Συμμετρία και Μετασχηματισμοί (Ι)
Οι δύο καταστάσεις του ιονισμένου μορίου του υδρογόνου
μετασχηματισμός «κατοπτρισμού»
Ας προσδιορίσουμε τα στοιχεία πίνακα του
τελεστή «κατοπτρισμού» (στις καταστάσεις βάσης |
1> και |2>, αναπαράσταση )
Συμμετρία και Μετασχηματισμοί (ΙΙ)Έστω ότι την χρονική στιγμή t=0, το σύστημα του μορίου του ιονισμένου υδρογόνου βρισκόταν στην κατάσταση |1>. Αργότερα, την χρονική στιγμή t=15s, η κατάσταση του συστήματος θα περιγράφεται από το διάνυσμα κατάστασης U(t=15s,t=0)|1>. Επί παραδείγματι:
Αντίστροφα, εάν το σύστημα βρίσκεται την χρονική στιγμή t=0 στην κατάσταση |2> και η φύση «σέβεται» την συμμετρία κατοπτρισμού, τότε:
Η διατήρηση της συμμετρίας σε μετέπειτα χρόνους γενικεύεται σ΄ όλες τις περιπτώσεις που η «φυσική» του συστήματος μένει αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς όπως, στροφές γύρω από άξονα, μεταφορά στη θέση, κατοπτρισμούς, αμοιβαία μετάθεση των συστατικών του συστήματος (μποζόνια) κτλ
Συμμετρία και Μετασχηματισμοί (ΙΙΙ)
Έστω ο τελεστής Q ο οποίος αλλάζει την κατάσταση του συστήματος από |ψ> σε |ψ’>.
Συγκεκριμένα, έστω ότι την χρονική στιγμή t=0,
Το αρχικό σύστημα εξελίσσεται συναρτήσει του χρόνου, ως:Αλλά και μετά τον μετασχηματισμό Q, το σύστημα εξελίσσεται συναρτήσει του χρόνου, ως:
Εάν η «φυσική» του συστήματος παραμένει αναλλοίωτη κατά τον μετασχηματισμό Q, θα μπορούσαμε να καταλήγαμε στην κατάσταση |ψ’2> αφήνοντας το σύστημα να εξελιχθεί χρονικά από την κατάσταση |ψ1> στην κατάσταση |ψ2> και μετά να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Q:
Ο μετασχηματισμός που εκφράζεται από τον τελεστή Q αντιστοιχεί σε συμμετρία του συστήματος εάν: «δεν έχει σημασία πότε» θα εφαρμόσουμε αυτόν τον
μετασχηματισμόΟι τελεστές αντιμετατίθενται
12ˆˆ' QU
2 1ˆ ˆ' QU
Συμμετρίες και Νόμοι ΔιατήρησηςΈνας μετασχηματισμός αφήνει αναλλοίωτο ένα
σύστημα:
«αναλλοίωτο» σημαίνει ότι οι πιθανότητες παραμένουν οι ίδιες. Επί παραδείγματι στο σύστημα του ιονισμένου μορίου του υδρογόνου ισχύει ότι την χρονική στιγμή t=0:
IIeIIPIeIP ii
11
ˆˆ
Εάν ο μετασχηματισμός Q, κάποια χρονική
στιγμή, αφήνει αναλλοίωτη τη «φυσική» του συστήματος τότε το
σύστημα θα διατηρεί αυτή την ιδιότητα για πάντα
(απλώς άλλαξε τη φάση)
Ιδιοτιμές του Τελεστή Αντιστροφής- Ομοτιμία
Ας γενικεύσουμε τον μετασχηματισμό κατοπτρισμού σε μετασχηματισμό αντιστροφής
P̂
r r
r r
ˆ' iP e Εάν το σύστημα είναι αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς αντιστροφής:
Ας αντιστρέψουμε ακόμα μία φορά το σύστημα: δύο αντιστροφές μας φέρνουν στην αρχική
θέσηΠροφανώς η δεύτερη αντιστροφή μας έφερε στην αρχική κατάσταση
εάν…
Όταν ένα σύστημα είναι αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς αντιστροφής ευρίσκεται σε καθορισμένη κατάσταση ομοτιμίας.
Άρτιας ομοτιμίας όπως η στάσιμη κατάσταση |Ι> ( ) ή περιττής ομοτιμίας όπως η άλλη στάσιμη κατάσταση (|ΙΙ>) του
ιονισμένου μορίου του υδρογόνου,
P̂ Ι = + Ι
P̂ ΙΙ = - ΙΙ
Οι καταστάσεις πόλωσης του φωτονίου
• Πολωμένο φώς
• Γραμμικά και κυκλικά πολωμένο φως
• Καταστάσεις βάσης – καταστάσεις πόλωσης
y
x
y
x
Ε Ε
Πόλωση του Φωτός
X πόλωση
Ε
Β
Y πόλωση
Γραμμικά Πολωμένο
Φως
Χ
ΥW
Γραμμική πόλωση στη διεύθυνση W (η
Χ και η Υ συνιστώσα του Ε έχουν μηδενική διαφορά φάσης)
Κυκλική πόλωση: Οι συνιστώσες του Ε στον Χ και Υ άξονα
έχουν ίδιο πλάτος και διαφορά φάσης 90ο
Ελλειπτική πόλωση: Οι συνιστώσες του Ε στον Χ και Υ άξονα
έχουν διαφορά φάσης φο
Πόλωση ενός Φωτονίου
ΔέσμηΓραμμικά Πολωμένου Φωτός στη διεύθυνση Χ
Χ
ΔέσμηΓραμμικά Πολωμένου Φωτός στη διεύθυνση Υ
Υ
Φωτόνια στην κατάσταση πόλωσης
y
Φωτόνια στην κατάσταση πόλωσης
x
Διεύθυνση Πόλωσης
Αλλαγή Διεύθυνσης Πόλωσης
Χ’
Διεύθυνση Πόλωσης
2 2P x x' cos θ
Ε=Εοcosθ
Εο
Νόμος του Malus: Ι=Ιοcos2θ
.ή
2P cos θ
RCL και LCL διανύσματα βάσηςi t
i t
e
e
iπ/2
x
y e
i t
i t
e
e
iπ
iπ/2
x e
y e
1' ' '
21
' ' '2
R x i y
L x i y
-
+
Μετασχηματισμοί και Νόμοι Διατήρησης (Ι)
φ
zΈστω ένα φυσικό σύστημα με διάνυσμα
κατάστασης ,του οποίου η «φυσική» παραμένει αναλλοίωτη σε στροφές γύρω από τον άξονα z
οψ
Ας επαναλάβουμε την στροφή για ακόμα μία φορά
Το ίδιο αποτέλεσμα πρέπει να έχουμε ένα εξ αρχής επιχειρούσαμε στροφή κατά 2φ
2ˆ (2 ) izR e ο οψ ψ
Για οποιανδήποτε γωνία φ θα ισχύει ότι:
Επειδή η φυσική του συστήματος παραμένει αναλλοίωτη σ΄ αυτές τις στροφές:
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ,0) ( ,0) ( )ˆ
ˆ ( ,0)
( ) '
'
z z
i
z
imm
R U t U t R
e U t
R
e
ο ο
ο
ο
ο
ψ ψ
ψψ
ψ
Ο παράγων m είναι χαρακτηριστικό μέγεθος του συστήματος που παραμένει ανεξάρτητο του χρόνου. Αποτελεί σταθερά του φυσικού συστήματος.
Εν προκειμένω, αφορά στην διατήρηση της στροφορμής κατά τον άξονα περιστροφής Ζ
zJ = m
Πολωμένο Φως
χ y
z
φ
χ’
y’
Όταν το RHC φως ειδωθεί από νέο σύστημα συντεταγμένων, στραμμένο κατά γωνία φ, γύρω από τον άξονα z (άξονα πόλωσης του spin του φωτονίου) τότε:
i
m
iφ mφ
1
R' R e R e
Η στροφή του συστήματος συντεταγμένων κατά γωνία φ γύρω από τον άξονα διάδοσης z αφήνει το φωτόνιο το ίδιο (αναλλοίωτη πόλωση RHC, αναλλοίωτη ενέργεια
κ.τ.λ.) προσθέτοντας μόνο μία φάση mφ=1φ
Το RHC πολωμένο φωτόνιο μεταφέρει στροφορμή, παράλληλη στον άξονα z
1m
L L L
iφ im
1
φ
m
' e e
Αντίστοιχα, η στροφή ενός LHC φωτονίου καταλήγει:
Το LHC πολωμένο φωτόνιο μεταφέρει στροφορμή, αντιπαράλληλη στον άξονα z
1m
Μία δέσμη Ν φωτονίων κυκλ. συχνότητας ω μεταφέρει ενέργεια:
και στροφορμή:
W N
z
WJ = N =
ω
Η κλασική εικόνα της πόλωσης
z
y
x
Εχ συνιστώσα
Εy συνιστώσα
Δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο φως προσπίπτει σε πέτασμα
Οι δύο συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου
μεταβάλλονται χρονικά με σταθερή διαφορά φάσης 90ο
Χ
Υ
Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του πετάσματος
εκτελούν αρμονική ταλάντωση σε δύο
διευθύνσεις υπό την επίδραση του
ηλεκτρικού πεδίου
teF
teF
y
x
sin
cos
r
0t
0
0
cos
sin
x r t
y r t
Η κλασική εικόνα της πόλωσης
z
y
x
Εχ συνιστώσα
Εy συνιστώσα
Δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο φως προσπίπτει σε πέτασμα
Χ
Υ
r
0t
0
0
cos
sin
x r t
y r t
t
Z συνιστώσα της ροπής δύναμης ως προς κέντρο
σε συμφωνία με την
κβαντομηχανική πρόβλεψη
• Δέσμη LHC πολωμένου φωτός μεταφέρει την ίδια στροφορμή αλλά με το διάντσμα προσανατολισμένο αντιπαράλληλα του άξονα πρόσπτωσης της δέσμης
• Το γραμμικά πολωμένο φώς δεν βρίσκεται σε κατάσταση καθορισμένης πόλωσης. Εάν φωτόνιο έχει 50% πιθανότητα να έχει RHC και 50% LHC πόλωση.
Συνεπώς, σε ένα πείραμα που μετρούμε την στροφορμή δέσμης φωτός θα καταλήξουμε ότι η συνισταμένη μεταφερόμενη στροφορμή από τη δέσμη είναι μηδέν
• Για να ορίσουμε πλήρως την κατάσταση στροφορμής (πόλωση) ενός συστήματος, με μάζα ηρεμίας Μ και με στροφορμή J=1, ως προς οποιονδήποτε άξονα z, χρειαζόμαστε τον κβαντικό αριθμό m να παίρνει μία από τις τιμές +1, 0, -1. Στην περίπτωση των φωτονίων, επειδή δεν υπάρχει σύστημα αναφοράς στο οποίο να ευρίσκονται ακίνητα, δεν «χρειάζεται» η κατάσταση m=0. Μόνο η διεύθυνση κίνησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως άξονας πόλωσης, και σ΄αυτόν τον άξονα το φωτόνιο έχει δύο καταστάσεις πόλωσης.
Πόλωση-Παρατηρήσεις
Η εξαΰλωση του positronium (ΙIΙ)
• Το positronium έχει περιττή (αρνητική) ομοτιμία.
• Η Ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση διατηρεί την ομοτιμία
• Ποια είναι η τελική κατάσταση διάσπασης του positronium j=0
1 2Τελική Κατάσ ση : Rτα R 1 2Τελική Κατάσταση : L L
Η μία κατάσταση προκείπτει από τον μετασχηματισμό
αντιστροφής
της άλλης
P̂r = -r
1 2 1 2
1 2 1 2
P̂
P̂
L L R R
R R L L
1 2 1 2F = N R R - L L ˆ ˆˆ P PP 1 2 1 2 1 2 1 2N R R - L L N L L - R RF = F
Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις
και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων
Η εξαΰλωση του positronium (ΙIΙ)
1 2 1 2F = N R R - L L
Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων
• Κάθε ζεύγος φωτονίων βρίσκεται και στις δύο καταστάσεις, δηλαδή στην κατάσταση |F>.
• Σ΄ ένα πείραμα υπάρχει 50% πιθανότητα να ανιχνευθούν και στους δύο ανιχνευτές RHC φωτόνια και 50% πιθανότητα να ανιχνευτούν LHC φωτόνια
Η εξαΰλωση του positronium (ΙV)
1 2 1 2F = N R R - L L
Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων
χ1
y1
χ2
y2
Ας υπολογίσουμε το πλάτος πιθανότητας =
=
Ν
Ομοίως, βρίσκουμε ότι:
Οι ανιχνευτές ανιχνεύουν ταυτόχρονα τα θυγατρικά φωτόνια εάν και μόνο εάν τα πολωσίμετρα τους είναι τοποθετημένα κάθετα
μεταξύ τους.
Top Related