Δu e Consolidazione

1Condizioni non drenate nei terreni a grana fine

In un terreno fine saturo sovraccaricato, sono possibili variazioni di volume (εv) solo per effetto di variazioni di massa (contenuto) d’acqua presente nei pori: Δw ≠ 0 ⇒ εv ≠ 0

All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione di tensioni totali (Δσ),il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: Δw = 0 ⇒ εv ≅ 0

Per il calcolo degli incrementi di tensione totale Δσ = f(P,ν), e anche dei cedimenti w = f(Δσ, E,ν)il terreno saturo bifase è trattabile come mezzo elastico monofase (equivalente)incompressibile (εv ≅ 0) ma capace di deformarsi per distorsione (εs ≠ 0).

00t

v =ε=

uuE ν,

u σ′Δ σΔ

∞≠=ν+

=

∞=ν−

=

3E

12E

G

213E

K

u

u

u

u

u

)(

)(

aledistorsion rigidezza

avolumetric rigidezza

Ciò equivale ad assumere ν=νu=0.5 e pertanto:

z

Δu e Consolidazione

2Approcci per le analisi delle condizioni non drenate

Le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle di tensioni efficaci (Δσ = Δσ’ + Δu)e la ripartizione di Δσ tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza tra le (infinitesime) variazioni di volume di scheletro solido e acqua

Sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine” o ”a t=0”):

Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci

incrementi tensioni totali Δσ = f(P, νu)

incrementi pressioni interstizialiIgnoti

Δu = f(Δσ)

incrementi tensioni efficaci Δσ’ = Δσ - Δu

caratterizzazione terreno monofase equivalente (Eu ; νu = 0.5) scheletro solido (E’ ; ν’)

calcolo deformazioni ε = f(Δσ, Eu, νu) ε = f(Δσ’, E’, ν’)

L’approccio alle tensioni totali è più pratico,quello alle tensioni efficaci più rigoroso.In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruentinell’ipotesi di validità della teoria elastica.

)'1(2'E'G

3E

)1(2EG u

u

uu ν+

=≡=ν+

=In particolare se:

Δu e Consolidazione

3Parametri di pressione interstiziale

La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere Δu = f(Δσ) separando i contributi di componente sferica e deviatorica della sollecitazione

Skempton (1954) definì i c.d. ‘parametri di pressione interstiziale’ A e Briferendosi a condizioni di compressione cilindrica (p. es. prove triassiali)

[ ])(AB),(fu 31331 σΔ−σΔ+σΔ=σΔσΔ=Δ

3Bu σΔ=Δ )(BAu 31 σΔ−σΔ=Δincremento (sferico) di σ3 ⇒ incremento di σ1 ⇒

3σΔ

3σ

1σ

3σ

1σ

3B σΔ

q

upp ,, ′

q

upp ,, ′

3B σΔ)ΔσBA(Δ 31 −σ

31 ΔσΔ −σ

Δu e Consolidazione

4Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - I

Applicazione di compressione isotropa 321p σΔ=σΔ=σΔ=Δ ad un terreno bifase

Variazioni di volume (infinitesime) per scheletro solido e fluido:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

Δ=

Δ=Δ

Δ=

Δ=Δ

VK

'pVK

'pV

nVK

uVK

uV

ssss

ssss

ff

ff

)up(nKK'p

nKKuVV

ss

f

ss

fssf Δ−Δ=Δ=Δ⇒Δ=Δ

⇒σΔ+

≡Δ+

=Δ 3

f

ss

f

ssKKn1

1p

KKn1

1u

Imponendo la congruenza:

Riordinando:

f

ss3KKn1

1Bupu

+==

σΔΔ

=ΔΔ

Δu e Consolidazione

e5

Considerando che Kw (≅ 2000 MPa) >> Kss (1 ÷ 100 MPa) >> Kg (≈ 0), sarà:

• terreno saturo 1

KKn1

1B

w

ss≅

+= (Δσ è tutto ‘a carico dell’acqua’)

• terreno asciutto 0

KKn1

1B

g

ss≅

+= (Δσ è tutto ‘a carico dello scheletro solido’)

• terreno non saturo ] [1,0KK)S1(n

KKnS1

1B

g

ss

w

ss∈

−++= (Δσ ripartito tra le fasi)

Nei terreni non saturi, il coefficiente B dipende quindi dalla combinazione di:

• porosità n • grado di saturazione S• rigidezza Kss dello scheletro solido

q

u,p,p ′

0u0S =Δ⇒=

pu1S Δ=Δ⇒=

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - II

Δu e Consolidazione

6

Applicazione di un incremento di deviatore 31 σΔ−σΔ ad un terreno bifase

Dalla condizione3

KKn1

1p

KKn1

1u 31

f

ss

f

ss

σΔ−σΔ

+≡Δ

+=Δ risulta: 3

1

KKn1

1uAB

f

ss31 +=

σΔ−σΔΔ

=

Se il terreno è saturo, risulta e poiché B=1,

Per ‘percorsi di estensione’ (Δq

Δu e Consolidazione

7Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

Condizione di continuità di terreno saturo, caso monodimensionale (vx=vy=0):

dtdzdAtndAdtdz

zvz ⋅

∂∂

=⋅∂

∂−

Indicando con

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+ζ∂∂

−=∂∂

−=w

zu

zk

zhkv

Ipotizzando costante la variazione temporale della tensione totale

'

1

z

v zed ed

ue t tne E E

σε ε

∂ ∂Δ ∂ ∂−Δ = − = = = = −+

uguagliando la alla e introducendo la ,la condizione di continuità è esprimibile in funzione della sola

2

2

1

w ed

k u uz E tγ

∂ ∂=

∂ ∂

dz

dx

dy

dzz

vv zz ∂∂

+

zv

tn

zvz

∂∂

=∂

∂−⇒

⇒2

2z

w

v k uz zγ

∂ ∂− =

∂ ∂

1

ed

n ut E t

∂ ∂=

∂ ∂⇒

u l’incremento di pressione interstiziale (sovrappressione),

0z z ut t t

σ σ ′∂ ∂ ∂= − =

∂ ∂ ∂

( , )u z t

si ha:

Δu e Consolidazione

8Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

2

2vu uct z

∂ ∂∂ ∂

=

[ ]12w

edv TL

kEc −γ

=

L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è in definitiva :

avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale

ed è integrabile purchè siano assegnate:

• condizioni al contorno

• distribuzione iniziale delle sovrappressioni

(dall’analisi in condizioni non drenate)

La soluzione è rappresentabile mediante curvedette isocrone (distribuzioni, per un fissato t, di

tu( )tu z

Δu e Consolidazione

9Consolidazione monodimensionale – Soluzione analitica

Nel caso più elementare (riprodotto ad es. nell’edometro), si ha:

• sovraccarico uniforme Δσ (⇒ isocrona iniziale rettangolare, u0 = Δσ) • drenaggio da entrambe le superfici (⇒ ut(0) = ut(2H) = 0)

La soluzione analitica è:

20

0

2( , ) sin( ) n (2 1)2

n T

i

uu z t nZ e in

π∞ −=

⎡ ⎤= ⋅ = +⎢ ⎥⎣ ⎦∑

HzZ = 2

v

HtcT =dove si è posto e (fattore tempo)

(H = massimo percorso della particella d’acqua ≡ ½ altezza strato)

σ

Δσ

u0

u

z

2H

wu

z

u(z,t)

t

Δu e Consolidazione

10Consolidazione monodimensionale – Soluzione adimensionale

Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali u(Z,T)/σ

HzZ =

σσ′

Δu e Consolidazione

11Consolidazione monodimensionale – grado di consolidazione

In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:

• grado di consolidazione

• grado di consolidazione medio

0

( , )( , ) 1( )

u z tU z tu z

= −0

0

0

0

0

( , )( ) 1

( )

z H

zz H

z

u z t dzU t

u z dz

+

+= −∫

∫

w wwU =

BA C

ABUAC

=

significato geometrico

area abdcaUarea abeca

=

z/H=1

a b

c de

202

0

2( ) 1 n (2 1)2

n T

i

uU t e in

π∞ −=

⎡ ⎤= − ⋅ = +⎢ ⎥⎣ ⎦∑

Δu e Consolidazione

12Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica

2

0

1( ) ( , )H

ed

w t t z dzE

σ ′= ∫ [ ]0w0)z,0( 0 =⇒=σ′

202

0

2( ) 1 n (2 1)2

n T

i

uU t e in

π∞ −=

⎡ ⎤= − ⋅ = +⎢ ⎥⎣ ⎦∑

Inoltre, stante l’ipotesi di linearità del legame costitutivo:

2 2

00 0

1 1( ) ( , ) ( )H H

ced ed

w w z dz u z dzE E

σ ′= ∞ = ∞ =∫ ∫

( ) ( )( )( ) c

w t w tU tw w

= =∞Si ha:

Δu e Consolidazione

13Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica

Calcolato il cedimento di consolidazione wc per uno strato con H e cv noti,la curva di consolidazione (relazione cedimenti-tempi w:t) si ottiene:

1. fissando t → determinando il corrispondente T

2. calcolando il valore U(T) → w(t) = U(T)⋅wc

2v

HtcT =

Δu e Consolidazione

14

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

Fattore tempo, T

Gra

do d

i con

solid

azio

ne, U

kEc zuc

tu

w

edv2

2

v ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

=∂∂

=∂∂

Equazione della consolidazione monodimensionale

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.001 0.01 0.1 1 10

Fattore tempo, T

Gra

do d

i con

solid

azio

ne, U

La funzione U(T) è approssimabile con la formula di Sivaram & Swamee (1977)

179.08.2

5.0

T41

T4

U

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π=357.06.5

2

v ]U1[U)4/(T

−π

=⇔

197.05.0 ==UT

848.09.0 ==UT

Curva di consolidazione teorica

H

tcT )T(U1/u

)T(Uww(t) 2

vc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

⎩⎨⎧

−=σΔΔ⋅=

⇒

Δu e Consolidazione

e15

Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

Il caso dell’isocrona iniziale rettangolare è valido per la condizione di carico indefinito su strati con uno o doppio contorno drenante.

Altre soluzioni del problema 1D sono di interesse applicativo per l’analisi della consolidazione indotta da sovraccarichi o da variazioni delle condizioni idrauliche

1. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato da entrambi i lati

Soluzione = combinazione di e

Δu e Consolidazione

16Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

• stavolta le U(T) sono diverse caso per caso

• per un fissato T, risulta: U > U > U

Sia la che la presentano:

isocrone asimmetriche rispetto a metà strato U(T) identiche al caso

2. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato solo da un lato

NB: la velocità di consolidazione è proporzionale ai gradienti idraulici in prossimità dell’unica superficie drenante

Δu e Consolidazione

17

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)

w (m

m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Δu/

Δσ

Δu/Δσ

w1

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)

w (m

m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Δu/

Δσ

Δu/Δσ

w2

Cedimento da consolidazione primaria

Cedimento secondario

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)

w (m

m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Δu/

Δσ

Δu/Δσ

w1+w2

Δu 0

w w2

+ =

Curva di consolidazione sperimentaleda ’depurare’ per ottenere il

coefficiente di consolidazione verticale cv

Consolidazione primaria: deformazioni di volume associate a dissipazioni di Δu

Consolidazione secondaria: deformazioni viscose dello scheletro solido a σ’=cost. (si manifestano visibilmente quando Δu → 0)

Comportamento sperimentale vs teoria

Compressione edometrica

18Interpretazione della curva di consolidazione sperimentale

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,1 1 10 100 1000 10000

Log(t) (min)

w (m

m)

ΔwU=0.0

t50

U=0.5

U=1.0

tangente al punto di flesso

Δw

t 4t

asintoto obliquo

cedimento di consolidazion

e primaria

Metodo di Casagrande

Principio: depurare la w(t) sperimentale della ‘testa’ e della ‘coda’ per estrarne

- cedimento di consolidazione primaria, wc- coefficiente di consolidazione primaria, cv- coefficiente di consolidazione secondaria, cα

α

50

2v t

H197.0c ⋅=

ohtanc α=α

h0=2H

Compressione edometrica

19

per t ridotti, vale approssimativamente 2)t(w)t4(wtw =⇒∝

intersezione tra la tangente nel punto di flesso e l’asintoto obliquo

50

2v2

50vcv t

H197.0c197.0H

tcT50.0U2

w:c =⇒==⇒=⇒

tec

logΔΔ−

=α

o

os

hthw

tcc αεεαα

tanlog

/log

: , =ΔΔ−

=Δ

Δ−=

oppure

Fasi del procedimento di Casagrande

1. Cedimento immediato w0

2. Cedimento secondario ws

(ribaltamento ⇔ estrapolazione a t=0

3. Cedimento di consolidazione wc s0fc w- – w w w =

4. Coefficiente di consolidazione cv

5. Coefficiente di consolidazione secondaria cα

Compressione edometrica

20

per t ridotti: tw ∝⇓

estrapolazione a t=0 della retta

t:w

w90 = intersezione della curva con la retta inclinata 1.15 volte la tangente iniziale

9.0www 090c

−=

90

2v2

90vv t

H848.0c848.0H

tcT90.0U:c =⇒==⇒=

Procedimento di Taylor

1. Cedimento immediato w0

NB: cedimento secondario wse coefficiente di consolidazione secondaria cαnon determinabili

2. Cedimento di consolidazione wc

3. Coefficiente di consolidazione cv