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Pressoflessione

verifica allo stato limite ultimo

Introduzione• Sperimentalmente, si osserva che il

comportamento di una sezione in C.A. con armatura semplice, soggetta a sollecitazione di pressoflessionegradualmente crescente, è il seguente:

– Prima fase: il calcestruzzo non è fessurato e la sezione è interamente reagente.

– Seconda fase: superato il momento di fessurazione, l sezione si parzializza, ma i materiali si comportano ancora in modo elastico.

– Terza fase: i materiali entrano in campo plastico. L’esatto comportamento in questa fase dipende dalla percentuale di armatura.

• Per basse percentuali di armatura, la rottura avviene per snervamento dell’acciaio con forte allungamento delle barre. Per alte percentuali di armatura, la rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo compresso.

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Diagramma di calcolo del calcestruzzo

• Diagramma di calcolo a forma di parabola –rettangolo

• Parametri caratteristici: fck, εc2, εcu2, γc.

• DM 09 gen 1996, punti 4.0.2, 4.2.1.1 e 4.2.1.3:– fck = 0.83 * Rck– εc2 = -0.002– εcu2 = -0.0035– γc = 1.6

• Resistenza a trazione nulla

Diagramma di calcolo dell’acciaio

• Diagramma di calcolo a forma bilatera

• Parametri caratteristici: Es, fyk, εud, γs.

• DM 09 gen 1996, punti 4.0.2, 4.2.1.1 e 4.2.1.4:– fyk = 375 – 430 N/mm2

– Es = 206000 N/mm2

– εud = -0.0035 <-> +0.01– γs = 1.15

• Possibilità di utilizzare ramo plastico inclinato (EC2)

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Configurazioni deformate allo SLU

• Si ipotizza che la sezione rimanga piana durante la deformazione

• Le reazioni interne devono essere tali da equilibrare gli sforzi esterni

• Si impongono dei limiti alle deformazioni dei materiali. I possibili piani deformati devono rispettare questi limiti.

Configurazioni deformate allo SLU• Si individuano dei “poli” che definiscono i limiti per i piani deformati,

funzione dei limiti di deformazione dei materiali.• La posizione dei “poli” definisce diversi “campi” entro cui devono

trovarsi i piani deformati.• Il generico piano può essere individuato dal punto di passaggio

dell’asse neutro (x). Si utilizza in realtà il rapporto ξ = x/d (profondità relativa dell’asse neutro, rispetto all’altezza utile d).

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Configurazioni deformate allo SLU

Calcolo delle reazioni• Diagrammi deformazione –

tensione non lineari: occorre integrazione delle tensioni.

• Per il calcestruzzo si può definire un coefficiente di riempimento β1, pari al rapporto fra l’area del diagramma delle tensioni (parabola - rettangolo) ed il rettangolo circoscritto, ed un coefficiente β2, che esprime la posizione della risultante rispetto all’asse neutro.

• I valori di β1 e β2 possono essere calcolati e tabellati.

• Per l’acciaio non occorre integrare (area concentrata).

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Calcolo delle reazioni – Coefficienti β per sezione rettangolare

Calcolo delle reazioni• Calcestruzzo: piano deformato -> posizione

asse neutro -> profondità relativa asse neutro ξ -> parametri β– Campi 2-3-4-4a

• R = 0.85 fcd β1 bx• Punto di applicazione: β2 x

– Campo 5• R = 0.85 fcd β1 bh• Punto di applicazione: β2 h

• Acciaio: piano deformato -> deformazione alla quota della barra -> tensione da diagramma bilatero da moltiplicare per l’area.

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Criteri di progetto e di verifica• Flessione semplice o pressoflessione con grande

eccentricità (travi)– si cerca di disporre solo barre tese, e solo se non è possibile

aumentare l’area di cls barre tese e compresse.– si dovrebbe operare all’interno dei campi 2 e 3 , cioè campi in cui

l’acciaio ha superato lo snervamento (completo sfruttamento delle barre di armatura e comportamento duttile della sezione).

– Restare all’interno di questi campi corrisponde a imporre un limite alla profondità relativa dell’asse neutro: ξ < 0.652

– L’EC2 impone di rispettare ξ < 0.450 (cls fino a C35/45) e ξ < 0.350 (cls C40/50 e oltre) nel caso di travi continue o telai calcolati con analisi elastica lineare.

• Pressoflessione con debole eccentricità (pilastri)– utilizzo dei diagrammi di interazione

Criteri di progetto e di verifica

• Nel caso di contemporanea presenza di flessione e sforzo assiale, la verifica a SLU è soddisfatta se NSd = NRd e contemporaneamente MSd <= MRd.

• Nel caso di presenza di sola flessione, la verifica a SLU è soddisfatta se MSd <= MRd.

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Progetto – flessione semplice• Scegliere il valore ξ• Dati d = braccio interno ferri tesi - cls * reazione cls e d’ = braccio interno ferri tesi –

ferri compressi.• Calcolo del corrispondente valore ultimo di momento resistente MR,lim ( = d * reazione

cls). La reazione dei ferri tesi sarà pari a quella del cls compresso.• Se MSd > MRd,lim servono anche delle barre compresse e delle ulteriori barre tese, in

grado di dare una reazione F tale da equilibrare il momento (F = (MSd - MRd,lim) / (d -d’)).

• N.B.: l’area di ferro viene calcolata in funzione di σs = f(ξ).

Progetto – pressoflessione• Si riporta lo sforzo normale

all’altezza delle armature tese (si ottiene un momento sollecitante M*).

• Si progetta la sezione per il solo momento M* come nel caso di flessione semplice, scegliendo un valore di ξ.

• Si aggiunge (o si toglie) un’area di ferro teso in conseguenza del solo sforzo normale: As = Nsd/fyd.

• N.B.: l’area di ferro viene calcolata in funzione di σs = f(ξ).

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Verifica

• Procedendo in modo analogo al progetto (calcolo reazioni in funzione del piano deformato), si può cercare una configurazione deformata tale che NSd = NRd e contemporaneamente MSd <= MRd.

• Si può riprogettare la sezione per NSd e MSd e verificare che le aree di ferro presenti nella sezione sono maggiori di quelle necessarie.

Progetto e verifica di sezioni rettangolari

• Nel caso di sezioni rettangolari è possibile predisporre delle tabelle di calcolo per effettuare progetto e verifica.

• Si fa riferimento alle sollecitazioni ed alle reazioni riportate alla quota dei ferri tesi.

• Si introducono dei valori adimensionali delle sollecitazioni, riferite all’area della sezione ed ai parametri di resistenza dei materiali.

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Progetto e verifica di sezioni rettangolari

• Nelle precedenti relazioni vanno definiti:– δ = rapporto fra le distanze dei baricentri delle armature compresse e

tese dal lembo compresso della sezione (scelta di progetto – geometria sezione).

– b = larghezza della sezione (scelta di progetto – geometria sezione).– il tipo di acciaio e di calcestruzzo (scelta di progetto – caratteristiche dei

materiali)• Le variabili rimanenti (β, β’, κ, κ’) sono tutte funzioni di ξ, profondità

relativa dell’asse neutro. E’ possibile collegare direttamente ν e µ a ω e ω’.

• Nel caso di flessione semplice, con presenza di sola armatura tesa le relazioni adimensionali si semplificano ed è possibile collegare direttamente µ a ω0 tramite ξ. E’ possibile organizzare in forma tabulare alcuni valori di questa relazione.

Tabella per la flessione semplice

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Progetto di sezione rettangolare – uso della tabella – flessione semplice

• Scegliere il valore ξ• Dalla tabella si ricava il momento ridotto µlim e la percentuale meccanica di armatura ωlim.• Si calcola il momento sollecitante ridotto µ.• Se µ < µlim

– Non serve armatura compressa.– L’area di armatura tesa necessaria deriva dalla percentuale ω0 = ωlim letto in tabella.

• Altrimenti:– Serve armatura compressa con percentuale ω’– L’area di armatura tesa con percentuale ω

• Note le percentuali meccaniche, le aree si ricavano come As = (ωs b d fcd) / fyd

Progetto di sezione rettangolare – uso della tabella – pressoflessione

• Si riporta lo sforzo normale all’altezza delle armature tese (si ottiene un momento sollecitante M* da cui si ottiene il momento ridotto µ*).

• Si progetta la sezione per il solo momento µ* come nel caso di flessione semplice, scegliendo un valore di ξ.

• La quantità di armatura va modificata tenendo conto della presenza dello sforno normale ridotto ν.

• Se µ < µlim– L’area di armatura tesa necessaria

deriva dalla percentuale ω• Altrimenti:

– Serve armatura compressa con percentuale ω’

– L’area di armatura tesa con percentuale ω

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Verifica di sezione rettangolare – uso della tabella

• Si procede iterativamente, imponendo l’uguaglianza

1. Si ipotizza κ=κ’=12. Si calcola ω0.3. Dalla tabella si ricava ξ

corrispondente a ω0.4. Si calcolano κ e κ’ in

funzione di ξ e si itera.– A convergenza raggiunta si

valuta µtot.– Noto µtot si calcola il

momento resistente riferito alle armature tese.

Trave a T• La verifica / progetto può

essere eseguita in modo analogo a quanto visto per la trave rettangolare.

• Occorre ricavare delle tabelle dedicate a questo tipo di trave.

• Nel caso di solai la larghezza dell’ala (“larghezza collaborante”) può essere calcolata in funzione della distanza fra i punti di momento nullo (schemi semplici per carichi distribuiti e rapporto fra luci adiacenti = 1 – 1,5).

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Trave a T – tabella per la flessione

• La tabella si riferisce a diversi rapporti hf/d e beff/bw (per valori intermedi è lecito interpolare linearmente).

• La tabella si riferisce a posizioni dell’asse neutro lungo l’anima. Se l’asse neutro taglia l’ala la sezione è equivalente ad una rettangolare (utilizzare la stessa tabella).

Trave a T – tabella per la flessione

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Trave a T – tabella per la flessione

Trave a T – tabella per la flessione

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Progetto di sezione a T – uso della tabella – flessione semplice

• Si calcola momento sollecitante ridotto.

• Utilizzando la tabella si individua il µlim corrispondente.

• Se µ < µlim– E’ sufficiente armatura tesa.– Si legge ω0 e si calcola la

quantità di armatura As0.• Se µ > µlim

– E’ necessario disporre armatura in compressione.

– Si calcolano ω e ω‘ da cui si ricava l’area di armatura necessaria.

Progetto di sezione a T – uso della tabella – flessione semplice

• Si calcola il valore del momento agente rispetto all’armatura tesa, ed il rispettivo momento ridotto

• Utilizzando la tabella si individua il µlim corrispondente.

• Se µ < µlim– E’ sufficiente armatura tesa.– Si legge ω0 e si calcola la

quantità di armatura As.• Se µ > µlim

– E’ necessario disporre armatura in compressione.

– Si calcolano ω e ω‘ da cui si ricava l’area di armatura necessaria.