Wir wollen die Householder-Transformation in einem Tableau ... · PDF fileWir wollen die...
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Wir wollen die Householder-Transformation in einem Tableau zusammenfassen. Bei der Anwendung wird ja wie folgt umgeklammert : I - 2 v T v vv T [A|b] = [A|b] - 2 v T v v ( v T [A|b] ) =: [A|b] - (βv) ( v T [A|b] ) =: [A|b] - rh Dabei ist h ein Zeilen- und r ein Spaltenvektor. Im Tableau: [A|b] α = ... v T h = v T (A|b) β = ... r = βv H = rh [A|b] - H oder k¨ urzer [A|b] v T h = v T (A|b) r = βv [A|b] - rh Beispiel: Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = -20 -18 -44 0 40 45 -15 24 -108 und b = 4 -45 78 → [A|b] (0) = -20 -18 -44 4 0 40 45 -45 -15 24 -108 78 L¨ ose das Gleichungssystem Ax = b mittels Householdertransformationen. L¨ osung: Erste Spalte: α 1 = -25 = - p (-20) 2 +0 2 +(-15) 2 rechts daneben berechnen -→ v 1 = -45 0 -15 transponiert als Zeilenvektor eintragen -→ β 1 = 2 2250 = 2 v T 1 v 1 rechts daneben berechnen -→ β 1 v 1 = -1/25 0 -1/75 als Spaltenvektor eintragen Bem: Mit α 1 kennen wir auch bereits die erste Spalte von (A|b) (1) ! Zweite Spalte (nach Berechnung von (A|b) (1) ): α 2 = 50 = p 40 2 + 30 2 → v 2 = 40 + 50 30 → β 2 = 2 9000 = 2 v T 2 v 2 → β 2 v 2 = 1/50 1/150 Bem: Mit α 2 kennen wir auch bereits die erste Spalte von (A|b) (2) !
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Wir wollen die Householder-Transformation in einem Tableau zusammenfassen. Bei der Anwendungwird ja wie folgt umgeklammert : (
I − 2
vT vv vT
)[A|b]
= [A|b]−(
2
vT vv
) (vT [A|b]
)=: [A|b]− (β v)
(vT [A|b]
)=: [A|b]− r h
Dabei ist h ein Zeilen- und r ein Spaltenvektor.
Im Tableau:
[A|b]α = . . .
vT h = vT (A|b) β = . . .
r = βv H = r h
[A|b]−H
oder kurzer
[A|b]
vT h = vT (A|b)
r = βv [A|b]− r h
Beispiel:Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit
A =
−20 −18 −440 40 45−15 24 −108
und b =
4−4578
→ [A|b](0) =
−20 −18 −44 40 40 45 −45−15 24 −108 78
Lose das Gleichungssystem Ax = b mittels Householdertransformationen.
Losung:Erste Spalte:
α1 = −25(
= −√
(−20)2 + 02 + (−15)2)
rechts daneben berechnen
−→ v1 =
−450−15
transponiert als Zeilenvektor eintragen
−→ β1 =2
2250
(=
2
vT1 v1
)rechts daneben berechnen
−→ β1 v1 =
−1/250
−1/75
als Spaltenvektor eintragen
Bem: Mit α1 kennen wir auch bereits die erste Spalte von (A|b)(1)!
Zweite Spalte (nach Berechnung von (A|b)(1)):
α2 = 50(
=√
402 + 302)→ v2 =
(40 + 50
30
)→ β2 =
2
9000
(=
2
vT2 v2
)→ β2 v2 =
(1/501/150
)Bem: Mit α2 kennen wir auch bereits die erste Spalte von (A|b)(2)!
[ −20 −18 −44 4 ][A|b](0) = 0 40 45 −45
−15 24 −108 78 α1 = −25
(−45 0 −15 ) [ 1125 450 3600 −1350 ] β1 = 2/2250( −1/25 ) [ −45 −18 −144 54 ]0 0 0 0 0 man beachte die Nullen!
−1/75 −15 −6 −48 18[ 25 0 100 −50 ][A|b](1) = 0 40 45 −45
0 30 −60 60 α2 = 50
( 90 30 ) [ 4500 2250 −2250 ] β2 = 2/9000( ) [ ]1/50 90 45 −451/150 30 15 −15[ ]
[A|b](2) = −50 0 00 −75 75
Bem.: Bei Gleichungssystemen konnen wir auch die letzte Zeile direkt ubernehmen. Bei (echten) Ausgleichs-problemen muss in der letzten Matrixspalte noch eliminiert werden.
Ruckwartseinsetzen: 25 0 100 | −500 −50 0 | 00 0 −75 | 75
x→ x =
20−1
Und jetzt die Kurzform: [ −20 −18 −44 4 ]
[A|b](0) = 0 40 45 −45−15 24 −108 78 α1 = −25
(−45 0 −15 ) [ 450 3600 −1350 ] β1 = 2/2250( −1/25 ) [ 25 0 100 −50 ]0 0 40 45 −45
−1/75 0 30 −60 60 α2 = 50
( 90 30 ) [ 2250 −2250 ] β2 = 2/9000( ) [ 25 0 100 −50 ]x( 2 )
1/50 −50 0 0 01/150 −75 75 −1
Nach der letzten Elimination wird die Matrix [R|b] mit den Ergebnissen der vorherigen Eliminationen auf-gefullt und das Ruckwartseinsetzen durchgefuhrt.
Bemerkungen:
• Es ist sehr sinnvoll, v (zumindest annahernd) zu normieren. Praktisch empfiehlt es sich, die Transfor-mation mit (v :=
√β v)
I − β v vT = I − v vT
zu rechnen.
• β wird in der Praxis folgendermaßen berechnet (es ist ja |α| = ‖y‖2):
β =1
|α| (|α|+ |y1|)
![[eng] YEARBOOK OF FOREIGN TRADE STATISTICS …aei.pitt.edu/67378/1/1983.1974-81-B.pdf · Les pays méditerranéens — tableau synoptique 13 ... Annuaire des statistiques du commerce](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5b9b09bf09d3f2aa588c6aa4/eng-yearbook-of-foreign-trade-statistics-aeipittedu67378119831974-81-bpdf.jpg)
