Vektorski podprostori

1. Pokazi, da je ravnina Σ z enacbo x + 2y − z = 0 vektorski podprostor v R3 in poiscikaksno njegovo bazo.

Resitev: Baza prostora Σ je npr. mnozica

−2

10

,

101

.

2. Pokazi, da je mnozica x 0 y

0 x− y x + zy x− z x

: x, y, z ∈ R

vektorski podprostor v prostoru matrik M3×3(R) in doloci njegovo bazo.

Resitev: Baza prostora je mnozica 1 0 0

0 1 10 1 1

,

0 0 10 −1 01 0 0

,

0 0 00 0 10 −1 0

.

3. Dane so matrike

A =

[1 01 1

], B =

[1 00 1

], C =

[1 −23 0

], D =

[0 00 1

]ter preslikava A : M2×2(R)→M2×2(R) s predpisom

A(X) = AX −XA.

(a) Preveri, da je mnozica {A,B,C,D} baza vektorskega prostora M2×2(R) in da jeA linearna preslikava.

(b) Doloci matriko preslikave A glede na to bazo.

(c) Poisci kaksno bazo jedra in kaksno bazo slike preslikave A.

Resitev: Matrika preslikave A glede na dano bazo je

0 0 1 −10 0 1 10 0 0 00 0 −4 0

. Baza slike

je {[2 01 −2

],

[0 01 0

]},

baza jedra pa {A,B}.

1

4. Doloci kako bazo jedra in kako bazo slike linearne preslikave R4 → R3, katere matrikaglede na standardni bazi je enaka 1 3 1 4

1 2 1 32 2 2 4

.

Resitev: Baza jedra je

10−10

,

011−1

, baza slike pa

−1

02

,

210

.

2