Συμμετρίεςκαι νόμοι διατήρησης

Συμμετρία και Μετασχηματισμοί (Ι)

Οι δύο καταστάσεις του ιονισμένου μορίου του υδρογόνου

μετασχηματισμός «κατοπτρισμού»

Ας προσδιορίσουμε τα στοιχεία πίνακα του

τελεστή «κατοπτρισμού» (στις καταστάσεις βάσης |

1> και |2>, αναπαράσταση )

Συμμετρία και Μετασχηματισμοί (ΙΙ)Έστω ότι την χρονική στιγμή t=0, το σύστημα του μορίου του ιονισμένου υδρογόνου βρισκόταν στην κατάσταση |1>. Αργότερα, την χρονική στιγμή t=15s, η κατάσταση του συστήματος θα περιγράφεται από το διάνυσμα κατάστασης U(t=15s,t=0)|1>. Επί παραδείγματι:

Αντίστροφα, εάν το σύστημα βρίσκεται την χρονική στιγμή t=0 στην κατάσταση |2> και η φύση «σέβεται» την συμμετρία κατοπτρισμού, τότε:

Η διατήρηση της συμμετρίας σε μετέπειτα χρόνους γενικεύεται σ΄ όλες τις περιπτώσεις που η «φυσική» του συστήματος μένει αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς όπως, στροφές γύρω από άξονα, μεταφορά στη θέση, κατοπτρισμούς, αμοιβαία μετάθεση των συστατικών του συστήματος (μποζόνια) κτλ

Συμμετρία και Μετασχηματισμοί (ΙΙΙ)

Έστω ο τελεστής Q ο οποίος αλλάζει την κατάσταση του συστήματος από |ψ> σε |ψ’>.

Συγκεκριμένα, έστω ότι την χρονική στιγμή t=0,

Το αρχικό σύστημα εξελίσσεται συναρτήσει του χρόνου, ως:Αλλά και μετά τον μετασχηματισμό Q, το σύστημα εξελίσσεται συναρτήσει του χρόνου, ως:

Εάν η «φυσική» του συστήματος παραμένει αναλλοίωτη κατά τον μετασχηματισμό Q, θα μπορούσαμε να καταλήγαμε στην κατάσταση |ψ’2> αφήνοντας το σύστημα να εξελιχθεί χρονικά από την κατάσταση |ψ1> στην κατάσταση |ψ2> και μετά να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Q:

Ο μετασχηματισμός που εκφράζεται από τον τελεστή Q αντιστοιχεί σε συμμετρία του συστήματος εάν: «δεν έχει σημασία πότε» θα εφαρμόσουμε αυτόν τον

μετασχηματισμόΟι τελεστές αντιμετατίθενται

12ˆˆ' QU

2 1ˆ ˆ' QU

Συμμετρίες και Νόμοι ΔιατήρησηςΈνας μετασχηματισμός αφήνει αναλλοίωτο ένα

σύστημα:

«αναλλοίωτο» σημαίνει ότι οι πιθανότητες παραμένουν οι ίδιες. Επί παραδείγματι στο σύστημα του ιονισμένου μορίου του υδρογόνου ισχύει ότι την χρονική στιγμή t=0:

IIeIIPIeIP ii

11

ˆˆ

Εάν ο μετασχηματισμός Q, κάποια χρονική

στιγμή, αφήνει αναλλοίωτη τη «φυσική» του συστήματος τότε το

σύστημα θα διατηρεί αυτή την ιδιότητα για πάντα

(απλώς άλλαξε τη φάση)

Ιδιοτιμές του Τελεστή Αντιστροφής- Ομοτιμία

Ας γενικεύσουμε τον μετασχηματισμό κατοπτρισμού σε μετασχηματισμό αντιστροφής

P̂

r r

r r

ˆ' iP e Εάν το σύστημα είναι αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς αντιστροφής:

Ας αντιστρέψουμε ακόμα μία φορά το σύστημα: δύο αντιστροφές μας φέρνουν στην αρχική

θέσηΠροφανώς η δεύτερη αντιστροφή μας έφερε στην αρχική κατάσταση

εάν…

Όταν ένα σύστημα είναι αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς αντιστροφής ευρίσκεται σε καθορισμένη κατάσταση ομοτιμίας.

Άρτιας ομοτιμίας όπως η στάσιμη κατάσταση |Ι> ( ) ή περιττής ομοτιμίας όπως η άλλη στάσιμη κατάσταση (|ΙΙ>) του

ιονισμένου μορίου του υδρογόνου,

P̂ Ι = + Ι

P̂ ΙΙ = - ΙΙ

Οι καταστάσεις πόλωσης του φωτονίου

• Πολωμένο φώς

• Γραμμικά και κυκλικά πολωμένο φως

• Καταστάσεις βάσης – καταστάσεις πόλωσης

y

x

y

x

Ε Ε

Πόλωση του Φωτός

X πόλωση

Ε

Β

Y πόλωση

Γραμμικά Πολωμένο

Φως

Χ

ΥW

Γραμμική πόλωση στη διεύθυνση W (η

Χ και η Υ συνιστώσα του Ε έχουν μηδενική διαφορά φάσης)

Κυκλική πόλωση: Οι συνιστώσες του Ε στον Χ και Υ άξονα

έχουν ίδιο πλάτος και διαφορά φάσης 90ο

Ελλειπτική πόλωση: Οι συνιστώσες του Ε στον Χ και Υ άξονα

έχουν διαφορά φάσης φο

Πόλωση ενός Φωτονίου

ΔέσμηΓραμμικά Πολωμένου Φωτός στη διεύθυνση Χ

Χ

ΔέσμηΓραμμικά Πολωμένου Φωτός στη διεύθυνση Υ

Υ

Φωτόνια στην κατάσταση πόλωσης

y

Φωτόνια στην κατάσταση πόλωσης

x

Διεύθυνση Πόλωσης

Αλλαγή Διεύθυνσης Πόλωσης

Χ’

Διεύθυνση Πόλωσης

2 2P x x' cos θ

Ε=Εοcosθ

Εο

Νόμος του Malus: Ι=Ιοcos2θ

.ή

2P cos θ

RCL και LCL διανύσματα βάσηςi t

i t

e

e

iπ/2

x

y e

i t

i t

e

e

iπ

iπ/2

x e

y e

1' ' '

21

' ' '2

R x i y

L x i y

-

+

Πολωμένο Φώςκαι Στροφορμή

Μετασχηματισμοί και Νόμοι Διατήρησης (Ι)

φ

zΈστω ένα φυσικό σύστημα με διάνυσμα

κατάστασης ,του οποίου η «φυσική» παραμένει αναλλοίωτη σε στροφές γύρω από τον άξονα z

οψ

Ας επαναλάβουμε την στροφή για ακόμα μία φορά

Το ίδιο αποτέλεσμα πρέπει να έχουμε ένα εξ αρχής επιχειρούσαμε στροφή κατά 2φ

2ˆ (2 ) izR e ο οψ ψ

Για οποιανδήποτε γωνία φ θα ισχύει ότι:

Επειδή η φυσική του συστήματος παραμένει αναλλοίωτη σ΄ αυτές τις στροφές:

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ,0) ( ,0) ( )ˆ

ˆ ( ,0)

( ) '

'

z z

i

z

imm

R U t U t R

e U t

R

e

ο ο

ο

ο

ο

ψ ψ

ψψ

ψ

Ο παράγων m είναι χαρακτηριστικό μέγεθος του συστήματος που παραμένει ανεξάρτητο του χρόνου. Αποτελεί σταθερά του φυσικού συστήματος.

Εν προκειμένω, αφορά στην διατήρηση της στροφορμής κατά τον άξονα περιστροφής Ζ

zJ = m

Πολωμένο Φως

χ y

z

φ

χ’

y’

Όταν το RHC φως ειδωθεί από νέο σύστημα συντεταγμένων, στραμμένο κατά γωνία φ, γύρω από τον άξονα z (άξονα πόλωσης του spin του φωτονίου) τότε:

i

m

iφ mφ

1

R' R e R e

Η στροφή του συστήματος συντεταγμένων κατά γωνία φ γύρω από τον άξονα διάδοσης z αφήνει το φωτόνιο το ίδιο (αναλλοίωτη πόλωση RHC, αναλλοίωτη ενέργεια

κ.τ.λ.) προσθέτοντας μόνο μία φάση mφ=1φ

Το RHC πολωμένο φωτόνιο μεταφέρει στροφορμή, παράλληλη στον άξονα z

1m

L L L

iφ im

1

φ

m

' e e

Αντίστοιχα, η στροφή ενός LHC φωτονίου καταλήγει:

Το LHC πολωμένο φωτόνιο μεταφέρει στροφορμή, αντιπαράλληλη στον άξονα z

1m

Μία δέσμη Ν φωτονίων κυκλ. συχνότητας ω μεταφέρει ενέργεια:

και στροφορμή:

W N

z

WJ = N =

ω

Η κλασική εικόνα της πόλωσης

z

y

x

Εχ συνιστώσα

Εy συνιστώσα

Δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο φως προσπίπτει σε πέτασμα

Οι δύο συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου

μεταβάλλονται χρονικά με σταθερή διαφορά φάσης 90ο

Χ

Υ

Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του πετάσματος

εκτελούν αρμονική ταλάντωση σε δύο

διευθύνσεις υπό την επίδραση του

ηλεκτρικού πεδίου

teF

teF

y

x

sin

cos

r

0t

0

0

cos

sin

x r t

y r t

Η κλασική εικόνα της πόλωσης

z

y

x

Εχ συνιστώσα

Εy συνιστώσα

Δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο φως προσπίπτει σε πέτασμα

Χ

Υ

r

0t

0

0

cos

sin

x r t

y r t

t

Z συνιστώσα της ροπής δύναμης ως προς κέντρο

σε συμφωνία με την

κβαντομηχανική πρόβλεψη

• Δέσμη LHC πολωμένου φωτός μεταφέρει την ίδια στροφορμή αλλά με το διάντσμα προσανατολισμένο αντιπαράλληλα του άξονα πρόσπτωσης της δέσμης

• Το γραμμικά πολωμένο φώς δεν βρίσκεται σε κατάσταση καθορισμένης πόλωσης. Εάν φωτόνιο έχει 50% πιθανότητα να έχει RHC και 50% LHC πόλωση.

Συνεπώς, σε ένα πείραμα που μετρούμε την στροφορμή δέσμης φωτός θα καταλήξουμε ότι η συνισταμένη μεταφερόμενη στροφορμή από τη δέσμη είναι μηδέν

• Για να ορίσουμε πλήρως την κατάσταση στροφορμής (πόλωση) ενός συστήματος, με μάζα ηρεμίας Μ και με στροφορμή J=1, ως προς οποιονδήποτε άξονα z, χρειαζόμαστε τον κβαντικό αριθμό m να παίρνει μία από τις τιμές +1, 0, -1. Στην περίπτωση των φωτονίων, επειδή δεν υπάρχει σύστημα αναφοράς στο οποίο να ευρίσκονται ακίνητα, δεν «χρειάζεται» η κατάσταση m=0. Μόνο η διεύθυνση κίνησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως άξονας πόλωσης, και σ΄αυτόν τον άξονα το φωτόνιο έχει δύο καταστάσεις πόλωσης.

Πόλωση-Παρατηρήσεις

Πολωμένο Φώςκαι Ομοτιμία

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ

Pr rPL P r p P r P p L

Pp p

r

p

L

P̂r

P̂p

P̂L

P̂

P̂

=

=

Η εξαΰλωση του positronium (ΙIΙ)

• Το positronium έχει περιττή (αρνητική) ομοτιμία.

• Η Ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση διατηρεί την ομοτιμία

• Ποια είναι η τελική κατάσταση διάσπασης του positronium j=0

1 2Τελική Κατάσ ση : Rτα R 1 2Τελική Κατάσταση : L L

Η μία κατάσταση προκείπτει από τον μετασχηματισμό

αντιστροφής

της άλλης

P̂r = -r

1 2 1 2

1 2 1 2

P̂

P̂

L L R R

R R L L

1 2 1 2F = N R R - L L ˆ ˆˆ P PP 1 2 1 2 1 2 1 2N R R - L L N L L - R RF = F

Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις

και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων

Η εξαΰλωση του positronium (ΙIΙ)

1 2 1 2F = N R R - L L

Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων

• Κάθε ζεύγος φωτονίων βρίσκεται και στις δύο καταστάσεις, δηλαδή στην κατάσταση |F>.

• Σ΄ ένα πείραμα υπάρχει 50% πιθανότητα να ανιχνευθούν και στους δύο ανιχνευτές RHC φωτόνια και 50% πιθανότητα να ανιχνευτούν LHC φωτόνια

Η εξαΰλωση του positronium (ΙV)

1 2 1 2F = N R R - L L

Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων

χ1

y1

χ2

y2

Ας υπολογίσουμε το πλάτος πιθανότητας =

=

Ν

Ομοίως, βρίσκουμε ότι:

Οι ανιχνευτές ανιχνεύουν ταυτόχρονα τα θυγατρικά φωτόνια εάν και μόνο εάν τα πολωσίμετρα τους είναι τοποθετημένα κάθετα

μεταξύ τους.