Variables aléatoires discrètes -...

BCPST29

52 7 Variables aléatoires discrètes

I Compléments sur les variables aléatoires discrètes

A) Dénition

Dénition : Variable aléatoire discrèteUne variable aléatoire réelle discrète est une variable aléatoire réelle X telle que X(Ω) est un ensembleréel discret, c'est-à-dire ni ou dénombrable.Si x ∈ R et A ⊂ R, on notera :

[X = x] = X−1(x) = ω ∈ Ω;X(ω) = x

et[X ∈ A] = X−1(A) = ω ∈ Ω;X(ω) ∈ A

([X = x])x∈X(Ω) est un système complet d'évènements.

Exemple :

©

On va reprendre pour ce cours les deux exemples du cours précédent :

G On lance deux dés et on note X la somme des deux résultats. Ω = J1, 6K2 et X(Ω) =J2, 12K

G On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on note X le nombre tirseectués.

Ω = P, FP, FFP, . . . ∪ FFFFF . . .︸︷︷︸ω0

X n'est pas déni si ω = ω0.

Cependant, P(ω0) = 0 donc X est presque partout déni et on considére que X(Ω) =N.

Proposition :

Soient X et Y sont des variables aléatoires discrètes dénies sur un même espace de probabilité Ω etα un réel.Alors X + αY et XY sont aussi des variables aléatoires discrètes.

B) Lois

Dénition : LoiSoit X une variable aléatoire discrète.La loi de X est l'application :

PX : X(Ω) → R+

x 7→ P([X = x])

2014-2015 C. Courant page 1

BCPST 952 Variables aléatoires discrètes Lycée du Parc

Exemple :

©

On lance deux dés et on note X la somme des deux résultats.Ω = J1, 6K2 et X(Ω) = J2, 12K.

Déterminer la loi de X.

Exemple :

©On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on note X le nombre tirseectués.Déterminer la loi de X.

C) Fonction de répartition

Proposition : Loi et fonction de répartition

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N. On a :

∀k ≥ 1,P(X = k) = P([X ≤ k])−P([X ≤ k − 1])

Proposition :

Soit X une variable aléatoire discrète et F sa fonction de répartion.F est constante par morceaux, les discontinuités correspondant aux valeurs de X.

D) Espérance

Dénition : Espérance

Soit X une variable aléatoire discrète.On dit que X admet une espérance si la série

∑x∈X(Ω)

xP([X = x]) est absolument convergente.

Dans ce cas, on appelle espérance de X et on note : E(X) la somme de la série :

E(X) =∑

x∈X(Ω)

xP([X = x])

Remarque: Cas des variables aléatoires nies

Si la variable aléatoire admet un nombre ni de valeurs, alors elle admet une espérance.

Remarque: Cas d'une variable aléatoire à valeurs dans NSoit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N.X admet une espérance si la série

∑k≥0

kP([X = k]) est convergente.

Dans ce cas,

E(X) =+∞∑k=0

kP([X = k])

Exemple :

© On lance deux dés et on note X la somme des deux résultats.Calculer l'espérance de X.



Exemple :

©On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on note X le nombre tirseectués.Calculer l'espérance de X.

E) Formule de transfert

Dénition :Soit X une variable aléatoire discrète.Soit φ : R→ R une fonction dénie au moins sur X(Ω).Alors la fonction φ X : Ω → R

ω 7→ φ(X(ω))est une variable aléatoire discrète.

On note en général φ X sous la forme φ(X).

Proposition :

Soit X une variable aléatoire discrète.Soit φ : R→ R une fonction dénie au moins sur X(Ω).

φ(X) admet une espérance si et seulement si∑

x∈Ω(X)

φ(x)P([X = x]) est absolument convergente.

Dans ce cas, E(φ(X)) est donnée par :

E(φ(X)) =∑

x∈Ω(X)

φ(x)P([X = x])



II Loi uniforme

A) Loi

Dénition :Soit n un entier non nul.On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur J1, nK si : X(Ω) = J1, nK et

∀k ∈ J1, nK, P([X = k]) =1

n

On note : X → U(J1, nK).Plus généralement : soit a, b deux entiers avec a < b.On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur Ja, bK si : X(Ω) = Ja, bK et

∀k ∈ Ja, bK, P([X = k]) =1

b− a+ 1

On note : X → U(Ja, bK).

Exemple :

©

G Un dé parfaitement équilibé est lancé. La variable aléatoire X égale au numéro quisort suit la loi uniforme sur J1, 6K.

G Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On en tire une au hasard. La variablealéatoire X égale au numéro de la boule tirée suit la loi uniforme sur J1, nK.

B) Espérance et variance

Proposition :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur Ja, bK.Alors X admet une espérance et une vairance donnée par :

E(X) =a+ b

2, V(X) =

(b− a)(b− a+ 2)

12

Proposition : Cas particulier

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur J1, nK.Alors X admet une espérance et une variance donnée par :

E(X) =n+ 1

2, V(X) =

n2 − 1

12

Démonstration :

C) Simuler une loi uniforme avec Python

loi uniforme

from random import ∗randint (a , b ) # Cho i s i t un e n t i e r ent r e a et b

# l e s ext r émit é s sont i n c l u s e s des 2 cot é s



III Loi de Bernouilli

A) Loi

Dénition :Soit p ∈]0, 1[ .On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi de Bernouilli de paramètre p si : X(Ω) = 0, 1 et

P([X = 1]) = p, P([X = 0]) = 1− p

On note : X → B(p)

Exemple :

©

G Le jeu de pile ou face est suit une loi de Bernouilli de paramètre 12 , si la pièce est

équilibrée.

G Toute épreuve à deux issues est représentée par une loi de Bernouilli, en notant lesdeux résultats possibles : 1 (succès) et 0 (échec).

G Si X suit une loi de Bernouilli de paramètre p alors X2 aussi.

G Si X et Y suivent une loi de Bernouilli alors XY aussi (sauf si XY = 0)


Proposition :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli de paramètre p.Alors X admet une espérance et une variance donnée par :

E(X) = p, V(X) = p(1− p)

Démonstration :

C) Simuler une loi de Bernouilli avec Python

Loi de Bernouilli

from random import ∗

de f Bernoulli (p ) :i f random ( )<p :

r e turn 1e l s e :

r e turn 0



IV Loi binomiale

A) Loi

Dénition :Soit p ∈]0, 1[ et n ∈ N∗.On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi de binomiale de paramètre (n, p) si : X(Ω) = J0, nKet

∀k ∈ J0, nK, P([X = k]) =

(n

k

)pk(1− p)n−k

On note : X → B(n, p)

Exemple :

©

G On lance n fois une pièce équilibrée. La variable aléatoire X égale au nombre de facesuit une loi binomiale de paramètre (n, 1

2).

G Une urne contient des boules, la proportion des boules blanches est p et celles desnoires est 1− p. On eectue n tirages avec remise.La variable aléatoire X égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi bino-miale de paramètre (n, p).

G On considère une suite de n épreuves de Bernouilli de même paramétre p, indépen-dantes. La variable aléatoire X égale au nombre de succès dans ces n épreuves suitune loi binomiale de paramètre (n, p).


Proposition :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (n, p).Alors X admet une espérance et une variance donnée par :

E(X) = np, V(X) = np(1− p)

Démonstration :

C) Simuler une loi binomiale avec python

Loi Binomiale

from random import ∗

de f Bernoulli (p ) :i f random ( )<p :

r e turn 1e l s e :

r e turn 0

de f binomial (n , p ) :somme=0f o r k in range (n ) :

somme += Bernoulli (p )re turn somme



V Loi hypergéométrique

A) Loi

Dénition :Soit p ∈]0, 1[ et n,N ∈ N∗.On suppose : 1 ≤ n ≤ N et Np ∈ N. On note q = 1− p.On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi hypergéométrique de paramètre (N,n, p) si :X(Ω) = Jmax(0, n−Nq),min(n,Np)K et

∀k ∈ Jmax(0, n−Nq),min(n,Np)K, P([X = k]) =

(Npk

)(Nqn−k)(

Nn

)On note : X → H(N,n, p)

Exemple :

©

Une urne contient a boules blanches et b boules noires. Soit n ≤ a+ b.On tire simultanément (ou successivement mais sans remise) n boules dans l'urne.La variable aléatoire X égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi hypergéo-métrique de paramètre (a+ b, n, a

a+b).


Proposition :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi hypergéoétrique de paramètre (N,n, p).Alors X admet une espérance et une variance donnée par :

E(X) = np, V(X) = npqN − nN − 1

C) Simuler une loi hypergéométrique avec python

Loi hypergéométriquefrom random import ∗de f bernouilli (p ) :

i f random ( )<p :r e turn 1

e l s e :r e turn 0

de f hypergeo (N , n , p ) :""" s imule l e t i r a g e sans remise de n bou le s parmi N bou le s dont

l a propor t ion de blanches e s t p"""res = 0a , b = p∗N , N−p∗N # nombre de bou le s b lanches et de no i r e sf o r i in range (n ) :

x = bernouilli ( f l o a t (a/N ) )N += −1 #une boule de moins dans l ' urnei f x == 1 :

a += −1 # une blanche en moinse l s e :

b +=−1 # une no i r e en moinsres += x

re turn res



VI Loi géométrique

A) Situation

On eectue une succession (éventuellement innie) d'épreuves indépendantes de Bernouilli de para-mètre p et on appelle X la variable aléatoire égale au rang d'apparition du premier succès.

On note X = 0 si on a toujours un échec.

On dit que X est le temps d'attente du premier succès.

On a :

∀k ∈ N∗,P(X = k) = qk−1p

On remarque :+∞∑k=1

P(X = k) = 1.

Ainsi, P([X = 0]) = 0.

On peut donc considérer que X(Ω) = N∗.

B) Loi

Dénition : Temps d'attente du premier succès

Soit p ∈]0, 1[ . On note q = 1− p.On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi géométrique de paramètre p à valeurs dans N∗ si :X(Ω) = N∗ et

∀k ∈ N∗, P([X = k]) = qk−1p

On note : X → GN∗(p)

C) Espérance et variance

Proposition : Temps d'attente du premier succès

Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p et à valeurs dans N∗.Alors X admet une espérance et une variance donnée par :

E(X) =1

p, V(X) =

q

p2

Démonstration :

D) Simuler une loi géométrique avec Python

loi géométrique

de f geometrique (p ) :res = 0k = 0whi le res == 0 :

res = bernouilli (p )k += 1

return k



VII Loi de Poisson

A) Dénition

Dénition :

Poisson 1781-1840

Soit λ ∈ R∗+.On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ siX(Ω) = N et

∀k ∈ N,P([X = k]) =λk

k!e−λ

On note : X → P(λ)

Remarque:

Ceci dénit bien une loi de probabilité car+∞∑k=0

λk

k!e−λ = 1.

Exemple :

©

Une loi de Poisson permet de décrire le nombre d'évènements d'un certain type se pro-duisant dans une période de temps. On dit que la loi de poisson est la loi des évènementsrares.

G Nombre de clients se présentant dans un magasin pendant une période T .

G Nombre d'appels reçus par un standard téléphonique pendant une période T

λ est le nombre moyen d'évènements pendant la période T .

0 1 2 3 4 5 6 7

−0.5 λ = 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

−0.1 λ = 10




Proposition :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0.Alors X admet une espérance et une variance donnée par :

E(X) = λ, V(X) = λ

C) Simuler une loi de poisson avec Python

Loi de Poisson

from random import random

de f poisson (mu ) :x = random ( )F = 0i = 0whi le F<x :

i += 1F += exp(−mu ) ∗mu∗∗i/factorial (i )

re turn (i−1)

Cet algorithme présente un problème : pour de grande valeur de i, l'entier i! est grand et python doitle convertir en oat pour eectuer le calcul. Cela provoque une erreur. Il vaut mieux procéder de lafaçon suivante :

Loi de Poisson améliorée

from random import random

de f poisson2 (mu ) :x = random ( )F = 0i = 0S = exp(−mu )whi l e F<x :

i += 1F += S

S ∗= f l o a t (mu ) /ire turn (i−1)

Loi de Poisson toute faite

import numpy as np

np . random . poisson (mu ) # Fait un t i r a g e su ivant l a l o i de po i s sonnp . random . poisson (mu , N ) # renvo i e une l i s t e de N t i r a g e s su ivant

#la l o i de po i s son

Remarque:On a de même dans le module et avec la même syntaxe :

import numpy as np

np . random . binomial (n , p , N )np . random . geometric (p , N )np . random . hypergeometric (a , b , n , N ) # a=nombre de bou le s succ è s ,

# b=nombre de bou le s é chec# n=nombre de t i r a g e s dans l ' urne


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52 7 Exercices

Poisson avait l'habitude de dire : La vie n'est bonne qu'à deux choses : à faire des mathématiques

et à les professer

© Exercice 1: /home/carine/BCPST/Basexo/Proba/VAD/VAD01.tex

On considère un ivrogne marchant le long d'un trottoir. À chaque seconde, il avance avec probabilitéun demi d'un pas, et recule d'un pas avec la même probabilité. On supposera que tous les pas sont dela même longueur. On se donne un repère le long du trottoir, gradué en pas. On note Xn la positionde l'ivrogne au bout de n secondes. Donner la loi de Xn , son espérance et sa variance.Indication : on pourra introduire la variable aléatoire de Bernouilli qui vaut 1 si l'ivrogne avance et 0sinon et exprimer Xn à partir de celle-ci.


On dispose d'une pièce déséquilibrée, amenant pile avec la probabilité 2/3. On note X le nombre delancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, deux pile consécutifs.Pour tout n ∈ N∗ , on pose an = P [X = n].

1) Calculer a1 , a2 , a3 et a4 .

2) Montrer que, pour tout n ≥ 3, an =1

3an−1 +

2

9an−2.

3) En déduire une expression de an en fonction de n. Vérier que∑n≥1

an = 1. Qu'en conclure ?

4) La variable aléatoire X admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.


On a une urne avec une boule noire et une boule blanche. A chaque tirage, on note la couleur de laboule tirée et on la remet dans l'urne, en ajoutant de plus une boule noire. On note Y la variablealéatoire donnant le rang de la première boule noire tirée.

1) Calculer P [Y = k] pour tout k ∈ N∗.2) Quelle est la probabilité de ne jamais tirer de boule noire ?

3) Y admet-elle une espérance et, si oui, la calculer.

4) Y admet-elle une variance et, si oui, la calculer.


Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Déterminer la loi etl'espérance de la variable Y = (−1)X .


On répète indéniment, de manière indépendante, une expérience aléatoire au cours de laquelle unévénement A peut, à chaque fois, se produire avec une probabilité p ∈]0; 1[. On note X le rang de lapremière réalisation de l'événement A et Y le rang de sa deuxième réalisation.

1) Donner la loi de X, puis celle de Y .

2) Comparer E(X) et E(Y ).


Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ. Montrer que P [X ≤ λ2 ] ≤ 4

λ


BCPST 952 Exercices : Variables aléatoires discrètes Lycée du Parc


Soit λ > 0. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ.

Calculer l'espérance de la variable aléatoire1

1 +X.


Une grenouille monte les 2n marches d'un escalier en sautant : ou bien une seule marche, avec la probabilité p. ou bien deux marches, avec la probabilité 1− p.

On note Xn le nombre de marches franchies après n sauts. On note Yn le nombre de fois où lagrenouille a sauté une seule marche.

1) Déterminer la loi de Yn . ExprimerXn en fonction de Yn . En déduire la loi deXn , son espéranceet sa variance.

2) On note Zn le nombre de sauts nécessaires pour atteindre ou dépasser la n-ième marche. Expri-mer, pour n ≥ 1 et k ≥ 1, la probabilité P [Zn = k] en fonction des probabilités des événements[Zn−1 = k − 1] et [Zn−2 = k − 1]. En déduire que :

E(Zn) = pE(Zn−1) + (1− p)E(Zn−2) + 1.

3) Comment déterminer a pour que la suite de terme général un = E(Zn) − na soit récurrentelinéaire d'ordre 2 ?

4) Calculer alors l'espérance de Zn . Donner un équivalent de E(Zn) quand n tend vers l'inni, etinterpréter.


On lance n dés pipés, donnant le chire 6 avec la probabilité p ∈]0; 1[. A chaque lancé, on met de côtéceux qui font 6 et on relance tous les autres ; on arrête une fois que tous les dés ont fait 6. Notons X1

la variable aléatoire égale au nombre de 6 obtenus au premier lancer, X la variable aléatoire égale aunombre de lancers eectués et Y celle égale au nombre de dés lancés au total.

1) Déterminer la loi de X1 , son espérance et sa variance.

2) Déterminer la loi de X.

3) Déterminer E(Y ), puis la loi de Y .


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