UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA

FACULTAD CS. NATURALES MATEMATICA Y M.AMBIENTE

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

APLICACIONES TRIGONOMETRIA

Resumen

• Relaciones trigonometricas en un triangulo rectanguloDado un triangulo rectangulo y un angulo α con α 6= 90◦ y considerando los catetosopuestos y adyacentes respecto del angulo α , se tiene :

a) sen (α) = Cateto OpuestoHipotenusa

b) cos (α) = Cateto AdyacenteHipotenusa

c) tg (α) = Cateto OpuestoCateto Adyaente

d) cosec (α) = HipotenusaCateto Opuesto

e) sec (α) = HipotenusaCateto Adyacente

f) cot (α) = Cateto AdyacenteCateto Opuesto

• Teorema del senoDado el triangulo cualquiera de angulos A , B , C y lados opuestos respectivos a , b , c ,entonces se verifica que :

a

sen (A)=

b

sen (B)=

c

sen (C)

• Teorema del cosenoDado el triangulo cualquiera de angulos A , B , C y lados opuestos respectivos a , b , c ,entonces se verifica que :

a) a2 = b2 + c2 − 2bc cos (A)

a) b2 = a2 + c2 − 2ac cos (B)

a) c2 = a2 + b2 − 2ab cos (C)

• Relacion grados-minutos : Un grado es equivalente a sesenta minutos.

1◦ ≡ 60′

EJERCICIOS

1. Reolver los siguientes problemas de enunciado

a) El angulo de elevacion del punto mas alto de una chimenea a una distancia de90m es de 30◦ . Calcular su altura. (RESP : 51,96m)

b) Desde el puesto de vigıa de 48m de altura de un barco, se observa que el angulode depresion de un bote es de 30◦ . Calcular la distancia a la que esta el barco.(RESP : 83,136m)

c) Determinar el angulo de elevacion del sol cuando la sombra de un poste de 6mde altura es de 1,732m de largo.(RESP : 73◦54′)

d) A la distancia de 25,98m del pie de una torre, el angulo de elevacion de sucuspide es de 30◦ . Determinar la altura de la torre y la distancia del observadora la cuspide.(RESP : 15m, , 30m)

e) Dos mastiles tienen 18m y 12m de altura y la recta que une sus puntos masaltos forma un angulo de 33◦41′ con el horizonte. Calcular la distancia que separaambos mastiles.(RESP : 9m)

f ) Una chimenea tiene 30m de altura mas que otra. Un observador que esta a 100mde distancia de la chimenea mas baja observa que sus cuspides estan en una rectainclinada respecto al horizonte en un angulo de 27◦2′ . Determinar las alturas delas torres.(RESP : 51m, 81m)

g) El angulo de elevacion de la parte superior de una torre es de 30◦ , acercandose100m se encuentra que el angulo de elevacion es de 60◦ . Determinar la altura dela torre.(RESP : 49,74m)

h) Un asta de bandera esta enclavada verticalmente en lo alto de un edificio. A 12mde distancia los angulos de elevacion de la punta del asta y la parte superior deledificio son de 60◦ y 30◦ respectivamente. Determinar la longitud del asta.(RESP : 13,857m)

i) Desde la cuspide de un monumento de 30m de altura, los angulos de depresion de2 objetos que estan sobre el terreno en la direccion Oeste del monumento son de45◦ y 30◦ . Determinar la distncia que separa ambos objetos.(RESP : 21,96m)

j ) Desde lo alto de un acantilado de 45m de altura, los angulos de depresion de dosbotes que estan en el mar, en la direccion Norte del observador, son de 30◦ y 15◦

respectivamente. Determinar la distancia que separa los botes.(RESP : 90m)

k) Desde un punto de un plano horizontal, se tiene que el angulo de elevacion dela cima de una colina es de 14◦ , despues de caminar 700m en lınea recta endireccion a la colina, se tiene que el angulo de elevacion es de 35◦ . Deerminar laaltura de la colina.(RESP : 387,7m)

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2. Reolver los siguientes problemas de enunciado

a) Dos trabajadores levantan sus escaleras de 13m y de 15m de largo y las apoyanmutuamente en sus cuspides. Si la distancia que separa las bases de las escalerases de 7m , determinar el angulo que forman ambas escaleras en sus cuspides.(RESP : 27◦48′)

b) Dos vigıas,separados por una distancia de 5m , observan volar un avion desde dospuntos A y B . Si el vigıa A se encuentra a una distncia de 3m del avion yel B a 7m del avion, determinar el angulo que forma la recta que pasa por lospuestos de los vigıas, con la recta formada por la visual del avion desde el puestodel vigıa A .(RESP : 120◦)

c) Desde el punto mas alto de una torre se observa dos vehıculos. Si la distanciadel observador a cada uno de los vehıculos son de 8,66m y 5m , determinar losangulos de elevacion de cada uno de los vehıculos al observador, si la distanciaentre ellos es de 5m .(RESP : 30◦ , 60◦)

d) Desde una avioneta se observa dos botes en el mar separados por una distanciade 6m . Si la distancia desde la avioneta a uno de los botes es de 7m y el angulorespectivo de elevacion es de 75◦31′ , determinar la distancia al otro bote.(RESP : 8m)

e) Desde un faro se observa un bote sobre el mar a una distancia de 4m y tambiense observa una boya con un angulo de depresion de 30◦ . Si el angulo formado porla horizontal en que se encuentran el bote y la boya con la recta trazada desde elbote al faro es de 105◦ , detrminar la distancia desde el faro a la boya.(RESP : 14,93m)

f ) El angulo de elevacion de un observador al punto mas alto de un poste es de 75◦ .Si el obsrvador retrocede, el angulo de elevacion es de 60◦ . Si la distancia desdela ubicacion original del observador a punto mas alto del poste es de 2,45m ,determinar la distancia que retrocedio el observador y la distancia del punto masalto del poste a la ubiacion final del observador.

g) Dos puntos de observacion A y B separados 10millas entre ellos se colocanen una costa para vigilar barcos ilegales. Si el punto A reporta un barco S enel angulo BAS = 37◦30′ y el punto B reporta el mismo barco en el anguloABS = 20◦ y suponiendo que la costa esta a lo largo de la lınea que une los dospuntos de observacion, determinar la distancia del barco al punto A y del barcoa la costa. (RESP : 4,06 millas 2,47 millas)

h) Un arbol que crece en la ladera de una colina proyecta una sombra de 102 piessobre su ladera. determinar la altura vertical del arbol, si con respecto a la hori-zontal, la colina tiene una pendiente de 15◦ y el angulo de elevacion del sol es de62◦ (RESP : 159 pies)

i) Dos personas separados 60m , ubicados sobre la ladera de un cerro inclinada 32◦ ,sostienen un globo aerostatico mediante cuerdas, que forman angulos de elevacionde 73◦ y 58◦ . Determinar las longitudes de las cuerdas.

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