Physique TD 9. INTERFÉROMÈTRE DE MICHELSON

1. Localisation des franges d'égale épaisseurUn interféromètre de Michelson est réglé en coin d'air d'angle α=3.10−3rad . Il est éclairé par une source monochromatique de longueur d'onde λ0=683nm, placée à l'infini.

a. La source est ponctuelle à l’infini et l'onde plane incidente arrive sous un angle β sur le miroir M 1. Déterminer les directions des ondes réfléchies par les miroirs M 1 et M’2 et en déduire leurs vecteurs d'onde respectifs k⃗1et k⃗ 2. L'origine des phases et de l'espace étant prise au point O de l'arête du coin d'air, exprimer l'ordre d'interférences p en un point M en fonction de λ0 , x , y ,α et β.

k⃗1 fait l’angle −β avec Oz : k⃗1=2 πλ0

(cos β e⃗z−sin β e⃗x )

k⃗ 2 fait l’angle α−β avec la normale à M 2' donc 2α−β avec Oz:

k⃗ 2=2 πλ0

(cos (2α−β ) e⃗z+sin (2α−β ) e⃗x )Onde plane :

{a1 (M )=A1 cos (ωt+φ0− k⃗1 . r⃗ )a2 (M )=A2 cos (ωt+φ0− k⃗2 . r⃗ )

avec r⃗=O⃗M

φM=φ2M−φ1M=( k⃗2−k⃗1 ) . r⃗=2π δMλ0

=2πpavec δM=(SM )1−(SM )2

→p=(k⃗2−k⃗1 ) . r⃗2π

= 1λ0

[ (cos (2α−β )−cos β ) z+( sin (2α−β )+sin β ) x ]

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b. La source est étendue, c'est à dire que β varie entre −βM et +βM. Évaluer la variation de l'ordre d'interférences en fonction de βM en un point M du miroir M 1 à d=1cm de O, pour βM=10−2 rad, puis pour βM=1rad . Commenter.

x=d et z=0→p= 1λ0

[ (sin (2α−β )+sin β )d ]= dλ0

(sin 2α cos β−sin βcos2α+sin β )

Comme α≪1 : sin 2α ≈2α et cos2α ≈1

→p=d2α cos βλ0

p (β=0 )=2α dλ0

p (βM )=p (−βM )=2αdλ0cos βM

|Δ p|=|p (0 )−p (±βM )|=2αdλ0 (1−cos βM )

{|Δ p|=4.10−3≪1 pour βM=10−2rad|Δ p|=40 pour βM=1 rad

Dans le premier cas, il n’y a pas brouillage, dans le second, il y a brouillage.

c. Déterminer le lieu des points M (x , z ) où dpdβ est nul pour β=0 et commenter.

dpdβ

= 1λ0

[ (sin β+sin (2α−β ) ) z+(cos β−cos (2α−β ) )x ]

Pour β=0: dpdβ

= 1λ0

[ sin (2α ) z+(1−cos (2α ) )x ]dpdβ

=0↔sin (2α ) z=(−1+cos (2α ) ) x→ z=−1+cos (2α )sin (2α )

x= −2sin2α2sinα cosα

x

z=−tan α→Les franges sont localisées sur M 2'

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2. Mesure de la largeur d'une raie spectrale, cohérence temporelleUn interféromètre de Michelson réglé en lame d'air d'épaisseur e est éclairé par une radiation dont le

profil spectral est : d Edσ

=f (σ )=C exp [−(σ−σ 0 )2

a2 ] où σ 0, C et a sont des constantes positives ( a≪σ0

et σ=1λ ). Pour simplifier, on étendra la fonction f aux valeurs négatives de σ , domaine où elle prend

des valeurs négligeables.

a. Quelle est la signification de σ 0? Calculer la largeur Δ σdu profil à mi-hauteur et interpréter la constante a.

d Edσ

=f (σ )=C exp [−(σ−σ 0 )2

a2 ] : profilGaussienσ 0 est le nombre d’onde « central » , λ0=

1σ0

est la longueur d’onde de la raie (quasi

monochromatique). Largeur à mi-hauteur :

exp [−(σ−σ 0 )2

a2 ]=12↔ (σ−σ 0 )2

a2=ln 2↔σ−σ0=±a√ ln2↔σ=σ0±a√ ln2

Δ σ=2a√ ln 2→a= Δ σ2√ ln 2

=0,6 Δ σ

a caractérise la largeur de la raie.b. On fait varier l'épaisseur e en translatant l'un des miroirs avec un moteur. Établir l'expression de

l'éclairement E(e) en fonction des constantes et de la fonction F ( x )=∫−∞

+∞

f (σ ) e2 jπx dσ,

transformée de Fourier de f ( σ ).Une bande de largeur dσ (comprise entre σ et σ+dσ) est une source élémentaire monochromatique

d’éclairement d ε0=dεdσ

dσ=f (σ )dσ.

En M , l’onde produit l’éclairement dε (M )=2d ε0(1+cos 2 πδλ )=2dε 0 (1+cos2 πσδ )

Pour toute la raie ε (M )=∫ dε (M) (additivité des éclairements car les ondes de fréquences différentes sont distinctes).

ε (M )=∫−∞

+∞

2 f (σ )dσ (1+cos 2πδσ )avec δ=2e

ε (M )=∫−∞

+∞

2 f (σ )dσ (1+cos 4 πσe )=∫−∞

+∞

2 f ( σ )dσ (1+ e j4 πσe+e− j4 πσe

2 )PSI – TD 9 Page 3

→ε (M )=∫−∞

+∞

2 f (σ )dσ+∫−∞

+∞

e j4 πσe f (σ )dσ+∫−∞

+∞

e− j 4πσe f (σ )dσ

On pose :∫−∞

+∞

f (σ ) dσ=ε0→ε (e )=2 ε 0+F (2e )+F (−2e)

c. Sachant que ∫−∞

+∞

exp (−u2a2 )exp(2 jπux)du=a√π exp(−π2a2 x2), établir l'expression de E(e)

et tracer l'allure de son graphe pour Δ σ≪σ 0. Comment évolue la visibilité des franges ? Comment peut-on mesurer Δ σ ? Quelle valeur de e doit-on pouvoir atteindre ? Retrouver l'ordre de grandeur de la longueur de cohérence de la source en fonction de Δ σ .

∫−∞

+∞

e j4πσe f (σ )dσ=∫−∞

+∞

e j4 πσeC exp[− (σ−σ0 )2

a2 ]dσ=Cte∫−∞

+∞

exp(−u2a2 )exp (2 jπux )du

avec u=σ−σ0 et x=2 e→exp (2 jπux )=exp (2 jπ (σ−σ0 )2e)→Cte=Ce4ejπ σ0

→F (2e )=Ce4ejπ σ0a√π exp (−π2a24 e2 )

Demême, F (−2e )=C e−4ejπσ 0a√π exp (−π2a24e2 )et F (0 )=∫−∞

+∞

f (σ )dσ=Ca√π=ε0

→ε (e )=2Ca√π+Ce4ejπ σ0a√π exp (−π2a24 e2 )+C e−4ejπ σ0a√π exp (−π2a24 e2 )

→ε (e )=2Ca√π (1+ e4ejπσ 0+e−4ejπ σ0

2exp (−π2a24e2 ))

→ε (e )=2Ca√π (1+cos(4eπ σ0)exp (−π2a24 e2 ) )=2 ε0 (1+cos (4eπ σ 0)exp (−π2a24e2 ))La fonction cos (4 eπ σ0) a une période de

12σ0

=λ02

. (Fonction habituelle : cos2πδλ0

)

Sur une distance e=12σ0

, e−4 π 2a2e2 décroît très peu puisque a≪σ0 par hypothèse.

On a donc une fonction cos (4 π σ 0e )enveloppée par ±e−4 π2a2e2

La visibilité des franges V=e−4π 2a2e2=εMax−εMinεMax+εMin

décroît exponentiellement avec e.

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On peut accéder à la valeur de a en mesurant par exemple, la valeur de e pour laquelle e−4 π2a2e2=12

(largeur à mi-hauteur)

e−4 π2a2 (Δe )2=12↔4 π2a2 (Δe )2=ln2↔Δe=√ ln2

2πa=√ ln 22π

2√ ln 2Δ σ

d' après1.

La mesure de Δ e donne :Δ σ= ln2π Δe

Partant de e=0, il faut pouvoir atteindre e= ln 2π Δσ : on peut être limité par des contraintes mécaniques

(translation limitées à quelques cm pour un appareil usuel)Longueur de cohérence : e¿=δmax=2emax≈2 ΔeRemarque :

e¿=2 Δe=2 ln2π Δσ

→{ e¿=cτ

Δ σ= Δ νc

→cτ=2 ln 2π Δν

c

On retrouve le résultat classique :

τ Δ ν=2 ln 2π

=0,44→τ Δν ≈1

3. Spectre canneléUn interféromètre de Michelson est réglé en coin d'air. Il est éclairé en lumière parallèle grâce à une source S placée au foyer d'une lentille convergente. Les franges sont observées sur un écran plan (E) grâce à un lentille(L)de distance focale f '=12,5 cm, placée à D=15 cm de M 2.

a. La source étant monochromatique de longueur d'onde λ=0,6943 μm, on mesure sur l'écran une interfrange i=4,63mm. Calculer l'angle α du dièdre formé par les deux miroirs.

On sait que δM=2e, d’où l’interfrange sur le plan (M 1) :e=αx→δM=2αx=pλ

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{ x p=pλ2α

frange brillante dordre psi p∈Z

xp+1=(p+1 ) λ2α

frange brillanted 'ordrep+1 si p∈Z→ x p+1−x p=i0=

λ2α

Projection : X=|γ|=D'

Davec 1

D' −1

−D=1f

→D'= DfD−f

et X '=|γ|X= fD−f

(D '=75cm; γ=−5 )

→i=|γ|i0donc i=λf

2α (D−f )→α= λf

2 i (D−f )=3,75.10−4 rad (α=1,3' )

b. Établir, en fonction de α , D, f ' et λ l'expression de l'éclairement sur l'écran en un point M ' repéré par X=A ' M ' dans le plan de section principale (A ' est le conjugué de l'arête A à travers (L)).

Eclairement :

E=2E0(1+cos (2 π δMλ ))avec δM=2αx= 2αX|γ|

=2α (D− f ) X

f

→E(X )=2 E0(1+cos(2 π 2α (D−f ) Xλf ))=(1+cos (2π Xi ))

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c. La source S émet une lumière blanche: λ∈[0,4 μm;0,75 μm ]. Déterminer le nombre de cannelures noires observées au spectroscope dont la fente est disposée à la place de l'écran (E), à la distance X=50mmde A '. Calculer les longueurs d'onde des radiations éteintes.

E (X )=0 pour cos (2π Xi )=−1→2π Xi=(2q+1 ) π avecq∈Z

→4 πα (D−f ) Xλf

=(2q+1 )π→ λq=4 αX2q+1

D−ff

= 152q+1

avec λ enμm∈ [0,4 ;0,75 ]

→0,8q≤14,6≤1,5qd ' où {q≤18,25q≥9,73→q= {10,11 ,…,18 }→9cannelu res

Les longueurs de radiations absentes sont (en μm)λ10=0,7143λ11=0,6522λ12=0,6000λ13=0,5556λ14=0,5172λ15=0,4839λ16=0,4545λ17=0,4286λ18=0,4054

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