VyužitíL’Hospitalovapravidlaprovýpočetlimitfunkcíaix-slx.upol.cz/~fiser/MAT2/Priklady-LHospital-NI.pdf ·...
3
Využití L’Hospitalova pravidla pro výpočet limit funkcí 1. lim x→0 sin x x [1] 2. lim x→0 e x −1 x [1] 3. lim x→0 a x − 1 x [ln a, a > 0,a = 1] 4. lim x→0 1 − cos x x sin x 1 2 5. lim x→1 cos(πx)+1 (x − 1) 2 π 2 2 6. lim x→0 + 1 x − 1 sin x [0] 7. lim x→0 1 sin x − 1 e x −1 1 2 8. lim x→0 + x ln x [0] 9. lim x→+∞ 1+ 1 x x = 1+ 1 x x =e ln(1+ 1 x ) x =e x ln(1+ 1 x ) =e lim x→+∞ x ln 1+ 1 x [e] 10. lim x→0 (cos x) 1 x 2 1 √ e 11. lim x→0 + 1 x sin x [1] 12. lim x→0 e x −1 sin 2x 1 2 13. lim x→1 x − 1 ln x [1] 14. lim x→+∞ e x x 3 [+∞] 15. lim x→0 + ln x cotg x [0] 16. lim x→0 x − sin x x 3 1 6 17. lim x→+∞ x e -x [0] 18. lim x→+∞ (π − 2 arctg x) ln x [0] 19. lim x→0 + 1 x − cotg x [0] 20. lim x→0 (cos 3x) 1 x 2 e - 9 2
-
Upload
duongkhanh -
Category
Documents
-
view
227 -
download
3
Transcript of VyužitíL’Hospitalovapravidlaprovýpočetlimitfunkcíaix-slx.upol.cz/~fiser/MAT2/Priklady-LHospital-NI.pdf ·...
Využití L’Hospitalova pravidla pro výpočet limit funkcí
1. limx→0
sin x
x[1]
2. limx→0
ex−1x
[1]
3. limx→0
ax − 1x
[ln a, a > 0, a 6= 1]
4. limx→0
1− cos xx sin x
[
1
2
]
5. limx→1
cos(πx) + 1
(x− 1)2[
π2
2
]
6. limx→0+
(
1
x− 1
sin x
)
[0]
7. limx→0
(
1
sin x− 1
ex−1
) [
1
2
]
8. limx→0+
x lnx [0]
9. limx→+∞
(
1 +1
x
)
x
=
[(
1 +1
x
)
x
= eln(1+1
x)x
= ex ln(1+1
x)]
= elim
x→+∞x ln
(
1 +1
x
)
[e]
10. limx→0(cosx)
1
x2
[
1√e
]
11. limx→0+
(
1
x
)sinx
[1]
12. limx→0
ex−1sin 2x
[
1
2
]
13. limx→1
x− 1ln x
[1]
14. limx→+∞
ex
x3[+∞]
15. limx→0+
lnx
cotg x[0]
16. limx→0
x− sin xx3
[
1
6
]
17. limx→+∞
x e−x [0]
18. limx→+∞
(π − 2 arctg x) lnx [0]
19. limx→0+
(
1
x− cotg x
)
[0]
20. limx→0(cos 3x)
1
x2
[
e−9
2
]
Neurčitý integrál — vzorečky
Funkce: Funkce primitivní: Funkce: Funkce primitivní:
xm(m ∈ R,m 6= −1)
xm+1
m+ 1
1
xln |x|
ex ex ax ax/ ln a
cos x sin x sin x − cos x
1
cos2 xtg x − 1
sin2 xcotg x
1
1 + x2arctg x
1.
∫
4x−3 dx[
−2x−2 + C]
2.
∫
x3 − 2x+ 1x3
dx
[
x− 1
2x2+2
x+ C
]
3.
∫
50
(5t)3dt
[
− 15t2+ C
]
4.
∫(
1− x
x
)2
dx
[
x− 2 ln |x| − 1x+ C
]
5.
∫
(x3 − 3x2 + 4x− 7) dx[
x4
4− x3 + 2x2 − 7x+ C
]
6.
∫(
1− 13√x
)2
dx[
x− 3x 23 + 3x 13 + C]
7.
∫ √x(1− x2) dx
[
2
3x3
2 − 27x7
2 + C
]
8.
∫
2− x2
x−√2dx =
[
2− x2 = (√2− x)(
√2 + x)
]
[√2x− x2
2+ C
]
9.
∫
(8 cosα− 3 sinα) dα [8 sinα + 3 cosα + C]
10.
∫(
sin x− 1
cos2 x
)
dx [− cos x− tg x+ C]
11.
∫
5 sin2Ω + 3 cos2Ω
2 sin2Ωcos2ΩdΩ
[
5
2tg Ω− 3
2cotg Ω + C
]
12.
∫
3− 2 cotg2 xcos2 x
dx [3 tg x+ 2 cotg x+ C]
13.
∫
eu(
1 +e−u
cos2 u
)
du [eu+tg u+ C]
14.
∫
5
9 + 9t2dt
[
5
9arctg t+ C
]
Neurčitý integrál — per partes
1.
∫
x sin x dx [−x cos x+ sin x+ C]
2.
∫
x cos x dx [x sin x+ cosx+ C]
3.
∫
x2 sin x dx[
−x2 cos x+ 2x sin x+ 2 cos x+ C]
4.
∫
sin2 x dx
[
1
2(x− sin x cos x) + C
]
5.
∫
x2 cos 2x dx
[
x2
2sin 2x+
x
2cos 2x− 1
4sin 2x+ C
]
6.
∫
tg2 x dx =
∫
sin2 x1
cos2 xdx
[
sin3 x
cosx− x+ sinx cos x+ C
]
Neurčitý integrál — substituční metoda
1.
∫
(1 + lnx)4
xdx =
[
1 + lnx = u1xdx = du
]
=
∫
u4du =1
5u5 + C =
1
5(1 + lnx)5 + C
2.
∫
sin x cos x dx
[
1
2sin2 x+ C
]
3.
∫
sin3 x dx
[
− cos x+ 13cos3 x+ C
]
4.
∫
ln5 x
xdx
[
1
6ln6+C
]
5.
∫
etg x
cos2 xdx
[
etg x+C]
6.
∫
31 sin(arctg x)
1 + x2dx [−31 cos(arctg x) + C]
