όπου ... το μέτρο της δύναμης
... η διαφορά φάσης της δύναμης
πολυβάθμιο δυναμικό σύστημα
m-c-k
διέγερση fj
aπόκριση του i Β.Ε. ⇒
... όπου ... και
... το μέτρο της απόκρισης ... η διαφορά φάσης της απόκρισης
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά
... οπότε ... ορίζεται η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ του διεγειρόμενου j Β.Ε. ως προς τον i Β.Ε. απόκρισης του δυναμικού συστήματος
‘μέτρηση’ της διεγείρουσας δύναμης του j B.E.
‘μέτρηση’ aπόκρισης του i Β.Ε.
Fj
Xi
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά
ω1 ω2 ω3 Ω
Η
δυναμικό σύστημα Ν Β.Ε. → m ιδιοσυχνότητες → συντονισμός για L > 1 συχνότητες του διεγέρτη
δυναμικό σύστημα Ν Β.Ε. → ΝxΝ (=Ν2) ζεύγη (i, j) → N2 συναρτήσεις μεταφοράς Hij
ισχύει Hij = Hji
το σύνολο (=[N* (N+1)]/2) των συναρτήσεων μεταφοράς Hij διαφορετικό του N2
τα πλάτη Hij διαφέρουν ανάλογα με το σημείο διέγερσης και το σημείο μέτρησης της απόκρισης
Υπάρχει συχνότητα Ω διεγέρτη που η συνάρτηση μεταφοράς Hij μηδενίζεται → αντισυντονισμός (ακίνητο σημείο του συστήματος ενώ του ασκείται δύναμη)
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Video 1 – στρεπτική ταλάντωση
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Video 2 – ημιτονοειδής ταλάντωση
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά
1η χρονική παράγωγος:
2η χρονική παράγωγος:
εξίσωση ισορροπίας ...
⇒ ...
επομένως, η απόκριση xi του i Β.Ε. του δυναμικού συστήματος λόγω της διέγερσης j Β.Ε. από την περιοδική δύναμη fj
και γενικά (συνολικά) ...
... σε μητρωϊκή μορφή
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά
... ⇒
... ⇒
ομαδοποίηση συν- & ημι- τονικών όρων
⇒
ΠΡΕΠΕΙ να ισχύει για κάθε t ⇒
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
1. Εισαγωγή στη συνάρτηση μεταφοράς: Βασικά
οι διαστάσεις των πινάκων για ένα δυναμικό σύστημα με Ν Β.Ε. ...
Μετασχηματισμός Laplace
2
2. Μετασχηματισμός Laplace: Ορισμός
μαθηματική διατύπωση ...
( ) ( ): cos sin cos sinjj t Euler e jst t j t st te e e e e e t j tθσ ω θ θσ ω σ ω ω− + = +− − − −= = → = −
⇒ ...
⇒ ...
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
Re Im
cos sin cos sint t tX s x t e t j t dt x t e tdt j x t e tdtσ σ σω ω ω ω∞ ∞ ∞− − −= − = −∫ ∫ ∫
... μιγαδικό ολοκλήρωμα
όρος μειούμενος εκθετικά
όρος ‘ταλάντωσης’
δυναμική συμπεριφορά δυναμικού συστήματος ανάλογη των σ & ω
s jσ ω= +
2. Μετασχηματισμός Laplace: Ορισμός
μιγαδικό επίπεδο ≡ επίπεδο συχνότητας ↓
ο μετασχηματισμός Laplace επιτυγχάνει τη μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας
↓ πρακτικά ... μία ποσότητα, η οποία περιγράφεται ως συνάρτηση στο πεδίο του
χρόνου, εκφράζεται, μέσω του Μετασχηματισμού Laplace, ως πολυώνυμο μιγαδικής μεταβλητής
2. Μετασχηματισμός Laplace: Ορισμός
2. Μετασχηματισμός Laplace: Ορισμός
παραγώγων ...
ολοκληρωμάτων ...
1η χρονική παράγωγος ...
γραμμικότητα ...
με tn ...
μετασχηματισμός συνάρτησης Heaviside ...
2. Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση
εξίσωση ισορροπίας δυναμικού συστήματος 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση ...
( )cosomx cx kx F t+ + = Ω ⇒ /m
( )cosoFc kx x x tm m m
+ + = Ω
ισχύουν ...
2 22
criticalc m
critical
c c cc m m
ωζ ζ ζωω
= = → = ⇒ =
22 1k
m m kωω = ⇒ =
⇒ ...
22 2
s
o o oo s
X
F F FF Xm k k m
ω ω ω → = = ⇒ =
Xs : ισοδύναμο στατικό πλάτος
( )2 22 cossx x x X tζω ω ω+ + = Ω ⇒ ... ⇒ ...
⇒ ...
υπολογισμός επιμέρους όρων ...
1η χρονική παράγωγος ...
2η χρονική παράγωγος ... θέτω ...
συνημιτονικός όρος ...
2. Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση
⇒ ... ⇒
⇒ ομαδοποίηση ...
⇒ επίλυση ως προς Χ ...
απόκριση σε ελεύθερη ταλάντωση απόκριση σε αρμονική διέγερση
χαρακτηριστικό πολυώνυμο ... η θέση των ριζών (πόλων) του προσδιορίζει τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος
2. Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση
❶
2. Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση
* *
*
*
*
*
*
*
* *
Im
Re
(a)
(c)
(d)
(e)
(b)
t
x(t)
ζ=0
t
x(t)
0<ζ<1
t
x(t)
ζ>1
t
x(t)
-1<ζ<0
t
x(t)
ζ<-1
Πόλ
οι δ
υναμ
ικού
συσ
τήμα
τος
στο
μιγα
δικό
επί
πεδο
2. Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε.
απόκριση σε ελεύθερη ταλάντωση απόκριση σε αρμονική διέγερση
ισχύει ...
0o ox x= =αρχικές συνθήκες …
( ) 22 2 2 2
12s
sX s Xs s s
ωζω ω
= + + +Ω ❸
02 2 2 2 2 22 0 0s s s s s jζζω ω ω ω ω=+ + = → + = ⇒ = − ⇒ = ±
ζ=0
(οι πόλοι του συστήματος βρίσκονται επί του άξονος των φανταστικών αριθμών)
Πόλοι δυναμικού συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο
2. Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση
2. Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς συστήματος 1 Β.Ε.
❶ ⇒ ... αρχικές συνθήκες ...
⇒
επίλυση ως προς Χ ≡ Χ(s) ...
απόκριση δυναμικού συστήματος στο πεδίο της συχνότητας ...
αρμονική διέγερση F(s) πλάτους Χs ... συνάρτηση μεταφοράς Η(s) ...
παρατηρήσεις ...
*
*
Im
Re
θ
ω
υπολογισμός της γωνίας θ στην πολική αναπαράσταση στο μιγαδικό επίπεδο μονοβάθμιου δυναμικού συστήματος με υποκρίσιμη απόσβεση
εξίσωση ισορροπίας δυναμικού συστήματος 1 Β.Ε.
υπολογισμός επιμέρους όρων ...
❷
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – ζ(θ)
υπολογισμός επιμέρους όρων ...
1η χρονική παράγωγος ...
2η χρονική παράγωγος ... θέτω ...
μηδενικός όρος ...
❷ ⇒
...
⇒ ... αρχικές συνθήκες ...
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – ζ(θ)
⇒ ...
ΠΡΕΠΕΙ να ισχύει για κάθε X …
⇒
οι ρίζες του τριωνύμου είναι…
υποκρίσιμη απόσβεση → Δ < 0 …
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – ζ(θ)
⇒ ...
⇒ γραφική απεικόνιση ...
*
Im
Re
θ
ω
( )24
2
mk c
m
−
2cm
−
*
2 συζυγείς μιγαδικές ρίζες με αρνητικό πραγματικό μέρος
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – ζ(θ)
η εφαπτομένη θ…
ΑΛΛΑ ο λόγος απόσβεσης ζ …
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – ζ(θ)
⇒ ...
για θ = 0 → ζ = 0 …
για θ = 90ο → tanθ = +∞ → …
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – ζ(θ)
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – σύστημα 1 Β.Ε.
( ) ( ) 22 2 2 22 2
1 1222 o o s
ό ή έό ύ ώ
sX s x x Xs s ss s
απ κριση σε αρµονικ δι γερσηαπ κριση σε ελε θερες ταλαντ σεις
ζω ωζω ωζω ω
= + + + + + +Ω+ +
aπόκριση δυναμικού συστήματος 1 B.E. στο πεδίο συχνότητας
0o ox x= =αρχικές συνθήκες …
( ) 22 2 2 2
12s
sX s Xs s s
ωζω ω
= + + +Ω
ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα …
( ) 1 12 2 2 2
1 2
2o o
ό ό
A s A B s BX ss s s
ος οςρος ρος
ζω ω + + = + +Ω + +
το πολυώνυμο του αριθμητή είναι μικρότερο
κατά ένα βαθμό από το αντίστοιχο πολυώνυμο του
παρονομαστή ❹
❸
1 1, , ,o oA A B Bαναλυτικός προσδιορισμός των αριθμητικών συντελεστών
( )( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )
2 2 2 21 11 1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 21 1
2 2 2 2
3 2 2 2 21 1 1
22 2
2 2
2
2 2
o oo o
o o
o o o o
A s A s s B s B sA s A B s Bs s s s s s
A s s s A s s B s s B s
s s s
A s A s A s A s A s A B
ζω ω
ζω ω ζω ω
ζω ω ζω ω
ζω ω
ζω ω ζω ω
+ + + + + +Ω + + + = = +Ω + + +Ω + + + + + + + + +Ω + +Ω = = +Ω + +
+ + + + + +=
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
3 2 2 21 1
2 2 2 2
3 2 2 2 2 21 1 1 1 1
2 2 2 2
2
2 2
2
o
o o o o o
s B s B s Bs s s
A B s A A B s A A B s A B
s s s
ζω ω
ζω ω ζω ω
ζω ω
+ Ω + + Ω = +Ω + + + + + + + + + Ω + + Ω = +Ω + +
❹ ⇒ ...
❺
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – σύστημα 1 Β.Ε.
❸ = ❺ ⇒ ...
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )3 2 2 2 2 22
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2o o o o os
A B s A A B s A A B s A BX ss s s s s s
ζω ω ζω ωωζω ω ζω ω
+ + + + + + + Ω + + Ω = ⇒ + + +Ω +Ω + +
1 12 2 2
12 2
1 1
02 0
20
o o
o
o o s
A BA A B
A A B XA B
ζωω ζω ω
ω
+ = + + = ⇒ + + Ω = + Ω =
μητρωϊκή μορφή …
1
2 2 21
2 2
0 1 0 1 01 2 1 0 0
2 00 0 0
o
s
o
AAB XB
ζωζω ω ωω
= Ω Ω
❻
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – σύστημα 1 Β.Ε.
❻ ... ορίζουσα
( ) ( )
2 22 2
2 2 2 22 2
22 2 2 2 4 2 2 2
2 2 22
0 1 0 11 1 0 1 2 1
1 2 1 02 0 2 0
2 00 0
0 0
1 1 1 224
20
Dζω
ζωζω ζω ω
ζω ωω ω
ω
ζωζω ωω ω ω ζ ω
ω ζω ωω
= = − Ω − =Ω
Ω ΩΩ
= −Ω − − − = −Ω Ω − + − + − ⇒ Ω
( ) ( )2 2 2 2 2 21 4D ω ω ω ζ= −Ω Ω − + − + −
οπότε ...
22 2 22
22 2 3 2
1
0 1 0 11 0 10 2 1 0
2 1 00 2 10 00 0 0 0 2
sss
s
XXX
XAD D D D
ζωω ζωω ω ζω
ωζω
ΩΩΩ Ω Ω
= = = =
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – σύστημα 1 Β.Ε.
( )2 222 2
2 2 22 22 22 2
0
0 0 0 11 0 11 0 1 0
0 22 02 00 000 0
s sss
s
X XXXX
AD D D D
ω ζω ωζω ωζω ωω ωωωω
Ω + Ω −ΩΩΩ = = − = − = −
και ...
22 2 22
22 2 5
1
0 1 0 10 1 11 2 0 01 2 02 1 2
0 00 0 0 0 2ss
ss
XXX
XBD D D D
ζωω ζωζω ω ω ζω
ωωω ω ζω
Ω
= = = = −
( )22 2
2 2 22 22 2
0 1 0 00 1 01 2 1 01 2 12 0
00 0ss
so
XXX
BD D D
ζωω ζωζω ω ω
ω ωωω Ω −ΩΩ= = − =
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – σύστημα 1 Β.Ε.
... με αντικατάσταση των εν λόγω συντελεστών στην προκύπτει η απόκριση X(s) του δυναμικού συστήματος στο πεδίο των συχνοτήτων
( )( ) ( )2 2 2 52 2 2 3 2
2 2 2 2
1 2
22
2
s ss s
ό ό
X XX X ss D DD DX ss s s
οςοςρος ρος
ω ω ζωω ω ζω
ζω ω
Ω − Ω − Ω + − − + = + +Ω + +
❹
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – σύστημα 1 Β.Ε.
( )
( ) ( )
1 12 2 2 22
p h
o o
x t x t
A s A B s BX ss s sζω ω
+ + = + +Ω + +
προέρχεται από τον συνημιτονικό όρο της εξωτερικής διέγερσης με συχνότητα διέγερσης Ω
↓ αντιστοιχεί στη μόνιμη απόκριση του συστήματος
λόγω της εξωτερικής αρμονικής διέγερσης
αντιστοιχεί στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος
↓ αντιστοιχεί στην ελεύθερη ταλάντωση του
συστήματος με ιδιοσυχνότητα ω ↓
ο εν λόγω όρος αντιστοιχεί στη μεταβατική απόκριση του συστήματος.
προκύπτουν όροι της μορφής ( )sin tΩ
( )cos tΩ
( )sin ntω
( )cos ntω
21nω ω ζ= −
προκύπτουν όροι της μορφής
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – σύστημα 1 Β.Ε.
ο μετασχηματισμός Laplace: αποτελεί τον πιο σύντομο τεχνικό δρόμο επίλυσης ΔΕ
για τεχνικές εφαρμογές Μηχανικού, είναι εξαιρετικά απλός στην
εφαρμογή του, διότι η συνδυασμένη χρήση της τεχνικής των μερικών κλασμάτων και έτοιμων πινάκων με μετασχηματισμούς Laplace βασικών συναρτήσεων απαλλάσσει από τον αναλυτικό υπολογισμό των εμπλεκομένων ολοκληρωμάτων.
με συνοπτικό τρόπο, εκφράζει τη δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος: από τη θέση των πόλων του δυναμικού συστήματος (ρίζες του αντιστοίχου χαρακτηριστικού πολυωνύμου) στο μιγαδικό επίπεδο, προσδιορίζεται η δυναμική απόκριση του συστήματος σε ελεύθερες ταλαντώσεις.
2. Μετασχηματισμός Laplace: Βασικά – σύστημα 1 Β.Ε.
2. Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα N Β.Ε.
εξίσωση ισορροπίας ...
αρχικές συνθήκες ... x(0) = V(0) = 0
⇒
σε ένα δυναμικό σύστημα με Ν Β.Ε., η διάσταση του διανύσματος θα είναι Νx1 και ο μετασχηματισμός Laplace θα πρέπει να εφαρμοσθεί σε κάθε έναν Β.Ε.
μετασχηματισμός Laplace
⇒ για
⇒ για
⇒ για
⇒
2. Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα N Β.Ε.
…⇒
ορίζεται ... ⇒
⇒
⇒
⇒ αναδιάταξη όρων ...
⇒
⇒
όπου διάνυσμα, κάθε στοιχείο του οποίου προέρχεται από την εφαρμογή του Μετασχηματισμού Laplace στον αντίστοιχο Β.Ε. ...
0 0
⇒
⇒
2. Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα N Β.Ε.
...
ομοίως, είναι ένα διάνυσμα κάθε στοιχείο του οποίου προέρχεται από την εφαρμογή του Μετασχηματισμού Laplace στην εξωτερική διέγερση του αντίστοιχου Β.Ε.
2. Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα N Β.Ε.
... και πίνακας των συναρτήσεων μεταφοράς του συστήματος
... όπου
... αντιστροφή του πίνακα είναι δυνατή → η ορίζουσά του ≠ 0
Β. απόσβεση συστήματος ≠ 0 ( ) 0C ≠
( )2det 0s M sC K+ + =( )2det 0s M K+ =
Α. απόσβεση συστήματος = 0 ( )
πολυωνυμικές εξισώσεις, οι ρίζες των οποίων καλούνται πόλοι του πολυβάθμιου δυναμικού συστήματος (μιγαδικοί πόλοι)
μεθοδολογία συνάρτησης μεταφοράς
❼
2. Μετασχηματισμός Laplace: Σύστημα N Β.Ε.
παρατήρηση ...
σε κάθε Β.Ε. αντιστοιχεί ένα ζεύγος πόλων, το οποίο τοποθετείται στο μιγαδικό επίπεδο σύμφωνα με έναν από τους παρακάτω διαφορετικούς τρόπους
2. Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε.
εξίσωση ισορροπίας δυναμικού συστήματος 1 Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση
( ) ( )2
1H sms cs k
=+ +
❼ ⇒
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1H j H jm jc k k m jcm j c j k
ω ωω ω ω ωω ω
= = ⇒ =− + + − ++ +
s jω=
( ) ( )( )( )
2
2 2
1 k m jcH j
k m jc k m jc
ω ωω
ω ω ω ω
− − = − + − −
⇒
⇒
συζυγής μιγαδικός
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 2
2 2 22 2 22 2 2
Re Im
k m jc k m cH j H j j
k m c k m c k m c
ω ω ω ωω ω
ω ω ω ω ω ω
− − − −= ⇒ = +
− + − + − +
⇒ ...
⇒ ...
Re Im
❽
2. Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε.
υπολογισμός μέτρου της ❽
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
2 2 2 22 2
2 2 22 2 22 2 22
k m k m ccH j
k m c k m c k m c
ω ω ωωω
ω ω ω ω ω ω
− − + −− = + = ⇒ − + − + − +
( )( ) ( )
2 22k m cH j
ω ωω
− + −⇒ =
( ) ( )( )2 22 2k m cω ω− +( )
( ) ( )2 22
1H jk m c
ωω ω
⇒ =− +
2. Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε.
μέγιστο πλάτος → k=mω2=0 ή→ ω=(k/m)1/2
για ω=(k/m)1/2 ⇒ ( ) nn
ccmkjH
ωω
112==
και για ω=0 ⇒ ( )kk
H 1102==
υπολογισμός m, c, k, ωn ⇒ από μετρήσεις της H(jω)
2. Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε.
kcsmssH
sFsX
++== 2
1)()()(
kcsmssssH
sFssX
++== 2)(
)()(
kcsmsssHs
sFsXs
++== 2
22
2
)()()(
τύποι συναρτήσεων μεταφοράς ...
2. Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα 1 Β.Ε.
( )( )( )( )
( )( ) ( )
2 22
1 1Imtan tan
Re
c
k m cH jH j
ω
ω ωωϑ
ω− −
−
− + = =
( )( ) ( )
2
2 22
k m
k m c
ω
ω ω
−
− +
( )( )
12
tanc
k mω
ϑω
−
⇒ = −
−
υπολογισμός πολικής γωνίας (διαφορά φάσης μεταξύ διέγερσης και απόκρισης) της ❽
2. Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα Ν Β.Ε.
( ) ( ) ( )2o o oM s X sx x C sX x K X f s− − + − + =
ισχύει ...
0o ox x= =αρχικές συνθήκες …
( ) ( ) ( )2 2s M X s C X K X f s s M s C K X f s+ + = ⇒ + + =
απόκριση του συστήματος
( )12X s M s C K f s−
= + +
( )H s
( ) ( )
112 2
ImRe
H s M j C K H s K M j Cω ω ω ω
−−
= − + + ⇒ = − +
s jω=
Re Im
❾
2. Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς σε σύστημα Ν Β.Ε.
παρατήρηση ...
από την μπορεί να υπολογισθεί η απόκριση του συστήματος στο πεδίο της συχνότητας
έπειτα, με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace μπορεί να υπολογισθεί η απόκριση του συστήματος στο πεδίο του χρόνου
❾
για τις εφαρμογές του μηχανικού, χρησιμοποιούμε έτοιμους πίνακες, από τους οποίους αντλούμε τη σχέση για τον αντίστροφο Μετασχηματισμό
Laplace που μας ενδιαφέρει
2. Μετασχηματισμός Laplace: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace
αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της ...
ισχύουν ...
⇒
⇒
θέτουμε ...
⇒ ...
2. Μετασχηματισμός Laplace: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace
⇒ ...
από πίνακες μετασχηματισμών Laplace ισχύει ... ⇒
⇒ ⇒
συχνότητα αποσβενόμενης ταλάντωσης
ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΑ
THE LAPLACE TRANSFORM - A GRAPHICAL APPROACH https://www.youtube.com/watch?v=ZGPtPkTft8g
LAPLACE TRANSFORM http://www.sharetechnote.com/html/EngMath_LaplaceTransform.html
CIRCUIT NETWORK ANALYSIS - [CHAPTER5] TRANSFER FUNCTION, FREQUENCY RESPONSE, AND BODE PLOT http://www.slideshare.net/simenli/ch5-49340605
2 TRANSFER FUNCTION http://www.slideshare.net/muhammadhisyambinhashim/2-transfer-function
DYNAMICS BY PETE AVITABILE http://www.mpihome.com/fr/service-support/bases-de-lanalyse-modale.html
Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών
Δρ. Αντωνιάδης Ι. . . . . [email protected] Δρ. Γιακόπουλος Χ. . . . [email protected]
Ευχαριστώ για την προσοχή σας!
Top Related