INTRODUO MECNICA QUNTICA. ESTRUTURA MOLECULAR

Recapitulando:

Cada partcula quntica descrita por uma onda que contm toda a informao (posio, velocidade, energia, etc.) sobre a partcula: ),,( zyx

)()()(2 2

22

xExxVdx

d

m =

+ h

Para uma partcula descrita por uma funo de onda (x,y,z), a probabilidade de encontrar a partcula no elemento de volume d proporcional a 2d .

A cada propriedade mensurvel de um sistema (observvel) corresponde um operador, construdo a partir dos operadores de posio ( ) e momento linear

( ).

= xx

dx

d

ipx =

h

Se a funo de onda que descreve o sistema uma funo prpria do operador ( ), ento o valor prprio o valor da observvel .

=

(equao de valores prprios)

Aplicao ao caso de uma partcula livre (V=0):ikxikx eBeAx +=)(

e do valor prprio da energia , E: 22

1mvE =

determinao da funo prpria (x):

Eq. de Schrdinger:(a 1 dimenso, independente

do tempo)

( = 2/)

1

COMUTAO DE OPERADORES

= xx dxd

ipx =

h

Operador posio Operador momento linear

xx pxxp Os operadores posio e momento linear no comutam (operadores complementares)

)()( xdx

d

ixxpx x =

h

[ ]dx

xdx

ix

ixx

dx

d

ixxpx

)()()()(

hhh +==

ixppxxp xxx

h== ],[][ comutador

xx pxxp =ouQuesto :

?

4h

px PRINCPIO DE INCERTEZA:

2

Generalizao do Princpio de Incerteza de Heisenberg

Se:

4h

px

421h

O princpio de incerteza aplica-se a qualquer par de o bservveis1 e 2 ,

desde que os operadores que as definem no comutem (sejamcomplementares):

1221

ou seja: 0],[ 21 Ento os valores de 1 e 2 no podem ser determinadossimultneamente.

3

MOMENTO LINEAR DE UMA PARTCULA LIVRE A 1 DIMENSO

ikxikx BeAex +=)(

dx

d

ip = h

)()()()( ikxikxikxikxikxikx BikeAikei

BeAedx

d

iBeAepxp =+=+= hh

)()(2

2)( ikxikxikxikxikxikx BeAepBeAe

hBeAek ===

h

)()( xpxp No uma equao de valores prprios

(p=h/ )

p no um valor prprio do operador momento linear! 4

Qual ento o momento linear da partcula livre a uma dimenso?

ikxeAx =)( )()()()()( xpAekAex

d

ix

dx

d

ixp ikxikx ==

== hhh

ikxeBx =)( )()()()()( xpBekBedx

d

ix

dx

d

ixp ikxikx ==== hhh

ikxAex =)( Descreve o movimento da partcula segundo x positivo

ikxBex =)( Descreve o movimento da partcula segundo x negativo

p=k valor prprio do operador momento linear se o si stema for descrito pela funo de onda A eikx

-p=-k valor prprio do operador momento linear se o si stema for descrito pela funo de onda B e-ikx

O seu momento linear tem o valor p=k

O seu momento linear tem o valor -p= -k

Se

Se

5

Momento linear de uma partcula livre a uma dimens o

S se consegue calcular o valor mdio de p(Valor expectvel)

dxxpxp )()(*

=

0=p

Quando se faz uma determinao obtm-se p ou p

Para um grande nmero de medidas (N),metade do o valor p e outra metade o valor p

0))(2/()2/( =+=

N

pNpNp

ikxikx BeeAx +=)(

O valor expectvel do momento linear de uma partcula l ivre a uma dimenso zero.

Expresso do valor expectvel de uma observvel : dxxx )()(*

=

Para o momento linear:

6

Aplicao da Equao de Schrdinger a uma PARTCULA LIVRE NUMA CAIXA A 1 DIMENSO

Parede Parede

Ene

rgia

pot

enci

al

V=0

V=V=

L comprimento da caixa

7

(x)Edx

(x)d

m =

2

22

2

h(x)E(x)V(x)

dx

d

m =

+

2

22

2

h V=0

)cos()()( kxDkxsenCx +=

CondiesFronteira

do problema

0)0( =a partcula no pode estar fora da caixa:

)0()0( + = Como a funo de onda contnua:

0)()()( === + LLL

0)0()0()0( === +

invocando os mesmos argumentospara x=L:

010)0cos()0()0( =+=+= DCDsenC

D=0

0)()( == kLsenCL

kL=n ; n=1, 2, 3,

)()cos()()cos()( kxBisenkxBkxAisenkxAeBeAx ikxikx ++=+=

Pela Eq. de Schrdinger a uma dimenso:

Lnk /=donde:

iBAC )( =BAD +=

onde:

8

n=1,2,3,4,)()()( xL

nsenCkxsenCxn

==

Para responder em duas linhas:

)()( xL

nCsenx

=

Sendo a funo de onda que descreve uma partcula l ivre numa caixa a uma dimenso:

diga por que razo o nmero quntico n no pode tomar o valor zero.

Para uma partcula livre numa caixa a uma dimenso, a funo de onda quantificada por um nmero quntico, n:

9

)(2

)( xL

nsen

Lx

=

n=1,2,3,4,

Qual o valor de C ?

1)()(* =

dxxx

dxxxdxxxdxxxdxxxL

L)()()()()()()()( *

0

*0 **

++=

=0 =0

12

)()()(2

0

2*

0

* === L

CdxL

xnsenCCdxxx

LL L

C2=

)()()( xL

nsenCkxsenCxn

==

Ctex

axsenaaxsenP ++=2

)2(4

1))(( 2

Pela condio de normao:

PORTANTO:Quando h condies fronteira s algumas funes de onda s o aceitveis.So quantificadas.

10

)(2

)( xL

nsen

Lx

=

Grfico da funo (x) para diferentes valores de n

0 L

n

LounL

2

2==

So ondas estacionrias

Propriedades destas funes de onda:

Quantificao de :

11

)(x

)(2 x

dxx)(2

Ponto nodal(n=2)

Parede Parede

As zonas de probabilidade de presena da partcula dependemdo nmero quntico n. 12

)(2

)( xL

nsen

Lx

=

)](2

[22 2

222

2

22

xL

nsen

LmL

n

dx

(x)d

m

= hh

2

22

8mL

hnEn = n= 1, 2, 3, 4, . . .

Energias permitidasclassicamente

Energias dos nveis na caixa a uma dimenso

Substituindo na Eq. de Schrdinger e derivando:

(x)E(x)mL

nh(x)

mL

n ===22

222

2

222

82

h

Valores

prprios da

energia

221 8/ mLhE =

222 8/4 mLhE =

223 8/9 mLhE =

224 8/16 mLhE =

225 8/25 mLhE =

227 8/49 mLhE =

226 8/36 mLhE =

228 8/64 mLhE =

229 8/81 mLhE =

2210 8/100 mLhE =

13

mnm

Ldxxx

n ,0

* )()( =mnsemn ==1,mnsemn = 0,

ORTOGONALIDADE DAS FUNES DE ONDA

31

1*3

(1 e 3 so ortogonais)

14

Aplicao da Equao de Schrdinger a umaPARTCULA LIVRE NUMA CAIXA A DUAS DIMENSES

Ene

rgia

pot

enci

al

Partcula confinada a uma superfcie

15

(x,y)E(x,y)yxm

=

+

2

2

2

22

2

h

Admitindo que a funo de onda um produto de funes em x e em y:no existem termos cruzados no Hamiltoneano(no existem segundas derivadas em ordem a x e y)

2

2

2

2

x

X(x)Y(y)

x =

2

2

2

2

y

Y(y)X(x)

y =

)(2211

222

2

2

2

yx EEm

Em

y

Y

Yx

X

X+==

+

hh

Y(y)X(x)Ey

YX(x)

x

XY(y)

m=

+

2

2

2

22

2

h

Equao de Schrdinger a duas dimenses

(Constante)

Dividindo por [ X(x) Y(y)] e rearranjando:

Y(y)X(x)(x,y) =

(Separao de variveis: decomposio de um problema a duas dimenses emdois problemas a uma dimenso )

16

xEm

dx

xXd

xX 22

2 2)(

)(

1

h=

yEm

dy

yYd

yY 22

2 2)(

)(

1

h=

yx EEE +=

)nL

x(sen

L(x)Xn 1

111

2 = )nL

y(sen

L(y)Yn 2

222

2 =

n1=1, 2, 3, 4, . n2=1, 2, 3, 4, .

)(2)(

22

2

xXEm

dx

xXdx =

h)(

2)(22

2

yYEm

dy

yYdy =

h

Resolvendo separadamente:

)(2

)(2

),( 222

111

, 21n

L

ysen

Ln

L

xsen

Lyxnn

=

A funo de onda quantificada por dois nmeros qunticos: n1 e n217

)(2

)(2

),( 222

111

, 21n

L

ysen

Ln

L

xsen

Lyxnn

=

n1=1, n2=2n1=1, n2=1 n1=2, n2=2n1=2, n2=1

FUNES DE ONDA PARA UMA PARTCULA NUMA CAIXA RECTANGULAR A DUAS DIMENSES

L1

L2

Contornos de nvel das funes de onda:

18

+=+=

22

22

21

21

22

22

2222

21

2221

22221 L

n

L

n

m

mL

n

mL

nE ,nn

hhh

Se a funo de onda um produto de funes de onda, a energia a soma das energias dos dois movimentos independentes segundo x e y.

)()(),( yYxXyx =

Os valores prprios da energia tambm podem ser determinadosseparadamente:

21

2221

21 mL

nEn

h=22

2222

22 mL

nEn

h=

(tambm quantificados por n1 e n2)

19

Resumindo:

Partcula confinada a uma superfcie

Partcula na Caixa a Duas Dimenses

y)(x,Ey)(x,yx2m 2

2

2

22

=

+

h

)()(),( yYxXyx =Por separao de variveis:

)nL

x(sen

L

2(x)X 1

11n1 =

)nL

y(sen

L

2(y)Y 2

22n2 =En

ergi

a po

tenc

ial

n1=1, 2, 3, 4, .

n2=1, 2, 3, 4, .

yx EEE +=

+=

22

22

21

21

22

n,nL

n

L

n

2m

E

21

h

)(2

)(2

),( 222

111

, 21n

L

ysen

Ln

L

xsen

Lyxnn

=

Donde:

e:

(dois nmeros qunticos, n1 e n2)

20

Caixa quadrada:

)(2

)(2

),( 222

111

, 21n

L

ysen

Ln

L

xsen

Lyxnn

=

[ ]412mL

E

2

22

1,2 +=h

Para n1=1; n2=2:

2)L

y(sen)

L

x(sen

L

2y)(x,1,2 =

+=

22

22

21

21

22

n,nL

n

L

n

2m

E

21

h

Para n1=2; n2=1:

)L

y(sen2)

L

x(sen

L

2y)(x,2,1 =

[ ]142mL

E

2

22

2,1 +=h

Estados ( 1,2) e (2,1) tm a mesma energia: so degenerados

L1=L2= L

DEGENERESCNCIA (Caixa quadrada)

Mas:

Caso Geral:

21