TEHNIKA DOKUMENTACIJA

27

5 RAVAN

Uzastopni niz praralelnih linija u prostoru na jednom pravcu ini ravan. Poloaj ravni u prostoru u potpunosti je odreen sa tri take koje nisu na istom pravcu (koje nisu kolinearne). U prostoru ravan moe biti u opem i specijalnom poloaju.

Proizvoljna ravan u opem sluaju sjee sve tri projekcijske ravni po pravim linijama koje se nazivaju tragovi ravni i to:

- presjek ravni sa projicirajuom ravninom 1 daje prvi trag a1 ravni ;

- presjek ravni sa projicirajuom ravninom 2 daje drugi trag a2 ravni ;

- presjek ravni sa projicirajuom ravninom 3 daje trei trag a3 ravni .

Take u kojima ose koordinatnog trijedra x, y i z prodiru ravan nazivaju se osni prodori (osni tragovi) i to:

- prodor x-ose kroz ravan daje osni trag x;

- prodor y-ose kroz ravan daje osni trag y;

- prodor z-ose kroz ravan daje osni trag z. Iz toga slijedi da odgovarajui tragovi prolaze kroz odgovarajue osne tragove:

- prvi trag a1 prolazi kroz osne tragove x i y;

- drugi trag a2 prolazi kroz osne tragove x i z;

- trei trag a3 prolazi kroz osne tragove y i z. Prvi i drugi trag ravni mogu meusobno zaklapati otar ili tup ugao. Ravan iji tragovi zaklapaju otar ugao imaju konvergentne tragove i pri njenom projiciranju na 1 i 2 vidi se uvijek ista, gornja, odnosno prednja strana (slika 5.1 i 5.2). Ravan iji tragovi zaklapaju tup ugao ima divergentne tragove i pri projiciranju ovakve ravni na 1 i 2 vide se njene suprotne strane kao na slici 5.3.

5 RAVAN

28

Slika 5.1. Prostorno predstavljanje proizvodne ravnine sa

konvergentnim tragovima

Slika 5.2. Tragovi ravnine u ortogonalnoj projekciji

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

29

Slika 5.3. Prostorno predstavljanje proizvodne ravnine sa divergentnim tragovima

5.1. PROIZVOLJAN I SPECIJALAN POLOAJ RAVNI

Za ravan koja zauzima proizvoljan poloaj u prostoru u odnosu na projekcijske ravni 1, 2 i 3 i ose koordinatnog trijedra x, y i z kae se da se nalaze u proizvoljnom poloaju u prostoru (slike 5.1 do 5.3), a za ravan koja zauzima specifian poloaj u prostoru u odnosu na projekcijske ravni i ose koordinatnog trijedra kae se da se nalaze u specijalnom poloaju u prostoru. Zavisno od toga kakav specijalan poloaj u prostoru zauzimaju ravani u prostoru dijele se na: - projektne ravni i - simetralne ravni.

5.1.1. Projektne ravni

Projektna ravan je ona ravan koja je okomita bar na jednu projekcijsku ravan. U sluaju da je ravan okomita na projicirajuu ravan 1(slika 5.4), naziva se prva projektna ravan, a ako je okomita na projicirajuu ravan 2(slika 5.5), druga projektna ravan. Prva projektna ravan (slika 5.4), okomita je na ravan 1, a sa ravninom 2 i 3 zauzima proizvoljan poloaj. Prvi trag te ravi a1 je proizvoljan, a njen drugi a2 i trei trag a3 paralelan je sa z-osom. Osni tragovi ove ravni su: (x; y;).

Druga projektna ravan (slika 5.5), okomita je na ravan 2, a sa ravninom 1 i 3 zauzima proizvoljan poloaj. Prvi trag e1 te ravi je okomit na x-osu,

5 RAVAN

30

njen drugi trag e2 je proizvoljan, a trei trag e3 je okomit na sa z-osom. Osni tragovi ove ravni su: (x; ;z). Sve to se nalazi na ovoj ravnini ima drugu projekciju na drugom tragu e2 ravni .

Slika 5.4. Ravan (x, y,) okomita na ravan 1

Slika 5.5. Ravan (x, , z) okomita na ravan 2 Za ravan koja je okomita na profilnicu, odnosno projicirajuu ravan 3 (slika 5.6), prvi trag g1 je okomit na y-osu, a drugi trag g2 okomit na z-osu, a trei tag g3 je proizvoljan, tj. trag g1 i g2 su paralelni sa x-osom. Osni tragovi ove ravni su: (;y;z).

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

31

Slika 5.6. Ravan (, y, z) okomita na ravan 3 Kada je ravan paralelna sa 3, a istovremeno okomita na 1 i 2, tada se dobiva profilna ravan (slika 5.7). Njen prvi trag b1 je paralelan sa y-osom, a drugi trag b2 je paralelan sa z-osom, trei trag b3 je u beskonanosti. Osni tragovi ove ravni su: (x,,). Sve to se nalazi u ovoj ravni ima prvu projekciju na prvom tragu b1, drugu projekciju na drugom tragu b2, a treu projekciju u pravoj veliini u 3.

Slika 5.7. Ravan (x,,) okomita na ravni 1 i 2 (profilna ravan paralelna sa 3)

5 RAVAN

32

Kada je ravan paralelna sa 2, a istovremeno okomita na 1 i 3, tada se dobiva frontalna ravan (slika 5.8). Njen prvi trag d1 je paralelan sa x-osom, a drugi trag d2 je u beskonanosti, trei trag d3 je paralelan sa z-osom. Osni tragovi ove ravni su: (, y, ). Sve to se nalazi u ovoj ravni ima prvu projekciju na prvom tragu d1, drugu projekciju u pravoj veliini u 2, a treu projekciju na treem tragu d3.

Slika 5.8. Ravan (, y, ) okomita na 1 i 3 (frontalna ravan paralelna sa 2 )

Slika 5.9. Ravan okomita na 2 i 3 (horizontalna ravan paralelna sa 1)

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

33

Kada je ravan paralelna sa 1, a istovremeno okomita na 2 i 3, tada se dobiva horizontalna ravan (slika 5.9). Njen prvi trag c1 je u beskonanosti, drugi trag c2 je paralelan sa x-osom, trei trag c3 je paralelan sa y-osom. Osni tragovi ove ravni su: (, , z)

5.1.2. Simetralne ravni

Ravni koje sijeku projekcijske ravni 1 i 2 po njihovoj presjenoj osi x i polove oktante kroz koje prolaze, zovu se simetralne ravni (slika 5.10). Kroz neparne oktante prolazi prva simetralna ravan (prva simetralnica, ravnina simetrije), a kroz parne oktante druga simetralna ravan (druga simetralnica, ravnina koincidencije ili istovjetnosti).

Slika 5.10. Prva simetralna ravan (ravan simetrije)

Slika 5.11. Druga simetralana ravan (ravan istovjetnosti)

5 RAVAN

34

5.2. PRAVA NA RAVNI

Ako ravni , datoj prema slici 5.12, pripada prava g, najmanje dvije take te prave moraju leati na datoj ravni. Produavanjem prave g do njenih prodora V1 i V2 uoava se da ona u svojim projekcijskim prodorima sijee tragove ravni kojoj pripada. Zato se moe tvrditi: prava je na ravni ako su njeni projekcijski prodori na odgovarajuim tragovima ravni, tj. prvi prodor V1 na prvom tragu 1, drugi prodor V2 na drugom tragu 2 ravni . Pomou ovih prodornih taaka, kao taaka prave g rjeene su i njene projekcije g', g" (slika 5.13).

Slika 5.12. Prostorno predstavljanje pravi g1 i g2 koji lee na ravni

Slika 5.13. Ortogonalana projekcija pravi g1 i g2 na ravni

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

35

Kroz dvije prave date pomou tri take koje ne lee na istoj pravoj, moe se poloiti samo jedna ravan. Za takve dvije prave kae se da ravan odreuju jednoznano.

Slika 5.12 i 5.13 predstavlja dvije prave g1 i g2 koje se sijeku u taki S. Odreivanjem projekcijskih prodora za ove prave, odreuju se tragovi ravni koju one odreuju. Oznake H1 i V1 su uzete za prodore prave g1, dok su H2 i V2 uzete za prodore prave g2. Kroz prve projekcije prvih prodora H1' i H2', prolazi prvi trag e1, a kroz druge projekcije drugih prodora, V1" i V2", prolazi drugi trag e2 ravni .

Uz tano rjeavanje i crtanje moraju se oba traga sjei na x-osi u jednoj taki na osnom prodoru x.

5.3. SUTRANICE

Meu razliitim pravcima u ravnini naroito su znaajne sutranjice. Sutranice su prave posmatrane ravni, koje su paralelne sa jednom od projekcijskih ravni. Postoje prva, druga i trea sutranica, ali su u upotrebi najee samo prva i druga. Prva sutranica h (prva paralela ili horizontala) je prava ravni paralelna sa prvom projekcijskom ravni 1, a time i sa prvim tragom e1 ravni kojoj pripada (slika 5.14). Njen drugi projekcijski prodor V lei na drugom tragu 2 pripadajue ravni, dok je prvi prodor na prvom tragu u beskonanosti. Prva projekcija h' je paralelna sa prvim tragom e1, a druga h" sa x-osom (slika 5.14).

Slika 5.14. Prostorna i ortogonalna projekcija prve sutranice

5 RAVAN

36

Druga sutranica f (druga paralela ili frontala) je prava ravni paralelna sa drugom projekcijskom ravni 2, a time i sa drugim tragom e2 ravni kojoj pripada (slika 5.15). Poto je frontala f paralelna sa 2, to ona prodire samo ravan 1 u taki H. Prva projekcija f frontale f paralelna je sa x-osom, a druga projekcija f frontale f paralelna je sa drugim tragom e2 ravni .

Slika 5.15. Druga sutranica (druga paralela, frontala, vertikala)

5.4. NAGIBNICE I NAGIBNI UGAO RAVNINE Prave, koje lee u proizvoljnoj ravni i okomite su na jedan od tragova te ravni, nazivaju se nagibnice. To su dakle, specijalne prave u ravni koje pokazuju nagibne uglove ravni prema projekcijskim ravninama.

Slika 5.16. Prostorno i ortogonalno predstavljanje prve nagibnice i nagibnog ugla 0

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

37

Prva nagibnica k (slika 5.16) nastaje kada se proizvoljna ravan presjee sa ravni koja je okomita na prvi trag e1 zadate ravni . Prema tome, prva nagibnica je specijalna prava na ravni okomita na prvi trag e1 zadate ravni . Iz toga slijedi da je prva projekcija k prve nagibnice k okomita na prvi trag e1 ravni , a druga projekcija k se dobije na osnovu njenih prodora kroz projicirajue ravnine 1 i 2, tj. taaka H i V (slika 5.16).

Druga nagibnica l (slika 5.17) je prava na ravnini, koja je okomita na drugi trag e2 zadate ravni . Druga projekcija l druge nagibnice l okomita je na drugi trag e2 ravni , a prva projekcija l se dobije na osnovu njenih prodora kroz projicirajue ravnine 1 i 2, tj. taaka H i V (slika 5.19).

Najmanji ugao, koji ravan zaklapa sa projicirajuim ravninama 1 i 2, je ugao izmeu nagibnice i njenih projekcija. Oznaavaju se na sljedei nain: 0 = prvi nagibni ugao ravnine je ugao izmeu prve nagibnice k i njene

prve projekcije k 0 = drugi nagibni ugao ravnine je ugao izmeu druge nagibnice l i njene

druge projekcije l

Slika 5.17. Prostorno i ortogonalno predstavljanje druge nagibnice i nagibnog ugla 0

Prvi nagibni ugao ravnine je ugao koji ravan zaklapa sa prvom projicirajuom ravninom. Prava veliina tog ugla 0 definie se obaranjem prve nagibnice u u projicirajuu ravan 1. Drugi nagibni ugao ravni definie njena druga nagibnica. Prava veliina 0 dobiva se obaranjem druge nagibnice oko njenog nacrta (druge projekcije l) u projicirajuu ravan 2.

5 RAVAN

38

5.5. TAKA NA RAVNI

Taka lei na ravni onda, kada lei na bilo kojoj sutranjici te ravni. Projekcija take na ravni, u opem sluaju, moe se odrediti pomou sutranjice, koja pripada toj ravni i prolazi kroz tu taku (slika 5.18). Ako taka P lei u ravni , onda prva projekcija te take P nalazi se na prvoj projekciji prve, odnosno druge sutranjice (h tj. f), a druga projekcija P nalazi se na drugoj projekciji prve, odnosno druge sutranjice (h tj. f ). U tom sluaju je udaljenost izmeu P i ose 1x2 prava veliina udaljenosti take od ravni 1 i udaljenost P od ose 1x2 prava veliina udaljenosti take od ravni 2.

Slika 5.18. Prostorno predstavljanje take na ravni pomou sutranjica

Slika 5.19. Predstavljanje moguih poloaja take s obzirom na poloaj

ravni

a) taka na ravni b) taka iznad ravni c) taka ispod ravni

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

39

5.6. PRESJEK DVIJE RAVNI

Dvije ravni koje se u prostoru ne poklapaju niti su paralelne sijeku se po pravoj liniji. Presjek tri ravni u prostoru daje jednu taku. Proizvoljne ravni i sijeku se po pravcu s presjenici (slika 5.20). Kako su ravni date sa tragovima, presjenica predstavlja spojnicu presjenih taaka H1 i V1, u kojima se sijeku odgovarajui tragovi obe ravni. U taki H1 nalazi se presjek prvih tragova e1 i f1, a u taki V1 oba druga traga ravni i . Probodita lee u presjecitu istoimennih tragova obe presjene ravni i ista se projektuju na osu 1x2 ime se odreuju prva, odnosno druga projekciju presjenice s (slika 5.21). Iz toga slijedi da H1V1 i H1V1 odreuju tlocrt s(prva projekcija) i nacrt s (druga projekcija) presjenice s.

Slika 5.20. Prostorno predstavljanje presjeka ravni i

Slika 5.21. Ortogonalno predstavljanje presjenice ravni i

5 RAVAN

40

Posebno je vano odreivanje presjeka dvije ravni, kod kojih se projekcije tragova ne sijeku na projicirajuim ravninama . U tom primjeru presjeemo date ravni i sa dvijema novim ravninama 3 i 4, koje su paralelne sa projecirajuom ravninom 1 (slika 5.22).

Presjenice datih ravni sa ravni 3 su prve sutranjice ravni i , koje se sijeku u taki P1. Tlocrt take P1 lei na presjeku tlocrta sutranjica h1 i h1. Nacrt take P1 lei na presjeku nacrta sutranjica h1 i h1. Presjenica datih ravni sa ravni 4 su druge dvije sutranjice h2 i h2 sa presjekom u taki P2. Tlocrt take P2 lei na presjeku tlocrta sutranjica h2 i h2. Nacrt take P2 takoe lei na presjeku ucrtanih sutranjica h2 i h2 (slika 5.23). Povezivanjem P1 P2 i P1 P2 odreujemo nacrt s i tlocrt s presjenice s.

Slika 5.22. Prostorno predstavljanje presjeka dvije proizvoljne ravni i pomou pomonih ravni 3 i 4

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

41

Slika 5.23. Konstrukcija projekcija presjenice pomou pomoni ravni 5.7. ODREIVANJE UGLA IZMEU DVIJE PROIZVOLJNE RAVNI i

Da bi se za date ravni i odredila pravu veliina ugla izmeu njih, potrebno je odrediti najprije presjenicu s te dvije ravni. Na presjenici s se izabere proizvoljna taka A i kroz nju poloi ravan okomito na presjenicu s. Ta ravan sijee ravni i po presjenim duima AB i AC. Trougao CA B se rotira u tlocrtnu projekcijsku ravan 1 (C A B 0). Ugao u vrhu A0 predstavlja pravu veliinu ugla 0 izmeu dvije proizvoljne presjene ravni (slika 5.24).

Konstrukcija ortogonalnog predstavljanja odreivanja stvarnog ugla izmeu dvije proizvoljne ravni prikazana je na slikama 5.25 i 5.26. Prvo je potrebno definisati prvu i drugu projekciju (si s ) projekciju presjenice s. To je

mogue povezivanjem tlocrta 1 Vi nacrta take 1 Hsa presjecitima

1 Vi

1 H.Preslikavanjem presjecita

1 V oko nacrtne projekcije iste take

1 V

5 RAVAN

42

dobije se taka 10 v. Povezivanjem te take sa presjecitem 1 Hdobiva se

prava veliina 0 s presjenice s. Na pravoj veliini presjenice 0 s izabere se proizvoljna taka A kroz koju se provue normala do tlocrtne projekcije s presjenice s i dobije se taku P. Zatim, kroz proizvoljnu taku P koja lei na tlocrtnoj projekciji presjenice s, povue se normala do prvih tragova ravni i (e1 i f1), te se dobiju take B i C i trougao CA B . Vrh A0 trougla C A B 0 na tlocrtnoj projekcijskoj ravni 1 nastaje rotacijom take A oko projekcije proizvoljne take P.

Ugao 0 u vrhu A0 je stvarna veliina ugla izmeu dvije proizvodne ravni i , koje se sijeku.

Slika 5.24. Prostorno predstavljanje odreivanja stvarnog ugla izmeu

dvije proizvoljne ravni

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

43

Slika 5.25. Ortogonalno predstavljanje faze odreivanja stvarnog ugla

izmeu ravni i

Slika 5.26. Ortogonalno predstavljanje presjenog ugla izmeu dvije

proizvoljne ravni i

5 RAVAN

44

5.8. PRODOR PRAVE KROZ RAVAN

Svaka prava koja ne lei na ravni niti je sa njom paralelna, prodire datu ravan u jednoj taki.

Da bi se odredilo prodor prave g kroz neku proizvoljnu ravan , kroz datu pravu postavi se pomona ravan i nae presjenica izmeu date i pomone ravni. Pomona ravan treba da zadovoljava dva uslova: da je okomita na jednu od projicirajuih ravni i da sadri pravac u prostoru. Kako se prava i presjenica nalaze u pomonoj ravni, one se sijeku u jednoj taki (taka P). Taka P predstavlja prodor prave g kroz zadatu ravan .

Najbre i najjednostavnije se dolazi do rezultata kada se koristi prva (slika 5.27) i druga projektna ravan (slika 5.28). U tom sluaju je kroz pravac g poloena prva ili druga projektna ravan tako, da se tlocrt s odnosno nacrt s njene presjenice s poklapa sa tlocrtom (g=s) odnosno u drugom sluaju nacrtom (g= s) pravaca g. Presjenica s sijee u nacrtu (sg) odnosno tlocrtu (sg) pravac g u taki P odnosno P, koja predstavlja prodor pravca g kroz ravan .

Slika 5.27. Prostorno predstavljanje odreivanja prodorne take P prodora pravca g kroz ravan

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

45

Slika 5.28. Ortogonalno predstavljanje prodora ravani sa pravcem g

koritenjem prve projektne ravni

Slika 5.29. Ortogonalno predstavljanje prodora ravani sa pravcem g koritenjem druge projektne ravni

5.9. NORMALA NA RAVAN

Pravac koji se nalazi van ravni i normalan je na ravan naziva se normalom ravnine. Taj pravac se projecira u svakoj projekciji normalno na odgovarajue tragove i sutranjice date ravni, na koju je pravac okomit. Ukoliko je pravac n okomit na ravan , tada su njegove projekcije okomite

5 RAVAN

46

na oba njena traga e1 i e2. Tlocrt pravca n okomit je na trag e1, a nacrt pravca n na trag e2 (slika 5.30).

Prodorna taka P, u prvom sluaju (slika 5.30) definisana je povlaenjem pomone ravni okomito na ravan . Druga mogunost nastaje u sluaju kada je poznata taka P koja se nalazi na ravni , a kroz koju se povlai normala n. Ako je pravac n normalan na ravan , tada su i njegove projekcije n i n okomite na tragove e1 i e2, te na sutranjice h i f (slika 5.31).

5.10. PRODOR RAVANSKOG LIKA SA PRAVCEM

Problem se rjeava na isti nain kao u predhodnim primjerima, kada je ravan bila zadana sa tragovima. Na slici 5.32 data je ravnina trougla ABC , koja se presjeca sa pomonom ravninom koja se postavlja kroz pravac g. Na mjestu gdje presjenica u nacrtu presjeca nacrt pravca g, definie se nacrt presjene take P. Radi vee jasnoe pretpostavit e se da je trougao ABC neproziran, a zatim e se definisati vidljivost pravca g. Kako je trougao jednoznanog poloaja, u nacrtu je vidljiv isti dio pravca kao i u tlocrtu slika (5.33). Pomona ravan koja je postavljena je kroz g i okomita je na 1, sjee ivice trougla C A u taki E, a B A u taki D. Sputanjem ovih prodora do odgovarajuih ivica u nacrtu C A i B A dobijaju se odgovarajui prodori u nacrtu E i D. Spajanjem taaka E i D dobije se

Slika 5.30. Normala na ravan koja prolazi kroz taku P

Slika 5.31. Normala na ravan koja prolazi kroz taku P

TEHNIKA DOKUMENTACIJA

47

presjenica s u nacrtu. Prodorna taka prave g u nacrtu P nalazi se na presjeku nacrta g prave g i nacrta s presjenice s.

Slika 5.32. Prostorno predstavljanje prodora pravca g

kroz ravan trougla

Slika 5.33. Odreivanje prodorne take ravanskog lika sa pravcem g

5 RAVAN

48