Εκθ 0 2ική υνάρηη - ΑΡΧΙΚΗ...

ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Ευσταθίου Πέτρος - 135 -

► Εκθετική συνάρτηση

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

δύναμη xα . Έτσι ορίζεται η συνάρτηση :

f : με xf x α , 0 α 1

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε

έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

■ Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση : xf x 3 .

Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση, θεωρούμε τον πίνακα :

x 3 2 1 0 1 2 3

xf x 3 1

27

1

9

1

3 1 3 9 27

και έχουμε :



Για τη συνάρτηση αυτή και για κάθε συνάρτηση της γενικής μορφής : xf x α , με α 1

έχουμε :

▪ Πεδίο ορισμού το

▪ Σύνολο τιμών το διάστημα 0, των θετικών πραγματικών αριθμών.

▪ Γνησίως αύξουσα, διότι για κάθε 1 2x , x , επειδή α 1 ισχύει :

αν 1 2x x

1 2x x α α

▪ Τέμνει τον άξονα y y στο σημείο A 0,1 και έχει ασύμπτωτη τον

αρνητικό ημιάξονα x.

■ Θεωρούμε τη συνάρτηση : x

1f x

3

και προκειμένου να κάνουμε τη γραφική της παράσταση, θεωρούμε τον

πίνακα :

x 3 2 1 0 1 2 3

f x 27 9 3 1 1

3

1

9

1

27

και έχουμε :



Για τη συνάρτηση αυτή και για κάθε συνάρτηση της μορφής : xf x α με 0 α 1

έχουμε :

▪ Πεδίο ορισμού το

▪ Σύνολο τιμών το διάστημα 0, των θετικών πραγματικών αριθμών.

▪ Γνησίως φθίνουσα , διότι για κάθε 1 2x , x , επειδή 0 α 1 ισχύει :

αν 1 2x x

1 2x x α α

▪ Τέμνει τον άξονα y y στο σημείο A 0,1 και έχει ασύμπτωτη τον θετικό

ημιάξονα x.

Παρατηρήσεις :

1. Επειδή η εκθετική συνάρτηση : xf x α με 0 α 1 είναι γνησίως

μονότονη, ισχύει :

αν 1 2x x

1 2x x α α .

Επομένως με την επαγωγή σε άτοπο, μπορούμε να έχουμε :

αν 1 2x x

1 2α α x x .

Με την βοήθεια της συνεπαγωγής αυτής, μπορούμε να λύνουμε

εκθετικές εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις που έχουν τον άγνωστο στον

εκθέτη.

2. Για τις συναρτήσεις : x

x 1f x α , g x , 0 α 1

α

παρατηρούμε ότι ισχύει : x

x

x

1 1g x α f x , x

α α

Επομένως οι γραφικές παραστάσεις τους, είναι συμμετρικές ως προς τον

άξονα y y .



ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λύσετε τις εξισώσεις :

i) x 13 81

ii) x

1 1

3 81

iii) x 14

16

iv) x

1125

5

ΛΥΣΗ

i) x 1 x 1 43 81 3 3 x 1 4 x 3

ii) x x 4

1 1 1 1x 4

3 81 3 3

iii) x x x 2

2

1 14 4 4 4 x 2

16 4

iv) x 3

x

1125 5 5 x 3 x 3

5

2. Να λυθούν οι εξισώσεις :

i) x 19

3

ii) x 1

3 x

1e

e

iii) x 1 2 3x8 4

iv) 2x 3x 25 1

ΛΥΣΗ

i) x

x x 1 2 1 2x 11 19 9 3 3 3 3 3 2x 1 x

3 2



ii) 3 xx 1 x 1

3 x

1e e e x 1 3 x x 1 3 x

e

2x 4 x 2

iii) x 1 2 3x 3 x 1 2 2 3xx 1 2 3x 3 28 4 2 2 2 2 3 x 1 2 2 3x

73x 3 4 6x x

9

iv) 2 2x 3x 2 x 3x 2 0 25 1 5 5 x 3x 2 0 x 1 ή x 2 .

3. Να λυθεί η εξίσωση : x 1 x 2 x 1 x 22 2 2 2 54 .

ΛΥΣΗ

x x

x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2

2

2 22 2 2 2 54 2 2 2 2 54

2 2

Θέτω x2 y και η εξίσωση γίνεται :

y y2y 4y 54 27y 216 y 8

2 4

οπότε x x 32 8 2 2 x 3 .

4. Να λυθεί η εξίσωση : x x 19 3 4 0 .

ΛΥΣΗ

x 2

x x 1 2 x x x9 3 4 0 3 3 3 4 0 3 3 3 4 0

Θέτω x3 y και η εξίσωση γίνεται : 2y 3y 4 0

που έχει ρίζες 1y 1 και 2y 4 .

▪ Για y 1 έχω : x x 03 1 3 3 x 0

▪ Για y 4 έχω : x3 4 αδύνατη γιατί x3 0 .



5. Να λυθεί η εξίσωση : x x3 81 10 9 3 0 (1)

ΛΥΣΗ

Η (1) ορίζεται όταν x είναι φυσικός μεγαλύτερος του 1.

Έτσι 2 1

2x x x x3 9 10 9 3 0 3 9 10 9 3 0

Θέτω 1

x9 y άρα έχω : 23y 10y 3 0 y 3 ή 1

y3

.

▪ Αν y 3 τότε 1 21

2x xx2

9 3 3 3 3 3 1 x 2x

▪ Αν 1

y3

τότε 1 21

2 1 1x xx1 2

9 3 3 3 3 1 x 23 x

Απορρίπτεται

6. Να λυθεί το σύστημα : x 1 y

x y 1

2 4 1

3 3 9.

ΛΥΣΗ

x 1 2y x 1 2y 0

x y 1 x y 1 2

2 2 1 2 2 x 2y 1 0 (1)

x y 1 2 (2)3 3 9 3 3

Αφαιρώντας από τη (1) την (2) προκύπτει : y 2 και αντικαθιστώντας

στην (2) έχουμε x 3 .


i) x

x2 5 2 4 0 ii) x x 35 2 2 3 2

iii) x 1 x3 28 9 3 0 iv) x 2 x 3 x 3 x 42 3 2 3 0

v) 1 1

x xx 2x 12 24 3 3 2

ΛΥΣΗ

i) x

x2 5 2 4 0

Θέτουμε x

2 t , οπότε η επιλύουσα της (1) είναι η : 2t 5t 4 0 (2).

Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (2) είναι :

25 4 4 25 16 9 και επομένως οι ρίζες είναι :

5 34

5 3 2t

5 321

2



▪ Αν x

x22

xt 4 2 4 2 2 2 x 4

2

▪ Αν x

x02

xt 1 2 1 2 2 0 x 0

2

ii) x x 3 x x 3 x x5 2 2 3 2 5 2 2 2 3 2 5 2 8 2 3 2

1

x x x 21

3 2 3 2 2 2 2 2 x2

iii) 2

x 1 x x x x

x

13 28 9 3 0 3 3 28 9 0 3 3 28 3 9 0

3 (1)

Θέτουμε x3 t , οπότε η επιλύουσα της (1) είναι η : 23t 28t 9 0 (2).

Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (2) είναι : 22 2 228 4 3 9 4 7 4 27 4 4 49 27 4 196 27 4 169 2 13 26

και επομένως οι ρίζες είναι :

28 26 549

28 26 6 6t

28 26 2 12 3

6 6 3

▪ Αν x x 2t 9 3 9 3 3 x 2

▪ Αν x x 11 1t 3 3 3 x 1

3 3

iv) x 2 x 3 x 3 x 4 x 2 x 3 x 3 x 42 3 2 3 0 2 2 3 3 2 2 3 3 0

x x x x x x x xx x

x 4xx x

x

2 3 2 3 2 2 3 3 1 1 1 10 2 3

4 27 8 81 4 8 27 81 4 8 27 81

1 2 2 16 2 22 3 x 4

8 81 3 81 3 3

v) 1 1 1 1

x xx 2x 1 x x x x 12 2 2 24 3 3 2 4 3 3 3 3 4 2

1x x x xx x x x2

1

2

3 4 3 44 3 3 4 3 3

2 233

xx x x x x x

x

4 82 3 4 2 3 6 3 3 4 3 3 4 8 3

3 3 3

31

2 3 3x x x x3 2 2

1 1 3

2 2 2

44 2 4 4 4 4 4 3

x3 3 3 3 3 2

3 3 3 3 3



8. Να λύσετε τις εξισώσεις

i) ημ2x 13

3 ii)

2 x1 2ημ

ημ2x συνx 23 9

iii) συνx

5ημx ημx ημ3x2 4 32

ΛΥΣΗ

i) 1

ημ2x ημ2x ημ2x 21

2

1 1 1 π3 3 3 3 ημ2x ημ2x ημ

2 633

π

ημ2x ημ6

.

Άρα

π π2x 2κπ x κπ

6 12

7π 7π2x 2κπ x κπ

6 12

ii) 2 22x xx

1 2ημ 2 4ημ1 2ημημ2x συνx ημ2x συνx 2 ημ2x συνx2 223 9 3 3 3 3

2 2x xημ2x συνx 2 4ημ ημ2x συνx 2 1 2ημ

2 2

2ημx συνx συνx 2συνx 2ημx συνx 3συνx 0

πσυνx 0 x κπ

2συνx 2ημx 3 0

3ημx (αδύνατη)

2

iii) ημ3x ημ3x

συνx συνx5ημx ημx ημ3x ημx 2ημx ημx 2ημx συνx 55 52 4 32 2 2 32 2 2

ημx 2ημx συνx ημ3x2 2 ημx 2ημx συνx ημ3x ημx ημ2x ημ3x

3xημ 0

3x x 3x 3x 3x 3x x 22ημ συν 2ημ συν 2ημ συν συν 0

3x x2 2 2 2 2 2 2συν συν

2 2

▪ Από την σχέση (1) παίρνουμε: 3x 3x 2κπ

ημ 0 κπ 3x 2κπ x , κ2 2 3

.

▪ Από την σχέση (2) παίρνουμε : 3x 4κπ x 2x 4κπ x3x x 3x x

συν συν 2κπ 3x 4κπ x3x 4κπ x 4x 4κπ x2 2 2 2



9. Να λυθεί η εξίσωση : 2 2x x 6 x x 92 2 56 .

ΛΥΣΗ

2 2 2 2x x 6 x x 6 3 x x 6 x x 6 32 2 56 2 2 2 56

Θέτω 2x x 62 y έχουμε : 3 y

y y 2 56 y 56 y 648

Άρα 2 2x x 6 x x 6 6 22 64 2 2 x x 6 6

2x x 12 0 x 3 ή x 4

10. i) Να βρείτε το α 5 ώστε η x

1 αf x

α 5 να είναι γνησίως

αύξουσα.

ii) Να βρείτε το α, α 0 ώστε η x

5g x 1

α να είναι γνησίως

φθίνουσα.

ΛΥΣΗ

i) Για να είναι η f γνησίως αύξουσα θα πρέπει: 1 α 1 α 1 α α 5 2α 6

1 1 0 0 0 2α 6 α 5 0α 5 α 5 α 5 α 5

2 α 3 α 5 0 α 3 α 5 0 α 3,5 .

ii) Για να είναι η g γνησίως φθίνουσα θα πρέπει:

5 α 51 0 0 α α 5 0 α ,0 5,

5 α α0 1 1

5 5α1 1 0 5α 0 α 0

α α

Επομένως πρέπει α 5 .

11. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο x

2f x 1 k .

i) Για ποιες τιμές του k ορίζεται η f ;

ii) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές k για τις οποίες η f είναι γνησίως

αύξουσα.

iii) Να βρείτε το k ώστε η γραφική παράσταση της f x να περνάει από

το σημείο1

1,2

.

iv) Να βρείτε τις τιμές του k ώστε η γραφική παράσταση της f x να

περνάει από το σημείο 2,1 .



ΛΥΣΗ

i) Πρέπει: 2 21 k 0 k 1 k 1 k 1,1 (1)

ii) Για να είναι η f γνησίως αύξουσα πρέπει:

2 2 21 k 1 k 0 k 0 (2)

Η (2) όμως είναι αδύνατη στο , άρα δεν υπάρχουν τιμές του k, για τις

οποίες η f να είναι γνησίως αύξουσα.

iii) Πρέπει να ισχύει: 2 21 1 1 2f 1 1 k k k

2 2 2 2

iv) Πρέπει να ισχύει: 2 2

22 2

12

1 k 1 k 0 k 0f 2 1 1 k 1 1 k 1

1 k 1 αδύνατη

12. Να λύσετε τις ανισώσεις :

i) x9 3 ii) x2 8 0 iii)

xe

1 02

ΛΥΣΗ

i) x 2x 1 19 3 3 3 2x 1 x

2 (γιατί 3>1).

ii) x x 32 8 0 2 2 x 3 (γιατί 2>1).

x 3 ή x 3

iii) x x x 0

e e e e1 0 1 x 0

2 2 2 2 (γιατί

e1

2).

13. Να λύσετε την ανίσωση x 1 x5 5 6 .

ΛΥΣΗ

x 1 x x 2x x 2x x

x

55 5 6 5 6 5 5 6 5 5 6 5 5 0

5

Θέτω x5 y

Άρα η ανίσωση γίνεται 2y 6y 5 0 .

Είναι 2y 6y 5 0 y 1 ή y 5

1 5

+ _ +



Άρα x 0 x 11 y 5 1 5 5 5 5 5 0 x 1 (γιατί 5>1).

14. Να λύσετε τα συστήματα.

i) x 1 y 3

x y x

9 3

4 8 2 ii)

2x 5x 62 1

x y 8

iii) x 1 y

x y 1

2 4 1

3 3 9 iv)

x y

x y

3 5 4

9 3 5 6

ΛΥΣΗ

i) x 1 y 3 2x 2 y 3 2x 2 y 3

x y x 2x 2y 3 x 2x 2y x 3

9 3 3 3 3 3 2x 2 y 3

2x 2y x 34 8 2 2 2 2 2 2

2x y 1 4x 2y 2 5x 5 x 1

x 2y 3 x 2y 3 x 2y 3 y 1

ii) 2 2 2x 5x 6 x 5x 6 0 x 2 ή x 3x 5x 6 02 1 2 2

x y 8x y 8x y 8 x y 8

x 2

y 6

x 3

y 5

iii) x 1 y x 1 2y 0 x 1 2y 0

x y 1 x y 1 2 x y 1 2

2 4 1 2 2 2 2 2 x 1 2y 0

x y 1 23 3 9 3 3 3 3 3

x 2y 1 x 2y 1 y 2 y 2

x y 3 x y 3 x y 3 x 5

iv) x yx y 3 α,5 β

2x y

α β 4 α β 4α β 43 5 4

9 9β 6 α 10 α 10α 9 09 3 5 6

α α



x y

x y

y3 α,5 β

x

y y 13 α,5 β

x x 2

α β 4 β 3 5 3 αδύνατη

α 1 α 1 3 1α β 4

α 1 ή α 9 α β 4 5 5 5 5 y 1

α 9 x 23 9 3 3

15. Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 10 χρόνια και η αρχική

ποσότητα είναι 20 γραμμάρια :

i) να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση αυτού

ii) να υπολογίσετε την ποσότητα που έχει απομείνει μετά από 20 χρόνια

iii) να βρείτε μετά από πόσα χρόνια θα έχουν απομείνει 5

256 γραμμάρια

του ραδιενεργού υλικού.

ΛΥΣΗ

i) Επειδή η ποσότητα Q του ραδιενεργού υλικού ακολουθεί τον νόμο της

εκθετικής απόσβεσης έχουμε: ct

0Q t Q e

Επειδή 0Q 20 γραμμάρια είναι ctQ t 20 e

Αφού η ημιζωή είναι 0t 10 χρόνια έχουμε:

1010c c c0 10

0

11

10c c 10

Q 20 1 1Q t Q 10 20 e 10 e e

2 2 2 2

1e e 2

2

Άρα 1 t

tct c 10 10Q t 20 e 20 e 20 2 20 2

ii) Η ποσότητα που θα έχει απομείνει μετά από 20 χρόνια είναι: 20

102

1Q 20 20 e 20 5

2 γραμμάρια

iii) Έστω ότι μετά από t χρόνια θα έχουν απομείνει 5

256 γραμμάρια.

Είναι t t

1020 205 5

Q t 20 2 2 2 t 100256 256

χρόνια.



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ 1.Ισχύει ότι:

i)1

22

x

x

Σ Λ

ii) 3 5x x

για κάθε x Σ Λ

iii) 3 3x

x

για κάθε x Σ Λ

iv) 2 21 1

x x αν χ ακέραιος Σ Λ

v) 2 1

1 1x

αν χ ακέραιος Σ Λ

2.Ισχύει ότι:

i) 1

1 1x

x

αν χ=1 Σ Λ

ii) 1 1x

x αν χ=0 Σ Λ

iii) 1 1xx αν χ=1 Σ Λ

3.Ισχύει ότι:

i) 0,8 0,8x y αν x<y Σ Λ

ii) 1,5 1,5x y αν x<y Σ Λ

iii) 2 2x y

e e αν x>y Σ Λ

4.Δίνεται η 1

( )5

x

f x

i) H f έχει πεδίο ορισμού το R Σ Λ

ii)H f έχει σύνολο τιμών το R Σ Λ

iii)H f είναι γνησίως αύξουσα στο R Σ Λ

iv) Ισχύει ότι f(2)>f(1/5) Σ Λ

v) Ισχύει ότι 1999 2000(2 ) (2 )f f Σ Λ



ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Αν f(x)=x

a

a

3

3, x Q , να βρεθεί το α ώστε η συνάρτηση f(x)να

είναι γνησίως αύξουσα

2. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 3x+1

=81 δ) x5

1=125 η) e

x+1=

xe 3

1 κ) 16

2χ-1=4

1

β) 81

1

3

1

x

ε) 9x=3

1 θ) 5

x-3χ+2=1 λ) 2

x=4

8x+5

γ) 4x=16

1 ζ) 8

x-1=4

2-3χ ι)

3

5

5

312

x


i) x49 7 ii) 2x4 32

iii) x 14

8 iv) 2x 19 27

v) x2 2 2 vi) x 33 9 9


α) 4x-5 2

x=24 γ) 5

x-24=

x5

25

β) 52x-1

+3 5x+1

-80=0 δ) ex+

xe

1=3

10


i) x 1 x 22 8 2 16

ii) x 1 x 29 3 3 36

iii) x 1 x 2 x 32 2 2 10




α) 2 31

48

x=

x

8

2 β) 25

x-7

x –3552x

+57x+1=0

γ) 5 x2 = 2x+4 δ) 3

x+1-2

x=3

x-1+2

x+3


α) 5x-1

=10x 2

-x 5

x+1 β) 2

x+1 5

x =200

γ) 23 x+1

–63x-1-3

x=9 δ) 73x+1

-5x+2

=3x+4

-5x+3


α) 3x-3

+25x-6+5

x-5=5

x-4+3

x-4 β) 5

x-1-2=

25

3x

γ) 52x-3

-25x-2=3 δ) 32x+3

=1923χ-3

ε)73x+2

+4x+2

=73x+4

+4x+3

ζ) 3 2x-4+65x-3

=2x-1

+5x-2

η) 5x+3

+213x-5

x+2=3

x+4

9. Να λυθούν οι εξισώσεις.

α) 4 x

2

-5 4 x

1

+4=0 β) 2 x

2

-2 x

1

=2

γ) 4 2

12 x

-2x=2

3 δ) 5 x

2

-65 x

1

+5=0


α) 2+22+2

3+…….+2

x=4094

β) 62 6

4 6

6……..6

2x=36

28

γ) 3 32 3

3 3

4…….3

x+1=27


α) 52ημχ-ημ2χ

=1 β) 2ημχ

+82-ημχ=6 γ) 4

ημ χ +4

συνχ=5

δ) 3ημχ

+273-ημχ=12 ε) e

συνχ+ e

-συνχ=2



12. Να λυθούν οι ανισώσεις:

α) 7x-5

<1 ε) 3 2

2

x

x

>1

β) 4x +x+5

<1 ζ) 5x –

5x+7

> 52x-3

γ)35x+2

>27

1 η) 7 5x

>25x +6

δ) x

7

2

1> 32 θ) 16

x-174x

+16 >0


i) x x4 9 2 8 0

ii) x x9 4 3 3 0

iii) 2x xe e 2 0

14. Να λύσετε την ανίσωση : x x x x3 8 3 12 2 18 2 27

15. Να λύσετε την ανίσωση : 2ημ x συν2x4 4 5 .

16. Να λυθούν τα συστήματα :

α) 3x+5

y=14 β) 2

x-3

y=7

9x –25

y=56 4

x-9

y =175

γ) 4x 2

y-2=32 δ) 2

x 3

y=54

3

x+2 3

y-4 =27 3

x 2

y =24

ε) 3x-2

y+3 =15 ζ) 4

x-1 2

y-2=8

2y-3

x-3=3 3

x-2 3

y-4 =3

1

17. Nα λυθούν τα συστήματα:

α) 4x 8

y =256 β) 5

x –4

y+1=9

64 4x-8

y=0 5

x-1+4=69

γ) 2x=8

y+1 δ) 5

3x 5

4y=5

18

9y=3

x-9

y

x

7

2

5

5 =

175

1



18. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ex. Δείξτε ότι για κάθε x1,x2R με x1

x2 ισχύει f(x1)+f(x2)>2f

2

21 xx.

19. Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 8 χρόνια , δείξτε ότι η

συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση είναι:Q(t)=Q0 2 8

t

.

Π.20. Δίνεται η ln 2x 1

f xln x 2

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

ii) Να λυθεί η εξίσωση f x 2

Π.21. Δίνεται η συνάρτηση : 2 2 x

2 συν x 4ημ3 2 2f x α 3α 4α 1

i) Για ποιες τιμές του α η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα

ii) Να λυθεί η εξίσωση f x 1 αν 3 20 α 3α 4α 1 1



ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ

Γενικά η λύση της εξίσωσης : xα θ (1)

όπου α 0 με α 1 και θ 0 είναι μοναδική, αφού η εκθετική συνάρτηση xf x α είναι γνησίως μονότονη και το θ ανήκει στο σύνολο τιμών της.

Την μοναδική λύση της (1), ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση

α και τη συμβολίζουμε :

Δηλαδή όταν είναι α 0 με α 1 και θ 0 , ισχύει η ισοδυναμία :

Σύμφωνα με τα παραπάνω, μπορούμε να διατυπώσουμε ότι :

Χαρακτηριστικά είναι τα παραδείγματα :

▪ 3log 9 2 διότι 23 9

▪ 16

1log 4

2 διότι

1

216 16 4

▪ 10log 0,0001 4 διότι 410 0,0001

▪ 3

log 9 4 διότι 4

23 3 9

Σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε, αν α 0 με α 1 για κάθε x

και για κάθε θ 0 , έχουμε:

και

Ακόμη επειδή 0α 1 και 1α α , ισχύουν :

αx log θ

x

αα θ x log θ

Ο λογάριθμος με βάση α του θ αlog θ , είναι ο εκθέτης x στον

οποίο πρέπει να υψώσουμε το α, για να πάρουμε το θ.

x

αlog α x αlog θα θ

Μη ξεχνάτε: xα θ



και

■ Ιδιότητες των λογαρίθμων.

Για α 0 με α 1, για οποιουσδήποτε 1 2θ ,θ ,θ 0 και για κάθε k ,

ισχύουν:

1.

Απόδειξη:

Έστω ότι είναι :

α 1log θ x και α 2log θ y (1)

από τις οποίες προκύπτουν : x

1α θ και y

2α θ

Πολλαπλασιάζοντας αυτές κατά μέλη, έχουμε: x y x y

1 2 1 2α α θ θ α θ θ

Από την παραπάνω σχέση, σύμφωνα με τον ορισμό του λογαρίθμου,

έχουμε :

α 1 2log θ θ x y

από την οποία λόγω των ισοτήτων (1), προκύπτει:

2. 1α α 1 2

2

θlog log θ logθ

θ

Η απόδειξη γίνεται όπως και στην προηγούμενη ιδιότητα, με συνέπεια να

έχουμε:

αlog 1 0 αlog α 1

α 1 1 α 1 α 2log θ θ log θ log θ

α 1 1 α 1 α 2log θ θ log θ log θ

1α α 1 2

2

θlog log θ logθ

θ



3. k

α αlog θ k log θ

Απόδειξη:

Έστω ότι :

αlog θ x (2)

Αυτό σημαίνει: x kx kα θ α θ

Σύμφωνα με τον ορισμό, έχουμε: k

αlog θ kx

με συνέπεια από την (2), να προκύπτει:

■ Δεκαδικοί λογάριθμοι.

Όταν η βάση του λογαρίθμου ενός θετικού αριθμού θ είναι το 10, τότε

λέμε ότι έχουμε τον δεκαδικό λογάριθμο του θ ή απλά τον λογάριθμο του

θ και συμβολίζουμε: logθ

Φυσικά ισχύει η ισοδυναμία:

Χαρακτηριστικά είναι τα παραδείγματα:

▪ log1000 3 διότι 310 1000

▪ log0,0001 4 διότι 410 0,0001

■ Φυσικοί λογάριθμοι

Είναι γνωστός ο αριθμός e και η χρησιμότητα του στην περιγραφή

διαφόρων φαινομένων. Εξίσου χρήσιμοι είναι και οι λογάριθμοι με βάση

τον e, που ονομάζονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι και για κάθε

θετικό αριθμό θ, συμβολίζονται ln θ . Δηλαδή έχουμε:

k

α αlog θ k log θ

xlogθ x 10 θ

xlnθ x e θ



■ Λογαριθμική συνάρτηση

Θεωρούμε τον α 0, α 1. Γνωρίζουμε ότι για κάθε x 0,

ορίζεται ο αlog x . Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε x 0, αντιστοιχίζεται ο

αριθμός αlog x , επομένως έχουμε τη συνάρτηση :

f : 0,

με τύπο:

Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση το α.

Επειδή ισχύει η ισοδυναμία :

(1)

□ Αν είναι α 1 για τη συνάρτηση αy log x έχουμε να παρατηρήσουμε

ότι:

▫ Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα : A 0,

▫ Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

▫ Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x x στο σημείο

A 1,0 και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα του y y .

▫ Είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή ισχύει:

αν 1 2x x τότε ισχύει α 1 α 2log x log x

Όπως εμφανίζεται και στο σχήμα που ακολουθεί, είναι

αlog x 0 αν 0 x 1

και

αlog x 0 αν x 1

αf x log x

y

αlog x y α x



□ Αν είναι 0 α 1 τότε για τη συνάρτηση αy log x , έχουμε να

παρατηρήσουμε ότι:

▫ Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα : A 0,

▫ Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

▫ Έχει γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x x στο σημείο

A 1,0 και έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα του y y .

▫ Είναι γνησίως φθίνουσα, δηλαδή ισχύει: αν 1 2x x , τότε είναι

α 1 α 2log x log x .

Όπως εμφανίζεται και στο σχήμα, έχουμε:

αlog x 0 αν 0 x 1

και

αlog x 0 αν x 1

Επειδή η λογαριθμική συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, ισχύει:

αν 1 2x x , τότε είναι και α 1 α 2log x log x

Από την συνεπαγωγή αυτή με την απαγωγή σε άτοπο, καταλήγουμε στην

ισοδυναμία:

α αx y log x log y



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να αποδείξετε ότι :

i) log4 log20 3log2 1

ii) 1 2

ln 4 ln 27 ln 6 ln32 3

ΛΥΣΗ

i) 3 80log 4 log 20 3log 2 log 4 20 log 2 log80 log8 log log10 1

8

ii) 21

3 2321 2

ln 4 ln 27 ln 6 ln 4 ln 27 ln 6 ln 4 ln 27 ln 62 3

3 6 2ln 2 ln 3 ln 6 ln 2 ln 3 ln 6 ln 2 ln 9 ln 6

18ln 2 9 ln 6 ln18 ln 6 ln ln 3

6

2. Έστω η συνάρτηση 5 x

f x ln5 x

.

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

ii) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.

ΛΥΣΗ

i) Πρέπει 5 x

0 5 x 5 x 0 5 x 55 x

Άρα A 5,5

ii) Για κάθε x A είναι

α) x A

β) 1

5 x 5 x 5 x 5 xf x ln ln ln ln f x

5 x 5 x 5 x 5 x.

Άρα η f x είναι περιττή.




i) log 1 x log 1 x

ii) log 1 x 1 log 1 x

iii) 22log 2x 1 log 3x 2x log 4x 3 log x

iv) x ln x

ln2 2

ΛΥΣΗ

i) Πρέπει: x 1 0 x 1

x 1,11 x 0 x 1

(1). Η δοσμένη σχέση

γράφεται : log:1 1

log 1 x log 1 x 1 x 1 x 2x 0 x 0 (δεκτή).

ii) Πρέπει: x 1 0 x 1

x 1,11 x 0 x 1

(1). Η δοσμένη σχέση

γράφεται :

log:1 1

log 1 x 1 log 1 x log 1 x log10 log 1 x

log 1 x log 10 1 x 1 x 10 1 x 1 x 10 10x

911x 9 x

11 (δεκτή).

iii) Πρέπει: 2

12x 1 0 x

2

33x x 0 x 3 2x 0 x 0, 3 3

x ,24 2

x 0

34x 3 0 x

4

(1).

Η δοσμένη σχέση γράφεται : 2

2

2

2x 1 4x 32log 2x 1 log 3x 2x log 4x 3 log x log log

3x 2x x

2x 0

2 22x 1 4x 3

2x 1 4x 3 3 2x .... 6x 11x 5 0x 3 2x x

(1)

Οι ρίζες της (1) είναι : x 1 (δεκτή) ή 5

x6

(δεκτή).



iv) Πρέπει να είναι: x

0 x 02

, και η δοσμένη γράφεται:

2 2

2x 0 (απορρίπτεται) x ln x x x x

ln 2ln ln x ln ln x x x 4xx 4 (δεκτή)2 2 2 2 2


i) xx log10 log5 log 4 12 ii) x x 1

2 2log 4 4 x log 2 3

iii) x

2log 9 21

3 x

ΛΥΣΗ

i) Πρέπει: log4 0

x x x

4

log124 12 0 4 12 log 4 log12 x log 4 log12 x x log 12

log 4

Η δοσμένη εξίσωση γράφεται:

x

x2

x x x

2 α2 2x x x x 2

10 10x log10 log5 log 4 12 x log log 4 12 log log 2 12

5 5

2 2 12 2 2 12 0 α α 12 0

x x 2 *

x

1 7 8α 4 άρα 2 4 2 2 x 2 (δεκτή)

2 2

1 7 6α 3 άρα 2 3 (άτοπο)

2 2

(*) Είναι : 4 4 4log 16 log 12 2 log 12

ii) Πρέπει: log2 0

x 1 x x x3 3 32 3 0 2 2 3 2 log 2 log x log 2 log

2 2 2

2

3log

32x x loglog 2 2

(1)

Η δοσμένη εξίσωση γράφεται :



x

x x 1 x x x 1

2 2 2 2 2

x x x 1 x x x 1 x 2x x

2 2

2 α2 2 2x x x x x 2

log 4 4 x log 2 3 log 4 4 log 2 log 2 3

log 4 4 log 2 2 3 4 4 2 2 3 4 4 2 2 3 2

2 4 2 2 3 2 2 3 2 4 0 α 3α 4 0

x x 2 *

x

3 5 8α 4 άρα 2 4 2 2 x 2 (δεκτή)

2 2

3 5 2α 1 άρα 2 1 (άτοπο)

2 2

(*) Είναι : 2 2 2

3 3log 16 log 2 log

2 2

5. Δίνονται οι συναρτήσεις : 2x xf x ln e 2e 3 και xg x ln3 ln e 1

i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους

ii) Να λύσετε την εξίσωση: f x g x

iii) Να λύσετε την ανίσωση : f x 2g x

(ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2003)

ΛΥΣΗ

i) ▪ Η συνάρτηση 2x xf x ln e 2e 3 ορίζεται για τους πραγματικούς

αριθμούς x για τους οποίους ισχύει: 2

2x x x xe 2e 3 0 e 2e 3 0

Θέτοντας xe y 0 , η προηγούμενη ανίσωση γράφεται : 2y 2y 3 0 (1)

Παρατηρούμε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι : 2

2 4 3 4 12 8 0

Επομένως η (1) ισχύει και κάθε y . Άρα και η ανίσωση : 2x xe 2e 3 0

ισχύει για κάθε x . Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της

συνάρτησης f είναι :

1A



▪ Η συνάρτηση xg x ln3 ln e 1 ορίζεται για τους πραγματικούς

αριθμούς x για τους οποίους ισχύει : x x x 0e 1 0 e 1 e e

Δεδομένου ότι η συνάρτηση xe είναι γνησίως αύξουσα, προκύπτει:

Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, είναι :

ii) Από τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f,g προκύπτει ότι οι ρίζες της

εξίσωσης :

f x g x (1)

πρέπει να περιέχονται στο 2A 0, , αφού πρέπει να έχουν νόημα και

οι δύο συναρτήσεις. Παρατηρούμε ότι ισχύουν οι ισοδυναμίες :

2x x x

2x x x 2x x x

22x x x x

f x g x ln e 2e 3 ln 3 ln e 1

ln e 2e 3 ln 3 e 1 e 2e 3 3e 3

e 5e 6 0 e 5e 6 0

Θέτοντας xe ω 0 , προκειμένου να λύσουμε την προηγούμενη, αρκεί

να λύσουμε την εξίσωση : 2ω 5ω 6 0

της οποίας οι ρίζες είναι :

1 2ω 2 ή ω 3

Επομένως οι ρίζες της (1), είναι :

▪ Για xω 2 e 2 x ln 2

▪ Για xω 3 e 3 x ln3

iii) Παρατηρούμε ότι για κάθε x 0 ισχύουν οι ισοδυναμίες: 2x x x

2 22x x x 2x x x

f x 2g x ln e 2e 3 2 ln 3 e 1

ln e 2e 3 ln 3e 3 e 2e 3 3e 3

x 0

2A 0,

Η xe είναι γνησίως αύξουσα.



2x x 2x x

2x x 2x x

e 2e 3 9e 9 18e

38e 16e 6 0 e 2e 0

4

Θέτοντας xe ω 0 , έχουμε την ανίσωση :

2 3ω 2ω 0

4 (2)

Η διακρίνουσα του τριωνύμου 2 3ω 2ω

4 είναι :

2 32 4 4 3 1

4

Επομένως έχει τις ρίζες:

1

1 2

2

3ω

2 1 2ω ,

12ω

2

Άρα οι λύσεις της (2), είναι :

Συνεπώς οι τιμές του x που ικανοποιούν την ανίσωση f x 2g x είναι :

x1 3 1 3 3e ln x ln ln 2 x ln

2 2 2 2 2

Επειδή πρέπει x 0 , συνεπάγεται ότι οι λύσεις της ανίσωσης :

f x 2g x είναι :

6. Να λυθεί η ανίσωση: 2log x 1 log 5 x (1).

ΛΥΣΗ

Οι ρίζες της ανίσωσης (1), πρέπει να ικανοποιούν τις συνθήκες :

1 3ω

2 2

Η συνάρτηση ln x είναι γνησίως αύξουσα

30 x ln

2



2 2 x 1 x 1 ή x 1x 1 0 x 1

x 55 x 0 x 5 x 5

Για τον προσδιορισμό των λύσεων του παραπάνω συστήματος, μας

βοηθά η ευθεία των πραγματικών αριθμών:

-1 1 5

Άρα οι λύσεις του παραπάνω συστήματος, επομένως και οι τιμές του x

που μπορούν να ικανοποιούν την (1), είναι :

(2)

Η βάση του λογάριθμου είναι 10 1, άρα η λογαριθμική συνάρτηση είναι

αύξουσα, με συνέπεια ισοδύναμα της (1) να έχουμε :

2 2x 1 5 x x x 6 0

x 3 ή x 2

Από τις λύσεις αυτές θα κάνουμε δεκτές εκείνες που ικανοποιούν και τις

συνθήκες (2). Η επιλογή θα γίνει και πάλι με την βοήθεια των

πραγματικών αριθμών:

-3 -1 1 2 5

Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι :

7. i) Να υπολογίσετε τον αριθμό log 3100

ii) Να λύσετε την εξίσωση: 2logx logx log 33 2 3 100 0

x 1 ή 1 x 5

x 3 ή 2 x 5



ΛΥΣΗ

i) Έχουμε: 2log 3

log 3 2 2log 3 log 3 log3100 10 10 10 10 3

ii) Πρέπει x 0 , οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται: i) 2

2logx logx log 3 2logx logx logx logx3 2 3 100 0 3 2 3 3 0 3 2 3 3 0

(1)

Θέτουμε στην σχέση (1) logx3 t , οπότε η επιλύουσα της (1) είναι : 2t 2t 3 0 (2)

Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (2) είναι : 4 4 3 16 και

οι ρίζες είναι :

2 4 63

2 4 2 2t

2 4 221

2 2

(Η τιμή t 1 απορρίπτεται

δίοτι t 0 )

Έτσι είναι : logx 1 1t 3 3 3 log x 1 x 10 x 10 .

8. Να λύσετε την εξίσωση : log x 1

x 1 100 x 1 .

ΛΥΣΗ

Πρέπει x 1 0 x 1

Θέτουμε x 1 t , οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι :

log t

t t t

2

log100t 100t log 100t log t log 100 log t log t 1 log t

log t

21 log t log t log t 2 0 (1)

log t

Θέτουμε log t ω , οπότε η επιλύουσα της (1) είναι η : 2ω ω 2 0 (2)

Το τριώνυμο της σχέσης (2) έχει διακρίνουσα : 1 4 2 1 8 9 και

ρίζες:

1 3 42

1 3 2 2ω

1 3 221

2 2

, οπότε έχουμε τις λύσεις :



▪ Αν 2ω 2 log t 2 t 10 x 1 100 x 99 (δεκτή)

▪ Αν 1 1 1 9ω 1 log t 1 t 10 t x 1 x

10 10 10 (δεκτή)

10. Να βρείτε τον θετικό αριθμό x ώστε να ισχύει: 3 5 2ν 1 2log x log x log x ..... log x 2ν

ΛΥΣΗ

Είναι : 3 5 2ν 1 2log x log x log x ..... log x 2ν

2

22 2

3 5 2ν 1 2 3 5 2ν 1 2ν

ν1 3 5 .... 2ν 1 2ν ν 2

log x x x x 2ν x x x x 10

x 10 x 10 x 100

Σημείωση

Υπολογισμός του αθροίσματος : 1 3 5 .... 2ν 1 (1)

Αν ο όρος 2ν 1 κατέχει την κ – τάξη, τότε:

κ 1α α κ 1 ω 2ν 1 1 κ 1 2 2ν 1 1 2κ 2 2ν 2κ ν κ

Δηλαδή το πλήθος των όρων στο άθροισμα (1) είναι ν.

Άρα : 21 2ν 1

1 3 5 ... 2ν 1 ν ν ν ν2

.

10. i) Να αποδείξετε ότι log y logxx y με x, y 0 .

ii) Να λύσετε το σύστημα: log y log xx y 20

log x y 1

iii) Αν οι λύσεις του ii) είναι ρίζες της εξίσωσης: 2log log x x logθ 110 0 να βρείτε το *θ .

ΛΥΣΗ

i) 1ος

Τρόπος

Έστω ότι : log y logx log y logxx y log x log y log y log x log x log y

(αληθής).



2ος

Τρόπος

Είναι : log y

y y

logxlog y

log x log y log xlog y logxlog yx y y y y .

3ος

Τρόπος

Έστω ότι : t

α

log x t 10 x (1)

log y α 10 y (2) Τότε:

(1) αlog y t αt

log y log x

(2) tlog x α αt

x 10 10x y

y 10 10

ii) Πρέπει x 0 και y 0 log y log x log y log y log yi)x y 20 2 x 20 x 10 x 10 (1)

x y 100 (2)log x y 1 log x y log10 x y 10

Η σχέση (1) γράφεται : 100(2) log

log y log100 log x 2 log x 2 log xx

2 2

x 10 x 10 x 10 x 10 log x log10

2 log x log x 1 2log x log x 1 log x 1 0 log x 1 0

log x 1 x 10

Η σχέση (2) για x 10 δίνει : y 10 .

Άρα x, y 10,10 .

iii) Για x 10 η δοσμένη εξίσωση γράφεται:

2

log log 100 10logθ 110 0 log log 100 10logθ 110 log1

log 100 10logθ 110 1 log 100 10logθ 110 log10

100 10logθ 110 10 10logθ 20 logθ 2 θ 10 θ 100



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ 1.Αν 0 1a και θ>0 ισχύει η ισοδυναμία

log x

a x a Σ Λ

2. Αν 0 1a ισχύει ότι: log x

a a a Σ Λ

3. Αν 0 1a ισχύει ότι: logaa

Σ Λ

4. Αν 0 1a ισχύει ότι: log 1 1a Σ Λ

5.Αν 0 1a ισχύει ότι: log 1a a Σ Λ

6.Ισχύει ότι

i) log lnx e για κάθε χ>0 Σ Λ

ii)2 2log lnx e για κάθε χ>0 Σ Λ

iii)2log10 2 Σ Λ

iv)3log 3e Σ Λ

v)10

log 1 logee Σ Λ

7.Αν x<y τότε logx<logy Σ Λ

8.Αν x<y τότε lnx>lny Σ Λ

9.Αν x<y τότε 1 1

2 2

log logx y Σ Λ

10.Αν x<y τότε 3 3log logx y Σ Λ



ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δείξτε ότι:

α) 2log 2+3log3-log12=2log3

β) 2

1 log 16+

3

1 log8 +

4

1 log 81=3log2+log3

2. Δείξτε ότι: log2+log( 3 +1)+log(1+ 32 )+log(1- 32 )=2log2

3. Δείξτε ότι:

α) log200=3log2+2log5

β) 2

3

2log15log

8log27log125log

4. Δείξτε ότι οι αριθμοί α,

a ,β με α,β>0 είναι διαδοχικοί όροι

γεωμετρικής προόδου όταν και μόνο όταν οι αριθμοί logα , log

a,logβ

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

5. Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f(x)=αx και την

λογαριθμική συνάρτηση g(x)=logαχ, των οποίων οι γραφικές

παραστάσεις περνούν από το σημείο

α) (2,9) β) (-4, 16

1 ) γ)(

27

1,-3) δ) (-5,-6)

6. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :

α) f x ln 3x 2 β) 2f x log x 1 γ) x 3

f x ln5 x

δ) xf x ln 2 8 ε) xf x ln e 1 στ) x

x

e 1f x ln

e 1




α) log(x2-x)=log(x+15) β) log(x

2+1)-log(x+2)=log2

γ) log(x-1)+log(x-2)=logx δ) 2

1logx-log4=log(x+1)-1


α) 2

1 log(x+24)=1-log 3x β) log(x

2+6)-logx=log5

γ) 3

1 log(x-1)=logx-log2 δ) log9+2logx=log12+log3

ε) lnx+ln(x+5)=ln50


α) 2

1 log(x+1)=1-log x5

β) 2

1log(x+2)+log 3x =1+log 3


α) ln 1 x ln 1 x β) ln x 1 ln x 2 ln 4

γ) log 1 x 1 log 1 x δ) log x 9 2log 2x 1 2

ε) 1

log x 2 log x 3 1 log 32


α) 3log x 2 0 β) 22log x 3log x 0

γ) 24ln x 1 0 δ) 22log x 5log x 3 0

12. Nα συγκριθούν οι αριθμοί:

α) log(1-4x) και 2log(x-2) β) log(x+x

1) και log2.


α) 2logx

+25-logx

=12 β) 2logx

+3 4logx

=52 γ) xlogx-3

=100

1

δ) x1+logx

=10x ε) xlogx-1

=100




α) ln x ln x 2ln 24 2 e 0 β) 2 συν2x 1

ημ x2 2 2 3

γ) 1

ημx2ημx 1 ημx 23 5 6 4 0 δ) ln x ln x 1 ln x 1 ln x 15 3 3 5

15. Να λυθούν οι ανισώσεις :

α) xlogx+2

<1015

β) log[log(x2-4x-11)]0

γ) log[log(x2-1)]>0 δ) x

logx-1 10

6


α) log 2x 1 log 3 x β) 2ln x ln x 2

γ) 2ln x 5ln x 6 0 δ) 2ln x ln x

17. Να λυθούν τα συστήματα:

α) logx-logy=log3 β) logx+logy=1

log(x-y)=1 9x-2y

3y=81

γ) xlogy

=100 δ) 3logx

+5logy

=14

x y=1000 9logx

-25logy

=56


α) logx-log2y=log2 β) logx+logy=3

log(x+y)=1 logx3-logy

4=2

γ) x+y=65 δ) log(xy)=2

3

logx+logy=3 logx-logy=2

1

ε) 3logx

+2logy

=11 ζ) 2logx

-3logy

=1

9logx

-4logy

=77 4logx

+9logy

=25




α) log yx 1000

log x log y 4 β)

x y y 74 16 4

log x log y 1

20. Nα λυθεί η εξίσωση: log[log(10x-1

+2)+1]=log2+logx

21. α) Αν x,y>0 ,δείξτε ότι x logy

=ylogx

β) Να λυθεί το σύστημα: xlogy

+ylogx

=20

log xy =1

22. Να λυθεί η εξίσωση: x xlog 2 2 3 log81 log178 x log3

Π.23. i) Να αποδείξετε ότι: log 3100 3

ii) Να λύσετε την εξίσωση: 2logx logx log 33 2 3 100 0

Π.24 Δίνονται οι συναρτήσεις 2xf x ln e 2 και xg x ln 5e 1 .

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των f και g

ii) Να λύσετε την εξίσωση f x g x

Π.25. Α. Να λυθούν οι ανισώσεις

i) ln x ln 2 0

ii) 2ln x ln x 0

Β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της 2ln x ln x

f xln x ln 2

Π.26. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 2f x log x 4 log 3 x

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν τέμνει τον άξονα ψ ψ

iii) Να λύσετε την εξίσωση f x 0



Π.27. Α. Δίνονται οι συναρτήσεις: 2x xf x ln e 2e 3 και

xg x ln3 ln e 1 .

Β. Να λύσετε την εξίσωση f x g x .

Π.28. Να λυθεί η εξίσωση : xx log 2 12 x log 4 .

Π.29. Δίνεται η ακολουθία 2ν 1

να x , 0 x 1

i) Να υπολογιστεί το άθροισμα ν 1 2 νS ln α ln α ..... lnα

ii) Να λυθεί η εξίσωση 2

νS ν ln x

Π.30. Ο τρίτος όρος μιας αριθμητικής προόδου (αν) είναι 3α log125 και

η διαφορά της είναι ω log5 .

i) Να δείξετε ότι ο πρώτος όρος α1 είναι 1.605 με τη διαφορά ω.

ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα 21 22 29A α α ..... α .

Π.31. Δίνεται η συνάρτηση 2 1f x ln x ln

x , όπου x πραγματικός

αριθμός.

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f.

ii) Να βρείτε σε ποια σημεία η συνάρτηση f τέμνει τους άξονες x x και

y y .

iii) Να λύσετε την ανίσωση f x f e .

Π.32. Δίνεται η συνάρτηση ln 3x 11

f xln x 5

.

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

ii) Να λυθεί η εξίσωση f x 2

iii) Αν x 6 να λυθεί η ανίσωση f x 1

Π.33. Δίνεται η συνάρτηση : xf x log 4 8 .

i) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η συνάρτηση.

ii) Να λύσετε την εξίσωση: f x log7 x log 2 .



Π.34. Α. Να λυθεί το σύστημα : x y 1

y x 9

2 8

9 3

Β. Να λυθεί η ανίσωση : log 3x 6 log x 4 .

Π.35. Δίνονται οι συναρτήσεις: 2f x log x 1 και g x log x log 2

Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f x και g x .

Β. Να λύσετε την εξίσωση f x g x .

Π.36. Αν 2ln x 1

f x2ln x 1

, να λυθεί η εξίσωση 1 10

f x fx 3

.

Π.37. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων xx log10 log5 log 4 12 και

2ln x log3xe 10 2 .

Π.38. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος να με 1α ln 4 και 5

3α ln 4 .

i) Να βρείτε την διαφορά ω της προόδου.

ii) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα Sν των ν πρώτων όρων της, δίνεται

από τον τύπο 2

νS 2ν ln 2 .

Π.39. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο 2f x log x 5x 6

Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 1 log2λ 10 .

Γ. Για λ = 5, να λύσετε την ανίσωση 2x xe λ e 6 0 .

Π.40. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2f x ln x 5ln x 6 .

Β. Να λυθεί η εξίσωση : 3 5 2003 2005 2log x log x log x ..... log x log x 1003 .



Π.41 Δίνεται η 2x

x

e 1f x ln

e 5.

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να λυθεί η εξίσωση f x 2ln 2 .

ii) Να λυθεί η ανίσωση f x 0 .

Π.42. Έστω xf x ln g x 5 , g x 5

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

ii) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους

άξονες.

iii) Να λυθεί στο η εξίσωση : 36

g 2 g 4 g 6 .....g 2x 0,04 .

Π.43. Α. Να λυθεί η εξίσωση : 2log x 2 log x log3.

Β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : x xf x 4 log 2 4 5 2 2 .

Π.44. Έστω η συνάρτηση x xf x log 2 25 5 4 και η ευθεία

ε : y x 2log 3 .

Α. Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του x για τις οποίες ορίζεται η f.

Β. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της

ευθείας (ε

Π.45. Έστω η f με xf x log 2 10 , x

i) Να αποδείξετε ότι f x log 2 για κάθε x .

ii) Να αποδείξετε ότι f log 2 2log 2 .

iii) Να λύσετε την εξίσωση: f x 2x .

Π.46. Να λύσετε την εξίσωση : x 3 x100 log100 10 8 0 .

Π.47. Δίνεται η συνάρτηση : 2xf x ln 2 1 .

Α. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f x .

ii) Να λύσετε την εξίσωση: x xf x ln 4 3 2 .

Β. Να λυθεί η ανίσωση :

2x 3x 2x 62004 2005

2005 2004

Εκθ 0 2ική υνάρηη - ΑΡΧΙΚΗ...

Documents

Transcript of Εκθ 0 2ική υνάρηη - ΑΡΧΙΚΗ...