y 21 Διάλεξη Ακολουθίες ΜΠΔ.,...21η Διάλεξη Ακολουθίες 29...

21η Διάλεξη Ακολουθίες

29 Νοεµβρίου 2016

Γιάννης Σαριδάκης

Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R.Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

752 Chapter 14: PartiaL Derivatives

w

FIGURE 14.10 Thisgrapbshowsthe seasonal variation of the temperatuIe below ground as a fraction of surface tmnpenrtmc (Exampl' 5).

(a) z - sin x + 2 sin]

with part of its boundary removed or a solid cube with a missing face, edge, or comer point is neither open nor closed.

Functions of more than three independent variables are also important. For exam-ple, the temperature on a surface in space may depend not only on the location of the point p(x, y, z) on the swface but also on the time 1 when it is visited, 80 we would write T = /(x, y, z, t).

computer Graphing Three-dimensional graphing programs for computers and calculators make it possible to graph functions of two variables with only a few keystrokes. We can often get information more quickly from a graph than from a formula.

EXAMPLE 5 The temperature w beneath the Earth's surface is a function of the depth x beneath the swface and the time t of the year. If we measure x in feet and t as the number of days elapsed from the expected date of the yearly highest surface temperature, we can model the variation in temperature with the function

w = 008(1.7 X 10-21 -

(The temperature at 0 ft is scaled to vary from + 1 to -1, so that the variation atx feet can be interpreted as a fraction of the variation at the surface.)

Figure 14.10 shows a graph of the function. At a depth of 15 ft, the variation (change in vertical amplitude in the figure) is about 5% of the surface variation. At 25 ft, there is almost no variation during the year.

The graph also shows that the temperature 15 ft below the surface is about half a year out of phase with the surface temperature. When the temperature is lowt:st on the surface (late January, say), it is at its highest 15 ft below. Fifteen feet below the ground, the seasons are reversed. _

Figure 14.11 shows computer-generated graphs of a number of functions of two vari-ables together with their level curves.

y

x

(b) l - (4x2 + ]2.}o!-r-r

FIGURE 14.11 Computer-generated graphs and level curves of typical functions of two variables.

2

Όρια Ακολουθιών & Φραγμένες Ακολουθίες

29/11/2016 ©2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Eπί αιώνες, το πρόβληµα της άθροισης µιας σειράςάπειρων όρων προβληµάτιζε τους µαθηµατικούς. Kαι αυτό γιατί έβλε-παν πως µερικές φορές µια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασµένοαποτέλεσµα, π.χ.

(Mπορείτε να πεισθείτε γι’ αυτό αθροίζοντας ταεµβαδά των άπειρων ορθογωνίων που αποκόπτο-νται από το µοναδιαίο τετράγωνο µε τον τρόποπου δείχνει το διπλανό σχήµα.) Άλλες όµως φο-ρές, ένα άπειρο άθροισµα απειριζόταν, π.χ.

(κάτι που δεν είναι καθόλου προφανές), και τέλος υπήρχαν περιπτώ-σεις όπου ήταν αδύνατον να αποφανθεί κανείς για την τιµή του άπει-ρου αθροίσµατος, π.χ.

(Eίναι µηδέν; Eίναι 1; Ή τίποτα από τα δύο;)Παρά ταύτα, µαθηµατικοί όπως ο Gauss και ο Euler χρησιµοποίη-

σαν επιτυχώς τις άπειρες σειρές για να εξαγάγουν µερικά πρωτοφανήαποτελέσµατα. O Laplace απέδειξε µε σειρές την ευστάθεια του ηλια-κού µας συστήµατος (χωρίς αυτό να αποτρέπει σήµερα µερικούς απότο να εκφράζουν την ανησυχία τους για το ότι «υπερβολικά πολλοί»πλανήτες έχουν γείρει από τη µία πλευρά του Ήλιου!). Θα περνούσαναρκετά ακόµη χρόνια µέχρι να εµφανιστούν ειδικοί της µαθηµατικήςανάλυσης, όπως ο Cauchy, οι οποίοι ανέπτυξαν το θεωρητικό υπόβα-θρο των υπολογισµών µε σειρές, αναγκάζοντας έτσι πολλούς συναδέλ-φους τους (µεταξύ αυτών και τον Laplace) να επανεξετάσουν σε αυ-στηρότερο υπόβαθρο τα πρότερα αποτελέσµατά τους.

Oι άπειρες σειρές αποτελούν τη βάση ενός αξιοθαύµαστου µαθη-µατικού τύπου ο οποίος µας επιτρέπει να περιγράφουµε πολλές συ-ναρτήσεις µε πολυώνυµα που περιέχουν άπειρους όρους (τα οποία κα-λούνται δυναµοσειρές), ενώ παράλληλα µας πληροφορεί για το µέγε-θος του σφάλµατος που υπεισέρχεται αν κρατήσουµε πεπερασµένοπλήθος όρων στα πολυώνυµα αυτά. Oι δυναµοσειρές, πέραν του ότιπροσεγγίζουν µε πολυώνυµα τις διαφορίσιµες συναρτήσεις, βρίσκουνκαι πολλές άλλες εφαρµογές. Παρακάτω θα δούµε πώς µπορούµε ναχρησιµοποιήσουµε άπειρα αθροίσµατα τριγωνοµετρικών όρων (τις λε-γόµενες σειρές Fourier), προκειµένου να αναπαραστήσουµε µερικέςαπό τις σπουδαιότερες συναρτήσεις που συναντά κανείς σε επιστηµο-νικές και τεχνολογικές εφαρµογές. Oι άπειρες σειρές παρέχουν ένανευχερή τρόπο υπολογισµού µη στοιχειωδών ολοκληρωµάτων, καθώς

1 ! 1 " 1 ! 1 " 1 ! 1 " … .

11

" 12

" 13

" 14

" 15

" … # !

12

" 14

" 18

" 116

" … # 1.

587

8 Άπειρες σειρές

1/2

1/4

1/81/16

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Eπί αιώνες, το πρόβληµα της άθροισης µιας σειράςάπειρων όρων προβληµάτιζε τους µαθηµατικούς. Kαι αυτό γιατί έβλε-παν πως µερικές φορές µια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασµένοαποτέλεσµα, π.χ.

(Mπορείτε να πεισθείτε γι’ αυτό αθροίζοντας ταεµβαδά των άπειρων ορθογωνίων που αποκόπτο-νται από το µοναδιαίο τετράγωνο µε τον τρόποπου δείχνει το διπλανό σχήµα.) Άλλες όµως φο-ρές, ένα άπειρο άθροισµα απειριζόταν, π.χ.

(κάτι που δεν είναι καθόλου προφανές), και τέλος υπήρχαν περιπτώ-σεις όπου ήταν αδύνατον να αποφανθεί κανείς για την τιµή του άπει-ρου αθροίσµατος, π.χ.

(Eίναι µηδέν; Eίναι 1; Ή τίποτα από τα δύο;)Παρά ταύτα, µαθηµατικοί όπως ο Gauss και ο Euler χρησιµοποίη-

σαν επιτυχώς τις άπειρες σειρές για να εξαγάγουν µερικά πρωτοφανήαποτελέσµατα. O Laplace απέδειξε µε σειρές την ευστάθεια του ηλια-κού µας συστήµατος (χωρίς αυτό να αποτρέπει σήµερα µερικούς απότο να εκφράζουν την ανησυχία τους για το ότι «υπερβολικά πολλοί»πλανήτες έχουν γείρει από τη µία πλευρά του Ήλιου!). Θα περνούσαναρκετά ακόµη χρόνια µέχρι να εµφανιστούν ειδικοί της µαθηµατικήςανάλυσης, όπως ο Cauchy, οι οποίοι ανέπτυξαν το θεωρητικό υπόβα-θρο των υπολογισµών µε σειρές, αναγκάζοντας έτσι πολλούς συναδέλ-φους τους (µεταξύ αυτών και τον Laplace) να επανεξετάσουν σε αυ-στηρότερο υπόβαθρο τα πρότερα αποτελέσµατά τους.

Oι άπειρες σειρές αποτελούν τη βάση ενός αξιοθαύµαστου µαθη-µατικού τύπου ο οποίος µας επιτρέπει να περιγράφουµε πολλές συ-ναρτήσεις µε πολυώνυµα που περιέχουν άπειρους όρους (τα οποία κα-λούνται δυναµοσειρές), ενώ παράλληλα µας πληροφορεί για το µέγε-θος του σφάλµατος που υπεισέρχεται αν κρατήσουµε πεπερασµένοπλήθος όρων στα πολυώνυµα αυτά. Oι δυναµοσειρές, πέραν του ότιπροσεγγίζουν µε πολυώνυµα τις διαφορίσιµες συναρτήσεις, βρίσκουνκαι πολλές άλλες εφαρµογές. Παρακάτω θα δούµε πώς µπορούµε ναχρησιµοποιήσουµε άπειρα αθροίσµατα τριγωνοµετρικών όρων (τις λε-γόµενες σειρές Fourier), προκειµένου να αναπαραστήσουµε µερικέςαπό τις σπουδαιότερες συναρτήσεις που συναντά κανείς σε επιστηµο-νικές και τεχνολογικές εφαρµογές. Oι άπειρες σειρές παρέχουν ένανευχερή τρόπο υπολογισµού µη στοιχειωδών ολοκληρωµάτων, καθώς

1 ! 1 " 1 ! 1 " 1 ! 1 " … .

11

" 12

" 13

" 14

" 15

" … # !

12

" 14

" 18

" 116

" … # 1.

587

8 Άπειρες σειρές

1/2

1/4

1/81/16


και επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη διάδοσητης θερµότητας, τις ταλαντώσεις, τη διάχυση χηµικών ουσιών, και τηµετάδοση σηµάτων. Στο παρόν κεφάλαιο θα προετοιµάσουµε το έδα-φος για την κατανόηση του ρόλου που παίζουν οι σειρές στις φυσικέςεπιστήµες και στα µαθηµατικά.

8.1Oρισµοί και συµβολισµός • Σύγκλιση και απόκλιση• Yπολογισµός ορίων ακολουθιών • Kάνοντας χρήση του κανόνατου l’Hôpital • Όρια που απαντούν συχνά

Γενικά, θα µπορούσαµε να πούµε ότι ακολουθία είναι µια διατεταγµέ-νη διάταξη τυχόντων αντικειµένων, όµως στο παρόν κεφάλαιο τα αντι-κείµενα που θα µας απασχολήσουν είναι αριθµοί. Ήδη έχουµε συνα-ντήσει ακολουθίες, π.χ. αυτή των αριθµών x0, x1, . . . , xn, . . . που προ-κύπτει από τη µέθοδο του Nεύτωνα. Aργότερα θα δούµε ακολουθίεςδυνάµεων του x, καθώς και ακολουθίες τριγωνοµετρικών όρων, π.χ.sinx , cos x , sin 2x , cos 2x , . . . , sin nx , cos nx , . . . . Ένα ζήτηµα κεντρι-κής σηµασίας είναι αν µια ακολουθία διαθέτει όριο ή όχι.

Oρισµοί και συµβολισµόςMπορούµε να διατάξουµε τα ακέραια πολλαπλάσια του 3 ως εξής:

O πρώτος αριθµός στη σειρά είναι το 3, έπειτα το 6, έπειτα το 9, κ.ο.κ.H συνάρτηση λοιπόν που δρα εδώ αποδίδει την τιµή 3n στη n-οστή θέ-ση. Aυτή είναι η βασική ιδέα της κατασκευής ακολουθιών: Yπάρχειµια συνάρτηση που τοποθετεί τον κάθε αριθµό της ακολουθίας στηνκατάλληλη διατεταγµένη θέση του.

Συνήθως, το n0 είναι 1 και το πεδίο ορισµού της ακολουθίας είναιτο σύνολο των θετικών ακεραίων. Mερικές φορές, ωστόσο, επιθυµού-µε η ακολουθία να ξεκινά από άλλον αριθµό. Π.χ., στη µέθοδο τουNεύτωνα παίρνουµε n0 ! 0. Aν πάλι θέλαµε να ορίσουµε µια ακολου-θία πολυγώνων µε πλήθος πλευρών n, θα παίρναµε n0 ! 3.

Oι ακολουθίες ορίζονται όπως και οι υπόλοιπες συναρτήσεις, γιαπαράδειγµα

a(n) !

(Παράδειγµα 1 και Σχήµα 8.1). Για να δηλώσουµε ότι το πεδίο ορι-σµού των ακολουθιών περιλαµβάνει ακεραίους, χρησιµοποιούµε το

!n , a(n) ! ("1)n#1 1n , a(n) ! n " 1n

Πεδίο ορισµού: 1 2 3 . . . n . . .↓ ↓ ↓ ↓

Πεδίο τιµών: 3 6 9 3n

588 Κεφάλαιο 8. Άπειρες σειρές

Oρισµός AκολουθίαΆπειρη ακολουθία αριθµών είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορι-σµού το σύνολο των ακεραίων που είναι µεγαλύτεροι ή ίσοιενός ακεραίου n0.

Iστορικά στοιχεία

Aκολουθίες καισειρές

CD-ROM∆ικτυότοπος

8.1 Όρια ακολουθιών

4

Θετικών Ακεραίων

an = a(n) = n : 1, 2 , 3,2, 5 ,!, n ,!

an = a(n) = −1( )n+1 1

n: 1,− 1

2,13

,− 14

,!, −1( )n+1 1n

,!

an = a(n) = n−1

n: 0, 1

2, 23

, 34

,!, n−1n

,!

a1 ,a2 ,a3 ,!,an ,!≡ a1 ,a2 ,a3 ,!,an ,!{ } ≡ an{ } ≡ an{ }n≥1

≡ an{ }n=1

∞


µε, κάτι τέτοιο µπορεί να µας εξυπηρετεί. O αριθµός a(n) καλείται n-οστός όρος της ακολουθίας, ή αλλιώς όρος µε δείκτη n . Έτσι για a(n)! (n " 1)/n, θα έχουµε

Πρώτος όρος ∆εύτερος όρος Tρίτος όρος n-οστός όρος

a(1) ! 0 a(2) ! a(3) ! . . . , a(n) !

Aν συµβολίσουµε ως an το a(n) , η ακολουθία γράφεται ως εξής:

a1 ! 0, a2 ! a3 ! . . . , an !

Συνηθίζεται να περιγράφουµε µια ακολουθία παραθέτοντας µερικούςαπό τους πρώτους όρους της, καθώς και τον τύπο που δίνει τον n-οστόόρο.

Παράδειγµα 1 Περιγραφή ακολουθιών

Συµβολισµός Για να αναφερθούµε στην ακολουθία n-οστού όρου an

γράφουµε {an} (και διαβάζουµε «ακολουθία a δείκτης n»). Έτσι, η δεύ-τερη ακολουθία του Παραδείγµατος 1 είναι η {1/n} («ακολουθία 1 διάn») Ø η τελευταία ακολουθία είναι η {3} («σταθερή ακολουθία 3»).

Σύγκλιση και απόκλισηΌπως δείχνει το Σχήµα 8.1, οι ακολουθίες στο Παράδειγµα 1 δεν έχουνόλες την ίδια συµπεριφορά. Oι {1/n}, {("1)n#1(1/n)}, και {(n " 1)/n}δείχνουν να προσεγγίζουν µια µοναδική οριακή τιµή καθώς το n αυξά-νεται, και µάλιστα η {3} έχει καταλήξει στην οριακή της τιµή από τονπρώτο ήδη όρο. Aπό την άλλη, οι όροι της ακολουθίας{("1)n#1(n " 1)/n} δείχνουν να «συνωστίζονται» σε δύο διαφορετικέςτιµές, τις "1 και 1, ενώ οι όροι της { } αυξάνονται απεριόριστα καιδεν συγκλίνουν πουθενά.

O ακόλουθος ορισµός διαχωρίζει τις ακολουθίες που προσεγγί-ζουν µια µοναδική οριακή L , καθώς το n αυξάνεται, από εκείνες πουδεν εµφανίζουν τέτοια συµπεριφορά.

!n

n " 1n .2

3 ,1

2 ,

n " 1n .2

3 ,1

2 ,


Όροι ακολουθίας Tύπος ακολουθίας

(α) 1, an !

(β) 1, an !

(γ) 1, " an ! ("1)n#1

(δ) 0, an !

(ε) 0, " an ! ("1)n#1

(στ) 3, 3, 3, . . . , 3, . . . an ! 3

"n " 1n #1

2 , 2

3 , "3

4 , . . . , ("1)n#1 "n " 1

n # , . . .

n " 1n

12

, 23

, 34

, . . . , n " 1n , . . .

1n 1

2 , 1

3 , " 1

4 , . . . , ("1)n#1 1n , . . .

1n

12

, 13

, . . . , 1n , . . .

!n!2, !3, !4, . . . , !n , . . .


Παράδειγµα 2 Έλεγχος του ορισµού

∆είξτε ότι

(α)

(β) (τυχούσα σταθερά k) .

Λύση

(α) Έστω e ! 0. Πρέπει να δείξουµε ότι υπάρχει ακέραιος N τέτοιοςώστε για κάθε n ,

n ! N ⇒ " e.

H πρόταση αυτή θα ισχύει για (1/n) " e, δηλαδή για n ! 1/e. Έτσι,αν N είναι τυχών ακέραιος µεγαλύτερος του 1/e, η πρόταση θαισχύει για κάθε n ! N. Aυτό σηµαίνει ότι limnl! (1/n) # 0.

(β) Έστω e ! 0. Πρέπει να δείξουµε ότι υπάρχει ακέραιος N τέτοιοςώστε για κάθε n ,

n ! N ⇒ !k $ k ! " e.

Eφόσον k $ k # 0, για κάθε ακέραια τιµή του N η πρόταση θα εξακο-λουθεί να ισχύει. Aυτό σηµαίνει ότι limnl! k # k για κάθε σταθερόαριθµό k .

Παράδειγµα 3 Aποκλίνουσα ακολουθία

∆είξτε ότι η {($1)n%1[(n $ 1)/n]} αποκλίνει.

Λύση Έστω e θετικός αριθµός µικρότερος του 1, τέτοιος ώστε ναµην αλληλεπικαλύπτονται οι λωρίδες γύρω από τις ευθείες y # 1 καιy # $1 που φαίνονται στο Σχήµα 8.3. Kάθε e " 1 ικανοποιεί την προ-ϋπόθεση αυτή. H σύγκλιση στο 1 θα σήµαινε ότι κάθε σηµείο του

" 1n $ 0"

limnl!

k # k

limnl!

1n # 0

5918.1. Όρια ακολουθιών

Oρισµοί Σύγκλιση, απόκλιση, όριοH ακολουθία {an} συγκλίνει στον αριθµό L αν σε κάθε θετικόαριθµό e αντιστοιχεί ακέραιος N τέτοιος ώστε για κάθε n

n ! N ⇒ !an $ L ! " e.

Aν δεν υπάρχει τέτοιος αριθµός L, λέµε ότι η {an} αποκλίνει.Aν η {an} συγκλίνει στο L , γράφουµε limnl! an # L , ή

απλούστερα an l L , και καλούµε το L όριο της ακολουθίας (Σχήµα8.2).

,

aN

(N, aN)

n

an

0 1 32 N n

L

L % &

L $ &

(n, an)

0 a2 a3 a1 an

L % &L $ & L

ΣXHMA 8.2 an l L εάν y # Lείναι µια οριζόντιαασύµπτωτη της ακολουθίαςσηµείων {(n, an)}. Όπωςβλέπουµε στο σχήµα, όλα ταan µετά το aN κείνται σεαπόσταση µικρότερη του &από το L.

Bιογραφικά στοιχεία

Nicole Oresme(περ. 1320-1382)


9

534 Chapter 10: Infinite Sequences and Series

o L-E L L+E •• ••• • ( • • -I- )

L

L-E

o 2 3 N n

FIGURE 10.2 In the representation ofa sequence as points in the plane, all L if y = L is a horizontal asymptote of the sequence of points (in, a,)}. In this figure, all the a,/s after aN lie within E of L.

HISTORICAL BIOGRAPHY

Nicole Oresme (ca. l32()-1382)

whose terms approach 0 as n gets large, and in the sequence

t, I - k, .. · } whose terms approach I. On the other hand, sequences like

{VI, Yz, V3, ... , V;;, ... } have tenDs that get larger than any number as n increases, and sequences like

{I, -I, I, -I, I, -I, ... , < -1),+1, ... } bounce back and forth between I and - I , never converging to a single value. The follow-ing definition captures the meaning of having a sequence converge to a limiting value. It says that if we go far enough out in the sequence, by taking the index n to be larger than some value N, the difference between a, and the limit of the sequence becomes less than any preselected number E > O.

DEFINmONS The sequence {a,} converges to the number L iffor every positive number E there corresponds an integer N such that for all n,

n>N la, - LI < E.

Ifno such number L exists, we say that {an} diverges. If {an} converges to L, we write an = L, or simply a, --+ L, and call L

the limit of the sequence (Figure 10.2).

The definition is very similar to the definition of the limit ofa function fix) asx tends to 00 in Section 2.6). We will exploit this connection to calculate limits of sequences.

EXAMPLE 1 Show that

<a) lim 1 = 0 n--i'OO n (b) lim k = k (any constant k)

Solution <a) Let E > 0 be given. We must show that there exists an integer N such that for all n,

n>N

This implication will hold if (l/n) < E or n > l/E. If N is any integer greater than I/E, the implication will hold for all n > N. This proves that = O.

(b) Let E > 0 be given. We must show that there exists an integer N such that for alln,

n > N =) Ik - kl < E.

Since k - k = 0, we can use any positive integer for N and the implication will hold. This proves that k = k for any constant k. •

EXAMPLE 2 Show that the sequence {I, -I, I, -1, I, -I, ... , (-1),+1, ... } diverges.

Solution Suppose the sequence converges to some number L. By choosing E = 1/2 in the definition of the limit, all terms an of the sequence with index n larger than some N must lie within E = 1/2 of L. Since the number 1 appears repeatedly as every other term of the sequence, we must have that the number I lies within the distance E = 1/2 of L.


o L-E L L+E •• ••• • ( • • -I- )

L

L-E

o 2 3 N n

FIGURE 10.2 In the representation ofa sequence as points in the plane, all L if y = L is a horizontal asymptote of the sequence of points (in, a,)}. In this figure, all the a,/s after aN lie within E of L.

HISTORICAL BIOGRAPHY

Nicole Oresme (ca. l32()-1382)

whose terms approach 0 as n gets large, and in the sequence

t, I - k, .. · } whose terms approach I. On the other hand, sequences like

{VI, Yz, V3, ... , V;;, ... } have tenDs that get larger than any number as n increases, and sequences like

{I, -I, I, -I, I, -I, ... , < -1),+1, ... } bounce back and forth between I and - I , never converging to a single value. The follow-ing definition captures the meaning of having a sequence converge to a limiting value. It says that if we go far enough out in the sequence, by taking the index n to be larger than some value N, the difference between a, and the limit of the sequence becomes less than any preselected number E > O.

DEFINmONS The sequence {a,} converges to the number L iffor every positive number E there corresponds an integer N such that for all n,

n>N la, - LI < E.

Ifno such number L exists, we say that {an} diverges. If {an} converges to L, we write an = L, or simply a, --+ L, and call L

the limit of the sequence (Figure 10.2).

The definition is very similar to the definition of the limit ofa function fix) asx tends to 00 in Section 2.6). We will exploit this connection to calculate limits of sequences.

EXAMPLE 1 Show that

<a) lim 1 = 0 n--i'OO n (b) lim k = k (any constant k)

Solution <a) Let E > 0 be given. We must show that there exists an integer N such that for all n,

n>N

This implication will hold if (l/n) < E or n > l/E. If N is any integer greater than I/E, the implication will hold for all n > N. This proves that = O.

(b) Let E > 0 be given. We must show that there exists an integer N such that for alln,

n > N =) Ik - kl < E.

Since k - k = 0, we can use any positive integer for N and the implication will hold. This proves that k = k for any constant k. •

EXAMPLE 2 Show that the sequence {I, -I, I, -1, I, -I, ... , (-1),+1, ... } diverges.

Solution Suppose the sequence converges to some number L. By choosing E = 1/2 in the definition of the limit, all terms an of the sequence with index n larger than some N must lie within E = 1/2 of L. Since the number 1 appears repeatedly as every other term of the sequence, we must have that the number I lies within the distance E = 1/2 of L.


M

.. . . . 0 123 N

(a)

... o 123 . N

m

(b)

FIGURE 10.3 <a) The sequence diverges to 00 because no matter what number M is chosen, the terms oftbe sequence after some index N all lie in the yellow band above M. (b) The sequence diverges to - 00 because all terms after some index N lie below any chosen number m.

10.1 Sequences 535

It follows that IL - II < 1/2, or equivalently, 1/2 < L < 3/2. Likewise, the number - I appears repeatedly in the sequence with arbitrarily high index. So we must also have that I L - (- I) I < 1/2, or equivalently, - 3 /2 < L < - 1/2. But the number L cannot lie in both of the intervals (1/2, 3/2) and (-3/2, -1/2) because they bave no overlap. Therefore, no such limit L exists and so the sequence diverges.

Note that the same wgument works for any positive number € smaller than I, not . The sequence {vii} also diverges, but for a different reason. Ai; n increases, its terms

become larger than any fixed number. We describe the behavior of this sequence by writing

lim v;. = 00.

In writing infinity as the limit of a sequence, we are not saying that the differences between the terms an and 00 become small as n increases. Nor are we asserting that there is some num-ber infinity that the sequence approaches. We are merely using a notation that captures the idea that an eventually gets and stays 1aIger than any fIxed number as n gets 1aIge (see Figure lO.3a). The terms of a sequence might also decrease to negative infinity, as in Figure 10.3b.

DEFINmON The sequence {an} diverges to infinity iffor every number M there is an integer N such that for all n 1aIger than N, an > M. If this condition holds we write

or

Similarly if for every number m there is an integer N such that for all n > N we bave an < m, then we say {an} diverges to negative infinity and write

or

A sequence may diverge without diverging to infinity or negative inrmity, as we saw in Example 2. The sequences {I, -2, 3, -4,5, -6,7, -8, ... } and {I, 0, 2, 0, 3, O, ... } are also examples of such divergence.

Calculating Limits of Sequences Since sequences are functions with domain restricted to the positive integers, it is not surpris-ing that the theorems on limits of functions given in Chapter 2 bave versions for sequences.

THEOREM 1 Let {an} and ibn} be sequences of real numbers, and let A and B be real numbers. The following rules hold if an = A and liml'l_oo b" = B.

1. Sum Rule: 2. Difference Rule: 3. Constant Multiple Rule: 4. Product Rule:

5. Quotient Rule:

+ bn) = A + B - bn) = A - B

= k·B (any number k) bn) = A· B

Ii an A = Jj

n

The proof is similar to that of Theorem I of Section 2.2 and is omitted.

M

.. . . . 0 123 N

(a)

... o 123 . N

m

(b)

FIGURE 10.3 <a) The sequence diverges to 00 because no matter what number M is chosen, the terms oftbe sequence after some index N all lie in the yellow band above M. (b) The sequence diverges to - 00 because all terms after some index N lie below any chosen number m.

10.1 Sequences 535

It follows that IL - II < 1/2, or equivalently, 1/2 < L < 3/2. Likewise, the number - I appears repeatedly in the sequence with arbitrarily high index. So we must also have that I L - (- I) I < 1/2, or equivalently, - 3 /2 < L < - 1/2. But the number L cannot lie in both of the intervals (1/2, 3/2) and (-3/2, -1/2) because they bave no overlap. Therefore, no such limit L exists and so the sequence diverges.

Note that the same wgument works for any positive number € smaller than I, not . The sequence {vii} also diverges, but for a different reason. Ai; n increases, its terms

become larger than any fixed number. We describe the behavior of this sequence by writing

lim v;. = 00.

In writing infinity as the limit of a sequence, we are not saying that the differences between the terms an and 00 become small as n increases. Nor are we asserting that there is some num-ber infinity that the sequence approaches. We are merely using a notation that captures the idea that an eventually gets and stays 1aIger than any fIxed number as n gets 1aIge (see Figure lO.3a). The terms of a sequence might also decrease to negative infinity, as in Figure 10.3b.

DEFINmON The sequence {an} diverges to infinity iffor every number M there is an integer N such that for all n 1aIger than N, an > M. If this condition holds we write

or

Similarly if for every number m there is an integer N such that for all n > N we bave an < m, then we say {an} diverges to negative infinity and write

or

A sequence may diverge without diverging to infinity or negative inrmity, as we saw in Example 2. The sequences {I, -2, 3, -4,5, -6,7, -8, ... } and {I, 0, 2, 0, 3, O, ... } are also examples of such divergence.

Calculating Limits of Sequences Since sequences are functions with domain restricted to the positive integers, it is not surpris-ing that the theorems on limits of functions given in Chapter 2 bave versions for sequences.

THEOREM 1 Let {an} and ibn} be sequences of real numbers, and let A and B be real numbers. The following rules hold if an = A and liml'l_oo b" = B.

1. Sum Rule: 2. Difference Rule: 3. Constant Multiple Rule: 4. Product Rule:

5. Quotient Rule:

+ bn) = A + B - bn) = A - B

= k·B (any number k) bn) = A· B

Ii an A = Jj

n

The proof is similar to that of Theorem I of Section 2.2 and is omitted.

10

Ορισμός Αποκλίνουσα Ακολουθία Η ακολουθία {an} αποκλίνει στο άπειρο εάν για κάθε αριθμό M υπάρχει ένας ακέραιος Ν τέτοιος ώστε

Σε αυτήν την περίπτωση γράφουμε

ή .

Ομοίως, η ακολουθία {an} αποκλίνει στο μείον άπειρο εάν για κάθε αριθμόm υπάρχει ένας ακέραιος Ν τέτοιος ώστε

Σε αυτήν την περίπτωση γράφουμε

ή .

∀n > N ⇒ an > M

limn→∞

an = ∞ an →∞

∀n > N ⇒ an < m

limn→∞

an = −∞ an →−∞


Το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας είναι µοναδικό

11

L1 − L2 = L1 − an( )− L2 − an( ) ≤ L1 − an + L2 − an ≤ 2ε , ∀ε ⇒ L1 − L2 = 0⇒ L1 = L2


Παράδειγµα 2 Mονότονες ακολουθίες

(α) H ακολουθία 1, 2, 3, . . . , n . . . των φυσικών αριθµών είναι µηφθίνουσα.

(β) H ακολουθία είναι µη φθίνουσα.

(γ) H ακολουθία είναι µη αύξουσα.

(δ) H σταθερή ακολουθία {3} είναι ταυτόχρονα µη φθίνουσα και µηαύξουσα.

Παράδειγµα 3 Mια µη φθίνουσα ακολουθία

∆είξτε ότι η ακολουθία

an !

είναι µη φθίνουσα.

Λύση

(α) Θα δείξουµε ότι για κάθε n ! 1, an " an"1Ø δηλαδή, ότι

H φορά της ανισότητας διατηρείται αν πολλαπλασιάσουµε χιαστίαριθµητές και παρονοµαστές:

Eφόσον αληθεύει ότι #2 " 0, θα ισχύει an " an"1 και άρα ηακολουθία {an} είναι µη φθίνουσα.

(β) Ένας άλλος τρόπος για να δείξουµε ότι η {an} είναι µη φθίνουσαείναι να ορίσουµε την f (n) ! an και να δείξουµε ότι f $(x) ! 0. Στοεδώ παράδειγµα, f(n) ! (n # 1) (n " 1), οπότε

Συνεπώς, η f είναι αύξουσα συνάρτηση, άρα f (n " 1) ! f(n) , δηλ.an"1 ! an.

! 2(x " 1)2 % 0.

! (x " 1)(1) # (x # 1)(1)

(x " 1)2

f $(x) ! ddx

!x # 1x " 1"

/

⇔ #2 " 0.

⇔ n 2 " n # 2 " n 2 " n

⇔ (n # 1)(n " 2) " n (n " 1)

n # 1n " 1

" (n " 1) # 1(n " 1) " 1

⇔ n # 1n " 1

" nn " 2

n # 1n " 1

" (n " 1) # 1(n " 1) " 1

.

n # 1n " 1

38

, 39

, 310

, . . . , 3n " 7

, . . .

12

, 23

, 34

, . . . , nn " 1

, . . .

,


Bιογραφικά στοιχεία

Fibonacci(1170-1240)


Παράγωγος πηλίκου

Oρισµός Άνω φραγµένη, άνω φράγµα, κάτω φραγµένη, κάτωφράγµα, φραγµένη ακολουθίαMια ακολουθία {an} είναι άνω φραγµένη αν υπάρχει αριθµός Mτέτοιος ώστε an " M για κάθε n . O αριθµός M είναι τότε έναάνω φράγµα της {an}. H ακολουθία είναι κάτω φραγµένη αν

Παράδειγµα 4 Eφαρµογή του ορισµού φραγµένης ακολουθίας

(α) H ακολουθία 1, 2, 3, . . . , n , . . . δεν έχει άνω φράγµα, αλλά είναικάτω φραγµένη από το m ! 1.

(β) H ακολουθία είναι άνω φραγµένη από το

M ! 1 και κάτω φραγµένη από το m !

(γ) H ακολουθία "1, 2, "3, 4, . . . , ("1)nn , . . . δεν είναι ούτε άνω ού-τε κάτω φραγµένη.

Γνωρίζουµε ότι µια φραγµένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ’ ανά-γκην, διότι η ακολουθία an ! ("1)n είναι φραγµένη ("1 ! an ! 1) αλ-λά αποκλίνουσα. Oύτε µια µονότονη ακολουθία συγκλίνει αναγκαστι-κά, διότι η ακολουθία των φυσικών αριθµών 1, 2, 3, . . . , n , . . . είναι µο-νότονη αλλά αποκλίνει. Aν µια ακολουθία είναι όµως ταυτόχροναφραγµένη και µονότονη, τότε οφείλει να συγκλίνει. Aυτό είναι και τοεπόµενο θεώρηµα.

Παρ’ όλο που δεν θα αποδείξουµε το Θεώρηµα 5, το Σχήµα 8.5 πεί-θει για την ισχύ του θεωρήµατος στην περίπτωση µιας µη φθίνουσαςκαι άνω φραγµένης ακολουθίας. Eφόσον η ακολουθία είναι µη φθίνου-σα και δεν µπορεί να υπερβεί το M , οι όροι της «συνωστίζονται» προςκάποιον αριθµό (το όριο) L ! M .

Παράδειγµα 5 Eφαρµογή του Θεωρήµατος 5

(α) H µη φθίνουσα ακολουθία συγκλίνει διότι είναι άνω

φραγµένη από τον αριθµό M ! 1. Mάλιστα, ισχύει ότι

οπότε η ακολουθία συγκλίνει στο όριο L ! 1.

(β) H µη αύξουσα ακολουθία είναι κάτω φραγµένη από τον

αριθµό m ! 0 και συνεπώς συγκλίνει. Tο όριό της είναι L ! 0.! 1

n # 1"

! 1,

! 11 # 0

limnl!

nn # 1

! limnl!

11 # (1 / n)

! nn # 1"

12

.

12

, 23

, 34

, . . . , nn # 1

, . . .

6018.2. Yποακολουθίες, φραγµένες ακολουθίες και η µέθοδος Picard

υπάρχει αριθµός m τέτοιος ώστε m ! an για κάθε n . O αριθµός mείναι τότε ένα κάτω φράγµα της {an}. Aν η {an} είναι άνω καικάτω φραγµένη, καλείται φραγµένη ακολουθία.

x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y ! L

(8, s8)

6 7 8

y ! M

(5, s5)

(1, s1)

ΣXHMA 8.5 Aν οι όροι µιας µηφθίνουσας ακολουθίας έχουν άνωφράγµα M θα συγκλίνουν σεκάποιο όριο L ! M.

,

Θεώρηµα 5 Θεώρηµα µονότονων ακολουθιώνKάθε φραγµένη µονότονη ακολουθία συγκλίνει.

12


I Convergent .equences are bounded

a"

'.

o 123

m f-"'---"---'

FIGURE 10.6 Some bounded sequences bounce around between their bounds and fail to converge to any limiting value.

y

.. . . . . . . . '

o

FIGURE 10.7 If the terms ofa nondecreasing sequence have an upper bound M, they have a limit L :5 M.

If a sequence {a,,} converges to the number L, then by detmition there is a number N such that I a" - L I < 1 if n > N. That is,

L-l<a,,<L+l forn>N.

If M is a number larger than L + 1 and all of the tmitely many numbers aj, a2, ... , aN, then for every index n we have an :5 M so that {an} is bounded from above. Similarly, ifm is a number smaller than L - 1 and all of the numbers aj, a2, ... , aN, then m is a lower bound of the sequence. Therefore, all convergent sequences are bounded.

Although it is true that every convergent sequence is bounded, there are hounded se-quences that fail to converge. One example is the bounded sequence {( _1)n+1) discussed in Example 2. The problem here is that some hounded sequences bounce around in the band determined by any lower bound m and any upperboundM (Figure 10.6). An impor-tant type of sequence that does not behave that way is one for which each term is at least as large, or at least as small, as its predecessor.

DEFINITION A sequence {an} is nondecreasing if an :5 an+ 1 for all n. That is, at a2 a3 .... The sequence is noninc::reasing if an an+ 1 for all n. The sequence {an} is monotonic ifit is either nondecreasing or nonincreasing.

EXAMPLE 12 (a) The sequence 1,2,3, ... , n, ... is nondecreasing.

(b) Th 123 n . d . e sequence 2' 3' 4' ... , n + I"" IS non ecreasmg.

()Th 1 111 I ... c e sequence '2' 4' 8"'" 211"" 18 nonmcreasmg.

(d) The constant sequence 3, 3, 3, ... ,3, ... is both nondecreasing and nonincreasing. (e) The sequence I, -I, I, -I, I, -I, ... is not monotonic. _

A nondecreasing sequence that is bounded from above always has a least upper bound. Likewise, a nonincreasing sequence bounded from below always has a greatest lower hound. These results are based on the completeness property of the real numbers, discussed in Appendix 6. We now prove that if L is the least upper bound of a nondecreas-ing sequence then the sequence converges to L, and that if L is the greatest lower bound of a nonincreasing sequence then the sequence converges to L.

THEOREM 6-The Monotonic Sequence Theorem If a sequence {an} is both bounded and monotonic, then the sequence converges .

Proof Suppose {an) is nondecreasing, L is its least upper bound, and we plot the points (I, all, (2, a2), ... , (n, an), ... in the xy-plane. If M is an upper bound of the sequence, all these points will lie on or below the line y = M (Figure 10.7). The line y = L is the low-est such line. None of the points (n, an) lies above y = L, but some do lie above any lower line y = L - E, if E is a positive number. The sequence converges to L because

(a) a,,:5 L for all values ofn, and (b) given any E > 0, there exists at least one integer N for which aN > L - E.

The fact that {a,,} is nondecreasing tells us further that

for all n 2: N.

Thus, all the numbers an beyond the Nth number lie within E of L. Ibis is precisely the condition for L to be the limit of the sequence {an} .

The proof for nonincreasing sequences hounded from below is similar. _


Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγµένη

n na L m a M→ ⇒ ≤ ≤

∃N∴ an − L <1= ε ⇔ L−1< an < L+1 , ∀n > N

m = min L−1,a1,…,aN{ }M = max a1,…,aN , L+1{ }


n na L a M→ ⇒ ≤

an → L ⇒ an → L

,n n ma L a a n m Nε→ ⇒ − < ∀ >


an − L ≤ an − L < ε

an − am = an − L− am − L( ) ≤ an − L + am − L < ε

2+ ε

2= ε ∀n,m > N

γραφήµατος πέραν ενός δεδοµένου δείκτη N κείται στην άνω λωρί-δα, όµως αυτό δεν συµβαίνει. Kαι αυτό διότι µόλις το σηµείο (n , an)«εισέλθει» στην άνω λωρίδα, τότε το (n ! 1, an!1) και όλα τα επόµε-να σηµεία ανά δύο εισέρχονται στην κάτω λωρίδα. Συνεπώς, η ακο-λουθία δεν µπορεί να συγκλίνει στο 1. Oµοίως, δεν µπορεί να συ-γκλίνει στο "1. Aπό την άλλη, εφόσον οι όροι της ακολουθίας προ-σεγγίζουν εναλλάξ όλο και περισσότερο τις τιµές 1 και "1, δεν τεί-νουν ποτέ σε κάποια άλλη τιµή. Συνεπώς, η ακολουθία αποκλίνει.

H συµπεριφορά της {("1)n!1[(n " 1)/n]} είναι ποιοτικά διαφορετι-κή από αυτήν της { }, η οποία αποκλίνει διότι υπερβαίνει κάθε θε-τικό αριθµό L . Για να περιγράψουµε τη συµπεριφορά της { }, γρά-φουµε

Λέγοντας πως όριο της {an} είναι το άπειρο, δεν εννοούµε βέβαια ότι ηδιαφορά µεταξύ του an και του απείρου µειώνεται καθώς το n αυξάνεται.Eννοούµε απλώς ότι το an µεγαλώνει αριθµητικά µε την αύξηση του n.

Yπολογισµός ορίων ακολουθιώνH µελέτη των ορίων θα καταντούσε αρκετά επίπονη αν έπρεπε να απα-ντήσουµε σε κάθε ερώτηµα σχετικό µε τη σύγκλιση, εφαρµόζονταςτον ορισµό. Για καλή µας τύχη, υπάρχουν τρία θεωρήµατα που διευκο-λύνουν την όλη διαδικασία. Tο πρώτο από αυτά έρχεται ως φυσιολογι-κή συνέχεια των όσων είπαµε όταν µελετούσαµε τα όρια. Oι αποδεί-ξεις παραλείπονται.

limnl!

(!n) # !.

!n!n


3, 2–3

⎛⎝

⎛⎝ 5, 4–

5⎛⎝

⎛⎝

4, "3–4

⎛⎝

⎛⎝ 6, "5–

6⎛⎝

⎛⎝

0

1

–1 " $

(1, 0)

–1

a2 a3a1

–1–1 ! $

1 " $

1 ! $

2, "1–2

⎛⎝

⎛⎝

an # ("1)n !1 n " 1——–n⎛⎝

⎛⎝

10

a6 a4 a5

O!"# "$ %&'(")*+ #!,$-. ± $ /#,0"$ 1, $!"# "$ %&'(")*+ #!,$-. ± $/#,0 "$ –1 /#,&12#& 34+ "+ an 3/$- n ≥ N5&+ 6'/$&$ N.

ΣXHMA 8.3 H ακολουθία{("1)n!1[(n " 1) n]}αποκλίνει.

/

Θεώρηµα 1 Iδιότητες ορίων ακολουθιώνΈστω {an} και {bn} ακολουθίες πραγµατικών αριθµών και A και Bπραγµατικοί αριθµοί. Έστω limnl! an # A και limnl! bn # B.Iσχύουν τότε οι ακόλουθες ιδιότητες:

1. Όριο αθροίσµατος: limnl! (an ! bn) # A ! B

2. Όριο διαφοράς: limnl! (an " bn) # A " B

3. Όριο γινοµένου: limnl! (an ! bn) # A ! B

4. Όριο σταθερού πολλαπλασίου: limnl! (k ! bn) # k ! B (τυχών αριθµός k)

5. Όριο πηλίκου: limnl! εφόσον B % 0an

bn # A

B


Παράδειγµα 4 Eφαρµογή των ιδιοτήτων ορίων ακολουθιών

Συνδυάζοντας το Θεώρηµα 1 και τα αποτελέσµατα του Παραδείγµα-τος 2, έχουµε

(α)

(β)

(γ)

(δ)

Παράδειγµα 5 Tα σταθερά πολλαπλάσια αποκλίνουσαςακολουθίας αποκλίνουν

Kάθε µη µηδενικό πολλαπλάσιο µιας αποκλίνουσας ακολουθίας{an} αποκλίνει. Για να αποδειχθεί αυτό, ας υποθέσουµε ότι η {can}συγκλίνει σε κάποιον αριθµό c ! 0. Tότε, αν θέσουµε k " 1/c στοντύπο του ορίου σταθερού πολλαπλασίου του Θεωρήµατος 1, βλέπου-µε ότι η ακολουθία

συγκλίνει. Aυτό σηµαίνει ότι η {can} δεν µπορεί να συγκλίνει παράµόνον αν και η {an} συγκλίνει. Aν η {an} δεν συγκλίνει, τότε ούτε η{can} θα συγκλίνει.

Στην Άσκηση 69 καλείστε να αποδείξετε το ακόλουθο θεώρηµα.

Mια άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 2 είναι ότι αν !bn ! ! cn καιcn l 0, τότε bn l 0 εφόσον #cn ! bn ! cn. Xρησιµοποιούµε το αποτέ-λεσµα αυτό στο ακόλουθο παράδειγµα.

Παράδειγµα 6 Xρήση του θεωρήµατος «σάντουιτς»

Eφόσον 1/n l 0, γνωρίζουµε ότι

(α)

(β)

(γ)

Tα Θεωρήµατα 1 και 2 βρίσκουν πολλές εφαρµογές χάρη σε ένατρίτο θεώρηµα που µας λέει ότι αν εφαρµόσουµε µια συνεχή συνάρτη-ση σε µια συγκλίνουσα ακολουθία, θα προκύψει µια ακολουθία που

(#1)n 1n l 0 !"#$" " (#1)n 1n " ! 1n .

12n l 0 !"#$" 1

2n ! 1n

cos nn l 0 !"#$" " cos n

n " " ! cos n !

n ! 1n

#1c ! can$ " #an$

limnl!

4 # 7n 6

n 6 $ 3 " lim

nl!

(4 / n 6) # 71 $ (3 / n 6)

" 0 # 71 $ 0

" #7.

limnl!

5n 2 " 5 ! lim

nl! 1n ! lim

nl! 1n " 5 ! 0 ! 0 " 0

limnl!

%n # 1n & " lim

nl! %1 # 1n& " lim

nl! 1 # lim

nl! 1n " 1 # 0 " 1

limnl!

%#1n& " #1 ! lim

nl! 1n " #1 ! 0 " 0


Θεώρηµα 2 Θεώρηµα «σάντουιτς» για ακολουθίεςΈστω {an}, {bn}, και {cn} ακολουθίες πραγµατικών αριθµών. Aν an

! bn ! cn για κάθε n πέραν κάποιου N και αν limnl! an " limnl!

cn " L, τότε θα ισχύει επίσης limnl! bn " L.


Παράδειγµα 4 Eφαρµογή των ιδιοτήτων ορίων ακολουθιών

Συνδυάζοντας το Θεώρηµα 1 και τα αποτελέσµατα του Παραδείγµα-τος 2, έχουµε

(α)

(β)

(γ)

(δ)

Παράδειγµα 5 Tα σταθερά πολλαπλάσια αποκλίνουσαςακολουθίας αποκλίνουν

Kάθε µη µηδενικό πολλαπλάσιο µιας αποκλίνουσας ακολουθίας{an} αποκλίνει. Για να αποδειχθεί αυτό, ας υποθέσουµε ότι η {can}συγκλίνει σε κάποιον αριθµό c ! 0. Tότε, αν θέσουµε k " 1/c στοντύπο του ορίου σταθερού πολλαπλασίου του Θεωρήµατος 1, βλέπου-µε ότι η ακολουθία

συγκλίνει. Aυτό σηµαίνει ότι η {can} δεν µπορεί να συγκλίνει παράµόνον αν και η {an} συγκλίνει. Aν η {an} δεν συγκλίνει, τότε ούτε η{can} θα συγκλίνει.

Στην Άσκηση 69 καλείστε να αποδείξετε το ακόλουθο θεώρηµα.

Mια άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 2 είναι ότι αν !bn ! ! cn καιcn l 0, τότε bn l 0 εφόσον #cn ! bn ! cn. Xρησιµοποιούµε το αποτέ-λεσµα αυτό στο ακόλουθο παράδειγµα.

Παράδειγµα 6 Xρήση του θεωρήµατος «σάντουιτς»

Eφόσον 1/n l 0, γνωρίζουµε ότι

(α)

(β)

(γ)

Tα Θεωρήµατα 1 και 2 βρίσκουν πολλές εφαρµογές χάρη σε ένατρίτο θεώρηµα που µας λέει ότι αν εφαρµόσουµε µια συνεχή συνάρτη-ση σε µια συγκλίνουσα ακολουθία, θα προκύψει µια ακολουθία που

(#1)n 1n l 0 !"#$" " (#1)n 1n " ! 1n .

12n l 0 !"#$" 1

2n ! 1n

cos nn l 0 !"#$" " cos n

n " " ! cos n !

n ! 1n

#1c ! can$ " #an$

limnl!

4 # 7n 6

n 6 $ 3 " lim

nl!

(4 / n 6) # 71 $ (3 / n 6)

" 0 # 71 $ 0

" #7.

limnl!

5n 2 " 5 ! lim

nl! 1n ! lim

nl! 1n " 5 ! 0 ! 0 " 0

limnl!

%n # 1n & " lim

nl! %1 # 1n& " lim

nl! 1 # lim

nl! 1n " 1 # 0 " 1

limnl!

%#1n& " #1 ! lim

nl! 1n " #1 ! 0 " 0


Θεώρηµα 2 Θεώρηµα «σάντουιτς» για ακολουθίεςΈστω {an}, {bn}, και {cn} ακολουθίες πραγµατικών αριθµών. Aν an

! bn ! cn για κάθε n πέραν κάποιου N και αν limnl! an " limnl!

cn " L, τότε θα ισχύει επίσης limnl! bn " L.

17


f· .... . -. .. L •••

/I •• •• -.. a; o

FIGURE 10.4 TIre terms of sequence {b.} are sandwiched betweeo those of {a,,} and {c.}, forcing them to the same common limit L.

EXAMPLE 3 By combining Theorem I with the limits of Example I, we have:

(a) lim (_1) = -I' lim 1 = -1,0 = 0 ConstantMultipJeRuleandExampJela ,,---+00 n 11--+00 n

(b) (n - I) (I ) I Difference Rule lim -n- = lim I - 11 = lim I - lim 11 = I - 0 = I andExampJela

11--+00 11--+00 11--+00 11--+ 00

Product Rule

4 - 7 6 (4In 6) - 7 0 - 7 (d) lim n=lim =--=-7.

• n6 + 3 I + (3In 6) I + 0 Sum and Quotient Rules •

Be cautious in applying Theorem I. It does not say, for example, that each of the se-quences {a.} and {b.} have limits if their sum {an + bn} has a limit. For instance, {an} = {1,2,3, ... } and {bn} = {-1,-2,-3, ... } both diverge, but their sum {an + bn} = {O, 0, O, ... } clearly converges to o.

One consequence of Theorem I is that every nonzero multiple of a divergent sequence {an} diverges. For suppose, to the contrary, that {can} conveIges fur some number c oF o. Then, by taking k = II c in the Constant Multiple Rule in Theorem I, we see that the sequence

{i·can} = {a.}

converges. Thus, {ca.} cannot converge uuless {a.} also converges. If {an} does not con-verge, then {can} does not converge.

The next theorem is the sequence version of the Sandwich Theorem in Section 2.2. You are asked to prove the theorem in Exercise 109. (See Figure 10.4.)

THEOREM 2-The Sandwich Theorem for Sequences Let {an}, {bn} , and {cn} be sequences of real numbers. If a. :5 bn :5 Cn holds for all n beyond some index N, and if lUnn_oo an = lilIln-+oo en = L, then limn_ oo b" = L also.

An immediate consequence of Theorem 2 is that, if I bn I :5 Cn and cn ..... 0, then b" ---+ 0 because -en hn en. We use this fact in the next example.

EXAMPLE 4 Since lin ..... 0, we know that

(a) because _1< COS 11 <1. n n - n - n'

(b) .1. ..... 0 2n because 0<: .1. <: 1 . - 2" - 11'

(c) (-l)nk ..... o because _1 <: (_l)n1 <: 1 n - n - n" • The application of Theorems I and 2 is broadened by a theorem stating that applying

a continuous function to a convergent sequence produces a convergent sequence. We state the theorem, leaving the proof as an exercise (Exercise 110).

THEOREM 3-The Continuous Function Theorem for Sequences Let {an} be a sequence of real numbers. If a. ..... L and if / is a function that is continuous at L and dermed at all an. then /(an) ..... /(L).


an ≤ bn ≤ cn ⇔ an − L ≤ bn − L ≤ cn − L

⇔−ε < an − L ≤ bn − L ≤ cn − L < ε ⇔ bn − L < ε

18

(a) cos nn

→ 0 διότι − 1n≤ cos n

n≤ 1

n

(b) 12n → 0 διότι 0 ≤ 1

2n ≤ 1n

(c) −1( )n 1n→ 0 διότι − 1

n≤ −1( )n 1

n≤ 1

n


επίσης συγκλίνει. Παραθέτουµε εδώ το θεώρηµα χωρίς απόδειξη(Ασκηση 70).



Λύση Γνωρίζουµε ότι (n ! 1) n l 1. Θέτοντας f (x) " και L " 1στο Θεώρηµα 3 έχουµε

Παράδειγµα 8 H ακολουθία {21/n}

H ακολουθία {1/n} συγκλίνει στο 0. Θέτοντας an " 1/n , f (x) " 2x, καιL " 0 στο Θεώρηµα 3, βλέπουµε ότι " f (1/n) l f (L) " 20 " 1. Hακολουθία { } συγκλίνει στο 1 (Σχήµα 8.4).

Kάνοντας χρήση του κανόνα του l’HôpitalTο θεώρηµα που ακολουθεί µας επιτρέπει να εφαρµόζουµε τον κανόνατου l’Hôpital προκειµένου να βρούµε τα όρια µερικών ακολουθιών. Tοθεώρηµα αντιστοιχίζει τιµές µιας (συνήθως διαφορίσιµης) συνάρτη-σης µε τις τιµές δεδοµένης ακολουθίας.

Παράδειγµα 9 Eφαρµογή του κανόνα του l’Hôpital


" 0.

Λύση H συνάρτηση (ln x) x ορίζεται για κάθε x ! 1 και για θετικούςακεραίους παίρνει ίδιες τιµές µε την ακολουθία. Συνεπώς, βάσει τουΘεωρήµατος 4, το limnl! (ln n) n θα ισούται µε το limxl! (ln x) x εφό-σον το τελευταίο υπάρχει. Eφαρµόζοντας τον κανόνα του l’Hôpitalµία φορά παίρνουµε

Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι limnl! (ln n) n " 0.

Όταν χρησιµοποιούµε τον κανόνα του l’Hôpital για την εύρεση του

/

limxl!

ln xx " lim

xl!

1 / x1

" 01

" 0.

/ /

/

ln nnlim

nl!

21 / n21 / n

!(n ! 1) / n l !1 " 1.!x /

!(n ! 1) / n l 1.


Θεώρηµα 3Έστω {an} µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Aν an l L καιη f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο L και ορισµένη για κάθεan, τότε f (an) l f (L) .

1–3

x

y

0

1

(1, 2)

y " 2x

11–2

2

, 21/31–3

⎛⎝

⎛⎝

, 21/21–2

⎛⎝

⎛⎝

ΣXHMA 8.4 Kαθώς n l !, 1/n l 0και 2 l 20.1 / n

Θεώρηµα 4Έστω f (x) συνάρτηση ορισµένη για κάθε x ! n0 και {an}ακολουθία πραγµατικών αριθµών τέτοια ώστε an " f (n) για n ! n0.Στην περίπτωση αυτή

limxl!

f(x) " L ⇒ limnl!

an " L .

f (x) = 2x an =1n→ 0

f (an )→ f (0) ⇒ 21/n → 20 = 1


επίσης συγκλίνει. Παραθέτουµε εδώ το θεώρηµα χωρίς απόδειξη(Ασκηση 70).



Λύση Γνωρίζουµε ότι (n ! 1) n l 1. Θέτοντας f (x) " και L " 1στο Θεώρηµα 3 έχουµε

Παράδειγµα 8 H ακολουθία {21/n}

H ακολουθία {1/n} συγκλίνει στο 0. Θέτοντας an " 1/n , f (x) " 2x, καιL " 0 στο Θεώρηµα 3, βλέπουµε ότι " f (1/n) l f (L) " 20 " 1. Hακολουθία { } συγκλίνει στο 1 (Σχήµα 8.4).

Kάνοντας χρήση του κανόνα του l’HôpitalTο θεώρηµα που ακολουθεί µας επιτρέπει να εφαρµόζουµε τον κανόνατου l’Hôpital προκειµένου να βρούµε τα όρια µερικών ακολουθιών. Tοθεώρηµα αντιστοιχίζει τιµές µιας (συνήθως διαφορίσιµης) συνάρτη-σης µε τις τιµές δεδοµένης ακολουθίας.

Παράδειγµα 9 Eφαρµογή του κανόνα του l’Hôpital


" 0.

Λύση H συνάρτηση (ln x) x ορίζεται για κάθε x ! 1 και για θετικούςακεραίους παίρνει ίδιες τιµές µε την ακολουθία. Συνεπώς, βάσει τουΘεωρήµατος 4, το limnl! (ln n) n θα ισούται µε το limxl! (ln x) x εφό-σον το τελευταίο υπάρχει. Eφαρµόζοντας τον κανόνα του l’Hôpitalµία φορά παίρνουµε

Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι limnl! (ln n) n " 0.

Όταν χρησιµοποιούµε τον κανόνα του l’Hôpital για την εύρεση του

/

limxl!

ln xx " lim

xl!

1 / x1

" 01

" 0.

/ /

/

ln nnlim

nl!

21 / n21 / n

!(n ! 1) / n l !1 " 1.!x /

!(n ! 1) / n l 1.


Θεώρηµα 3Έστω {an} µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Aν an l L καιη f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο L και ορισµένη για κάθεan, τότε f (an) l f (L) .

1–3

x

y

0

1

(1, 2)

y " 2x

11–2

2

, 21/31–3

⎛⎝

⎛⎝

, 21/21–2

⎛⎝

⎛⎝

ΣXHMA 8.4 Kαθώς n l !, 1/n l 0και 2 l 20.1 / n

Θεώρηµα 4Έστω f (x) συνάρτηση ορισµένη για κάθε x ! n0 και {an}ακολουθία πραγµατικών αριθµών τέτοια ώστε an " f (n) για n ! n0.Στην περίπτωση αυτή

limxl!

f(x) " L ⇒ limnl!

an " L .

limx→∞

f (x) = L ⇒ x > M ⇒ f (x)− L < ε

n > N > M , an = f (n) ⇒ an − L = f (n)− L < ε


f (x) = ln xx

an = f (n) = ln nn

limx→∞

f (x) = limx→∞

ln xx

=l ' Hopital

limx→∞

1x= 0

⇓

limn→∞

an = limn→∞

ln nn

= 0


f (x) = x +1x −1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

an = f (n) = n+1n−1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n

limx→∞

f (x) = elimx→∞

ln f ( x )

limx→∞

ln f (x) = limx→∞

ln x +1x −1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1/ x=

l ' Hopital

limx→∞

2x2

x2 −1= 2

⇓

limx→∞

f (x) = elimx→∞

ln f ( x )= e2 ⇒ lim

n→∞an = e2


Eφόσον ln an l 2 και η f(x) ! ex είναι συνεχής, το Θεώρηµα 3 µας λέ-ει ότι

an ! l e2.

Συνεπώς, η ακολουθία {an} συγκλίνει στο e2.

Όρια που απαντούν συχνάMερικά από τα όρια που απαντούν συχνότερα παρατίθενται στον Πί-νακα 8.1. Tο πρώτο από αυτά το συναντήσαµε στο Παράδειγµα 9. Tαδύο επόµενα προκύπτουν παίρνοντας λογαρίθµους και εφαρµόζονταςτο Θεώρηµα 3 (Aσκήσεις 67 και 68). Tα υπόλοιπα όρια αποδεικνύονταιστο Παράρτηµα 7.

Παράδειγµα 12 Όρια του Πίνακα 8.1

(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8.1

100 n

n! l 0

!n " 2n "

n

! !1 # "2n "

n

l e"2

!"12"

n

l 0

#n 3n ! 31 / n(n 1 / n) l 1 ! 1 ! 1

#n n 2 ! n 2 / n ! (n 1 / n)2 l (1)2 ! 1

ln (n 2)n ! 2 ln n

n l 2 ! 0 ! 0

eln an


Tύπος 1

Tύπος 2

Tύπος 3 για x ! 3 και Tύπος 2

Tύπος 4 για x ! –2–1

Tύπος 5 για x ! "2

Tύπος 6 για x ! 100

Πίνακας 8.1

1.

2.

3.

4.

5. (τυχόν x)

6. (τυχόν x)

Στους τύπους (3) έως (6), το xµένει σταθερό καθώς n l !.

limnl!

xn

n! ! 0

limnl!

!1 # xn"n

! ex

limnl!

xn ! 0 ($ x $ $ 1)

limnl!

x1 / n ! 1 (x % 0)

limnl!

#n n ! 1

limnl!

ln nn ! 0

Eύρεση όρων ακολουθίαςΣε καθεµία από τις Aσκήσεις 1-4 δίνεται ο τύπος του n-οστού όρου an µιας ακολουθίας {an}. Nα βρεθούν οι τιµέςτων a1, a2, a3, και a4.

1. an ! 2. an !

3. an ! 4. an !

Eύρεση τύπων ακολουθιώνΣτις Aσκήσεις 5-12, να βρεθεί ο τύπος του n-οστού όρουτης ακολουθίας.

5. H ακολουθία 1, "1, 1, "1, 1, . . .

6. H ακολουθία 1, "4, 9, "16, 25, . . .

7. H ακολουθία 0, 3, 8, 15, 24, . . .

8. H ακολουθία "3, "2, "1, 0, 1, . . .

9. H ακολουθία 1, 5, 9, 13, 17, . . .

10. H ακολουθία 2, 6, 10, 14, 18, . . .

11. H ακολουθία 1, 0, 1, 0, 1, . . .

12. H ακολουθία 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, . . .

Eύρεση ορίωνΠοιες από τις ακολουθίες {an} στις Aσκήσεις 13-56 συ-γκλίνουν, και ποιες αποκλίνουν; Nα βρεθεί το όριο κάθεσυγκλίνουσας ακολουθίας.

13. an ! 2 # (0,1)n 14. an !

15. an ! 16. an ! 1 " 5n 4

n 4 # 8n 31 " 2n1 # 2n

n # ("1)n

n

2 n

2 n#1

("1)n#1

2n " 1

1n!

1 " nn 2

Oι ακέραιοι από το"3 και εφεξής

Περιττοί θετικοί ακέ-ραιοι ανά δύο

Άρτιοι θετικοί ακέ-ραιοι ανά δύο

Eναλλάξ 1 και 0

Kάθε θετικός ακέ-ραιος επαναλαµβανό-µενος

Mονάδες µε εναλλασ-σόµενα πρόσηµα

Tετράγωνα θετικώνακεραίων, µε εναλλασ-σόµενα πρόσηµα

Tετράγωνα θετικώνακεραίων ελαττωµένακατά 1


limn→∞

xn = limn→∞

xn= lim

n→∞en ln x = 0 ln x < 0( )

29/11/2016 ©2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 24

x < M ⇒xM

<1⇒ limn→∞

xM

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n

= 0

⇓

n > M ⇒ 1n!

= 11⋅2 ⋅!⋅ M ⋅ M +1( ) ⋅ M + 2( ) ⋅!⋅n

< 1M !M n−M

⇓

xn

n!< 1

M !M n−M xn= M M

M !xM

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n

→ 0

limn→∞

xn

n!= 0

−

xn

n!< xn

n!<

xn

n! limn→∞

xn

n!= 0Επειδή αρκεί

Έστω Μ τέτοιο ώστε

Υπακολουθίες – Μονότονες ακολουθίες


8.2Yποακολουθίες • Mονότονες και φραγµένες ακολουθίες• Aναδροµικά οριζόµενες ακολουθίες • H µέθοδος του Picardγια την εύρεση ριζών

H παρούσα ενότητα συνεχίζει τη µελέτη της σύγκλισης και της από-κλισης ακολουθιών.

YποακολουθίεςAν ο όροι µιας ακολουθίας εµφανίζονται σε άλλη ακολουθία µε τηνίδια διάταξη, καλούµε την πρώτη ακολουθία υποακολουθία της δεύτε-ρης.

Παράδειγµα 1 Yποακολουθίες της ακολουθίας θετικών ακεραίων

(α) H υποακολουθία των άρτιων ακεραίων: 2, 4, 6, … , 2n , …

(β) H υποακολουθία των περιττών ακεραίων: 1, 3, 5, … , 2n ! 1, …

(γ) H υποακολουθία των πρώτων αριθµών: 2, 3, 5, 7, 11, …

Oι υποακολουθίες έχουν σηµασία για δύο λόγους:

1. Aν µια ακολουθία {an} συγκλίνει στο L , τότε όλες οι υποακολου-θίες της συγκλίνουν στο L Aν γνωρίζουµε ότι µια ακολουθία συ-γκλίνει, τότε διευκολυνόµαστε στην εύρεση ή στην εκτίµηση τουορίου µιας υποακολουθίας της που µας ενδιαφέρει.

2. Aν κάποια υποακολουθία µιας ακολουθίας {an} αποκλίνει ή αν δύουποακολουθίες της έχουν διαφορετικά όρια, τότε η {an} αποκλίνει.Για παράδειγµα, η ακολουθία {(!1)n} αποκλίνει διότι η υποακο-λουθία !1, !1, !1, . . . των όρων περιττού δείκτη (δηλ. του 1ου,3ου, 5ου, . . . όρου) συγκλίνει στο !1, ενώ η υποακολουθία 1, 1, 1,. . .των άρτιου δείκτη όρων της συγκλίνει στο 1, σε διαφορετικό δηλα-δή όριο.

Oι υποακολουθίες µάς παρέχουν επίσης έναν νέο τρόπο µελέτης τηςσύγκλισης. H ουρά µιας ακολουθίας είναι µια υποακολουθία της που πε-ριέχει όλους τους όρους της πέραν κάποιου N-οστού όρου. ∆ηλαδή, η ου-ρά είναι ένα σύνολο {an !n ! N}. Έτσι, ένας άλλος τρόπος για να δηλώ-σουµε ότι an l L είναι να πούµε ότι κάθε διάστηµα εύρους ±e περί το Lπεριέχει την ουρά της ακολουθίας.

Mονότονες και φραγµένες ακολουθίες

.


8.2 Yποακολουθίες, φραγµένες ακολουθίες και η µέθοδος Picard

Oρισµός Mη φθίνουσα, µη αύξουσα, µονότονη ακολουθίαMια ακολουθία {an} µε την ιδιότητα an " an"1 για κάθε nκαλείται µη φθίνουσα ακολουθίαØ δηλαδή, a1 " a2 " a3 " . . . .

Mια ακολουθία καλείται µη αύξουσα αν an ! an"1 για κάθε nMια ακολουθία που είναι είτε µη φθίνουσα είτε µη αύξουσα,καλείται µονότονη.

.

H σύγκλιση ή απόκλιση µιαςακολουθίας δεν έχει καµία σχέση µετο πώς συµπεριφέρονται οι πρώτοιόροι της ακολουθίας. Eξαρτάται µόνοαπό τη συµπεριφορά της ουράς της.














.





.














.





.


27

−1( )n














.





.


Παράδειγµα 4 Eφαρµογή του ορισµού φραγµένης ακολουθίας

(α) H ακολουθία 1, 2, 3, . . . , n , . . . δεν έχει άνω φράγµα, αλλά είναικάτω φραγµένη από το m ! 1.

(β) H ακολουθία είναι άνω φραγµένη από το

M ! 1 και κάτω φραγµένη από το m !

(γ) H ακολουθία "1, 2, "3, 4, . . . , ("1)nn , . . . δεν είναι ούτε άνω ού-τε κάτω φραγµένη.

Γνωρίζουµε ότι µια φραγµένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ’ ανά-γκην, διότι η ακολουθία an ! ("1)n είναι φραγµένη ("1 ! an ! 1) αλ-λά αποκλίνουσα. Oύτε µια µονότονη ακολουθία συγκλίνει αναγκαστι-κά, διότι η ακολουθία των φυσικών αριθµών 1, 2, 3, . . . , n , . . . είναι µο-νότονη αλλά αποκλίνει. Aν µια ακολουθία είναι όµως ταυτόχροναφραγµένη και µονότονη, τότε οφείλει να συγκλίνει. Aυτό είναι και τοεπόµενο θεώρηµα.

Παρ’ όλο που δεν θα αποδείξουµε το Θεώρηµα 5, το Σχήµα 8.5 πεί-θει για την ισχύ του θεωρήµατος στην περίπτωση µιας µη φθίνουσαςκαι άνω φραγµένης ακολουθίας. Eφόσον η ακολουθία είναι µη φθίνου-σα και δεν µπορεί να υπερβεί το M , οι όροι της «συνωστίζονται» προςκάποιον αριθµό (το όριο) L ! M .


(α) H µη φθίνουσα ακολουθία συγκλίνει διότι είναι άνω

φραγµένη από τον αριθµό M ! 1. Mάλιστα, ισχύει ότι

οπότε η ακολουθία συγκλίνει στο όριο L ! 1.

(β) H µη αύξουσα ακολουθία είναι κάτω φραγµένη από τον

αριθµό m ! 0 και συνεπώς συγκλίνει. Tο όριό της είναι L ! 0.! 1

n # 1"

! 1,

! 11 # 0

limnl!

nn # 1

! limnl!

11 # (1 / n)

! nn # 1"

12

.

12

, 23

, 34

, . . . , nn # 1

, . . .


υπάρχει αριθµός m τέτοιος ώστε m ! an για κάθε n . O αριθµός mείναι τότε ένα κάτω φράγµα της {an}. Aν η {an} είναι άνω καικάτω φραγµένη, καλείται φραγµένη ακολουθία.

x

y

0 1 2 3 4

L

M

5

y ! L

(8, s8)

6 7 8

y ! M

(5, s5)

(1, s1)

ΣXHMA 8.5 Aν οι όροι µιας µηφθίνουσας ακολουθίας έχουν άνωφράγµα M θα συγκλίνουν σεκάποιο όριο L ! M.

,

Θεώρηµα 5 Θεώρηµα µονότονων ακολουθιώνKάθε φραγµένη µονότονη ακολουθία συγκλίνει.

{ } { }

{ } { }

1

1

: , sup

: , inf

n n n n n

n n n n n

a a a M n a a

a m a a n a a

−

+

≤ ≤ ∀ ⇒ →

≥ ≥ ∀ ⇒ →28

Ελάχιστο άνω φράγμα

Μέγιστο κάτω φράγμα29/11/2016 ©2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης

y 21 Διάλεξη Ακολουθίες ΜΠΔ.,...21η Διάλεξη Ακολουθίες 29...

Documents

Transcript of y 21 Διάλεξη Ακολουθίες ΜΠΔ.,...21η Διάλεξη Ακολουθίες 29...