TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 4 • 2011) 49

ADRIAN VAN RUMEN I NJEGOV DOPRINOS IZRAČUNAVANJU BROJA PI ADRIAAN VAN ROOMEN AND HIS COBTRIBUTION TO THE CALCULATION OF THE NUMBER PI Katarina D. Živković Mathematical High school, Belgrade

ZANIMLJIVOSTI

REZIME Broj pi (π) je od najstarijih vremena fascinirao matematičare i bio je predmet njihovog izučavanja. U radu je prikazana kratka istorija broja pi (π) do pojave holandskog matematičara Adriana van Ro-mena. Takođe u radu se razmatra i doprinos Adriana van Romena definisanju broja pi (π) na šesnaest decimala. Ključne reči: Matematika, broj pi, Adriaan van Roomen.

ABSTRACT The number pi (π) has fascinated mathematicians since ancient times and was the subject of their studies. This paper shows a short history of the number pi (π) up to the appearance of the mathematician Adriana van Romena. Also, the paper discusses cintribution Adriana van Romena of definiting the number pi (π).

Key words: Mathematics, number Pi, Adriaan van Roomen.

1. UVOD Najverovatnije da nijedan simbol u matematici

nije izazvao toliko znatiželje i čuđenja kao broj π. Grčko slovo π koristi se u matematici kao sim-

bol kojim obeležavamo odnos između obima kruga i njegovog prečnika. Ako pogledamo unazad, kroz vekove, teško je odrediti granicu od koje počinje pominjanje ove konstante. Činjenica da je odnos obima kruga i prečnika kruga konstantan bila je poznata toliko dugo da je to nemoguće pratiti. Međutim, jedno je sigurno, toliko angažovanja, truda, energije i volje, gotovo da nijedan matema-tički "problem" (izum) nije izmamio iz ljudi. Ovom "misterijom" bavili su se svi veći umovi. Ona je učestvovala u izgradnji istorije matematike, od vremena starih Grka i pre, pa sve do današnjih dana, kada je pojava računara bacila u senu mnoge druge matematičke nedoumice.

Priča o broju π pokazala se kao najprofesio-nalnija, najozbiljnija strana matematike. Iznenađuje izrazito velik broj potvrđenih matematičkih veličina

koje su direktno ili indirektno povezane sa ovim brojem. Tako je vremenom π postao deo ljudske kulture i obrazovne moći. Vreme o kome govorimo meri se sa preko 25.000 godina.

Ako pokušamo da pratimo izračunavanje ovog broja kroz vreme, ustvari ćemo se baviti istorijom matematike. On će nas provesti kroz geometriju, analizu, numeričku analizu, algebru i teoriju brojeva.

Vekovima su matematičari pokušavali da tač-no, do poslednje decimale, izračunaju broj π. Sada znamo da taj broj ne može ‘tačno’ da se izračuna i to ne zbog nemogućnosti današnjih računara već zbog posebne osobine ovog broja. Ali ipak "trka za njegovim decimalama" se nastavlja, čak iako je poznato da sa relativno malo decimala možemo izračunati obime gigantskih krugova, npr. polupreč-nik udaljenosti Zemlja–Sunce. I pored novih sazna-nja o ovom broju, koja su razotkrila sve njegove tajne, senka zaborava nije ga prekrila. Dakle, π još uvek pleni svojom snagom i kao da prkosi ljudima i vremenu.

TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 4 • 2011) 50

2. ISTORIJA BROJA PI DO ROOMENA Ljudi su još od davnina pokušavali da otkriju

tačnu vrednost broja pi. Tako na osnovu stihova: “... deset lakata bješe mu od jednog kraja do drugoga, okruglo u naokolo, a pe lakata bješe visoko, a u naokolo mu bješe trideset lakata..”... (I Car 7. 23)1

Ovi stihovi su citirani iz Biblije iz kojih saznajemo da se tada za vrednost broja pi uzimao broj 3. Na listi detaljnijih opisa Solomonovog hrama (izgrađenog 950. godina pre nove ere) kao vrednost broja pi pojavljuje se takođe broj 3. Međutim, u to vreme Mesopotamci i Egipćani su već znali da pi ima vrednost između 3.125 i 3.162. Najranije vrednosti broja pi su sigurno dobijene putem merenja. U Egiptu iz sačuvanih papirusa saznajemo da su imali razvijene sisteme računanja i odgovarajuću simboliku i da su vešto baratali sa razlomcima. Najpoznatiji sačuvani papirus zvani Rhind papyrus to jest Rindov papirus (slika 1) koji potiče od oko 1650. godine pre nove ere, govori nam o tome da su Egipćani prilikom računanja površina i zapremina oblih figura koristili pi sa vrednosti od 3.16.

Slika 1. Rindov papirus2

Pisao ga je pisar Ahmes ali on nije bio autor

ovog matematičkog spisa. Ahmes je napisao: "Oduzmite 1/9 prečnika a nad ostatkom

konstruišite kvadrat, on će imati istu površinu kao krug." U njegovom papirusu za pi je uzeta vrednost 3.1605. Alhmes je za sobom ostavio svitak dug oko 5 metara koji predstavlja najstariju matematičku raspravu pronađenu do danas. Papirus je otkriven u devetnaestom veku u hramu u kom je sahranjen Ramzes.

Baudhajana je uzeo 49/16 kao vrednost broja pi, a Ariabhata 3.1416. On je pokazao da ako je a stranica pravilnog mnogougla od n strana upisanog u

1 Sveto pismo Starog i Novog zavjeta, Izdanje

biblijskog društva, Beograd, 1976 2 www.pi314.net/eng/histoire.php 

krug jediničnog prečnika i b strana pravilnog mno-gougla od 2n strana upisanog u isti krug tada je: b2=1/2-(1/2)*(1-a2)1/2.

Polazeći od strane upisanog pravilnog šesto-

ugla, on je našao strane mnogouglova od 12,24,48,96,192 i 384 strane. Obim poslednjeg je odakle se dobija da je pi 3.1416. Brahmagupta je rekao da je pi jednak korenu iz deset, do koje je dosao upisujući i opisujući u krug poluprečnika i pravilne mnogouglove koji imaju 12,24,48,96 stra-nica i zaključio je da kako bi se broj stranica pove-ćavao tako bi se obim približavao korenu iz deset. (Baudhajana, Ariabhata i Brahmagupta bili su Indij-ski matematicari).

Peter Beckmann u svojoj knjizi "A History of pi"3, daje analizu vrednosti koje je pi dodeljivana tokom početka pisane istorije ljudske civilizacije.

Vavilonci 25/8 Egipcani 4(8/9)2 Siddhantas 3.1416 Brahmaguputa 3.162277 Kinezi 3.1724 Do Adriaana Van Roomena, Baskara je odredio

vrednost broja pi kao 3.14156, a 1220. godine Fibonaci je definisao pi kao 3.141818. Zatim je Madava 1400. godine izračunao pi kao 3.14159265359. Kasnije je usledilo samo odre-đivanje što veće tačnosti ovog broja, pa je Dzamsid Masud Al Kasi 1424. godine izračunao šesnaest decimala broja pi, a Valentus Oto 1573. godine i Fransoa Vijet 1593. godine nisu bili toliko uspešni kao Dzasmid i oni su odredili svega 6 i 9 decimala. Zatim dolazi Adriaan Van Roomen koji 1593. godine definiše broj pi na petnaest decimala.

3. ARIAN VAN RUMEN (1561-1651) Arian Van Rumen (Adriaan Van Roomen)

(slika 2) je mnogo poznatiji pod latinskim imenom Adrianus Romanus. Bio je flamanski matematičar. Rođen je u Luvenu (Louvainu), Belgija, 29. septem-bra 1561. godine kao sin Adriaan Van Roomena i Marie Van Den Deale.

Posle studija na Jezuitskom koledžu (Jesuit College) u Cologne, Rumen je studirao medicinu u Luvenu. Kasnije je postao profesor matematike i medicine u Luvenu i predavao tamo od 1586. do 1592. godine. Posle je otišao u Wurzburg gde je

3 Beckmann Peter, History of pi, Golem, 1971.

TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 4 • 2011) 51

predavao medicinu i postao Mathematician to the Chapter. Upoznao je Keplera, i diskutivao sa Fransoa Vietom (Francois Viet) o pitanjima jedna-čine i tangente. On je zatim proveo neko vreme u Italiji, družeći se sa Claviusem u Rimu 1585. godine. Rukopoložen je za sveštenika 1604. godine. Godine 1610. je podučavao matematiku u Poljskoj. Bavio se algebrom, trigonometrijom i geometrijom. Takođe je dao svoj doprinos određivanju broja π odredivši njegovih petnaest decimala. Umro je 4. maja 1651. u Majncu (Mainzu) u Nemačkoj.

Slika 2. Adriaan Van Roomen (1561-1651)

4. DOPRINOS RUMENA DEFINISANJU BROJA π

Adrian van Rumen, u odgovoru na Skaligerov

pokušaj da nađe tačnu vrednost Arhimedove konstante, odnosno broja π (Skalinger je tvrdio da je već obim 12-ugaonika upisanog u krug, veći od obima samog kruga4) on izdaje svoju "Apologiju Arhimeda protiv Skaligera" (slika 3), gde daje grčki tekst Arhimedovog dela „O merenju kruga“, latinski prevod i deset dijaloga, u kojima po svim pravilima skolastike dokazuje da je nemoguće naći tačnu vrednost za broj π.

U drugoj knjizi, u "Metodu mnogouglova" (Methodus polygonorum), koja je izašla u Luvenu 1593. godine Adrijan van Rumen daje vrednost za π sa 15 decimala, izračunatu Arhimedovom meto-dom.

4  Lurje, S. J. Arhimed, Prosveta, Beograd, 1952,

(str. 222)

Slika 3. Naslovna strana Rumenove „Apologija Arhimeda

protiv Skaligera“5 Joseph Justus Scaliger (1540–1609) je francu-

ski lingvist (slika 4). Odrastao je kao deseto dete i treći sin slavnog italijanskog naučnika Juliusa Caesar Scaligera. Otac ga je učio latinskom, a na pariskom Univerzitetu je ovladao grčkim, hebrejskim i arap-skim jezikom. Nakon posete Italiji, otišao je na put po Engleskoj i Škotskoj, gde je postao kalvinist, tako da je kasnije učestvovao i u hugenotskim ratovima. Po nastanjivanju u Ženevi, odnosno Lajdenu, bavi se naučnim radom pri čemu se posebno ističe kritičkim izučavanjem i izdanjima klasičnih antičkih pisaca.

Slika 4. Saligeri (1540–1609)

5 Hogendijk P. Jan, Three mathematicions and their

interactions: Adriaan van Roomen, Ludolph van Ceulen and Joseph Justus Scaliger (1590–1600), Department of Mathematics , Utrecht University, Netherlands, Leiden, 2010.

TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 4 • 2011) 52

Njegova najvažnija dela su De amendatione temporum (1593) i Thesaurus temporum (1606) u kojima je udario temelje savremenoj istorijskoj hronologiji, kao i uvođenju proučavanja Asiraca, Babilonaca i drugih drevnih naroda u istoriografiju Starog veka, dotada rezervisanu isključivo za antičku Grčku i Rim. U Lajdenu se takođe istakao žestokom polemikom protiv katoličkih jezuita.

Slika 5. Saligerijeva knjiga „Cyclometrica Elementa

Dvo“

5. UMESTO ZAKLJUČKA

Kraj 16. i početak 17. veka u Belgiji obelažava-

ju u svakom slučaju tri matematičara Viet, Rumen i Cojlen. Oni međusobno razmenjuju svoje matemati-čke ideje, probleme i rešenja. Jedna od tema koja je

interesovala sva tri matematičara jeste i broj π i Arhimedovo nasleđe. Viet 1593 određuje broj π na 10 decimala (3.1415926536), Adrian van Rumen, takođe 1593. godine određuje broj π na 15 decimala (3.141592653589793) i na kraju Van Ceulen 1596. godine određuje broj π na 20 decimala (3.14159265358979323846), da bi iste 1596. godine odredio broj π na 35 decimala (3.1415926535897932384626433832795029)

Broj pi je i posle Arian Van Rumen privlačio brojne matematičare, poput Culena, Abraham Šarp koji 1699. godine izračunava sedamdeset i jednu de-cimalu. Sledeći bolji rezultat postiže Džon Mejčin sa sto decimala. 1719. godine De Lanji je izračunao 127 decimala ali nisu sve bile tačne tako da mu se pri-znaje 112 decimala. Kasnije 1789. godine Jurij Vega je izračunao 137 decimala. Pola veka kasnije, tačnije 1841. godine Raderford definiše prve 152 decimale. Potom Yaharije Daze i Štrasnicki 1844. godine defi-nišu 200 decimala. 1847. godine Tomas Klauzen iz-računava 248 decimala, a 1853. godine Leman pro-nalazi 261 decimalu. Iste godine Raderford izračuna-va 440 decimala, a Vilijam Šenks čak 527 decimala. 1946. godine D. F. Ferguson koristeći stoni kalku-lator izračunava 620 decimala, a godinu dana kasnije 808 decimala. 1949. godine Dž.V. Vrenč i L.R. Smit su bili prvi koji su koristili elektronski računar pri računanju broja pi i tako dobili 2037 decimala. Ka-snije njih dvojica nastavljaju sa izračunavanjem broja pi i tako 1992. godine stižu do rekordnih 2180000000 decimala. 1995. godine Jasumasa Kana-da definisala je šest milijardi decimala, a četiri godi-na kasnije Kanada i Takahaši otkrivaju 206 milijardi decimala, da bi na kraju u aprilu 2004. godine Kanada i tim izračunali 13511 biliona cifara ukupno.

LITERATURA

[1] Sveto pismo Starog i Novog zavjeta, Izdanje

biblijskog društva, Beograd, 1976 [2] Beckmann Peter, History of pi, Golem Press, 1971. [3] Lurje, S. J. Arhimed,Prosveta, Beograd, 1952. [4] Hogendijk P. Jan, Three mathematicions and their

interactions: Adriaan van Roomen, Ludolph van Ceulen and Joseph Justus Scaliger (1590–1600), Department of Mathematics, Utrecht University, Netherlands, Leiden, 2010.

[5] Бородин, А. И. Бугай, А. С. Биографический словарь деятелей в области математики, КИЕВ ,,Радянська школа, 1979.

[6] Kымпан, Ф., Историја числа π, Издательство Наука главная редакция физико-математической литераруры, Москва, 1971.

[7] Strojk Dirk, Kratak pregled istorije matematike, Zavod za udžbenike i nastavna sedstva, Beograd, 1991.

[8] Жуков.А.В., О числе π, Издательство Москов-ского центра непрерывного математического образования, Москва, 2002.

[9] Živković, D. Katarina, Van Ceulen and His Contribution to the Calculation of the Number π (pi), 11th International Conference „RaDMI 2011“, Sokobanja, Serbia, 2011.

[10] Eymard Pierre, Jean-Pierre Lafon, The Number π, American Mathematical Society, 2004.

[11] www.pi314.net/eng/histoire.php