Universidade de Sao Paulo

Instituto de Matematica e Estatıstica

MAT0111 - Lista de exercıcios para a 3a prova

Valentin Ferenczi

11 de maio de 2009

1. Estude a funcao dada com relacao a maximos e mınimos locais e globais.

(a) f(x) =x

1 + x2

(b) f(x) = ex − e−3x

(c) f(x) = x2 + 3x + 2

(d) f(x) = xe−2x

(e) f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 3

(f) f(t) = te−t

2. Determine as dimensoes do retangulo de area maxima e cujo perımetro 2p e dado.

3. Determine o numero real positivo cuja diferenca entre ele e seu quadrado seja maxima.

4. Determine o numero real positivo cuja soma com o inverso de seu quadrado seja mınima.

5. Deseja-se construir uma caixa de forma cilındrica e 1 m3 de volume. Nas laterias e no fundo sera utilizadomaterial que custa R$ 10 o metro quadrado e na tampa material de R$ 20 o metro quadrado. Determineas dimensoes da caixa que minimizem o custo do material empregado.

6. Duas partıculas P e Q movem-se, respectivamente, sobre os eixos Ox e Oy. A funcao de posicao de P e

x =√

t e a de Q, y = t2 − 34, t ≥ 0. Determine o instante em que a distancia entre P e Q seja a menor

possıvel.

7. Determine o ponto da parabola y = x2 que se encontra mais proximo da reta y = x− 2.

8. Determine os pontos crıticos da funcao dada e classifique-os como ponto de maximo local, ponto de mınimolocal ou ponto de inflexao.

(a) f(x) =x4

4− x3 − 2x2 + 3

(b) h(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1

(c) f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1

(d) x(t) = 3√

t3 − 2t + 1

(e) f(x) =1

x4 + 2x3 + x2 + 1

(f) g(x) = x2e−5x

9. Determine os valores maximos e mınimos (caso existam) da funcao dada, no intervalo dado.

(a) f(x) =x4

4− x3 − 2x2 + 3 em [−2, 3].

(b) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1 em [−2, 1].

(c) f(x) =x5

5− x4

2−x3 +4x2− 4x+1 em [−3, 3].

(d) f(x) = senx− cos x em [0, π].

(e) f(x) = 3√

x3 − 2x2 em [−1, 2].

(f) f(x) =1

x3 − 2x2em ]0, 2[.

10. Uma partıcula desloca-se sobre o eixo 0x, de modo que em cada instante t a velocidade e o dobro daposicao x = x(t). Sabe-se que x(0) = 1. Determine a posicao da partıcula no instante t.

11. Seja y = f(x), x ∈ R, derivavel ate a 2a ordem e tal que, para todo x, f ′′(x) + f(x) = 0.

(a) Seja g dada por g(x) = f ′(x) sen x− f(x) cos x. Prove que g e constante.

1

(b) Prove que existe uma constante A tal que[f(x)−A cos(x)

senx

]′= 0

para todo x em ]0, π[. Conclua que existe uma outra constante B tal que, para todo x em ]0, π[,f(x) = A cos x + B senx.

12. Sejam f e g duas funcoes definidas e derivaveis em R. suponha que f(0) = 0, g(0) = 1 e que para todo x

f ′(x) = g(x) e g′(x) = −f(x)

(a) Mostre que, para todos x,

(f(x)− senx)2 + (g(x)− cos x)2 = 0

(b) Conclua de (a) que f(x) = senx e g(x) = cos x.

13. Calcule.

(a)∫

e2x dx

(b)∫

e−x dx

(c)∫

(x + 3ex) dx

(d)∫

cos 3x dx

(e)∫

sen 5x dx

(f)∫

(e2x + e−2x) dx

(g)∫

(x2 + senx) dx

(h)∫

(3 + cos x) dx

(i)∫

ex + e−x

2dx

(j)∫

1e3x

dx

(k)∫

(sen 3x + cos 5x) dx

(l)∫ (

1x

+ ex

)dx, x > 0

14. Determine a funcao y = y(x), x ∈ R, tal que

(a)dy

dx= 3x− 1 e y(0) = 2

(b)dy

dx= x3 − x + 1 e y(1) = 1

(c)dy

dx= cos x e y(0) = 0

(d)dy

dx= sen 3x e y(0) = 1

(e)dy

dx=

12x + 3 e y(−1) = 0

(f)dy

dx= e−x e y(0) = 1

15. Determine a funcao y = y(x), x > 0, tal que

(a)dy

dx=

1x2

e y(1) = 1

(b)dy

dx= 3 +

1x

e y(1) = 2

(c)dy

dx= x +

1√x

e y(1) = 0

(d)dy

dx=

1x

+1x2

e y(1) = 1

16. Uma partıcula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = t+3, t > 0, Sabe-se que, no instante t = 0,a partıcula encontra-se na posicao x=2.

(a) Qual a posicao da partıcula no instante t?

(b) Determine a posicao da partıcula no instante t = 2.

(c) Determine a aceleracao.

17. Uma partıcula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2t−3, t > 0. Sabe-se que no instante t = 0a partıcula encontra-se na posicao x = 5. Determine o instante em que a partıcula estara mais proximada origem.

18. Esboce o grafico da funcao y = y(x), x ∈ R, Sabendo que

2

(a)dy

dx= 2x− 1 e y(0) = 0

(b)d2y

dx2= −4 cos 2x, y(0) = 1 e y′(0) = 0

(c)d2y

dx2= e−x, y(0) = 0 e y′(0) = −1

(d)dy

dx=

11 + x2

e y(0) = 0

19.∫ −1

−2

(1x2

+ x

)dx

20.∫ 4

0

√x

21.∫ 4

1

1√x

dx

22.∫ 2

1

1 + x

x3dx

23.∫ 1

0

(x− 3)2 dx

24.∫ 2

1

1 + t2

t4dt

25.∫ 0

−π

sen 3x dx

26.∫ 0

−1

e−2x dx

27.∫ 1

0

2xex2dx

28.∫ 1

0

2x

1 + x2dx

29.∫ 1

0

11 + x

dx

30.∫ π

2

2

cos2 x dx

31.∫ π

2

0

sen2 x dx

32.∫ 1

0

3x dx

33.∫ 1

0

3xex dx

34.∫ π

4

0

tg2x dx

35. A e o conjunto de todos (x, y) tais que x2 − 1 6 y 6 0.

36. A e o conjunto de todos (x, y) tais que 0 6 y 6 | senx|, com 0 6 x 6 2π.

37. A e o conjunto do plano limitado pela reta y = x, pelo grafico de y = x3, com −1 6 x 6 1.

38. A = {(x, y) ∈ R2|0 6 x 6 1 e√

x 6 y 6 3}.

39. A e o conjunto do plano limitado de reta x = 0, x =π

2e pelos graficos de y = sen x e y = cos x.

40. A e o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x > 0 e− x 6 y 6 x− x2.

41. Calcule.

(a)∫ 2

1

(x− 2)5 dx

(b)∫ 1

0

√3x + 1 dx

(c)∫ 2

1

2(3x− 2)3

dx

(d)∫ 2

0

e2x dx

(e)∫ 1

0

xex2dx

(f)∫ 1

0

x2

1 + x3dx

(g)∫ 2

2

x2(x− 2)10 dx

42. Calcule.

(a)∫ 1

0

x√

x2 + 3 dx

(b)∫ 1

0

x(x2 + 3)5 dx,

(c)∫ 2

1

x(x2 − 1)5 dx

(d)∫ 1

0

x√

1− x2 dx

(e)∫ 0

−1

x2ex3dx

(f)∫ 1

0

x√

1 + 2x2 dx

(g)∫ 2

1

3s

1 + s2ds

(h)∫ 1

0

11 + 4s

ds

(i)∫ 3

0

x√x + 1

dx

(j)∫ 1

0

s√s2 + 1

ds

(k)∫ 3

0

x2

√x + 1

dx

(l)∫ 1

0

x2

(x + 1)2dx

(m)∫ 1

−1

x3(x2 + 3)10 dx

(n)∫ √

3

0

x3√

x2 + 1 dx

(o)∫ π

30

senx cos2 x dx

(p)∫ π

60

cos x sen5 x dx

(q)∫ π

2π

3

senx(1− cos2 x) dx

3

(r)∫ π

2π

3

senx sen2 x dx (s)∫ π

2π

3

sen3 x dx (t)∫ π

60

cos3 x dx

43. Um aluno (precipitado), ao calcular a integral∫ 1

−1

√1 + x2 dx, raciocinou da seguinte forma: fazendo a

mudanca de variavel u = 1 + x2, os novos extremos de integracao seriam iguais a 2(x = −1 → u = 2;x = 1 → u = 2) e assim a integral obtida apos a mudanca de variavel seria igual a zero e, portanto,∫ 1

−1

√1 + x2 dx = 0. Onde esta o erro?

44. (a) Verifique que sen2x =12− 1

2cos 2x

(b) calcule∫

sen2 x dx

45. calcule.

(a)∫

cos2 2x dx

(b)∫

cos2 5x dx

(c)∫

sen2 3x dx

(d)∫

cos2x

2dx

(e)∫

cos4 x dx

(f)∫ (

12

+12

cos 2x

)2

dx

(g)∫

(senx + cos x)2 dx

(h)∫

(senx− cos x)2 dx

(i)∫

(5 + sen 3x)2 dx

(j)∫

(1− cos 2x)2 dx

46. Calcule.

(a)∫ π

80

cos2 x dx

(b)∫ π

40

sen2 x dx

(c)∫ π

20

(senx + cos x)2 dx

(d)∫ π

20

cos4 x dx

47. (a) Verifique que ∫sec x dx = ln(sec x + tg x) + k com x ∈

]−π

2,

π

2

[.

(b) Mostre que ∫sec x dx = ln | sec x + tg x|+ k.

48. Calcule.

(a)∫

tg x dx

(b)∫

sec2 x dx

(c)∫

tg2 x dx

(d)∫

sec x dx

(e)∫

tg 2x dx

(f)∫

sec 3x dx

(g)∫

3x dx

(h)∫

5√1− x2

dx

(i)∫

(5x + e−x) dx

(j)∫

(x + sec2 3x) dx

(k)∫

(1 + sec x2) dx

(l)∫

cos x + sec x

cos xdx

49. (a) Determine α e β de modo que

sen 6x cos x =12(senαx + senβx)

(Sugestao: sen a sen b =

12[cos (a− b)− cos (a + b)]

)

(b) Calcule∫

sen 6x cos x dx

50. Calcule

4

(a)∫

sen 5x cos x dx

(b)∫

sen 3x cos 4x dx

(c)∫

senx cos 3x dx

(d)∫

sen 3x cos 3x

51. Calcule.

(a)∫ 1

0

xex−x2dx

(b)∫ π

30

sen4 x cos x dx

(c)∫ 1

0

32x + 1

dx

(d)∫ 2

1

x

1 + 3x2dx

(e)∫ 1

0

x√1 + x2

dx

(f)∫ 1

0

x3

√1 + x2

dx

(g)∫ −1

−32

(2x + 3)100 dx

(h)∫ √

π

0

x sen 3x2 dx

(i)∫ 3

2

1(x− 1)3

dx

(j)∫ π

30

senx

cos2 xdx

(k)∫ 1

0

x

1 + x4dx

(l)∫ π

40

cos2 2x dx

52. Calcule.

(a)∫

sen2 x cos x dx

(b)∫

sen2 x cos3 x dx

(c)∫

cos3 x sen3 x dx

(d)∫

senx√

cos x dx

(e)∫

sen 2x√

1 + cos2 x dx

(f)∫

sen 2x√

5 + sen2 x dx

(g)∫

sen3 x dx

(h)∫

cos5 x dx

(i)∫

tg3 x sec2 x dx

(j)∫

tg x sec2 x dx

(k)∫

tg x sec3 x dx

(l)∫

tg3 x sec4 x dx

53. Suponha α, β, m e n constantes, com α 6= β. Mostre que existem constantes A e B tais que

mx + n

(x− α)(x− β)=

A

x− α+

B

x− β

54. Utilizando o exercıcio anterior, Calcule.

(a)∫

1(x + 1) + (x− 1)

dx

(b)∫

2x + 3x(x− 2)

dx

(c)∫

x

x2 − 4dx

(d)∫

1x2 − 4

dx

(e)∫

5x + 3x2 − 3x + 2

dx

(f)∫

x + 1x2 − x− 2

dx

(g)∫

2x2 − 5x + 6

dx

(h)∫

x− 3x2 + 3x + 2

dx

55. Calcule.

(a)∫

x3

(16 + x4)3dx

(b)∫

x3

16 + x4dx

(c)∫

x

16 + x4dx

(d)∫

tg 2x dx

(e)∫

1x lnx

dx

(f)∫

1x(lnx)2

dx

(g)∫

tg2 x dx

(h)∫

1√1− x2

dx

(i)∫

5√1− 4x2

dx

(j)∫

x√1− 4x2

dx

(k)∫

1√4− x2

dx

(l)∫

2x + 3√1− 4x2

dx

56. Calcule.

5

(a)∫

xex dx

(b)∫

x senx dx

(c)∫

x2ex dx

(d)∫

x lnx dx

(e)∫

lnx dx

(f)∫

x2 lnx dx

(g)∫

x sec2 x dx

(h)∫

x(lnx)2 dx

(i)∫

(lnx)2 dx

(j)∫

xe2x dx

(k)∫

ex cos x dx

(l)∫

e−2x senx dx

(m)∫

x3ex2dx

(n)∫

x3 cos x2 dx

(o)∫

e−x cos 2x dx

(p)∫

x2 senx dx

57. Calcule.

(a)∫ 1

0

xex dx

(b)∫ 2

1

lnx dx

(c)∫ π

20

ex cos x dx

(d)∫ x

0

t2e−st dt (s 6= 0)

58. Sejam m e n dois naturais diferentes de zero. Verifique que

(a)∫ 1

0

xn(1− x)m dx =m

n + 1

∫ 1

0

xn+1(1− x)m−1 dx

(b)∫ 1

0

xn(1− x)m dx =n!m!

(m + n + 1)!

59. Calcule.

(a)∫

x2(x + 1)10 dx

(b)∫

x2√

x− 1 dx

(c)∫

11 +

√x

dx

(d)∫

2(1 +

√x)3

dx

(e)∫

x + 2(x + 1)5

dx

(f)∫

x− 1√2x + 1

dx

(g)∫ √

1− ex dx

(h)∫ √

1 +√

x dx

(i)∫

x2 + 1√2x− x2

dx

(j)∫

1x2 + 2x + 5

dx

(k)∫

x arcsenx dx

(l)∫

x(arctg x)2 dx

60. Calcule a area do conjunto de todos (x, y) tais que x >√

1 + y2 e 2x + y 6 2

61. Calcule.

(a)∫

cos2 5x dx

(b)∫

senx cos2 x dx

(c)∫

cos x sen4 x dx

(d)∫

sen 2x cos2 2x dx

(e)∫

sen2 x cos4 x dx

(f)∫

cos2 2x sen2 2x dx

(g)∫

sen2 2x cos2 3x dx

(h)∫

cos x cos2 4x dx

62.∫

cos x

4− sen2 xdx

63.∫

1senx + cos x

dx

64.∫

sen 2x

1 + cos xdx

65.∫

2 tg x

2 + 3 cos xdx

66.∫

1√3 cos x− senx

dx

67.∫

12 + senx

dx

68. Prove que quaisque que sejam s e t em [1, +∞[

| ln s− ln t| 6 |s− t|.

6

69. Prove que quaisquer que sejam a e b, a < b

arctg b− arctg a < b− a.

70. Determine o polinomio de Taylor, de ordem 2, de f em volta de x0 dado.

(a) f(x) = ln(1 + x) e x0 = 0(b) f(x) = ex e x0 = 0(c) f(x) = 3

√x e x0 = 1

(d) f(x) =1

1− x2e x0 = 0

(e) f(x) =√

x e x0 = 4

(f) f(x) = senx e x0 = 0

(g) f(x) = cos x e x0 = 0

7