Unidade V

Problema 1

Seja a viga em balanço e o carregamento dado na figura a seguir:

O deslocamento vertical no ponto B pode ser obtido através da expressão:

δ VB=∫A

B M0M1

EJdx

onde

122

11

20

3bh=Jx,l=M,x)(l=M

Determine o deslocamento vertical δVB com erro relativo

inferior a 10−4.

•E = 200t/cm2 (módulo de elasticidade do concreto)•M0 é o momento da viga•M1 é o momento da viga correspondente a uma carga unitária na direção e sentido do deslocamento,•J é o momento de inércia de uma secção retangular de altura h.

δ VB=∫A

B M0M1

EJdx

Um corpo se desloca ao longo do eixo Ox sob a ação de uma

força variável F. Calcular o trabalho realizado para se

deslocar o corpo de x = 0 até x = 3.5 sendo dado:

Problema 2

6.755.52.751.50.750.50.751.5F

3.53.02.52.01.51.00.50.0x

Problema 3

Suponha que a água em uma represa exerce uma pressão sobre

a face esquerda da mesma, como mostrada na figura:

Essa pressão pode ser caracterizada pela expressão:

p(z) = g(D − z) ,

Sabe-se que a pressão aumenta linearmente com a profundidade, como

mostrado em (a). A força total ft sobre a face esquerda da represa pode

ser calculada multiplicando-se a pressão pela área da face da represa. A

largura da represa para diferentes profundidades, está mostrada em (b).

Assuma que a largura da represa varia linearmente desde 200m (na

superfície) até 122m ( a 60 m de profundidade).

onde p(z) é a pressão (em N/m2) na altura z

(em m) a partir do fundo do represa. A

densidade da água é suposta constante e

vale 103 kg/m3, a aceleração da gravidade

vale 9.8m/s2, e D é a altura (em m) da

superfície da água a partir do fundo do

represa.

Assim a força resultante sobre a face da represa pode ser obtida

através de:

z)dz(Dω(z)gρ=fD

t ∫0

onde ω(z) é a largura da represa na altura z a partir do fundo.

Determine a altura d da linha de ação da força resultante, que pode

ser obtida através do cálculo de:

dzf

z)(Dω(z)gρz

=dt

D

∫0

Problema 4

A seção reta de um veleiro está mostrada na figura a seguir:

A força que o vento exerce sobre o

mastro (devido às velas), varia conforme

a altura z ( em metros) a partir do convés.

Medidas experimentais constataram que

a força resultante exercida sobre o

mastro (em N) é dada pela equação:

102z

e+z

z=f(z),dzf(z)=F

∫ 4

10

0

Deseja-se saber a linha de ação de F, isto é, o ponto onde pode-

se aplicar uma força de mesmo módulo, direção e sentido de F,

tal que o efeito sobre o mastro seja o mesmo de F. Esse ponto,

localizado a uma altura d do convés do barco, pode ser

determinado a partir da seguinte equação:

∫

∫10

0

10

0

dzf(z)

dzzf(z)

=d

Pede-se então calcular o valor de d, usando integração numérica

sobre pontos igualmente espaçados de h.

Problema 5

Sabendo-se que a quantidade de calor necessária para elevar a

temperatura de um corpo de massa m de uma temperatura T0 a uma

temperatura T1 é dada por:

∫ dT(T)Cm=Q p

onde Cp(T) é o calor específico do corpo à temperatura T.

Para a água temos a seguinte tabela, que fornece o calor específico em

função da temperatura:

Calcular a quantidade de calor necessária para elevar 20,0 kg de água de 0 a

100 ºC.

Problema 6

A função de Debye é encontrada em termodinâmica estatística

no cálculo do calor específico da água a volume constante de

certas substâncias. A função é expressa por:

∫ dy

e

y

x=D(x)

y 1

3 3

3

Obter D(x), com erro relativo menor que 10−5, nos seguintes casos:

a) x = 0.5

b) x = 10

c) x = 50

Problema 7

A figura a seguir mostra um circuito típico contendo um amplificador.

Muitos tipos de amplificadores são usados em instrumentos

como transmissores de rádio e televisão, dispositivos de

medidas, etc. Alguns tipos de amplificadores produzem correntes

em pequeno pulso.

Essa corrente é periódica no tempo, com T representando o

período.

Para analisar o circuito, é usualmente necessário expressar a

corrente em termos de uma função analítica. Usando a série de

Fourrier truncada em m termos para Ip temos:

m

0kkp

m210p

T

tk2cosI)t(I

T

tm2cosI

T

t4cosI

T

t2cosII)t(I

onde cada Ik é dado por:

∫

T

0

pk m...,,1,0k,dtT

tk2cos)t(I

T

2)t(I

Suponha que em certo experimento mediu-se a corrente Ip em vários

instantes de tempo e que obteve a tabela a seguir:

a) Considerando T = 20, calcule: I0, I1, . . . , I20.

b) Desprezando os erros de arredondamento o que se pode

concluir sobre a verdadeira expressão da função para Ip(t)?