Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

28
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com [email protected] Η πολυμεσική προσέγγιση συνοπτικής θεωρίας Ορμής- Διατήρησης Ορμής-Κρούσεις γίνεται με τη μέθοδο «Ερώτηση - Απάντηση - Πείραμα στο διαδίκτυο - Λυμένο Παράδειγμα - Εφαρμογή» με σκοπό να συμπεριληφθούν οι περισσότερες περιπτώσεις που μπορεί να αντιμετωπίσει ένας μαθητής B΄Λυκείου. Εμπεριέχονται οι ιδέες και οι αποδείξεις του Βιβλίου Οργανισμού B΄ Λυκείου, αλλά η προσέγγισή μου δρα και συμπληρωματικά. Φιλοδοξία μου είναι η προσέγγισή μου να δικαιολογεί το χαρακτηρισμό «ΠΟΛΥΜΕΣΙΚΗ». Αρωγός μου στη προσπάθεια αυτή θα είναι το site μου: www.lam-lab.com. Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής- Κρούσεις B΄ Λυκείου

Transcript of Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Page 1: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Λάμπρος Αδάμ

www.lam-lab.com

[email protected]

Η πολυμεσική προσέγγιση συνοπτικής θεωρίας Ορμής-

Διατήρησης Ορμής-Κρούσεις γίνεται με τη μέθοδο

«Ερώτηση - Απάντηση - Πείραμα στο διαδίκτυο - Λυμένο

Παράδειγμα - Εφαρμογή» με σκοπό να συμπεριληφθούν

οι περισσότερες περιπτώσεις που μπορεί να αντιμετωπίσει

ένας μαθητής B΄Λυκείου. Εμπεριέχονται οι ιδέες και οι

αποδείξεις του Βιβλίου Οργανισμού B΄ Λυκείου, αλλά η

προσέγγισή μου δρα και συμπληρωματικά. Φιλοδοξία

μου είναι η προσέγγισή μου να δικαιολογεί το

χαρακτηρισμό «ΠΟΛΥΜΕΣΙΚΗ». Αρωγός μου στη

προσπάθεια αυτή θα είναι το site μου: www.lam-lab.com.

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου

Page 2: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 1

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

1η Ερώτηση: Όταν λέμε «Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις» ενός συστήματος τι εννοούμε;

Πότε ένα σύστημα είναι μονωμένο;

Απάντηση:

Αρχικά ορίζουμε το σώμα ή τα σώματα που θα αποτελούν το σύστημά μας. Όλα τα υπόλοιπα σώματα, εκτός του συστήματός μας, αποτελούν το περιβάλλον του.

Σε ένα σύστημα σωμάτων διακρίνουμε δύο είδη δυνάμεων:

α) αυτές που εμφανίζονται αποκλειστικά μεταξύ των σωμάτων που αποτελούν το σύστημα και τις οποίες ονομάζουμε εσωτερικές, και

β) τις δυνάμεις που προέρχονται από σώματα του περιβάλλοντος, εκτός συστήματος, σε σώμα ή σώματα του συστήματος μας και οι οποίες ονομάζονται εξωτερικές.

Παράδειγμα: Ας εξετάσουμε το σύστημα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ο μαγνήτης και η σφαίρα έχουν στερεωθεί πάνω σε αμαξάκια τα οποία μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές σε ένα οριζόντιο τραπέζι. Ποιες είναι οι εσωτερικές και ποιες οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται 1) σε κάθε ένα σώμα και 2) στα δύο σώματα, θεωρούμενα ως ένα σύστημα;

Ας τις προσδιορίσουμε αναλυτικά:

Στο μαγνήτη ασκούνται οι δυνάμεις:

α) Το βάρος του Β1.

β) Η αντίδραση N1 από την επιφάνεια στην οποία βρίσκεται.

γ) Η έλξη F από τη μεταλλική σφαίρα.

Στη μεταλλική σφαίρα ασκούνται οι δυνάμεις:

α) Το βάρος του Β2.

β) Η αντίδραση N2 από την επιφάνεια στην οποία βρίσκεται.

γ) Η έλξη F΄ από το μαγνήτη.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

Μαγνήτης Β1 , N1 , F Δυνάμεις μεταξύ μορίων μαγνήτη

Μεταλλική σφαίρα Β2 , N2 , F΄ Δυνάμεις μεταξύ μορίων σφαίρας

Μαγνήτης+ Μεταλλική σφαίρα Β1 , N1 , Β2 , N2 F , F΄, Δυνάμεις μεταξύ μορίων

Μονωμένο σύστημα ονομάζουμε το σύστημα στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις ή αν ασκούνται έχουν μηδενική συνισταμένη. Άρα:

0

ώF

ύ

έ

Page 3: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 2

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

Στο παράδειγμά μας ισχύει Β1 = Ν1 και Β2 = Ν2 .

Συνεπώς μόνο το σύστημα [μαγνήτης + μεταλλική σφαίρα] είναι μονωμένο. Έτσι η κίνησή τους θα καθορίζεται αποκλειστικά από τις εσωτερικές δυνάμεις.

2η Ερώτηση: Ποιο μέγεθος ονομάζουμε ορμή και ποια είναι η σχέση του μέτρου της ορμής

και της κινητικής ενέργειας ενός σώματος;

Απάντηση:

► Ορμή ενός σώματος: Ορίζουμε την ορμή p ενός σώματος ως το φυσικό μέγεθος που η τιμή του

εξαρτάται από τη μάζα και την ταχύτητα του σώματος. Συγκεκριμένα είναι:

Η ορμή, όπως προκύπτει από τη διπλανή σχέση, είναι μέγεθος διανυσματικό, που έχει κατεύθυνση την κατεύθυνση της

ταχύτητας του σώματος και η τιμή του είναι:

p = m·υ

Η μονάδα μέτρησής της στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων S.I. είναι το 1kg.m/s.

Προσοχή: Το σώμα μάζας m μπορεί να είναι ή υλικό σημείο ή στερεό σώμα που κάνει μεταφορική κίνηση!

► Σχέση μέτρου ορμής p και κινητικής ενέργειας Κ ενός σώματος:

2

222

2

1

mέή

mpmpή

} έάώ

m

pK

2

2

Δηλαδή μεταξύ δύο σωμάτων που έχουν την ίδια κατά μέτρο ορμή, μεγαλύτερη κινητική ενέργεια έχει το σώμα με την μικρότερη μάζα!

► Μια εφαρμογή:

Λόγω Αρχής Διατήρησης της Ορμής (βλέπε παρακάτω) αποδεικνύεται ότι κατά την εκπυρσοκρότηση ενός όπλου, η ορμή του όπλου είναι αντίθετη της ορμής του βλήματος, όμως η κινητική ενέργεια του μικρότερης μάζας βλήματος είναι πολύ μεγαλύτερη της κινητικής ενέργειας του όπλου. Γι αυτό και αν μας συναντήσει το βλήμα «θα μας πάνε τέσσερεις…», ενώ η κάνη απλά μας τινάζει λίγο το ώμο μας προς τα πίσω!

Page 4: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 3

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

► Ορμή συστήματος 2 σωμάτων:

Έστω 1p και 2p οι ορμές δύο

σωμάτων οι οποίες σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ. Τότε η ολική

ορμή p του συστήματος των δύο

αυτών σωμάτων θα είναι ίση με:

21 ppp

To μέτρο της ολικής ορμής είναι:

21

2

2

2

1 2 ppppp

Ενώ η διεύθυνσή της δίνεται από τη σχέση:

21

2

pp

p

► Διερεύνηση της παραπάνω σχέσης:

Αν φ=0 ( 1p , 2p =ομόρροπα) τότε: pολ=p1+p2

Αν φ=1800 ( 1p , 2p =αντίρροπα) τότε: pολ=|p1-p2|

ή

Όταν p1>p2 Όταν p1<p2

Αν φ=900 ( 1p , 2p =κάθετα) τότε:

2

2

2

1 ppp (μέτρο)

1

2

p

p

(διεύθυνση)

Page 5: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 4

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

3η Ερώτηση: Αποδείξαμε ότι η σχέση μέτρου ορμής και κινητικής ενέργειας για ένα σώμα

είναι: m

pK

2

2

. (1)

Για ένα σύστημα σωμάτων ισχύει αντίστοιχα: ??2

2

m

pK (2) ή

ΕΡΩΤΗΣΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος;

ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ: Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να μην έχει κινητική ενέργεια, αλλά να έχει ορμή;

Απάντηση: Ο Χ Ι Δ Ε Ν Ι Σ Χ Υ Ε Ι Η Σ Χ Ε Σ Η ( 2 ) Γ Ι Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Σ Ω Μ Α Τ Ω Ν !

Έστω ότι ένα σύστημα αποτελείται από 2 σώματα με μάζες m1 και m2, τα οποία έχουν κινητικές

ενέργειες αντίστοιχα Κ1 και Κ2, ενώ οι αντίστοιχες ορμές τους είναι 1p , 2p . Τότε η κινητική

ενέργεια του συστήματος θα είναι:

Κσυστ = Κ1 + Κ2

Λόγω του ότι ισχύει η σχέση (1) , μπορούμε να γράψουμε για την κινητική ενέργεια συστήματος:

2

2

2

1

2

121

22 m

p

m

pKKK (3) Κινητική ενέργεια συστήματος 2 σωμάτων

Ενώ για την ορμή του συστήματος ισχύει η διανυσματική σχέση:

21 ppp (4) Ορμή συστήματος 2 σωμάτων

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΡΩΤΗΣΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ:

Ναι, ένα σύστημα 2 σωμάτων μπορεί να έχει μηδέν ορμή και αυτό συμβαίνει όταν οι ορμές των σωμάτων είναι αντίθετες και διάφορες του μηδενός η καθεμία ορμή. Αυτό βγαίνει από τη σχέση (4):

2121 0 ppppp Τότε από τη σχέση (3) , αν p1=p2≠0, καταλήγουμε

ότι η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι διάφορη του μηδενός.

Άρα ένα σύστημα 2 σωμάτων μπορεί να έχει κινητική ενέργεια, χωρίς να έχει ορμή.

Αν όμως 1 σώμα δεν έχει ορμή τότε, με βάση τη σχέση (1), δεν μπορεί να έχει κινητική ενέργεια και το αντίστροφο!

Αν όμως ένα σύστημα 2 σωμάτων δεν έχει κινητική ενέργεια, τότε το σύστημα δεν μπορεί να έχει ορμή, αφού:

0000)4(

21

)1(

2121 pppKKKKK

Page 6: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 5

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

4η Ερώτηση: ποια σχέση συνδέει τη μεταβολή της ορμής, τη δύναμη που ασκείται στο σώμα,

με αποτέλεσμα να αλλάζει η ορμή του και το χρόνο δράσης της δύναμης; Ή αλλιώς πως εμφανίζεται ο 2ος νόμος του Νεύτωνα σε σχέση με τη μεταβολή ορμής ενός σώματος;

Απάντηση: Τη σχέση αυτή μπορούμε να τη βρούμε, αν συνδυάσουμε το θεμελιώδη νόμο της

Μηχανικής. Δηλαδή όταν σε σώμα μάζας m ασκηθεί συνισταμένη δύναμη F τότε αυτό θα

αποκτήσει επιτάχυνση a και έτσι ισχύει:

)5(

ή

ή

ό

t

p

t

ppF

t

mm

tmamF

------------**********----------

5η Ερώτηση: Ποιες εφαρμογές διέπουν τη σχέση (5) ?

Που μπορούμε να καταλήξουμε διερευνώντας τη σχέση (5) ?

1η ΕΦΑΡΜΟΓΗ:

Το τεράστιας μάζας δεξαμε-νόπλοιο, του σχήματος, έχει τεράστια ορμή και για να σταματήσει πρέπει να υποστεί τεράστια μεταβολή ορμής :

tFp

Για να συμβεί αυτό πρέπει η δύναμη τριβής από το νερό, να δράσει για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα (μεγάλο Δt).

Γι αυτό και σβήνει τις μηχανές του περίπου 25km πριν φτάσει στο λιμάνι!

Page 7: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 6

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

2η ΕΦΑΡΜΟΓΗ:

* Σημείωση: Ώθηση ονομάζεται το γινόμενο (δύναμη)*(χρόνο δράσης)

Page 8: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 7

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

Μεταβαίνουμε στο www.lam-lab.com/Β΄Λυκείου/Διατήρηση Ορμής

Βλέπετε το παρακάτω video και απαντάτε στο ερώτημα:

Crash Test: ΓΙΑΤΙ Ο ΟΔΗΓΟΣ ΜΑΛΛΟΝ ΤΗ ΓΛΥΤΩΝΕΙ ΟΤΑΝ

ΑΝΟΙΓΕΙ Ο ΑΕΡΟΣΑΚΟΣ, ΕΝΩ ΤΟ SUBARU WRX ΟΧΙ?

3η ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αν στη σχέση tFp η δύναμη είναι σταθερή ( ήF ) τότε η

μεταβολή ορμής θα είναι ομόρροπο διάνυσμα με το διάνυσμα της συνι-σταμένης δύναμης:

Αν ήF τότε p ↑↑ F

Άσκηση με ιδέα αυτή της 3ης Εφαρμογής:

Ένα σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ0 και μετά από λίγο περνά από τη θέση Α με

ταχύτητα υ1 και στη συνέχεια από τη θέση Β, έχοντας ταχύτητα υ2, όπως στο πρώτο σχήμα.

υ0→

→υ

→υ2

1

Α

BΔp→ Δp

Δp→

Δp→

(1) (2) (3) (4)

Δp→

(5)

Page 9: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 8

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

Ποιο από τα επόμενα σχήματα παριστά το διάνυσμα της μεταβολής της ορμής του σώματος, από τη

θέση Α μέχρι τη θέση Β; Δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα.

Στο σχήμα (2) το διάνυσμα έχει την κατεύθυνση της ταχύτητας υ1 και στο (3) την κατεύθυνση της υ2.

Απάντηση:

Η μεταβολή της ορμής έχει την ίδια κατεύθυνση με τη δύναμη

που δέχεται το σώμα, σύμφωνα με το γενικευμένο νόμο του

Νεύτωνα:

t

PF

Άρα εδώ το σωστό διάγραμμα είναι το (1), αφού η μόνη

δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι το βάρος του, δύναμη

κατακόρυφη, συνεπώς κατακόρυφη της ίδιας διεύθυνσης θα

είναι και η μεταβολή της ορμής.1

4η ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αν ενός σώματος είναι γνωστά τα διανύσματα της αρχικής του ορμής 1p

και της τελικής του ορμής 2p , τότε πως υπολογίζεται η μεταβολή της

ορμής 12 ppp (αφαίρεση διανυσμάτων) που υπέστη το σώμα;

Απάντηση:

Η μεταβολή (αφαίρεση) δύο διανυσμάτων είναι ουσιαστικά πρόσθεση του τελικού διανύ-σματος με το αντίθετο του αρχικού. Δηλαδή:

)( 1212 ppppp

1 Πηγή: Διονύσης Μάργαρης: www.ylikonet.gr

υ0→

→υ

→υ2

1

Α

B

Δp→

w→

Page 10: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 9

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

Άσκηση: ΑΦΑΙΡΩΝΤΑΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ: Στις παρακάτω ερωτήσεις θεωρείστε ότι το σώμα δέχεται μια δύναμη F, αμελητέας χρονικής διάρκειας, η οποία του μεταβάλει την

ορμή.

1) Ένα σώμα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα (α). Για να κινηθεί όπως στο σχήμα

(β) πρέπει να δεχτεί δύναμη. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα μπορεί να δείχνει την

κατεύθυνση της ασκούμενης δύναμης;

F

1

2

F F

F

)a( )(

2) Ένα σώμα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα (α). Για να κινηθεί όπως στο σχήμα

(β) πρέπει να δεχτεί δύναμη. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα μπορεί να δείχνει την

κατεύθυνση της ασκούμενης δύναμης;

F

1

2

F F

F

)a( )(

3) Ένα σώμα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα (α). Για να κινηθεί όπως στο σχήμα

(β) πρέπει να δεχτεί δύναμη. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα μπορεί να δείχνει την

κατεύθυνση της ασκούμενης δύναμης;

F

1

2

F

F

F

)a( )(

Page 11: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 10

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

4) Ένα σώμα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα (α). Για να κινηθεί όπως στο σχήμα

(β) πρέπει να δεχτεί δύναμη. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα μπορεί να δείχνει την

κατεύθυνση της ασκούμενης δύναμης;

F

1

2

F

F

F

)a( )(

2

2

2

Απάντηση:

Από το γενικευμένο νόμο του Νεύτωνα, παίρνουμε:

FΔt

P

Πράγμα που σημαίνει ότι η δύναμη έχει την ίδια πάντα κατεύθυνση με τη μεταβολή της

ορμής!

1) Στο πρώτο σχήμα:

1

2

)a( )( 2P

1P

P

F

12 ppp

Δp=p2-p1>0 φορά δεξιά.

Δηλαδή η μεταβολή της ορμής είναι προς τα δεξιά, άρα προς τα δεξιά και η ασκούμενη

δύναμη.

2) Στο δεύτερο:

2P

1PP

F

1

2

)a( )(

Page 12: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 11

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

12 ppp

Δp=p2-p1<0 φορά αριστερά.

Η μεταβολή της ορμής είναι προς τα αριστερά, άρα προς τα αριστερά και η ασκούμενη

δύναμη.

3) Στο τρίτο:

F

1

2

)a( )(

2P

1P

1P

P

Η μεταβολή της ορμής υπολογίζεται με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου, αφού:

1212 PPPPP

Οπότε την ίδια κατεύθυνση θα έχει και η ασκούμενη δύναμη. 4) Στην τέταρτη περίπτωση:

F

2P

1P

1P

P

1

2

)a( )(

Σύμφωνα και με την προηγούμενη περίπτωση.2

------------**********----------

6η Ερώτηση: Πως από τη σχέση tFp καταλήγουμε στην Αρχή Διατήρησης της Ορμής ?

Απάντηση: Αν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων 0 F τότε το σύστημα είναι

μονωμένο οπότε η ορμή του μονωμένου συστήματός μας δεν θα μεταβάλλεται: 0p , δηλαδή

pppp 0

2 Πηγή: Διονύσης Μάργαρης www.ylikonet.gr

Page 13: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 12

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

► 1ο video εφαρμογή Α.Δ.Ο. στο www.lam-lab.com Μεταβαίνουμε στο www.lam-lab.com/Β΄Λυκείου/Διατήρηση Ορμής

Βλέπετε το παρακάτω video και απαντάτε στο ερώτημα:

Τη στιγμή της έκρηξης του Challenger διατηρείται η ορμή πριν και μετά την έκρηξη; ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ...... ΚΑΙ.... LIVE ΕΚΡΗΞΗ ΤΟΥ CHALLENGER ΣΤΙΣ 1/28/1986

► 2ο video εφαρμογή Α.Δ.Ο. στο www.lam-lab.com Μεταβαίνουμε στο www.lam-lab.com/Β΄Λυκείου/Διατήρηση Ορμής

Βλέπετε το παρακάτω video και απαντάτε στο ερώτημα:

Πως γίνεται να διατηρείται η ορμή, αφού το τρίκυκλο επιταχύνεται όταν ο πυροσβεστήρας μπαίνει σε λειτουργία;

ΠΕΙΡΑΜΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΟΥ ΜΙΤ: Fire Extinguisher on a Tricycle

► 3ο video εφαρμογή Α.Δ.Ο. στο www.lam-lab.com Μεταβαίνουμε στο www.lam-lab.com/Β΄Λυκείου/Διατήρηση Ορμής

Βλέπετε το παρακάτω video και απαντάτε στο ερώτημα:

Οι άνθρωποι αλληλοτραβιούνται και παρόλα αυτά το κίτρινο σημείο (κέντρο μάζας τους) δεν κινείται. Γιατί;

Page 14: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 13

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΤΟΥ ΜΙΤ: ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΑΡΟΤΣΑΚΙΑ+ΑΝΘΡΩΠΟΙ

► 4ο video εφαρμογή Α.Δ.Ο. στο www.lam-lab.com Μεταβαίνουμε στο www.lam-lab.com/Β΄Λυκείου/Διατήρηση Ορμής

Βλέπετε το παρακάτω video και απαντάτε στο ερώτημα: ΜΗΠΩΣ ΣΤΗΝ ΕΚΡΗΞΗ ΤΩΝ ΒΕΓΓΑΛΙΚΩΝ ΒΛΕΠΕΤΕ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ?

► 5ο video εφαρμογή Α.Δ.Ο. στο www.lam-lab.com Μεταβαίνουμε στο www.lam-lab.com/Β΄Λυκείου/Διατήρηση Ορμής

Βλέπετε το παρακάτω video και απαντάτε στο ερώτημα:

ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2 ΚΑΡΟΤΣΑΚΙΑ+ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΕΙΝΑΙ ΜΟΝΩΜΕΝΟ ΑΠΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ. ΒΛΕΠΕΤΕ ΟΤΙ Η ΟΡΜΗ ΤΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΕΝ ΑΛΛΑΖΕΙ, ΠΑΡΟΛΟ ΠΟΥ Η ΟΡΜΗ ΤΟΥ ΚΑΘΕ ΚΑΡΟΤΣΙΟΥ ΑΛΛΑΖΕΙ? (VIDEO: Πανεπιστήμιο ΜΙΤ)

Page 15: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 14

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

7η Ερώτηση: Πότε ισχύει και πότε δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής στις κρούσεις;

Συνήθως λέμε ότι σε κάθε κρούση ισχύει η ΑΔΟ και ξεχνάμε να πούμε ότι το σύστημα των σωμάτων είναι μονωμένο. Είναι «λογικό» να γίνεται αυτό; Η αλήθεια είναι ότι στην συντριπτική πλειονότητα των κρούσεων είναι σωστό. Ας δούμε όμως τα πράγματα από πιο κοντά… Παράδειγμα 1°: Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται μια σφαίρα Α και συγκρούεται μετωπικά με ακίνητη σφαίρα Β. Ισχύει η Α.Δ.Ο.;

Στο σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σφαίρα στη διάρκεια της κρούσης. Στον κατακόρυφο άξονα y κάθε σφαίρα ισορροπεί και ΣFy=0. Συνεπώς για κάθε σφαίρα η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική, οπότε και το διανυσματικό άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος είναι ίσο με μηδέν. Το σύστημα είναι μονωμένο και οι μεταβολές της ορμής κάθε σφαίρας, οφείλονται στις εσωτερικές δυνάμεις F1-F2. Έτσι ισχύει η Α.Δ.Ο και μπορούμε να γράψουμε:

Παράδειγμα 2°: Ένα σώμα Α κατεβαίνει κατά μήκος ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου και σε μια στιγμή συγκρούεται με σώμα Β, που ελάχιστα πριν τη κρούση δεν είχε ταχύτητα. Ισχύει η Α.Δ.Ο.;

Page 16: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 15

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται στα δύο σώματα. Στη διάρκεια της κρούσης, στην διεύθυνση την παράλληλη στο επίπεδο, εκτός των εσωτερικών δυνάμεων F1, F2 ασκούνται και οι συνιστώσες των δύο βαρών W1x και W2x που είναι εξωτερικές δυνάμεις για το σύστημα. Όμως οι ωθήσεις αυτών των δυνάμεων είναι αμελητέες σε σχέση με τις ωθήσεις των εσωτερικών δυνάμεων F1-F2. Έτσι εφαρμόζουμε για το σύστημα την Α.Δ.Ο….. (Ώθηση μιας σταθερής δύναμης ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που έχει την κατεύθυνση της δύναμης και μέτρο Ω=F·Δt, όπου Δt ο χρόνος που ασκείται σε ένα σώμα). Συμπέρασμα: Όταν οι εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα είναι μικρές και επίσης απειροστός ο

χρόνος δράσης τους, τότε το σύστημα μπορεί να θεωρηθεί μονωμένο! Παράδειγμα 3°: Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Α μάζας Μ. Ένα βλήμα μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ που σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια διεύθυνση, σφηνώνεται στο σώμα Α. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση.

Προφανώς το βλήμα έχει ορμή στην διεύθυνση της ταχύτητας υ, ενώ μετά την κρούση το συσσωμάτωμα θα κινηθεί οριζόντια. Η ορμή λοιπόν του συστήματος δεν διατηρείται για την κρούση αυτή. Στο (β) σχήμα έχουμε σχεδιάσει τις εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα στη διάρκεια της κρούσης. Για να μηδενιστεί η ορμή στον κατακόρυφο άξονα, θα πρέπει η κάθετη αντίδραση του επιπέδου να είναι πολύ μεγαλύτερη του βάρους!!!

Page 17: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 16

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

Δεν υπάρχουν όμως εξωτερικές δυνάμεις στον οριζόντιο άξονα, οπότε μπορούμε να εφαρμόσουμε την διατήρηση της ορμής για τον άξονα x:

3 Άρα η διατήρηση της ορμής ισχύει σε άξονα κάθετο στα «τέρατα» δυνάμεις!

-----------------**********----------------

8η Ερώτηση: Τι ονομάζουμε κρούση γενικά αλλά και στην ατομική

φυσική;

Απάντηση: Όταν δύο σώματα συγκρούονται, για παράδειγμα όταν χτυπάνε δύο μπάλες του μπιλιάρδου (σχ. 5.1), η κινητική κατάστασή τους ή τουλάχιστον ενός από αυτά μεταβάλλεται απότομα. Οι απότομες αυτές αλλαγές της κίνησης προκαλούνται από τις ισχυρές δυνάμεις που αναπτύσσονται ανάμεσα στα σώματα που συγκρούονται, κατά τη μικρή διάρκεια της επαφής τους.

Η έννοια της κρούσης έχει επεκταθεί και στο μικρόκοσμο όπου

συμπεριλαμβάνει και φαινόμενα όπου τα "συγκρουόμενα"

σωματίδια δεν έρχονται σε επαφή. Για παράδειγμα όταν

ένα σωματίδιο α (πυρήνας He) κινείται προς ένα άλλο

πυρήνα (Π), οι αλληλεπιδράσεις τους, που είναι πολύ

ασθενείς όταν βρίσκονται μακριά, γίνονται πολύ ισχυρές

όταν τα σωματίδια πλησιάσουν με αποτέλεσμα την

απότομη αλλαγή στην κινητική τους κατάσταση. Η χρονική

διάρκεια μεταβολής της κινητικής τους κατάστασης είναι πολύ μικρή. Αν μπορούσαμε να

κινηματογραφήσουμε το φαινόμενο θα βλέπαμε ότι μοιάζει με τη σύγκρουση δύο σωμάτων, μόνο

που εδώ τα σώματα δεν έρχονται σε επαφή. Ονομάζουμε, λοιπόν, κρούση και κάθε φαινόμενο του

μικρόκοσμου, στο οποίο τα "συγκρουόμενα " σωματίδια, αλληλεπιδρούν με σχετικά μεγάλες

δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο. Το φαινόμενο αυτό στη σύγχρονη φυσική ονομάζεται

και σκέδαση (σχ. 5.2).

3 Πηγή: Διονύσης Μάργαρης www.ylikonet.gr

Page 18: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 17

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

9η Ερώτηση: Πως κατατάσσονται οι κρούσεις ανάλογα με το αν χάνουν κινητική ενέργεια

τα συγκρουόμενα σώματα ή όχι;

Απάντηση: Κατά τη σύγκρουση δύο σωμάτων ένα μέρος της μηχανικής τους ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα. Στην ιδανική περίπτωση που η κινητική ενέργεια των σωμάτων δε μεταβάλλεται με την κρούση, η κρούση ονομάζεται ελαστική. Επειδή η κρούση είναι ένα φαινόμενο αμελητέας χρονικής διάρκειας, η βαρυτική δυναμική ενέργεια των σωμάτων - που εξαρτάται από τη θέση τους στο χώρο - δε μεταβάλλεται. Επομένως : Ελαστική είναι η κρούση στην οποία διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος των

συγκρουόμενων σωμάτων.

ά

ήήύ

ή

:

Στο μακρόκοσμο η ελαστική κρούση αποτελεί μια εξιδανίκευση. Προσεγγιστικά ελαστική μπορεί να θεωρηθεί η κρούση ανάμεσα σε δύο πολύ σκληρά σώματα, όπως ανάμεσα σε δύο μπάλες του μπιλιάρδου. Στο μικρόκοσμο όμως έχουμε κρούσεις απολύτως ελαστικές όπως αυτή που περιγράψαμε προηγουμένως ανάμεσα στο σωμάτιο α και τον πυρήνα.

Ανελαστική, ονομάζεται η κρούση στην οποία ένα μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων μετατρέπεται σε θερμότητα.

Μια ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι εκείνη που

οδηγεί στη συγκόλληση των σωμάτων - στη δημιουργία

συσσωματώματος. Αυτή η κρούση ονομάζεται πλαστική.

ό

ά

ήή Q

ύ

ήή

ή

:

ή Εικ. 5.4 Η κρούση ανάμεσα στα αυτοκίνητα της εικόνας είναι σχεδόν πλαστική.

ήή

ά

ήήόQ

ύ

ήή

ή

:

Page 19: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 18

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

Το ποσοστό (π) επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που μετατρέπεται σε θερμότητα, κατά τη διάρκεια μιας ανελαστικής κρούσης, βρίσκεται με την απλή μέθοδο των

τριών: Από την ή

ή

μετατράπηκε σε θερμότητα: ήόQ

Στα 100 π=?

Άρα:

%100||

%100

ήή

Q

Σπουδαίες παρατηρήσεις:

1. Εκτός από τη θερμότητα στις ανελαστικές κρούσεις έχουμε συναντήσει άλλη μια θερμότητα και

συγκεκριμένα τη θερμότητα που αναπτύσσεται κατά την κίνηση ενός σώματος, όταν σε αυτό

αναπτύσσεται σταθερή τριβή ολίσθησης. Δηλαδή:

ήόήs

sTWίή

έό

ίή

όόQ

ίTό

.

2. Αν δεν έχουμε ανελαστική κρούση, αλλά έχουμε μια ΕΚΡΗΞΗ, τότε η κινητική ενέργεια του

συστήματος αυξάνει, δηλαδή μέρος της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος πριν την έκρηξη

(χημική ενέργεια βόμβας) μετατρέπεται σε αύξηση κινητικής ενέργειας του συστήματος, μετά

την έκρηξη. Δηλαδή:

.. KKKE

έ

έ

ύά

ήώ

► 6ο video εφαρμογή Α.Δ.Ο. στο www.lam-lab.com

Μεταβαίνουμε στο www.lam-lab.com/Β΄Λυκείου/Διατήρηση Ορμής

Βλέπετε το παρακάτω video και απαντάτε στο ερώτημα:

Απούσης της βαρύτητας διατηρείται η ορμή κατά την ελαστική κρούση των μπαλών του τέννις;

Page 20: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 19

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΙΚΟ ΣΤΑΘΜΟ: ΔΕΙΤΕ ΤΙΣ ΜΠΑΛΛΕΣ ΤΟΥ ΤΕΝΝΙΣ ΝΑ ΑΝΤΑΛΛΑΣΟΥΝ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

10η Ερώτηση: Μπορούμε σε ένα μονωμένο σύστημα να εφαρμόσουμε αρχή Διατήρησης

της Ορμής σε δύο κάθετους μεταξύ τους άξονες; ΝΑΙ μπορούμε και για επιβεβαίωση λύνουμε το Παράδειγμα:

Δύο σώματα με μάζες m1 = 2 kg και m2 = 3 kg κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις με ταχύτητες υ1 = 10 m/s και υ2 = 5 m/s και κάποια στιγμή συγκρούονται πλαστικά. Να βρεθούν:

A) Η ταχύτητα του συσσωματώματος που δημιουργείται από την πλαστική κρούση των δύο

σωμάτων.

B) Η μεταβολή της ορμής που υπέστη το κάθε σώμα κατά την πλαστική κρούση και

Γ) Το ποσοστό % της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων που

έγινε θερμότητα κατά την κρούση Απάντηση :

Α) Έστω V η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την

κρούση. Αν p η ορμή του συστήματος αμέσως πριν την

κρούση και άp η ορμή αμέσως μετά την κρούση, λόγω του ότι

το σύστημα είναι μονωμένο, θα ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής για το σύστημα των δύο σφαιρών, δηλαδή θα είναι:

άpp

Αναλύουμε το διάνυσμα V σε δύο συνιστώσες τη Vx κατά την διεύθυνση x και τη Vy κατά τη διεύθυνση y (σχ. 5.8). Όταν δύο διανύσματα είναι ίσα, είναι ίσες και οι συνιστώσες τους, επομένως:

Page 21: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 20

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

από όπου βρίσκουμε, κάνοντας και χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος:

Β) Αρχικά υπολογίζουμε τη μεταβολή ορμής της κάθε σφαίρας στην παραπάνω

κρούση, σε κάθε άξονα ξεχωριστά:

Άξονας x: 012111111 s

mkgmVmppp xx

ά

xx φορά αριστερά

01202222 s

mkgVmppp xx

ά

xx

φορά δεξιά

Άξονας y: 0601111 s

mkgVmppp yy

ά

yy

φορά πάνω

06222222 s

mkgmVmppp yy

ά

yy φορά κάτω

Page 22: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 21

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

(μέτρο): s

mkgppp yx 4,132

1

2

11 s

mkgppp yx 4,132

2

2

22

(διεύθυνση): 2

1

12

6

1

1

1

x

y

p

p

2

1

12

6

2

2

2

x

y

p

p

Προσοχή: για τη μεταβολή ορμής του σώματος m1 (ή m2) χρησιμοποιούμε τη μάζα του m1

(ή m2) και μετά την πλαστική κρούση, παρόλο που το m1 (ή m2) δεν υπάρχει μόνο του, αλλά υπάρχει ως συσσωμάτωμα. Δεν χρησιμοποιούμε τη μάζα του συσσωματώματος, αλλά μόνο το σώμα m1 (ή m2)!!

Γενίκευση: είτε πρόκειται για Διατήρηση Ορμής είτε πρόκειται για Μεταβολή Ορμής,

δηλαδή είτε πρόκειται για άθροισμα είτε πρόκειται για διαφορά διανυσμάτων, αυτό μπορεί να γίνεται αλγεβρικά σε κάθε ένα άξονα, συστήματος καθέτων αξόνων και μετά με Πυθαγόρειο Θεώρημα βρίσκουμε το μέτρο του ζητούμενου διανύσματος, δίνοντας επίσης τη διεύθυνσή του μέσου της εφθ.

Γ) Η αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων πριν την κρούση είναι ίση με:

Jmm 5,1372

1

2

1 2

22

2

11.

Η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος των δύο σωμάτων μετά την κρούση είναι ίση με:

JVmmά 5,62)(2

1 2

21.

Page 23: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 22

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

Η θερμότητα που αναπτύχθηκε κατά την πλαστική κρούση είναι ίση με:

JJJQ ά

ό 755,625,137..

Το ποσοστό % της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων που έγινε

θερμότητα κατά την κρούση είναι:

Άρα:

%5,54%1005,137

75%100

||%100

J

JQήή

11η Ερώτηση: Κατά την μετωπική ελαστική κρούση δύο σφαιρών που μόνο μεταφέρονται

(χωρίς να περιστρέφονται), ποια είναι η μέγιστη δυναμική ενέργεια ελαστικής

παραμόρφωσης των δύο σωμάτων; !!!

ΑΣΚΗΣΗ : Ένας κύβος μάζας m1 = 2 kg κινείται

ευθύγραμμα και ομαλά σε λείο οριζόντιο επίπεδο με

ταχύτητα μέτρου υ1 = 10 m/s. Μπροστά του, στην

ίδια κατεύθυνση, κινείται ομαλά ένας άλλος κύβος

μάζας m2 = 8 kg με ταχύτητα μέτρου υ2 = 5 m/s.

Στην πίσω πλευρά του είναι στερεωμένο ιδανικό

ελατήριο φυσικού μήκους l0 = 1 m και σταθεράς k = 1000 Ν/m. Ο άξονας του ελατηρίου

συμπίπτει με την ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των δύο κύβων.

α. Αρχικά θα αποδείξουμε ότι η δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης ενός ελατηρίου δίνεται

από τον τύπο 2)(

2

1 kU , όπου k =σταθερά ελατηρίου και Δl = παραμόρφωση ελατηρίου.

Κατόπιν να βρείτε:

β. Την κοινή ταχύτητα με τις οποία θα κινηθούν τα δύο σώματα, κατά τη διάρκεια που το

ελατήριο συσπειρώνεται.

γ. Την ελάχιστη απόσταση στην οποία θα πλησιάσουν οι κύβοι.

δ. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που έγινε μέγιστη δυναμική ενέργεια

παραμόρφωσης του ελατηρίου, κατά τη διάρκεια της ελαστικής κρούσης.

υ2 υ1

m2 m1

Page 24: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 23

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

ΛΥΣΗ:

α. Η δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης ελατηρίου

Έστω ένα ελατήριο, το ένα άκρο του οποίου είναι σταθερά

δεμένο. Αν στο άλλο άκρο του ασκήσουμε μια δύναμη F

μπορούμε να το επιμηκύνουμε κατά Δℓ, ενώ ο νόμος του

Ηοοke, ο οποίος συνδέει την ασκούμενη δύναμη και το

αποτέλεσμα της δράσης της (παραμόρφωση) μας δίνει F=k∙Δℓ.

Ας επιστρέψουμε ξανά στο ελατήριο και ασκώντας συνεχώς στο άκρο του μια μεταβλητή

δύναμη F, κινούμε το άκρο του προς τα δεξιά, επιμηκύνοντάς το αργά-αργά, μέχρι μιας

τελικής επιμήκυνσης Δℓ.

Σε κάθε θέση θα ισχύει F=k∙x, όπου x η μετατόπιση του άκρου (ίση προφανώς με την

επιμήκυνση του ελατηρίου). Αλλά τότε η δύναμη F, παράγει έργο, το οποίο εκφράζει την

ενέργεια που μεταφέρεται από το χέρι μας, στο ελατήριο. Ναι, αλλά πόσο είναι το έργο της

δύναμης αυτής;

Αφού η δύναμη δεν έχει σταθερό μέτρο, το έργο της θα

υπολογιστεί με τη βοήθεια του διαγράμματος F-x, όπως στο

διπλανό σχήμα.

Το έργο της δύναμης F, είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του

τριγώνου που έχει κίτρινο χρώμα:

2)(2

1)()(

2

1 kkWF

Αλλά τότε, στη διάρκεια της επιμήκυνσης του ελατηρίου, μεταφέρθηκε (από εμάς που το

τραβήξαμε), μέσω του έργου της δύναμης F, στο ελατήριο ενέργεια ίση με 2)(2

1k , οπότε το

ελατήριο περικλείει (έχει) ενέργεια ίση με 2)(2

1 kU . Η ενέργεια αυτή αποκαλείται

δυναμική ελαστική ενέργεια και είναι η ενέργεια που ένα παραμορφωμένο ελατήριο,

μπορεί να αποδώσει σε ένα σώμα, το οποίο θα συνδεθεί με αυτό. 4

4 Διονύσης Μάργαρης: www.ylikonet.gr

F

Δ

F

x

0

kF

Page 25: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 24

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

Άρα:

2)(2

1

k

ί

έ

ή

U

β. ΦΥΣΙΚΗ – ΦΥΣΙΚΟΥ - ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ (Φ.Φ.Φ.)

Αρχικά το m1 έχει υ1>υ2, οπότε τα δύο σώματα πλησιάζουν μεταξύ τους. Έτσι το m1 θα πέσει

πάνω στο ελατήριο και θα το υποχρεώσει να συσπειρωθεί. Τότε το ελατήριο θα ασκήσει δύναμη

στο m1 αντίρροπη από την ταχύτητά του, υποχρεώνοντάς το να επιβραδυνθεί, δηλαδή αρχίζει

η μείωση της ταχύτητας του. Ταυτοχρόνως το ελατήριο ασκεί ίσου μέτρου δύναμη και στο m2,

Page 26: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 25

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

αλλά αυτή η δύναμη είναι ομόρροπη της ταχύτητάς του, υποχρεώνοντάς το να επιταχυνθεί,

δηλαδή να αυξήσει την ταχύτητά του.

Όσο το η ταχύτητα V1 του m1 είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα V2 του m2, τα σώματα θα

πλησιάζουν μεταξύ τους και το ελατήριο θα βρίσκεται σε φάση συσπείρωσης, άρα η μέγιστη

συσπείρωσή του θα συμβεί στο μέλλον, όχι όταν είναι V1 > V2.

Όσο το η ταχύτητα V1 του m1 είναι μικρότερη από την ταχύτητα V2 του m2, τα σώματα θα

απομακρύνονται μεταξύ τους και το ελατήριο θα βρίσκεται σε φάση αποσυσπείρωσης, άρα η

μέγιστη συσπείρωσή του θα έχει συμβεί στο παρελθόν, όχι όταν είναι V1 < V2

Άρα: η μέγιστη συσπείρωση Δlmax του ελατηρίου (τότε τα σώματα θα βρίσκονται στην

ελάχιστη μεταξύ τους απόσταση) θα συμβεί όταν τα δύο σώματα έχουν στιγμιαία κοινή

ταχύτητα VK !!!

Το σύστημα m1-ελατήριο-m2 είναι μονωμένο, αφού οι δυνάμεις του ελατηρίου στα σώματα

είναι εσωτερικές του συστήματος. Άρα με Αρχή Διατήρησης της Ορμής για το σύστημα από

την κατάσταση του σχήματος 1 μέχρι την κατάσταση του σχήματος 2, υπολογίζουμε την κοινή

ταχύτητα VK των δύο σωμάτων. Θεωρώ θετική φορά διανυσμάτων προς τα δεξιά:

Α.Δ.Ο. KVmmmm )( 212211

Άρα: smVK /6

γ. Εφαρμόζουμε τώρα Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας για το σύστημα από την

κατάσταση του σχήματος 1 μέχρι την κατάσταση του σχήματος 2 υπολογίζουμε την μέγιστη

συσπείρωση του ελατηρίου Δlmax:

Page 27: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 26

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

ml

lkVmmmm K

2,0

2

1)(

2

1

2

1

2

1

max

2

max

2

21

2

22

2

11

2

..

1

..

(I)

Άρα η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σωμάτων είναι:

mmmllx 8,02,01max0min

δ. Το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που έγινε

μέγιστη δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης του ελατηρίου, είναι:

%10%100

2

1

2

12

1

%1002

22

2

11

2

max

.

max

mm

lk

K

ί

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σε κάθε κεντρική ελαστική κρούση δύο σωμάτων, ναι μεν μπορεί να μην

υπάρχει ελατήριο ανάμεσα στα συγκρουόμενα σώματα, αλλά τα ίδια τα

σώματα λειτουργούν όπως εδώ λειτούργησε το ελατήριο. Άρα μεθοδολογικά,

το πρόβλημα υπολογισμού της μέγιστης ελαστικής δυναμικής ενέργειας

παραμόρφωσης, στην κεντρική ελαστική κρούση δύο σωμάτων,

αντιμετωπίζεται με τον ίδιο τρόπο! Δηλαδή:

1. ΜΕ Α.Δ.Ο. ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΟΙΝΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ και

2. ΜΕ Α.Δ.ΕΜΗΧ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Page 28: Πολυμεσική Θεωρία Ορμής-Διατήρησης Ορμής- Β΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις B΄ Λυκείου 27

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:

1. Διονύσης Μάργαρης : www.ylikonet.gr

2. Paul G. Hewitt : «Οι έννοιες της Φυσικής» Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

3. Πανεπιστήμιο M.I.T. :

http://video.mit.edu/watch/mit-physics-demo-collapsing-solenoid-12026/

4. Λάμπρος Αδάμ : www.lam-lab.com

5. Σχολικό βιβλίο Β΄ Λυκείου θετικού προσανατολισμού.

6. Σχολικό βιβλίο Γ΄ Λυκείου θετικού προσανατολισμού.